反比例函数k的几何意义
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
《反比例函数K的几何意义》教学设计
《反比例函数K的几何意义》教学设计教学目标：1.了解反比例函数的定义及其特点。
2.掌握反比例函数的图像特征和变化规律。
3.理解反比例函数中k的几何意义。
教学重点：1.反比例函数的定义及其特点。
2.反比例函数中k的几何意义。
教学难点：理解反比例函数中k的几何意义。
教学准备：黑板、粉笔、绘图工具、反比例函数相关练习题。
教学过程：Step 1：导入新知1.引入：假设有一个正比例函数y=k/x，其中k为常数，x和y均为实数。
请回顾一下正比例函数的性质以及与直线的关系。
2.提问：那么，如果我们把正比例函数中的比例系数k变成k/x，会有什么不同的效果吗？3.要求学生独立思考并回答问题。
1.反比例函数的定义：反比例函数是指函数y=k/x，其中x≠0，k为常数，x和y均为实数。
2.特点：a.当x>0时，y随着x的增大而减小，与正比例函数相反。
b.当x<0时，y随着x的减小而减小，同样与正比例函数相反。
c.当x=0时，反比例函数无定义。
Step 3：反比例函数图像的绘制1.根据反比例函数的定义和特点，先选择几个不同的k的值，绘制出对应的反比例函数图像。
2.强调图像的特点：从x=1开始，k越大，图像越趋近于y轴；k越小，图像越平缓。
Step 4：反比例函数中k的几何意义1.提问：根据反比例函数的图像特点，我们发现k的大小对图像有何影响？2.学生回答：k的大小决定了反比例函数图像的陡峭程度。
3.引导思考：反比例函数中的k是什么意思？有什么几何意义？4.给出答案：在反比例函数图像上，k即为x轴上的一点的坐标。
5.教师解释：图像上在y轴上的其中一点的横坐标就是k，因此k表示了这个反比例函数相关的两个变量之间的比例关系。
1.教师出示几道反比例函数的相关练习题，要求学生独立完成并讨论。
2.部分学生上台解答题目，其他学生进行评价和讨论。
Step 6：归纳总结1.教师总结：反比例函数是由y=k/x的形式表示的函数，其中k是函数的比例系数，决定了函数图像的特点。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数中k的几何意义
【主干必备】 反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为 世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】 因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应 加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函 数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限 确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】
反比例函数的几何意义
1、定义：一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 (k为变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
2、图像：k>0时，图像在一、三象限，y随x的增大而减小；k<0时，图像在二、四象限，y随x的增大而增大。
k值相等的反比例函数图像重合，k值不相等的反比例函数图像永不相交。
|k|越大，反比例函数的图像离坐标轴的距离越远。
3、k的几何意义
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=±x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
反比例函数图像不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
反比例函数中K的几何含义
的 y k 的图象过点B，则k的值为（ ）
x
y
B
A
Co
x
4.如图,点P是反比例函数
y
k x
图象上的一点,
若矩形OMNP的面积是3，则K=（ ）
y Mo
x
NP
5.如图,点P是反比例函数
y
k x
图象上的一点,
若矩形ONPM的面积是4，则K=（ ）
y
M
x
o
N
P
训练题 6.如图A、B在
y
3 x
4 x
上任意一点，
P是x轴上一点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则
S△ABP=( ).
y
BA
PO
X
如图，A是反比例函数
y 4 x
上任意一点，P是
x轴上一动点，过A作AB⊥y轴，垂足为B,则关于
S△ABP正确的说法是（ ）
y
A、逐渐增大 B、逐渐减小
BA
C、保持不变 D、无法确定
PO
X
1
2、正比例函数y=x与反比例函数y= x 的图象相交于
回顾知识
反比例函数的性质
反比例函数： y
k x(k≠0)
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三 象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减
小；
2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、 四象限内，在每一个象限内，y随x的增大
而增大。
y
x 0
y x
0
归纳：反比例函数既是轴对称图形，又是中
心对称图形，对称轴是直线y=x和y=－x， 对称中心是原点（０,０）
3 x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴
反比例函数k的几何意义
知识讲解1.反比例函数的概念如图所示，过双曲线)0(k≠=kxy上任一点),(yxP作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM∙PN=|y|∙|x|.,yxk=∴||kSkxy==，。
这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。
（请学生思考，图中三角形OEF的面积和系数k的关系。
）2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.例题1函数y=1x-(x>0)的图象大致是( )例题2 函数y=kx+1与函数y=kx在同一坐标系中的大致图象是( )yOxAyO xByOxCyOxD y y y y3.反比例函数y=kx 中k 的意义注意:反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.例题1：如图，P 、C 是函数x4y =（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3.例题1图 例题2图 例题3图例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小： 。
例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k>=xy 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 。
反比例函数中K的几何意义
k 1、点B（-5，-4）在函数y= x 的图像上，则k=
S 2、点B（-4，-5）也在该图像上，则 = 矩形AOCB
S ，
= 矩形AOCB
。
。
S 3、点B(m，n)在函数y= k图像上，则
= 矩形AOCB
。
x
14
k
12
y=
x
10
8
6
4
F
E
2
A
20
15
10
5
O
5
10
15
20
2
B
C
4
6
8
10
归纳总结：
过反比例函数y= 为A，C,则
kx中任意一点B（m，n）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别
归纳总结：S矩形ABCO=|k| |k|
S OEF= 2
练习：如图所示，A是反比例函数图象上一点，过点A 作ABy轴于点B，点P在x轴上， ABP的面积 为2，求反比例函数的关系式。
思考：如何求 ABP的面积？ ABP的面积与 ABO的面积有何关系？
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
0.5
1
1.5
拓展提升2：
如图，过y轴正半轴上的任意一点P做x轴的平行线，分别
与反比例函数y =
4 x
和y
=
2 x
的图像交于A和B，若点C是x
轴上任一点，连接AC,BC，求 ABC的面积。
5.5
5
4.5 4
3.5
A
4 y= x
3
P
B
2
2.5
y= x
反比例函数的K的几何意义教学设计
反比例函数的K的几何意义教学设计教学目标：1.通过探究和解决实际问题，学生能够理解反比例函数y=k/x的策略。
2.学生能够准确描述反比例函数的K的几何意义。
3.学生能够运用反比例函数的K的几何意义解决实际问题。
4.培养学生的观察能力和解决问题的能力。
教学准备：1.班级投影仪和教师电脑。
2.反比例函数PPT和演示文稿。
3.黑板和白板笔。
4.一些实际问题的案例。
教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）1.教师在黑板上解释反比例函数的定义y=k/x，并强调k的作用。
2.教师可以通过简单的实例解释k的意义，例如：y=2/x，当x=1时，y=2；当x=2时，y=1等。
Step 2：几何意义的探索（30分钟）1.教师引导学生思考反比例函数y=k/x的几何意义。
学生可以绘制函数图像，并观察变化。
2.教师提出问题：“当k为正数时，函数图像是什么样子？当k为负数时，函数图像是什么样子？”学生可以通过探索和实例验证答案。
3.教师引导学生找到反比例函数图像上的特殊点，例如：x=0，y=k。
教师解释这个特殊点的意义，即当x无限大或无限小时，y趋近于0，表示k对应的y值是反比例函数的一个特殊点。
Step 3：实际问题的应用（40分钟）1.教师提供一些实际问题的案例，例如：速度与时间的关系、工人的工作效率与工作时间的关系等。
2.学生利用所学的反比例函数的知识，运用k的几何意义，解决这些实际问题。
3.学生分组讨论解决实际问题的方法，并在小组内互相交流思路和解答结果。
4.学生进行小组报告，分享他们的解决方法和思考过程。
Step 4：课堂总结（10分钟）1.教师总结本节课的内容，强调反比例函数k的几何意义的重要性。
2.教师激发学生对数学的兴趣，鼓励学生在日常生活中运用反比例函数的知识解决实际问题。
Step 5：课后延伸（选）1.学生利用k的几何意义，设计其他实际问题的解决方案。
2.学生参加数学竞赛或编写数学问题册子，提出反比例函数相关的问题。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
反比例函数中K的几何意义
,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.求长方形PAOB的面积。
解：S矩形PAOB =OA·.PA
y
= m•n
=k
=
P(m,n) B
o
A
x
1、过反比例函数y k 中,任意一点 x
P(m, n)分别作x轴, y轴的垂线,
垂足分别为A, B,
2、如图，连接OM，则
则S矩形OAPB OA• AP
m•n
PA=( 2 ),S矩形OAPB=（ 6 ）
y
B
P(3,2)
oA
x
yE
2、若E(1，6)也在该图像上，则绿色矩形
面积为（ 6 ）
B
P(3,2)
o
A
x
F（4，-1.5）
3、若F(4，-1.5) 在 y - 6 图像上，则 x
黄色矩形面积为（ 6 ）
例1、如图,点P是反比例函y数
2 x
图象上的一点
⑶若P的坐标是（x，y），则PM=y____,PNx=____
y
平面直角坐标系内任意一点P(x,y)
P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即 y
是
.x
P到y轴的距离是这点横坐标的绝对值即 是
p
N
M
ox
1.如图，点P(3，2)在反比例 函数 y k 图像上
x
则K=( 6 ),过P作PA⊥x轴，
PB⊥y轴,则OA=( 3 ),
已知面积求K值
y
2、若四边形OABC是边长为1的正
方形，反比例函数 y k 的 x
B
A
的图象过点B，则k的值为（ ）
解： S正方形OABC 12 k
Co
x
反比例函数的K的几何意义教学设计
反比例函数的K的几何意义教学设计教学设计：反比例函数的K的几何意义一、教学目标：1.了解反比例函数的特点和性质；2.理解反比例函数中K的几何意义；3.通过几何图形展示反比例函数中K的变化对图像的影响；4.能够根据K的取值判断反比例函数是否为增函数或减函数。
二、教学准备：白板、白板笔、幻灯片、投影仪。
三、教学过程设计：1.导入（10分钟）教师先出示一张幻灯片，上面写有反比例函数的定义和性质，并向学生解释反比例函数的概念和特点，引发学生对反比例函数的兴趣。
然后，教师可以问学生：反比例函数的图像有什么特点？学生可以提出自己的看法。
2.探究（30分钟）让学生自己动手，通过具体的例子来研究反比例函数中K的几何意义。
教师提供几个反比例函数的实例，比如y=k/x，其中K=1，K=2，K=3等等。
然后，让学生根据这些K的值，画出对应的函数图像。
注：在探究过程中，教师可以引导学生思考并回答以下问题：1）当K=1时，图像是什么样的？2）当K>1时，图像是什么样的？3）当K<1时，图像是什么样的？4）当K=0时，图像是什么样的？学生可以通过观察图像的变化，总结出K值与图像的关系。
3.总结（10分钟）教师引导学生讨论，并总结K在反比例函数中的几何意义：1）当K>1时，图像呈现出下降的趋势，K表示图像的陡峭程度；2）当K<1时，图像呈现出上升的趋势，K表示图像的平缓程度；3）当K=0时，图像是一条水平线；4）当K<0时，图像是不连续的。
4.巩固与拓展（30分钟）让学生根据已有的知识，自己解决以下问题：1）反比例函数y=k/x在横轴和纵轴之间是否有一个因果关系？如果有，请给出一个具体的例子说明；2）反比例函数y=k/x中，当K>0时，函数的图像是什么样的？当K<0时，函数的图像又是什么样的？3）反比例函数y=k/x中，当K=1时，函数是否为增函数？当K<1时，函数是否为减函数？学生可以自行思考并回答这些问题。
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与k有关的面积问题
掌握反比例函数k的几何意义，建立模型，应用 ，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路。 模型解决数学问题。
【难点】反比例函数k的几何意义的变式应用
【难点】反比例函数k的几何意义的变式应用 的几何意义的变式应用
模型一： 反比例函数图像与矩形面积积
1、如 图，点 P(m, n) 是反比例函数 y k ( k 0 )图像上一点， x
y3
．
x
3函、数（y20123眉，山函）数如y图 所2 示上，一函点数A，y 过kx点(kA作0) 和
x
x
AM//x轴，交函数
y
k x
图像于点B，点C在x轴
上，若△ABC的面积为3，则k的值为 -4 。
4、（2009.莆田）如图，在平面直角坐标系中，
反比例函数y= k （x＞0）的图象交矩形
x
OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且
6 影面积为1，则S矩形ACGE+S矩BFDG=
。
图像上两点，分别过A、B向x轴，y轴作垂线，若阴影面积为1，则S矩形ACGE+S矩形
BFDG=
。
模型二：反比例函数图像与三k SPAO 2
建立模型 （数形结合）
转化
转化
类
比
转化
转化
一般到特殊
kk
k
2
2
怎样的关系?
2、图2由图1经过
怎样的运动变化?
图1
图2
点P在反比例函数
y4 x
上，PA⊥y轴，M、N为
x轴上两动点，求平行四边形APMN的面积 4
如果点A、 点N在y 轴上运 动，面 积是否 改变？
变式2：如图，已知点A、点B为反比例函数
y4 x
图像上两点，分别过A、B向x轴，y轴作垂线，若阴
BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k的
值3
。
总结提升
反比例函数的面积不变性
拓展模型 巧用模型 应用模型 建立模型
谢谢聆听！
2
k
2
S△BOC S△BOA
k S△COE 2 3
k S△AOF 2 3
k S△BOF S△AOF 2 3
2 分 4分 6分 8分
4
2、（2010.山西）如图，点A是反比例函数图象
上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x
轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，
则这个反比例函数
k PA x 轴， PB y 轴，则 S 矩形 OAPB
y
Pp
o
x
变式1：
如图1，已知点P是反比例函数图像上一点，PM⊥x轴，PA⊥y
轴，若S APMN=4，则k的取值 如图2，点P在反比例函数
-4
y
4 x
。 上，PA⊥y轴，M、N为x轴上
两动点，则S APMN =
。
小组讨论
S
1、S APMN与 k 有