重庆大学线性代数答案
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习题一解答
1、 填空 （3）设有行列式
2
3
1
1
1
8700123456
4021103152----=D 含因子453112a a a 的项
为 答：144038625)
1(54453123123
-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 或018605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a
（5）设
3
28
8
1
4412211111)(x x x x f --=
，0)(=x f 的根为
解：根据课本第23页例8得到)2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f
0)(=x f 的根为2,2,1-
（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式1
3
2
213
321x x x x x x x x x =
解：根据条件
)
)()((3213x x x x x x q px x ---=++，比较系数得到
0321=++x x x ，
q x x x -=321；再根据条件q px x --=131，q px x --=232，q px x --=33
3；
原行列式=-++33323
1
x x x =3213x x x 033)(321=+-++-q q x x x p
（7）设 )
(32
1
4
214314324321iJ a D ∆==
，则44342414432A A A A +++=
解：44342414432A A A A +++相当于)(iJ a ∆中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.
（8）设)
(iJ a c d
b
a
a c
b d a d b
c
d c b a D ∆==
，则44342414A A A A +++=
解 将D 按第四列展开得到44342414cA aA aA dA +++=c
d
b
a a c
b d
a d
b
c
d c b a ，第
四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以
44342414A A A A +++=0.
=a ，
b b b b b b b b b b nn n n n
n =Λ
ΛΛΛΛΛΛ2
12222111211，则
1112121222121111211112121222212221
212000000000
m m m m mm m n m n n n nm n n nn
a a a a a a a a a D a
b
c c c b b b c c c b b b c c c b b b =
=L L L L L L
L
L
L
L
L
L L L L L L L L L L L L L L L L
L
； 111212122212211121111212122221222121
2000000000(1)m m m m mm
mn n m n m n n nn
n n nm
a a a a a a a a a D a
b b b b
c c c b b b c c c b b b c c c =
=-L L L L L L
L
L
L
L
L
L
L L L L L L L L L L L L L L L
L
证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：
1112121
22
212m m
m m mm a a a a a a a a a a =
L L
L L L L L
=121
2
120
00
m
m m a a a a a a '''L L
L L L
L
L =12m a a a L
行列式12D D ，的变换和行列式a 的变换完全相同，同样假设行列式1D 变成
1
2121211121111212122221222121
2
00
000000000m m m m n m n n
n
nm
n n nn
a a a a a a c c c
b b b
c c c b b b c c c b b b ''''''''''''L
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L
23a a L L L
第1次按第1行展开(变成第1行)第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开
12m
a a a L 111212122212n n n n nn
b b b b b b ab
b b b =L L L L L L L