高中的函数解的题目技巧方法的总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况(注重借助于数轴和文氏图解集合问题)空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。

故B 只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。

当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -；）若（B B A A B A B A =⇔=⇔⊆Y I 2（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈∉50352 的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a aM a a a Y 5.熟悉命题的几种形式、()()().∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” 1.若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 2.若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 3,若为真，当且仅当为假⌝p p 命题的四种形式及其相互关系是什么？答:（互为逆否关系的命题是等价命题。

） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6.熟悉充要条件的性质（高考经常考）x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的充要条件B A _____⇔；若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________⇔；7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）注意映射个数的求法。

如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。

如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。

8.求函数的定义域有哪些常见类型？ ()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334Y Y函数定义域求法：（1）.分式中的分母不为零；（2）.偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）.指数式的底数大于零且不等于一；（4）.对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

（5）.正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 （6）.余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且9. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。

[]（答：，）a a -复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由nx g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：2log 212≤≤x 解之，得：42≤≤x∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x 10．函数值域的求法（1）、配方法配：求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

（2）、判别式法：对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用（3）、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6543++x x 值域。

（4）、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。

110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式，求出，就是要求的答案x x x e y y e y e y y yy y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤ （5）、函数单调性法：通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例：求函数y=+-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域（6）、换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例：求函数y=x+1-x 的值域。

（7）、数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。

例:求函数y=1362+-x x + 542++x x 的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y m in =∣AB ∣=)12()23(22+++=43， 故：所求函数的值域为[43，+∞）。

(8)、不等式法：利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：(9).倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例： 求函数y=32++x x 的值域 220112202222012时，时，=00x y x x y y x x x y y +=+≠==+≥⇒<≤+++=∴≤≤332(0)11113333222x =x x (应用公式a+b+c 时，注意使者的乘积变成常数）x x x x x x abc +>++≥⨯⨯=≥11. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤：①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域()()如：求函数的反函数f x x x xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002 ()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 12. 反函数的性质：1.反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中y ）2.反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）3.反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x 对称①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a[][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，13.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法：根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系 ()如：求的单调区间y x x =-+log 1222（设，由则u x x u x =-+><<22002()且，，如图：log 12211u u x ↓=--+当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212∴……）14.如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。

（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013()值是（ ）（令f x x a x a x a '()=-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥333302 则或x a x a ≤-≥33由已知在，上为增函数，则，即f x a a ()[)1313+∞≤≤ ∴a 的最大值为3。

15. 复合函数奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

16. 若f(x)是奇函数且定义域内有原点，则f(x)=0。

如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=2221（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000即·，∴）a a a 22210100+-+== 17.判断函数奇偶性的方法1、定义域法：一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法：在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x) 1 偶函数 f(-x)f(x) 1 奇函数f(-x)==-18. 你熟悉周期函数的定义吗？()如：若，则f x a f x +=-()（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉f(x)+f(x+t)=0,要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2)()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=⎫=>=+⎬+++=⎭， 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。