第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
汽车振动基础第4章-多自由度
直接法
所谓直接法，就是直接应用动力学的基本定律或定理（列如牛 顿第二定律或达朗贝尔原理）建立系统运动微分方程的方法。以前建 立单自由度和二自由度振动系统的微分方程就是采用了这种方法。这 种方法的特点是：分析比较直观，简便，适用于比较简单的系统。
利用直受力分析
（2） 根据牛顿第二定律建立微分方程
运动方程推导
1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P1 (t ) m1 x1 (c1 c2 ) x 2 c2 x 1 c3 x 3 (k2 k3 ) x2 k2 x1 k3 x3 P2 (t ) m2 x2 (c2 c3 ) x 3 c3 x 2 k3 x3 k3 x2 P3 (t ) m3 x3 c3 x
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法 K kij
对于n 自由度的振动系统，刚度矩阵K为n*n矩阵，具有n*n 个元素 k ij，这些元素称为刚度影响系数。 刚度影响系数 k ij 的定义是使系统的第j个坐标产生单位位 移，而其它的坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力 的大小。
2lm21 lm2 x
m2 m11 m1 4 m2 m21 m12 4
j2
x1 0
1 x 2
x2 1
2lm22 2lm3 x2 lm2 x
m2 m22 m3 4
m22
m3
m1
m2
m12
l
m2 x
l
2 m3 x
注意：1）总是假定 kij 的方向与坐标方向相同，通过静力
平衡方程求得其值的 符号即为 kij 的符号；
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第四章 多自由度体系(自由振动)
第四章多自由度体系无阻尼自由振动主要内容1 多自由度体系的自振振型和自振频率2 振型的正交性3 位移的振型展开和能量的振型展开1 多自由度体系的自振振型和自振频率所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K uM根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得{}{}{})sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2θωφω+−==t t u u对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
04多自由度体系振动分析 1
12 / 7 18 / 7 0.897 3 ˆ Kφ ˆ 2 2.23 1 φ 0 . 000154 ( EI / l )0 18 / 7 48 / 7 1
T 1
第四章 多自由度体系的振动分析
2)自振频率的计算
已知振型，计算对应的自振频率。 将自由振动的通解 Y Ci φ i sin(i t i ) 代入运动方程
FI 3 j
T Ii
T Ij
第四章 多自由度体系的振动分析
FIiT φ j FIjT φ i
代入惯性力表达式，得：
T 2 T i2φ iT Mφ j 2 φ M φ j j i j φ i Mφ j
上式中矩阵的乘积为一数值可自由转置，从而可得到：
( )φ Mφ j 0
2k m 2 k k k m 2 0
k22 k
(2k 2 m)(k 2 m) k 2 0
1 0.618 k / m
2 1.618 k / m
第四章 多自由度体系的振动分析
2）振型分析 将求得的第i阶频率代入振型方程：
( K i2 M )φi 0
一个特解对应一种振动形式！
按每一特解形式作自由振动时： 1）体系上所有质量的振动频率相同。 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变 位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称 为振型（Mode Shape）。
第四章 多自由度体系的振动分析
2、自由振动的通解
特解1 特解 1 特解2 特解 2
φ i (1i , 2i ,, ni )T
所有振型向量组成的矩阵称为振型矩阵：
11 12 22 21 φn ) n1 n 2 1n 2n nn
07213第四章__多自由度系统振动(4-4)[1]
![07213第四章__多自由度系统振动(4-4)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a038a0e3998fcc22bcd10d26.png)
§4-4 多自由度系统的数值方法从以上各章节的分析中可以看到，求解振动系统的固有频率和主振型，是研究各类振动问题的重要内容。
当系统自由度较少时，我们可以从系统的特征方程求出其特征值（即固有频率的平方值），从而直接解出固有频率n ω的精确值，然后再求出特征向量（即主振型）。
由此可见，寻找多自由度系统特征方程的特征值和特征向量的问题，一般都要用计算机来处理。
但对特征值问题的各种近似解解法，在实际工作还常常是有用的。
这里选择了几种常用的近似解法来加以介绍。
一、瑞利法在第二章中曾介绍过，对单自由度保守系统可以用最大动能与最大势能相等的原理来求出它的固有频率。
瑞利法指出，只要对位移有合理分布的假设，这种方法也可以用于求多自由度系统的最低阶固有频率（基频）。
设系统的质量矩阵、刚度矩阵和位移列阵、速度列阵分别为[][]{}{}xx k m 、、、。
则多自由度系统的动能T 与势能U 的表达式为： {}[]{}x m x T T21= （4.100） {}[]{}x k x U T21=（4.101）当系统以第r 阶固有频率nr ω和相应的主振型(){}r A 作第r 阶主振动时，则：(){}(){}()ϕω+=nrrrA x sin（4.102）故 (){}(){}()ϕωω+=nr nr r r A x sin （4.103）将（4.102）及（4.103）式分别代入（4.100）及（4.101）式，可得到系统在作主振动时的最大动能和势能：(){}[](){}r Tr nr A m AT 2max 21ω=（4.104） (){}[](){}rTr A k A U 21max =（4.105）根据机械能守恒原理，使上两式相等，即可解得系统第r 阶固有频率的平方值：(){}[](){}(){}[](){}()n r A m A A k A rTr rTr nr,,2,12 ==ω（4.106）由于未求出系统的各阶固有频率之前，我们无法知道系统的各阶主振型。
第4章-多自由度系统振动(d)
ΦN
(1) ,
m p1
(2) ,
mp2
(3)
mp3
1
1 6m
2 1
3 0 3
2
2
2
正则模态和主模态之间的关系：
φ( i ) N
1 φ(i)
mpi
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
小结：模态的正交性，主质量和主刚度
若 i j 时， φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时，
φ(i)T Mφ(i) mpi
φ(i)T Kφ(i) k pi
第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2019年7月8日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
模态矩阵： 1 1 1
Φ (1) , (2) , (3) 2 0 1
1 1 1
4多自由度系统的振动解析
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件
.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。
多自由度振动系统的数值方法
一、杆的纵向振动
x
dx
杆单位体积质量为 ，杆长为l ,截面积为A， 应变
( x) ，纵向张力为 P ( x)
ε ( x) u
P( x) AEε AE u x x
，则
在 x dx 截面处张力为
2 P u P dx EA( u dx) 2 x x x
Y '' (l ) 0
C3 C1
C4 C2
(chl cos l )C1 (shl sin l )C2 0
(shl sin l )C1 (chl cos l )C2 0
精品课件！
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特征方程
cos l chl 1
2 2u 2 u VP 2 2 t z
(1)
u u(C1cosωn t C2 sinωn t)
VP－桩身材料的[纵波]波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定： 摩擦桩：
u | z 0 0, u | z l 0 z
端承桩：
u u | z 0 0, | z l 0 z z
• 试验设备
手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器
试验方法
黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。
资料整理
直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分－ 频 域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。
二. 弦振动
若横波在张紧的弦线上沿 x轴正方向传播， 我们取 AB ds 的微分段加以讨论（见图）。 设弦线的线密度（即单位长质量）为 ，则 此微分段弦线的质量为 ds 。在A、B处受到 T2 ，其方向为沿 左右邻段的张力分别为 T1 、 2 角。 弦线的切线方向与x轴交成 1 、
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
第4章多自由度系统的振动
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3
第四章 多自由度系统的振动分析
(
T qi
)
T qi
1 2
U qi
2
dt
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
U 1 2 kx
2
例：无阻尼单自由度自由振动系统：
T
mx
d dt
(
T qi
)
d dt
( (
1
mx ) ) m x 1 kx ) kx
4.2 多自由度系统的运动微分方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令
x1 1 x2 x3 0
k 1变形量 1 1， k 2 变形量 2 1， k 3 变形量 3 0
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力
k 11 、 k 21 、 k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
2
2
2 x ( 2 x
T qi
0
U qi
m kx 0 x
Qi 0
对于系统中质量较多时，运用牛顿力方程较为复杂，而拉格朗日方程 或能量法较为简便。拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的 一个普遍的简单而又统一的方法。
10
4.2 多自由度系统的运动微分方程
mg k
带入方程2中，得到系统的运动微分方程为：
mg l g 0 k
15
4.2 多自由度系统的运动微分方程
三、刚度影响系数和作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：
m 1 1 x 1 m 1 2 x 2 m 1 n x n k 1 1 x 1 k 1 2 x 2 k 1 n x n 0 m 21 x 1 m 22 x 2 m 2 n x n k 21 x 1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 m n1 x 1 m n 2 x 2 m nn x n k n1 x 1 k n 2 x 2 k nn x n 0
第4章：多自由度系统的振动
第4章 多自由度系统的振动
【例4.1.2】试求图示系统的固有频率与振型。 解:
1 m 0 x 1 1 x T 0 2 m 2 x 2 2 x
T
T
x1 (t )
x2 (t )
m
k
2m
x1 1 1 2 V k ( x2 x1 ) 2 2 x2
特征根—固有频率: 1,22
1 2a
b
b 2 4ac
(4.1.11)
Байду номын сангаас
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 A21 k11 2 m k 1 11 21 1m21 1 2 A11 k12 1m12 k22 2 1m22
F1 (t ) F (t ) F (t ) F ( t ) 2
*
(4.1.4)
F * —除阻尼力以外的非保守力。
x1 (t ) q x x2 (t )
1 2
T TM x 1 L T V x x K x, 2
T R 1 x Cx 2
k m 2 k
k k 2m
2
0
2m 2 4 3m k 2 0
1 1 3k 1 0 , φ1 , 1 , φ2 2m 1 0.5
第4章 多自由度系统的振动
4.1.2 双自由度系统的无阻尼受迫振动
运动方程:
K x F (t ) M x (4.1.26)
F2 (t )
x2 (t )
k1 x1
k2 ( x2 x1 ) m1 x 1
k1
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第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
从理论上讲，可用式（4.1.4）近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算系统的基频1ω。
§4.1.2 第二瑞利商瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵Δ[]δ建立的位移运动方程。
这时自由振动方程{}[][]{}x M x δ=-&&(4.1.6)代入式（4.1.1），注意到[]δ、[]M M 是对称矩阵，以及[][][]K I δ=，则系统的势能为{}[][][]{}2T T U x M M x δ=&&&&(4.1.7)由式（4.1.2）可得2{}{}sin()x A t ωωα=-+&&(4.1.8)将上式代入式（4.1.7），系统势能的最大值为4max {}[][][]{}2T T U A M M A ωδ=(4.1.9)由max max T U =可得{}[]{}{}[][][]{}2II ()TTA M A R A A M M A ωδ== (4.1.10)II ()R A 称为第二瑞利商。
可以证明，若所选假设振型{}A 很接近于第一阶主振型{}1A ，则由第一瑞利商和第二瑞利商计算出的2ω值确实接近于21ω，而且比实际值稍大（所谓上限估计）。
对于同一假设振型{}A ，第二瑞利商比第一瑞利商更接近真实值21ω，但其精确程度主要取决于假设振型{}A 接近于第一阶主振型{}1A 的程度。
在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。
已知123m m m m ===，123k k k k ===。
图 4.1.1【解】 系统的质量矩阵为[]001000001000001m M m m m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦刚度矩阵为[]12222333302101210011k k k K k k k k k k k +--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦柔度矩阵为[][]11111122123K k δ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦粗略地假设振型为{}[111]TA =，从而得{}[]{}3T A M A m = （1）{}[]{}T A K A k = （2）{}[][][]{}21001111001114(111)01012201010011230011TA M M A m m m k kδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3） 式（1）、（2）代入式（4.1.4）得{}[]{}{}[]{}20.3333TTA K A k k m m A M A ω=== 式（1）、（3）代入式（4.1.10）得{}[]{}{}[][][]{}230.21414TTA K A k km m A M M A ωδ=== 系统的第一阶固有频率的精确值为210.198kmω=，显然第二瑞利商的结果较接近精确值，但误差还较大，这是因为假设振型与第一阶精确振型T 1{}[0.4450.8021]A =相差较远的缘故。
如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，则以该静变形曲线作为假设振型，即取{}[]356TA =则有{}[]{}70TA M A m = {}[]{}14TA K A k ={}[][][]{}2353Tm A M M A kδ=由式（4.1.4）得20.200k mω=由式（4.1.10）得20.198kmω=可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，则瑞利商结果愈接近于基频21ω。
例4.2如图4.1.2所示，已知梁的弯曲刚度为EJ，不计其质量，13m m m==，22m m=，求系统的第一阶固有频率。
图4.1.2【解】系统的质量矩阵为[]0010002002000001mM m mm⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦柔度矩阵为[]391171116117687119lEJδ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦粗略地选取假设振型为{}[121]TA=，则{}[]{}10TA M A m={}[][][]{}[]323100911712912102011161127684800171191T l m l A M M A m EJEJ δ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入式（4.1.10）得{}[]{}{}[][][]{}22331016.5529/48TT A M A mEJm l EJmlA M M A ωδ===ω=系统第一阶固有频率的精确值为1 4.024ω=。
其误差约为1%。
在系统柔度矩阵已知的情形下，若假设振型用{}[][]{}A M I δ=，则计算精度还可提高。
§4.2 邓克莱法邓克莱(Dunkerley)法又称迹法。
前述的瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估计值，而邓克莱法则给出了系统最低阶固有频率的下限估计值。
如前所述，n 自由度系统的位移方程：{}[][]{}0x M x δ+=&&(4.2.1)设其解为 {}{}()sin x A t ωα=+ 代入式（4.2.1），并以2ω除全式得主振型方程[][][](){}{}20I M A δ-=(4.2.2)其特征方程为21112111121n 22122221222n 212n1n2nn 10001000001n n n n nn m m m m m m m m m δδδωδδδωδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL LL L M M O M M M O M M M O M LL－ 当系统的质量矩阵为对角矩阵时，可展开为()()21211122210n n nn n m m m ωδδδ--++++=L L由代数方程理论（多项式根与系数之间的关系）可知，上式中()211n -项的系数变号后等于21的n 个根22212n 111ωωωL 、、之和，即22212n 111222111nn n m m m ωωωδδδ=+++L L ＋＋＋(4.2.3)对等式（4.2.3）作如下处理：等式左边，由于12n ωωω<<<L ，即12n111ωωω>>>L ，故近似地只保留一项211ω。
等式右边，令[][][]D M δ=(4.2.4)[]D 称为动力矩阵（dynamic matrix ），则式（4.2.3）右边为动力矩阵的迹，记为[]tr D 。
因为()1,2,,ii i n δ=L 是第i 个质量处作用单位力时系统在该处的柔度系数。
设想系统只有一个质量i m 存在，则系统成为单自由度系统，这时系统的刚度1i ii k δ=，固有频率i Ω为21i i i ii i k m m Ω==， 即21ii i i m δ=Ω，于是有[][][]()2211ii i iim tr D tr M δδω≈===Ω∑∑(4.2.5)综上所述，式（4.2.3）可写为22221121111nω≈+++ΩΩΩL (4.2.6)即系统的最低阶固有频率平方值的倒数，近似等于各质量i m 单独存在时固有频率平方值2iΩ的倒数之和。
由于式（4.2.3）的左边舍去了一些正数值，从而所得的21ω值比真值小。
式（4.2.6）称为邓克莱公式，计算出的结果为最低阶固有频率的下限估值。
由于等式右边为动力矩阵[]D 的迹[]tr D ，故邓克莱法又称为迹法，它只适用于[]M 为对角矩阵的系统。
邓克莱法在准确度上一般不如瑞利能量法，但由于它的计算较简单，且易考虑各质量或刚度的变化对最低阶固有频率的影响，故工程上仍经常应用它。
用邓克莱法计算例4.1中系统的基频。
【解】 由例4.1可知，系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为[]100010001M m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， []1111122123k δ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦动力矩阵[]D 为[][][]1111001111122010122123001123m D M m k k δ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其迹为[][][]()6mtr D tr M kδ==由式（4.2.5）得系统的基频为210.167kmω≈， 1ω=上述结果与精确值相比误差较大，大约为8.08％。