不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

不定积分和微分

-J

、公式 一 f (x)dx f (x)和 f /(x)dx —f (x)dx

dx

dx

注意：f(x)的不定积分为F(x) c F(x)是f (x)的原函数 f (x)是F(x)的导数, 即

f(x)dx F (x) c 或 F ，(x) f (x)

1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，禾U 用两边求导处理

已知 f( (x))dx F(x) c ,求 f(x)

2 2

f (x)dx x c ，求 xf (1 x )dx

2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知 F ，( (x)) f(x)，求 F(x)

方法：令(x) t ,则 x 1(t)，即 F ，(t) f( /(t))，故 F(x) f( /(t))dt

/ 2 2

方法：求导得f ( (x)) F /

(x)，令(x) t ,则x

1

(t)，即 f(x)

/ 1

F (

(x))

f (x) c 的应用

解：对 f (x)dx

x 2 c 求导得 f(x) 2x , f (1

x 2) 2x 2

2

则 xf (1 x )dx

x(2 2x 2)dx x 2

咚 c

(2) xf (x)dx

dx

arcsinx c ，求 ---------

f(x)

解：对 xf (x)dx arcsinx c 两边求导得xf (x)

_1_

一1一X 2

，即 f(x) _1_ X 2

dx

x 1

m 2

1 x 2d(1

"I

3

x 2)2 c

例 2 (1) f (sin x) tan x ,求f (x)

・2

222

sin x 解：令 sin x t ，贝y cos t 1 t ， tan x — cos x

(2)已知 f /( x) x[ f /(x)

1]，求 f (x)

解：令In x t 得x

即

f /(t)

&

两边积分的

f(t)

&dt t

In |t

解：令 x t ，则上式为f '(t) t[f /( t) 1]，即

f /(x)

x[f /( x) 1]

由上面两式得f /(x) 两边积分得f(x)

2x x 2 1

2x

~~2~

x

In (x 2 1) c

(3 )设 f (u)在

内可导，且 f(0)

f (In x)

，求 f(u)

f /(t)

0 e t e t 1

即 f /(t)

1

t

e 2

当 t 0 时，fit)

两边积分得

f(t)

dt

C 1

当 t 0 时，f /(t) t

e 2，两边积分得 f(t)

t

e^dt t

2e 2 C 2

又因为设f(t)在

内可导，所以 f(t)在

内连续

t

而 lim f (t) lim (2e 2 t 0

t 0

C 2)

2 c 2, lim t 0

f(t)

阿(t

x

2

(4 )设 y f(x)在x 处的改变量为

-x o( x) ( x x

0)，y(0)

1，求

y /

(1) 解：由 y x o(

x)

即巴

_dx

y 1

两边积分得 dy y

dx 1 x

In

ln(1 x)

而 y(0) 1

0，即

/

(1)

(5)设 f (x) sin t dt ， t 0 f(x)dx

解： f (x)dx 0

xf ( x) |0

xf /

(x)dx

xsin x , dx 0 x

「sinxdx

二、已知F(x)是f (x)的原函数

F /(x)

f(x)

f (x)dx F(x)

，求被积函数中含有 f ( c

(x))的

积分 1、由f(x) F /(x)求出f(x)，代入积分计算 2、把积分转化为 f( (x))d( (x))的形式，利用 f (x)dx F (x) c 求值 sin x

例3( 1) 是f (x)的原函数，a x

sin x 解：因为

是f(x)的原函数，所以

x f(ax) _ axt 1 dx 2

a a

0,求 f(x)dx f (ax) dx a sin x

c x Si nt f (t)dt 2 a t (2)e x 是 f(x)的原函数，求 x 2 f (Inx)dx

sin ax c

— a x

解：因为 f(x) (e x )/ e x ，所以 f (In x)

2

x 贝U x f (ln x)dx xdx

c