第一章 §1 周期变化 §2 任意角

§1周期变化

§2任意角

学习目标 1.理解周期与周期函数的概念.2.了解角的概念，掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．

知识点一周期函数与周期

1．周期函数与周期的概念

一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

2．最小正周期：如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．

思考常数函数是周期函数吗？存在最小正周期吗？

答案根据周期函数的定义知，常数函数是周期函数，但不存在最小正周期．

知识点二角的相关概念

1．角的概念：平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.

其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边．

2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

知识点三象限角

在平面直角坐标系内，使角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，终边在第几象限就是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限．

知识点四终边相同的角

终边相同角的表示

一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．

1．经过1小时，时针转过30°.(×)

2．小于90°的角是锐角．(×)

3．钝角是第二象限角．(√)

4．第二象限角是钝角．(×)

一、函数周期性的应用

例1已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示．

(1)求函数的周期；

(2)求f(7.5)；

(3)写出函数y＝f(x)的解析式．

解(1)由函数y＝f(x)的图象可知周期T＝2.

(2)f(7.5)＝f(4×2－0.5)＝f(－0.5)＝0.5.

(3)当－1≤x≤0时，f(x)＝－x；

当0≤x≤1时，f(x)＝x，

所以当2n －1≤x ≤2n 时，f (x )＝f (x －2n )＝－(x －2n )， 当2n

反思感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．

(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．

跟踪训练1 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当x ∈[－3,3)时，f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

－(x ＋2)2，－3≤x <－1，

x ，－1≤x <3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝______. 答案 338

解析 f (x ＋6)＝f (x )，故函数f (x )是T ＝6的周期函数． f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，

故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝336×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝338. 二、任意角的概念

例2 (多选)下列说法，不正确的是( ) A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．始边相同而终边不同的角一定不相等 C ．钝角比第三象限角小

D ．小于180°的角是钝角、直角或锐角 答案 ACD

解析 A 中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A 不正确； B 中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B 正确；

C 中120°的角是钝角，－100°的角是第三象限角，而120°>－100°，故C 不正确；

D 中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D 不正确． 反思感悟 理解与角的概念有关问题的关键

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正

确只需举一个反例即可．

跟踪训练2经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是() A．60°，720°B．－60°，－720°

C．－30°，－360°D．－60°，720°

答案 B

解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而2

12×360°＝60°，

2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 三、终边相同的角

例3已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．

(1)最小的正角；

(2)最大的负角；

(3)－360°～720°之间的角．

解因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，

即－1 845°角与－45°角的终边相同，

所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，

(1)最小的正角为315°.

(2)最大的负角为－45°.

(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.

反思感悟终边相同的角的表示

(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．

(2)终边相同的角相差360°的整数倍．

跟踪训练3(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于() A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

答案 B

解析角2α与240°角的终边相同，

则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，