莫尔应力圆
应力莫尔圆(课堂PPT)
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1
三轴试验莫尔应力圆画法
三轴试验莫尔应力圆画法三轴试验莫尔应力圆画法是由奥地利地质学家莫尔爵士于1862年首先提出的一种经典的力学分析方法。
它是研究岩石和土壤力学性质的基础。
三轴试验是通过向试样施加不同的压力来研究材料的力学性质。
这种试验通常是在实验室环境下进行的。
试验装置包括一个气压或水压马达，用于施加垂直于试样顶部的压力。
通过对试验数据的分析，可以将应力状态转换为一个圆形轴载状态，称为莫尔应力圆。
在三轴试验中，试样被置于一个保持恒定应力状态的装置中。
然后通过改变施加在试样上的应力大小和方向来对试样施加压力。
试样最多可以承受三个压力：垂直于样品顶部的主压力，垂直于样品底部的副压力以及在两个侧面施加的轴向压力。
根据三轴试验的结果，可以得出应力状态的三个参数：主应力（或最大应力）、次应力（或中等应力）和剪应力（或最小应力）。
这三个参数确定了材料所处的应力状态。
莫尔应力圆是通过将主应力和剪切应力绘制在平面上，并使其形成一个圆的方式来表示这种状态。
莫尔应力圆的画法起始于选择一个坐标系，通常是水平的x和y坐标轴。
然后主应力和剪应力被绘制在这些坐标轴上：在这个图中，应力的最高点表示主应力σ1，最低点表示剪应力τ。
试样周围的其他三个顶点代表主剪应力状态。
通过连接这些顶点，画出一个正方形，其边界代表试样所处的力学状态。
为了得到与试样状态更接近的圆形图案，需要作出如下改进：尤奇然圆心沿尤圆心各个方向绘制刻度线连接刻度线上相同切效态下τ的点，可以得到莫尔圆的形状。
莫尔应力圆具有很高的实用价值。
它不仅可以提供岩土工程方面的理论基础，还可以用于解释和分析地质灾害和矿产资源开发等方面的问题。
此外，它还可以应用于深海海底油气勘探过程中的各种应力条件下试样的力学特性分析。
产值的调查和保守利用的要求。
莫尔应力圆(课堂PPT)
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特 例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在 （σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔圆
莫尔圆-莫尔圆莫尔圆-正文在应力（或应变）坐标图上表示受力（或变形）物体内一点中各截面上应力（或应变）分量之间关系的圆。
表示应力的称为应力莫尔圆；表示应变的称为应变莫尔圆。
以平面应力为例说明二维应力莫尔圆的性质：受力物体内某一截面上的正应力σ和剪应力τ都是该截面法线与最大主应力σ1夹角θ的函数，可以分别用公式表示为式中σ1和σ2为两个主应力。
这两个关系式也可以用莫尔圆上N点的坐标值（见图）来表示，N点与σ1夹圆心角为2θ。
当(σ1和σ2为已知时, 用公式法或莫尔圆法都可获得通过该点的任一截面上的正应力和剪应力值。
莫尔圆法的操作是：取σ为横坐标，τ为纵坐标，在横坐标上分别取量值为σ1和σ2的两点,取两点间的中点为圆心作圆，则此圆的圆心坐标为，圆半径值为。
如果欲知道法线与σ1夹角为θ的截面上的正应力和剪应力，可从σ1开始，量得圆心角为2θ而获得N点,则N点的横坐标恰好为该截面上的正应力值，N点的纵坐标恰好为该截面的剪应力值。
N点的横坐标值等于圆心的横坐标值加上半径值与cos2θ之积，即，与公式的结果一样；N点的纵坐标值等于半径值与sin2θ之积，即，与公式的结果也一样。
改变θ角就可以获得任意截面上的正应力与剪应力值。
当 2θ=90°或270°时，其最大的纵坐标值即，它表示法线与最大主应力分别夹45°和135°的截面上剪应力最大,但两者有相反的符号。
当2θ=0或者180°，恰好是σ1和σ2两点,这两点的纵坐标值为零, 表示主应力作用面上没有剪应力，而且σ1与σ2之间夹角θ=90°，即彼此永远垂直。
莫尔圆莫尔圆法方便而且直观,是变形分析的良好工具,从而在地质研究中得到广泛的应用。
与此同时应变莫尔圆也为应变分析提供了方便。
三维莫尔圆可以分析物体内三维空间任意截面上的应力或者应变关系。
应变莫尔圆以及三维应力（或应变）莫尔圆都是以二维应力莫尔圆为基础建立的，它们与二维应力莫尔圆的分析方法类似。
3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程
10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1： 应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力 达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2
莫尔应力圆
莫尔应力圆
莫尔应力圆是一种应力分析的图表，由英国工程师威廉·莫尔于1885年提出。
它可以帮助
我们确定各种应力和变形的关系，从而更好地理解材料的力学性能。
莫尔应力圆是一个椭圆，它由三条曲线组成，分别是弹性极限曲线、屈服曲线和破坏曲线。
它的坐标轴分别为应力和变形，可以用来表示材料的弹性极限、屈服点和破坏点。
莫尔应力圆可以帮助我们判断材料在不同应力下的行为，以及材料在极限状态下的变形量。
它是研究材料力学性能的重要工具，广泛应用于工程领域。
莫尔应力圆公式推导
莫尔应力圆公式推导莫尔应力圆是材料力学和土力学中一个非常重要的概念，对于理解材料或土体在复杂应力状态下的强度和变形特性具有关键作用。
接下来咱们就一起好好推导一下这个莫尔应力圆公式。
先来说说啥是莫尔应力圆。
想象一下，咱们有一个物体，它内部各个点都受到不同方向和大小的力，这些力综合起来就形成了复杂的应力状态。
莫尔应力圆就是一种能把这种复杂应力状态直观表示出来的工具。
咱从最基础的开始，假设一个平面内有两个互相垂直的主应力，分别是σ₁和σ₃（σ₁ > σ₃）。
还有一个与主应力方向夹角为α 的斜截面上的正应力σ 和剪应力τ 。
根据应力平衡原理，能得到正应力σ 的表达式：σ = (σ₁ + σ₃) / 2 + (σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α 。
剪应力τ 的表达式是：τ = (σ₁ - σ₃) / 2 × sin 2α 。
为了方便推导莫尔应力圆，咱们把上面两个式子变形一下。
令 x =σ ，y = τ 。
先把正应力的式子变形：σ - (σ₁ + σ₃) / 2 = (σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α 。
然后两边平方：[σ - (σ₁ + σ₃) / 2]² = [(σ₁ - σ₃) / 2 × cos 2α]² 。
再把剪应力的式子变形：τ / [(σ₁ - σ₃) / 2] = sin 2α 。
两边平方：τ² / [(σ₁ - σ₃)² / 4] = sin² 2α 。
因为cos² 2α + sin² 2α = 1 ，所以把上面两个平方后的式子相加：[σ - (σ₁ + σ₃) / 2]² + τ² / [(σ₁ - σ₃)² / 4] = 1 。
整理一下，就得到了莫尔应力圆的方程：(x - (σ₁ + σ₃) / 2)² + y² = [(σ₁ - σ₃) / 2]²。
应力莫尔圆公式推导
应力莫尔圆公式推导应力莫尔圆公式是应用于材料力学领域的一种重要公式，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。
应力莫尔圆公式的推导是基于材料的应力变形关系和平衡条件的基础上进行的。
我们需要了解一些基本概念。
在材料力学中，应力是指单位面积上的力。
应力分为正应力和剪应力两种，正应力是垂直于某个截面的力在该截面上的投影与该截面的面积之比，剪应力是相邻两个平行截面上的力之间的比值。
根据应力分析的原理，我们可以得到应力莫尔圆公式。
设某一平面上的正应力为σ，剪应力为τ，该平面的方向与x轴的夹角为θ。
根据三角函数的性质，可以得到该平面上的应力分量为σx = σcos^2θ，σy = σsin^2θ，τxy = σsinθcosθ。
根据平衡条件，我们可以得到该平面上的剪应力方向与主应力方向之间的关系。
设该平面上的剪应力方向与x轴的夹角为α，则有τxy = τcos(α - θ)。
根据三角函数的性质，我们可以得到τxy = (σx - σy)sinαcosθ - τ(cos^2θ - si n^2θ)cosα。
根据应力分量的定义，我们可以得到σx - σy = σ(cos^2θ - sin^2θ)。
将其代入上式，得到τxy = 2σsinαcosθ。
这是应力莫尔圆公式的一般形式。
根据应力莫尔圆公式，我们可以得到一些重要的结论。
首先，当剪应力为零时，应力莫尔圆退化为一个圆心在主应力方向上的圆。
其次，当剪应力不为零时，应力莫尔圆的圆心不在主应力方向上，而是偏离主应力方向一定角度。
最后，当剪应力方向与主应力方向重合时，应力莫尔圆退化为一个直线。
应力莫尔圆公式的推导过程相对简单明了，但其应用却非常广泛。
通过应力莫尔圆公式，我们可以对材料在复杂应力状态下的应力进行准确的分析和计算，进而指导工程实践中的设计和施工。
应力莫尔圆公式是材料力学中的重要工具，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。
通过对应力莫尔圆公式的推导和分析，我们可以更好地理解和应用这一公式，为工程实践提供准确的力学分析依据。
莫尔应力圆
2 这表明：在σ 3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa。 故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁
A
Φ D C WYE IYF
s
面粗糙时， WYF与
Christian Otto Mohr (1835-1918)
2、研究内容 研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1）主应力与主应力面
2）主应力相互正交 3）任意一面上：正应力和剪应力 一点应力状态的表示方法：？？？
◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜 面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关 系。 取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合 力为零。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τ f=f(σ )，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。 库仑定律是莫尔强度理论的特
例。此时莫尔破坏包线为一直
线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KP 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时， 最大主应力与最小主应力之比。被动态应 力σP与主动态应力σA之比等于
应力摩尔圆
应力摩尔圆，应力场，均匀应力场，非均匀应力场，应力莫尔圆，应变，位移，变形，伸长度，均匀变形和非均匀变形，连续变形，不连续变形，应变椭球体，递进变形，弹性，粘性，塑性，脆性，滞弹性，屈服应力，各向异性，岩石的能干性，面理，劈理，劈理域，微劈石域，褶劈理，轴面劈理，劈理折射，线理应力摩尔圆:由上述两式平方和 得到：[σ －(σ1+σ2) / 2 ]2 + τ2 = [(σ1-σ2) / 2]2该式表示以σ为横坐标轴和τ为纵坐标的直角坐标系中的一个圆的方程式，这个圆称为应力莫尔圆。
应力场：物体内各点的应力状态在物体内占据的空间的总体均匀应力场：各点应力状态相同的应力场 。
非均匀应力场：各点应力状态不相同的应力场 。
应变：是物体变形程度的度量，即物体形状和大小的改变量。
位移：变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的位移，从而使岩石体的初始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常称为变形。
伸长度：均匀变形：变形前后物体各部分的变形性质、方向和大小都相同的变形，即为均匀变形。
非均匀变形：变形前后物体各部分的变形性质、方向和大小都有变化的变形，即为非均匀变形。
连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，称为连续变形。
不连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是 突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续变形。
应变椭球体：以椭球体的形态和方位来表示岩石的应变状态，该椭球体称为应变椭球体。
递进变形：物体从初始状态通过一系列无限小应变积累而达到的最终状态。
我们把变形过程中应变状态发生连续变化的这种变形，称为递进变形。
弹性变形：指物体在外力作用下变形，当外力除去后物体能完全恢复原状。
具有这种性能的物体称为弹性体，它的变形称为弹性变形。
0001l ll l l ∆=-=ε非理想弹性体的变形：受力不立即产生全部弹性变形，而是随着时间的延长逐渐增大弹性变形到应有的值；当撤除外力后，也不立即恢复原状，而是随时间延长逐渐恢复原状。
应力莫尔圆
(
1
2
)2
2
(
1
2
)2
2
2
应力莫尔圆的概念与特点(以双轴应力状态为例)
以横坐标代表正应力，纵坐标代表剪应力，建立
－ 坐标系，一点的应力状态在该坐标系中可以表
示为一个圆的方程
(
1
2
)2
2
(
1
2
)2
2
2
这个圆就是该点的应力莫 尔圆，圆上某点的坐标
T A( , )
应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例在双轴应力状态下以材料内部任意考察点为中心体积微小的立方体内法呈夹角的任意截面上所受正应力与剪应力示意图作用的情况下任意截面上同时考虑21消除可以得到应力莫尔圆方程应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例以横坐标代表正应力纵坐标代表剪应力建立坐标系一点的应力状态在该坐标系中可以表示为一个圆的方程平面应力状态的应力莫尔圆这个圆就是该点的应力莫分别代表法线与最大主应力轴呈夹角的那个截面上所受到的正应力与剪应力
T A( , )
等于1＋2；
N
O
（3）最大剪应力作用在与
C2
M
B
最大主应力轴呈45和135
A
的两个截面上。
双轴应力状态的应力莫尔圆
2008年5月12日汶 川地震造成的映秀 璇口中学校舍墙壁 上的X型剪切破裂 破裂受制于两组最 大剪应力作用面
（据嵇少丞，2009）
安徽省巢湖市平顶山东南侧下三叠 统殷坑组泥灰岩中X型剪节理
（，）分别代表法线与 最大主应力轴1呈夹角 的那个截面上所受到的正
N O
C2
M
B
应力莫尔圆的相关理论
B1D1 2t x tg (-2a 0 ) = = CB1 (s x - s y )
再根据应力圆判断α0的合理范围
t
σ2
o
D1
由此可定出主应力s1 所在平面的
A2
sy
B2 C
位置。由于A1A2 为应力圆的直径, 则s2
所在的另一主平面与s1 所在的主平面垂 直。
B1
A1
s
D2
2
αo
σx
σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa ,
(b)
B2 C
B1 s
τy
σy
σx τx
τy
σx τx
σy
t
该圆的圆心 C 点到 坐标
原点的 距离为
(b)
D1
sx +s y
2
o
2 +tx
B2 C sy D2 sx
B1 s
半径为
(
s x -s y
2
)
2
该圆就是相应于该单元体
应力状态的应力圆
D1 点的坐标为 ( sx , tx ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力 。
a 0 = -19.3
a 0 = -19.30
s1
主平面及主应力如图所示。
(122.5 , 64.6)
D1
A2
τy
s A1
σ3 σx
B2
O C
2α 0
B1
σx τx
τy
D1 (0 , - 64.6)
τx σ1
α0
单轴拉伸莫尔应力圆
单轴拉伸莫尔应力圆
一、啥是单轴拉伸莫尔应力圆
嘿，同学们！咱们来聊聊单轴拉伸莫尔应力圆这个有趣的家伙。
简单来说，单轴拉伸莫尔应力圆就是一种能帮助我们直观理解材料在单轴拉伸状态下应力状态的工具。
就好比我们有个神秘的小圈圈，通过它就能搞清楚材料内部的受力情况。
二、单轴拉伸莫尔应力圆咋画
这可有点小技巧啦！咱们先确定几个关键的参数，比如正应力和剪应力。
然后呢，根据一定的数学公式和规则，在坐标图上画出这个圆。
画的时候可别马虎，要仔细算好每个点的位置，不然画出来的圆可就不准啦，那咱们就没法准确分析材料的受力啦。
三、单轴拉伸莫尔应力圆的用处
这用处可大了去啦！比如说，在工程设计中，我们可以通过它来判断材料是否会在特定的拉伸条件下发生破坏。
要是应力圆超过了材料的强度极限，那可就得小心啦，这说明材料可能要出问题。
另外，它还能帮助我们优化材料的设计，让材料在受力时更加稳定可靠。
怎么样，同学们，单轴拉伸莫尔应力圆是不是很神奇呀！。
第5章A-应力莫尔圆
A (80, 30)
3、算出主应力、切应力极值
s3 sx
D
C
s y s1
O
s
s s
1 3
0C
R
10MPa 90MPa
max - min R 50MPa
B 4、算出方位角
A (80, 30)
ACD arc tg AD 36.86 DC
s3 s y
s
x
s
2
y
sin 2a
xy
cos 2a
a
a
OE OC EC
s
x
s
2
y
R cos[180o
(
2a
2a 0
)]
0
s
x
s
2
y
R cos(
2a
2a 0
)
n D( sa , a)
x
2a
A(sx ,xy)
E
C
2a0 sa
B(sy ,yx)
s
x
s
2
y
R(cos
2a
cos 2a0
sin 2a
sin 2a0
)
s
x
a
max
y
s1
s2
s3
s2
s3
x
z 图a
sa
s1
图b
（1）弹性理论证明,图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
max
s
1s
2
3
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）
y
总应力莫尔圆与有效应力莫尔圆
总应力莫尔圆与有效应力莫尔圆
总应力莫尔圆和有效应力莫尔圆是岩土力学中常用的两个概念。
总应力莫尔圆和有效
应力莫尔圆描述了土壤或岩石中的应力状态，它们是从两个不同的角度来描述相同的应力
状态。
总应力莫尔圆是描述土壤或岩石中任意一点的全应力状态的图形。
在二维应力状态下，总应力莫尔圆通常由两个彼此相切的圆所组成。
这两个圆的直径表示水平应力和垂直应力
的大小，其中较小的圆表示垂直应力，较大的圆表示水平应力。
总应力莫尔圆是描述土壤或岩石中应力状态的基础。
岩石或土壤中的应力状态是由各
种因素决定的，如地下水位的位置、结构荷载、自重、地震等。
这些因素可能导致不同的
应力状态，而总应力莫尔圆充分地描述了这些应力状态。
有效应力莫尔圆的大小和位置取决于地下水位和重要结构荷载的变化。
在低水位下，
有效应力莫尔圆通常与总应力莫尔圆相似，因为此时有效应力等于总应力。
所以有效应力
莫尔圆和总应力莫尔圆的圆心和直径都相同。
但随着水位上升，有效应力圆将缩小并向原
点移动。
平面应变状态的应力莫尔圆是
平面应变状态的应力莫尔圆是平面应变是指在平面内的应变状态，即在一个平面内的应变指标。
在二维平面内，应变有两个独立的分量：正应变(εxx)和剪应变(γxy)。
正应变是物体在垂直于某个固定方向上的伸长（或压缩），而剪应变是物体在不平行于该方向的面上的相对滑移。
平面应变状态的应力莫尔圆是一种常用的图解方法，用于表示平面应力态下的应力分布、最大正应力、最小正应力以及剪应力方向和大小等信息。
应力是物体内部的力，它可以分为正应力和剪应力。
正应力是作用在物体的垂直于某个平面上的力，剪应力是作用在物体的平行于某个平面上的力。
应力莫尔圆是用来表示平面内应力状态的一种图解方法。
它建立在应力变量和几何坐标之间的对应关系上，可以将平面内的应力状态用一个圆形来表示。
应力莫尔圆的基本原理是，对于给定的应力分布，可以通过变换坐标系的方式将平面内的应力转化为一个圆形的形式来表示。
这个圆形被称为应力莫尔圆。
应力莫尔圆的圆心代表了平均应力状态，圆的半径代表了剪应力的大小，圆的半径越大，剪应力越大。
圆的直径表示了最大正应力和最小正应力的和。
圆的直径越大，最大正应力和最小正应力的差距越大。
根据应力莫尔圆的特性，可以得出以下几个重要的结论和应用：1.最大剪应力和最小剪应力的方向是沿着应力莫尔圆上的两个切线。
这意味着在给定平面内的任意一个点，剪应力的方向是沿着切线的方向。
2.最大正应力和最小正应力的方向是与应力莫尔圆的径线垂直的方向。
这意味着在给定平面内的任意一个点，正应力的方向是与径线垂直的方向。
3.最大剪应力和最小剪应力的大小可以通过应力莫尔圆的半径来确定。
4.最大正应力和最小正应力的大小可以通过应力莫尔圆的直径来确定。
直径等于最大正应力和最小正应力的和。
5.应力莫尔圆可以用来计算平面内的应力分量，如正应力和剪应力的大小和方向。
应力莫尔圆的应用非常广泛。
它可以用来解决许多与平面应变相关的问题，如结构力学、材料力学、岩石力学和土壤力学等。
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f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
3.5.1 詹森（Janssen)公式
4
D2 zz
4
D2B gz
4
D2 ( zz
yy pP* (1 sini ) cБайду номын сангаасcoti
P
1 sin i 1 sin i
yy
2c cosi 1 sin i
P
1 sini 1 sin i
yy
1 sini 1 sin i
B gy
KP B gy
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
2 w w
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点：
2 w 180o ( w ) Rsin psin R p sini sin sin
sin i
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态 朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力 1 p (1 sini ) c cot i 最小主应力 3 p (1 sini ) c cot i
xx p R cos 2 c cosi p (1 sini cos 2 ) ccoti
把看成参数，能否找到 与 的函数关系？
①莫尔圆是一种作图法 ②将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后 可得一圆的方程。该圆即为莫尔应力圆。
Mohr 1835 年生于德国， 16 岁入 Hannover 技术学院学习。毕业后，在铁路工作，作为结构工 程师，曾设计了不少一流的钢桁架结构和德国一些 最著名的桥梁。他是 19 世纪欧洲最杰出的土木工 程师之一。与此同时， Mohr也一直在进行力学和 材料强度方面的理论研究工作。 1873 年 , Mohr 到德累斯顿 (Dresden) 技术学院任教，直到1900 年他 65 岁时。退休后 , Mohr留在德累斯顿继续 从事科学研究工作直至 1918 年去世。
3.5 粉体应力计算
3.5.1 詹森（Janssen)公式
液体容器：p h 同一水平面压力相等，帕斯
卡定理和连通器原理成立 粉体容器：完全不同。假设： （1）容器内粉体层处于极限应力状态 （2）同一水平面的铅垂压力相等，水平和垂直 方向的应力是主应力 （3）物性和填充状态均一，内摩擦因数均一
3.5 粉体应力计算
2、研究内容
研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。 1）主应力与主应力面 2）主应力相互正交 3）任意一面上：正应力和剪应力 一点应力状态的表示方法：？？？
◇任意斜面上的应力 在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜
面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关 系。
莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应 面上的应力状态。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特 例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
KA
1 1
sin i sin i
KA－朗肯主动应力系数，简称主动态系数
Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时， 最小主应力与最大主应力之比
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
P pP* (1 sin i ) c cot i
3.2 莫尔-库仑定律
Molerus Ⅰ类粉体：初始抗剪强度为零的粉体 Molerus Ⅱ类粉体：初始抗剪强度不为零，但与
预压缩应力无关的粉体 Molerus Ⅲ类粉体：初始抗剪强度不为零，且与
预压缩应力有关的粉体，内 摩擦角也与预应力有关
C C
总结
⑴粉体的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变
把莫尔应力圆与库仑抗 剪强度定律互相结合起来。 通过两者之间的对照来对粉 体所处的状态进行判别。把 莫尔应力圆与库仑抗剪强度 线相切时的应力状态，破坏 状态—称为莫尔－库仑破坏 准则，它是目前判别粉体(粉 体单元)所处状态的最常用或 最基本的准则。
根据这一准则，当粉体 处于极限平衡状态即应理 解为破坏状态，此时的莫 尔应力圆即称为极限应力 圆或破坏应力圆，相应的 一对平面即称为剪切破坏 面（简称剪破面）。
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态
τ-σ线为直线b： 临界流动状态/流 动状态
τ-σ线为直线c： 不会出现的状态
3.2 莫尔-库仑定律
① 莫尔圆Ⅰ位于破坏包络线 IYF的下方 ，说明该点在任 何平面上的剪应力都小于极 限剪切应力 ，因此不会发生 剪切破坏；
Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法 （所以应力圆也被成为 Mohr 圆），并将其扩展到 三维问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。 Mohr 对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度 的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移 等。
Christian Otto Mohr (1835-1918)
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的 剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz
yx yy yz zx zy
② 莫尔圆Ⅱ与破坏包络线 IYF相切 ，切点为 A ，说明 在 A 点所代表的平面上，剪 应力正好等于极限剪切应力 ， 该点就处于极限平衡状态。 圆Ⅱ称为极限应力圆；
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
KP
1 sin i 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时，
最大主应力与最小主应力之比。被动态应
力σP与主动态应力σA之比等于
P K P (1 sini )2 A K A 1 sini
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态 朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
【解】用四种方法计算。
⑴σ3、Φ、c→σ1：
1
3
tan2
(45
)
2
30
tan 2
60
90kPa
100kPa
这表明：在σ3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa。
故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体： C C t
粉体在壁面处的滑移
yy p*A(1 sini ) c coti
A
1 1
sin i sin i
yy
2c cosi 1 sin i
c=0
A
1 sin i 1 sini
yy
1 sin i 1 sini
B gy
K AB gy
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
⑷如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏，可得几 个莫尔极限应力圆，这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出，库仑 强度包络线可视为一直线。
⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
【例题】某砂土地基的ф=30°，C=0，若在均布条形 荷载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa ，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）
2
2
1 3 sin 2
2
◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加，整理得
( 1 3 )2 2 (1 3 )2
2
2
在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个 圆，圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半 径为(σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。
f tan
f tan c
⑵粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪 强度所致(τ＝τf)；
⑶破裂面不发生在最大剪应力作用面(a =45°，该面上的抗剪
强度最大)上，而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上 ，即与大主应力面成交角的斜面上。0 45 / 2
zz