电路第五版第三章习题
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2007年是瑞士数学家、物理学家 兼工程师莱昂哈德·欧拉诞辰300 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）周年纪念。
欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常 数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的 形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎 整个物理的领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、 航海学等领域。 瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示： “没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不 一样的生活。” 法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人 的老师。
相隔一百年后，在1847年基尔霍夫第一次应用图论的 原理分析电网，从而把图论引进到工程技术领域。20世纪 50年代以来，图论的理论得到了进一步发展，将复杂庞大 的工程系统和管理问题用图描述，可以解决很多工程设计 和管理决策的最优化问题，例如，完成工程任务的时间最 少，距离最短，费用最省等等。
图论受到数学、工程技术及经营管理等各方面越来越 广泛的重视。
(1) 图的定义(Graph)
① G={支路，结点} １
② a. 图中的结点和支路各自是一个整体。
b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立结点存在。
c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
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(2) 路径 （3）连通图
从图G的一个结点出发沿着一些支路连续 移动到达另一结点（或回到原出发点）所 经过的支路构成路径。
2
1
2
1 i1 i4 i6 0 2 i1 i2 i3 0
1 43
3
6
5
3 i2 i5 i6 0 4 i3 i4 i5 0
4
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 n个结点、b条支路的电路, 独立的 论 KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
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3.3 支路电流法 (branch current method )
1. 支路电流法
23
12 75
不是 回路
5
84
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b (n 1)
平面电路： 各条支路 除结点外 不再交叉。
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基本回路(单连支回路)
6
4
5
2
1
3
基本回路具有独占的一条连支，且这 一连支不出现在其它基本回路中。
3.1 电路的图
1. 电路的图
i
R1
R3
抛开元 件性质
n5 b8
8
1
3
5
R2
R4
2
4
+
_
uS
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
1
3
5
2
4
6
7
6
一个元件作 为一条支路
n4 b6
有向图
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当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的 图以及它的结点数、支路数将随之不同。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路 和结点与电路的支路和结点一一对应。
数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是： 阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。
在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯 堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕 流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥。传说当地居 民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地， 中间不重复。这就是今天的‘一笔画’问题，但在当时没人能 解决。 1736年欧拉发表了图论方面的第一篇论文，解决了 著名的哥尼斯堡七桥难题，他将这个问题变成一个数学模 型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在。对此 类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。
不
是
树
树支：构成树的支路
书P55图3-3 连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的：
bt n 1
连支数： bl b bt b (n 1)
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回路 (Loop)
123 75
6 84
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点 关联2条支路
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同 可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富有
（Network Graph Theory) 趣味和应用极为广泛的一门学科。
A
B
D
C
B
哥尼斯堡七桥难题
A
D
C
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欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为仅包含点、线的拓扑结构
1707年欧拉生于瑞士巴塞尔， 13岁入读巴塞尔大学，15岁大 学毕业，16岁获硕士学位，19 岁开始发表论文，26岁时担任 了彼得堡科学院教授，约30岁 时右眼失明，60岁左右完全失 明，欧拉1783年76岁在俄国彼 得堡去世。在失明后，他仍然 以口述形式完成了几本书和400 多篇论文。
6 5
2
1
3
2 13
结论
支路数＝树枝数＋连支数 Leabharlann Baidu结点数－1＋基本回路数
结点、支路和 基本回路关系
b n l 1
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例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。
1 45
86 3 72
5
86 7
4 86
3
4
8 2
3
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3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
图G的任意两结点间至少有一条路经 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
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(3) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通 (2)包含所有结点 (3)不含闭合路径
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树
第3章 电阻电路的一般分析
重点 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 结点电压法
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线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础
（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性。
欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常 数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的 形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎 整个物理的领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、 航海学等领域。 瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示： “没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不 一样的生活。” 法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人 的老师。
相隔一百年后，在1847年基尔霍夫第一次应用图论的 原理分析电网，从而把图论引进到工程技术领域。20世纪 50年代以来，图论的理论得到了进一步发展，将复杂庞大 的工程系统和管理问题用图描述，可以解决很多工程设计 和管理决策的最优化问题，例如，完成工程任务的时间最 少，距离最短，费用最省等等。
图论受到数学、工程技术及经营管理等各方面越来越 广泛的重视。
(1) 图的定义(Graph)
① G={支路，结点} １
② a. 图中的结点和支路各自是一个整体。
b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立结点存在。
c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
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(2) 路径 （3）连通图
从图G的一个结点出发沿着一些支路连续 移动到达另一结点（或回到原出发点）所 经过的支路构成路径。
2
1
2
1 i1 i4 i6 0 2 i1 i2 i3 0
1 43
3
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3 i2 i5 i6 0 4 i3 i4 i5 0
4
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 n个结点、b条支路的电路, 独立的 论 KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
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3.3 支路电流法 (branch current method )
1. 支路电流法
23
12 75
不是 回路
5
84
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b (n 1)
平面电路： 各条支路 除结点外 不再交叉。
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基本回路(单连支回路)
6
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2
1
3
基本回路具有独占的一条连支，且这 一连支不出现在其它基本回路中。
3.1 电路的图
1. 电路的图
i
R1
R3
抛开元 件性质
n5 b8
8
1
3
5
R2
R4
2
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+
_
uS
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
1
3
5
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6
一个元件作 为一条支路
n4 b6
有向图
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当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的 图以及它的结点数、支路数将随之不同。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路 和结点与电路的支路和结点一一对应。
数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是： 阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。
在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯 堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕 流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥。传说当地居 民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地， 中间不重复。这就是今天的‘一笔画’问题，但在当时没人能 解决。 1736年欧拉发表了图论方面的第一篇论文，解决了 著名的哥尼斯堡七桥难题，他将这个问题变成一个数学模 型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在。对此 类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。
不
是
树
树支：构成树的支路
书P55图3-3 连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的：
bt n 1
连支数： bl b bt b (n 1)
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回路 (Loop)
123 75
6 84
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点 关联2条支路
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同 可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。
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网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富有
（Network Graph Theory) 趣味和应用极为广泛的一门学科。
A
B
D
C
B
哥尼斯堡七桥难题
A
D
C
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欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为仅包含点、线的拓扑结构
1707年欧拉生于瑞士巴塞尔， 13岁入读巴塞尔大学，15岁大 学毕业，16岁获硕士学位，19 岁开始发表论文，26岁时担任 了彼得堡科学院教授，约30岁 时右眼失明，60岁左右完全失 明，欧拉1783年76岁在俄国彼 得堡去世。在失明后，他仍然 以口述形式完成了几本书和400 多篇论文。
6 5
2
1
3
2 13
结论
支路数＝树枝数＋连支数 Leabharlann Baidu结点数－1＋基本回路数
结点、支路和 基本回路关系
b n l 1
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例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。
1 45
86 3 72
5
86 7
4 86
3
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3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
图G的任意两结点间至少有一条路经 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
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(3) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通 (2)包含所有结点 (3)不含闭合路径
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树
第3章 电阻电路的一般分析
重点 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 结点电压法
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线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础
（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性。