自动控制原理第四章

第四章4-1根轨迹的基本概念

4-2 绘制根轨迹的基本原则

4-3 参量根轨迹

第四章 根轨迹法

[教学目的]：理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。 掌握系统根轨迹所揭示出的系统极零点对系统性质的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性质。 [主要内容]：

一、根轨迹的基本概念 二、系统根轨迹的绘制原则 三、零度根轨迹与参数根轨迹

[重点]：掌握根轨迹的基本概念。根轨迹的定义及根轨迹方程，相角条件和幅值条件。

[难点]：根轨迹的正确绘制。深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。

[讲授技巧及注意事项]：由第三章的内容引出，并紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识。 引言

1.不同研究内容所需的传递函数：

()()()()

()

()1G s C s s R s G s H s Φ==+()()()

()

B s G s H s E s =()()10

G s H s +=闭环传递函数：

()1E s 闭环系统开环传递函数：

特征方程

2.三大性能同各个传递函数的关系

1）稳定性：用特征方程来分析，只与开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点的分布。

2）稳态性能：用闭环系统的误差传递函数来研究，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。

3）动态性能：用闭环传递函数，这时不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。研究闭环系统的零极点及闭环增益。

3.分析方法及思路

1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：

物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型

（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，-------很容易获得；

（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；

（3）可以直接求取稳态误差；

(4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。

2)一个美好的愿望：

开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→分析系统的三大类性能。

对此，1948年美国的伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该方法称为根轨迹法。

根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方程，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。应用根轨迹法通过简单计算便可确定系统的闭环极点分布，并同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。 4-1根轨迹的基本概念

根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。根轨迹方程得自反馈系统的特征方程，其求取步骤是： 1.写出反馈系统的特征方程，即

式中 G(s) ——反馈系统前向通道传递函数；H(s) ——反馈系统主反馈通道传递函数；

G(s)H(s) —— 反馈系统的开环传递函数；“+”号对应负反馈系统；“-”号对应正反馈系统。

2绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即

（负反馈系统） 及 （正反馈系统）

A. 绘制反馈系统根轨迹之前，需对根轨迹方程中的开环传递函数G(s)H(s)

化成通过极点与零点表达的标准形式，即 式中:

K* ——绘制根轨迹的可变参数，称为参变量， 0≤k*<∞ p i ——(i=1，2，3，…，n)为系统的开环极点；

()

()() 1 4-7G s H s =-()()() 1 4-8G s H s =+()9-4 )

())(()())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ绘制根轨迹时的注意事项

（4-1）

()9-4

)

())(()

())(()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s H s G ------=*ΛΛ z i ——(i=1，2，3，…，m)为系统的开环零点。

注意:开环传递函数的标准形式必须具有下列特征1) 参变量k*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个；

B. G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示；

C. 构成G(s)H(s)分子、分母的每个因子（ s-z i ) (i=o ，1，2 …，m )及（s-pi ） (i=o ，

1，2 ，…，n)中s 的项系数必须是+1。

3、得到的根轨迹方程为180°(负反馈系统)根轨迹，即或写成

统)根轨迹，即 或写成

(幅值条件) (相角条件)

4-2 绘制根轨迹的基本原则

设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式：

式中z i (i=1，2，…，m) 、 p i (i=1，2，…，m) 分别为开环零点与极点，它们既可以是实数，也可以是共轭复数。

下面基于式（4-1）所示开环传递函数分别介绍按相角条件式绘制

)

(0360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ︒+︒=+=⋅L ()()1

G s H s =()

()()0360 (i=0,1,2,) 4-14G s H s i ∠=︒+︒L )

(180360)()()11 (i=0,1,2,) 4-13j i G s H s e ︒+︒=-=⋅L ()()1G s H s =()()0360 (i=0,1,2,G s H s i ∠=︒+︒L 说明：相角条件是绘制根轨迹的充要条件；幅值条件常用来求根轨迹上一点的K*值

式（4-1）