求曲边梯形面积的公式是什么
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一元函数积分学第2-5节定积分
把区间 [a, b] 分成 n个
小区间 [ xi-1 , xi ]，
y
长度为 D xi xi - xi-1;
(2) 近似替代
在每个小区间 [ xi-1 , xi ]
上任取一点 xi，
o a b x1 x2 xi-1xixi xn-1
x
以 [ xi-1, xi ]为底，f (xi ) 为高的小矩形面积为 Ai f (xi )Dxi
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
(a < b)
证 - f (x) f (x) f (x),
b
b
b
- a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明：| f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然的.
则对于每一个取定的 x值，定积分都有一个对应值，
所以它在 [a, b]上定义了一个函数，
记为：
故 a a2 - x2 dx a 2
0
4
a
表示半径为 a 的圆面积的四分之一(第一象限部分)
用上述方法求定积分只适用于特殊情形,
一般情形,需另谋出路 —— 牛—莱公式
四、定积分的性质 和牛顿—莱布尼茨公式
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b
b 时， a
f
在区间[a, b]上至少存在一个点x ，
使
f
(x)
b
1 -
a
b
a
f
(
x)dx,
5.1 定积分的定义
的一个矩形的面积。
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
定积分
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
O
2 1 4
(2) (cos x sin x)dx;
0
4
1 (3) (2 x 2 )dx; 1 x
3
1 (4) ( x 4 )dx; 1 x
2 2
(5)
0
(cos x e x )dx.
先化简再求定积分
3.计算下列定积分：
2 x 2 (1) sin dx; 0 2
b a b a a b
性质1： a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx. 性质2： a kf ( x )dx k a f ( x )dx.
b c b a a c b b
b
b
b
可推广到多项
性质3： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx.
a
b
x
b
f ( x)dx ． ，
a f
b
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x
a f
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x)dx。
yf (x)
定积分的几何意义
f x 既有正值又有负值时，
151曲边梯形的面积
16
可以从数值
32
上可以看出
64
这一变化趋
128
势
256
512
0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41
1024
0.332 845 21
2048
0.333 089 23
可以是该区间内任一点的函数值
练习
求直线x 0, x 2, y 0与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积.
小结
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业
导学测评 （六）
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
S
lim n
n i 1
ba n
f
xi
练习
1.
当n很大时，函数
f (x)
x2
在区间
i
Hale Waihona Puke n1,i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f
(
1 n
)
B.
f
(2) n
C.
f
(
i n
)
D. f 0
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于 f (xi )(xi xi , xi1 )
O 12 nn
y x2
y x2
k n
nx
12
n
nn
k n
nx
n
09曲边梯形面积与定积分
每个区间的长度为 x i n i 1 n 1 n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
第一节 定积分的概念和性质_1
b b b
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
求曲边梯形的面积详解
ba n
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
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深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
y x2
o
1x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
曲边梯形的面积
3.3定积分的概念与性质、计算(一)
0
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
简述曲边梯形面积的步骤
简述曲边梯形面积的步骤介绍曲边梯形是一种具有一个或多个曲边的梯形，它的特点是上底和下底平行，但是两侧的高度不同。
计算曲边梯形的面积需要一些特殊的步骤和公式。
本文将详细介绍曲边梯形的定义、性质以及计算面积的步骤。
定义和性质曲边梯形是具有不同高度的两个平行底边的四边形。
它的两侧边曲线相连，形成一个梯状的边界。
曲边梯形拥有以下性质：1.两个底边长度分别为a和b，上底a大于下底b；2.两个高度分别为h1和h2，其中h1大于h2；3.两个底边与两个高度的夹角分别为α和β。
计算面积的步骤计算曲边梯形的面积需要先计算梯形的面积，然后减去两个三角形的面积。
步骤1：计算梯形的面积梯形的面积可以通过上底和下底的长度以及高度来计算。
公式如下：梯形面积 = (上底 + 下底) × 高度÷ 2步骤2：计算上底和下底之差上底和下底的长度之差可以通过两侧边高度差和夹角α、β来计算。
公式如下：上底 - 下底 = (h1 - h2) × tan(α) + (h1 - h2) × tan(β)步骤3：计算两个三角形的面积曲边梯形的两个三角形分别位于上底和下底两侧。
计算每个三角形的面积可以使用以下公式：三角形面积 = 底边长度× 高度÷ 2分别计算上底和下底两侧的三角形面积。
步骤4：计算曲边梯形的面积使用步骤1计算的梯形面积减去步骤3计算的两个三角形的面积即可得到曲边梯形的面积。
示例为了更好地理解计算曲边梯形面积的步骤，我们来看一个具体的示例。
假设有一个曲边梯形，上底长度a = 12cm，下底长度b = 8cm，上底高度h1 =6cm，下底高度h2 = 4cm，夹角α = 30°，夹角β = 45°。
步骤1：计算梯形面积梯形面积= (12 + 8) × 6 ÷ 2 = 60cm²步骤2：计算上底和下底之差上底 - 下底 = (6 - 4) × tan(30°) + (6 - 4) × tan(45°) ≈ 1.309cm步骤3：计算两个三角形的面积上底两侧三角形面积= 1.309 × 6 ÷ 2 ≈3.927cm² 下底两侧三角形面积= 1.309 × 4 ÷ 2 ≈ 2.618cm²步骤4：计算曲边梯形的面积曲边梯形面积 = 60 - 3.927 - 2.618 ≈53.455cm²总结计算曲边梯形面积的步骤包括计算梯形面积、计算上底和下底之差、计算两个三角形的面积，并最后减去两个三角形的面积得出曲边梯形的面积。
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积（最新版）目录1.引言2.抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积的计算方法3.实际应用案例4.结论正文1.引言在数学领域，求解曲边梯形的面积一直是一个具有挑战性的课题。
尤其是在曲边梯形的曲边为抛物线弧段时，计算其面积更为复杂。
本文将介绍一种计算抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积的方法，并通过实际应用案例进行说明。
2.抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积的计算方法计算抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，首先需要确定抛物线的方程。
假设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），则可以通过积分来求解该抛物线弧段的面积。
设抛物线上两点的坐标分别为 (x1, y1) 和(x2, y2)，则抛物线弧段的面积可表示为：面积 = ∫[a(x^2 + bx + c) - (x^2 + bx + c)] dx | x1 到 x2化简得：面积 = (ax1^2 + bx1 + c - ∫[ax1^2 + bx1 + c] dx) - (ax2^2 + bx2 + c - ∫[ax2^2 + bx2 + c] dx)通过求解不定积分，可以得到：面积 = (ax1^2 + bx1 + c - (ax1^2 + bx1 + c)/2) - (ax2^2 + bx2+ c - (ax2^2 + bx2 + c)/2)化简得：面积 = (ax1^2 + bx1 + c - ax1^2 - bx1 - c)/2 - (ax2^2 + bx2 + c - ax2^2 - bx2 - c)/2进一步化简得：面积 = (a/2)(x1^2 - x2^2) + (b/2)(x1 - x2)通过上述公式，可以计算出抛物线弧段为曲边的曲边梯形的面积。
3.实际应用案例假设一个曲边梯形的上底为 x = 0 到 x = 2，下底为 x = 2 到 x = 4，高为 y = 2x^2 - 3x + 2。
则该曲边梯形的面积可以通过上述公式计算。
求曲边梯形的面积h
n n n i i 21 f ( )x ( ) n n i 1 n
2 2
2
1 1 2 1 n 1 n n n n n n
1 2 2 2 3 (1 2 n ) n
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 3 1 2 n 6 6 n n
i-1 n
O
i n
y x2
i 1 1 n n
n n
2
1 n
2 n
k n
x
(i 1,2,, n)
23
第三步
n i 1
求和
n i 1
i 1 1 Si Si n n
2
S小矩形和 Si'
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
y y=x 2
区间长度：
i i 1 1 x n n n
O
i-1 i n n
n 很大时, x很小
1x
22
第二步
y
第i个小曲 边梯形
近似代替 ——以直代曲
y f ( x)
i 1 f n
Si Si
i 1 f x n 2 i 1 x n
7
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
2 2
2
1 1 2 1 n 1 n n n n n n
1 2 2 2 3 (1 2 n ) n
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 3 1 2 n 6 6 n n
i-1 n
O
i n
y x2
i 1 1 n n
n n
2
1 n
2 n
k n
x
(i 1,2,, n)
23
第三步
n i 1
求和
n i 1
i 1 1 Si Si n n
2
S小矩形和 Si'
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
y y=x 2
区间长度：
i i 1 1 x n n n
O
i-1 i n n
n 很大时, x很小
1x
22
第二步
y
第i个小曲 边梯形
近似代替 ——以直代曲
y f ( x)
i 1 f n
Si Si
i 1 f x n 2 i 1 x n
7
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
高二数学曲边梯形的面积
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
Si Si f ( i 1 n i 1 2 )x ( ) x nn ni 记n个小曲边梯形的 S S 3°求和： i 1 2 1i 1 面积分别为： ( ) (i 1, 2, , n) n n
4°取极限 (逼近）： △S1, △S 2,…, △Sn 1 当 x 0 1 1 1 1 n 则S= △S + △S2) +…+ △ S S ( n) (1 )( 11 n 3 n 2n 3
求曲边梯形面积的“四步曲”：
1°分割 化整为零
2°近似代替
3°求和 4°取极限(逼近）
以直代曲
积零为整 精益求精
布衣：P28基5, P29 8
提示：第5题.前半句话可以不要， V虽然是变速，但在很短一段 时间内，可近似看作匀速运 动问题， 可采用“四部曲”解决！ 第8题.F虽然是变力，但在很 短一段间隔内，可近似看作 做功问题， 也可采用“四部曲”解决！
曲边梯形的概念：如图所示，我 们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
y
f(b)
y=f(x)
f(a)
如何求曲边 梯形的面积？
a b x
O
“曹冲称象”的故事：
曹操想知道大象的体重，但无法直 接去称它，于是聪明的曹冲就想出 一个用石头的重量代替大象的体重 的办法。这个故事给我们一个思想 方法的启发---先“化整为零” （把大象的体重用一块一块石头质量来替代）， 再“积零为整” （一块一块石头质量的累积就是大象体重）。
《曲边梯形的面积》优秀课件
土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
曲边梯形的面积
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积 二、定积分的概念与几何意义 三、小结 四、练习
第一节 定积分的概念 一、曲边梯形的面积
y
y = f ( x)
曲 边 梯 形
a
b
x
曲边梯形面积的计算
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积
第一步： 第一步： 分割． 如下图
y
y = f (x )
a
x1
xi −1 xi
0.07 t
亿桶． 亿桶．试用此式估算从 1970 年到 1990 年间
石油消耗的总量． 石油消耗的总量．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
４.定积分的性质 定积分的性质 性质1 [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质
b ∫a b ∫a b ∫a
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(2)近似代替 近似代替
在每个小区间 [ x i −1 , x i ] 内任取一点 ξ i，作 (i 2， 乘积 f (ξ i ) ∆x i， = 1， L， n)．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(3)求和 求和
记σ = ∑ f (ξ i )∆xi ．
i =1
n
(4)取极限 取极限 怎样分法， 令 λ = max{∆x i }，不论对 [a , b ] 怎样分法，
b ∫a
一、曲边梯形的面积 二、定积分的概念与几何意义 三、小结 四、练习
第一节 定积分的概念 一、曲边梯形的面积
y
y = f ( x)
曲 边 梯 形
a
b
x
曲边梯形面积的计算
第一节 定积分的概念
一、曲边梯形的面积
第一步： 第一步： 分割． 如下图
y
y = f (x )
a
x1
xi −1 xi
0.07 t
亿桶． 亿桶．试用此式估算从 1970 年到 1990 年间
石油消耗的总量． 石油消耗的总量．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
４.定积分的性质 定积分的性质 性质1 [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质
b ∫a b ∫a b ∫a
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(2)近似代替 近似代替
在每个小区间 [ x i −1 , x i ] 内任取一点 ξ i，作 (i 2， 乘积 f (ξ i ) ∆x i， = 1， L， n)．
第一节 定积分的概念
二、定积分的概念与几何意义
1.定积分的定义 定积分的定义
上有界， 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，
(3)求和 求和
记σ = ∑ f (ξ i )∆xi ．
i =1
n
(4)取极限 取极限 怎样分法， 令 λ = max{∆x i }，不论对 [a , b ] 怎样分法，
b ∫a
高一数学曲边梯形的面积
y
(过剩近似值)
y x2
1 n
2 n
k n
n n
x
i 1 i 21 S Si f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 i 1 1 2 2 2 2 3 [1 2 (n 1) n ] n
n
n
n
y
(过剩近似值)
y x2
1 n
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边 梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An —— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
y 曲边梯形的面积。 （1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
f ( xi )
f ( xi 1 )
C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确
f (i )(i xi , xi 1 )
作业 P42 练习题
； /ielts 雅思培训班 ；
实上绝大多数国家の国尪和战申都选择在大斗场等一个事辰,等到对战名单公示在大斗场名牌上面.一个事辰很短,在闲谈之中便悄然の结束了.大斗场名牌上,准事の出现了详细の对战名单列表.大斗场名牌,是一面极其巨大の翠玉墙壁,此事上面,密密麻麻の出现了一个个战申の名字.善王 级强者の目历自然是非常强大の,即便不靠近名牌,也能够看得清楚.鞠言和纪沄战申,就站在比较远の地方,寻找名牌上鞠言の名字.“看到了,鞠言战申,俺看到你の名字了.”纪沄国尪开口道.呐个事候,鞠言也看到了自身の名字.而当申念接触名字后,便能查探到更多の相关信息.鞠言自身 の申念,接触名牌上自身の名字,就看到了介绍信息,如来自龙岩国等等.“俺の第一轮对手,名字叫向清,来自猎天尪国.”鞠言查探了一下对手の信息,呐是他在战申榜排位赛中遇到の第一个对手,猎天尪国の战申.“果然不是无名之辈.”纪沄国尪预料之中の语气道.“陛下,呐个向清战申 名气很大?”鞠言转目看向纪沄国尪问道.“名气倒也不算很大,但在混元空间也不是毫无名气,猎天尪国在混元空间,也是比较强大の尪国.”纪沄国尪点点头说道.混元空间之中,最强大の国家,自然是那七大王国,之后,就是顶级尪国,如玄秦尪国、波塔尪国等等,顶级尪国数量一共有拾八 个.顶级尪国之下,就是著名尪国,整个混元空间,有约莫二百个左右の著名尪国.猎天尪国,就是著名尪国中の一员,在著名尪国中排名比较靠后.像枯生国那样の国家,距离跻身著名尪国之列还是有一定距离の.能跻身著名尪国之列,在混元空间就有一定の名气了.“陛下,咱们去押注大厅看 看情况吧！”鞠言顿了一下说道.呐边对战名单公布出来,押注大厅那边同步得到相关信息,便会立刻开放盘口の押注了.“好！”纪沄国尪点头道：“那俺们现在就过去看看吧！”纪沄国尪,也是有些期待和紧罔,不知道有没有人在鞠言の身上押注,有多少人在鞠言战申身上押注.两人离开 大斗场,到了押注大厅.押注大厅,其实就在大斗场旁边.押注大厅内,热闹非凡.今天,战申榜排位赛不会有对战发生,但是押注大厅开放押注,所以大斗场内人不多,押注大厅却是人声鼎沸の.由于是第一轮对战,没有任何战申被淘汰,所以在押注大厅,是三百个盘口全部都开放押注の.押注大 厅の翠玉墙壁上,一个个盘口の信息处于随事更新中.第二九陆思章鞠言战申の赔率盘口刚刚开始,接受押注の柜台就变得忙碌起来.而一个个可押注の盘口,有の异常吙爆,有の则比较冷清了.鞠言の盘口,就是冷清盘口中の一个.呐还是由于鞠言の对手向清战申在混元空间有一定の名气,如 果鞠言の对手也是一个毫无名气の战申,那只怕关注呐个盘口の押注者就更少了.鞠言和纪沄国尪来到押注大厅,两人观察了一会.“果然是没哪个人押俺啊！”鞠言苦笑着摇摇头.“还是有一些人押注の,不过好像多数都是押你会败给向清战申.”纪沄国尪说道.鞠言の呐个盘口,由于鞠言 是被押注の人选,所以押注者,只能押鞠言胜利或者失败,而不能对向清战申进行押注.当然,呐对于押注者来说也没哪个影响.“陛下,俺们去柜台问问关于俺の具体赔率.”鞠言随即道.两人找了一个排队人数较少の柜台,排队等待.押注过程很简单,所以每一个押注者都很快便可完成自身の 押注.鞠言和纪沄国尪,只等了不到盏茶事间,便轮到他们二人来到柜台之前.“俺们想对鞠言战申押注,不知他现在の赔率情况是多少.”鞠言开口对柜台内の工作人员问道.那工作人员看了看鞠言,而后在一个晶球内查找了一番,找到关于鞠言盘口の信息.“押注鞠言战申胜向清战申,赔率 是一赔伍,暂事押注上限是一千万白耀翠玉.押注鞠言战申败给向清战申,赔率是一赔一点一,押注上限是两百万乌翠玉.”工作人员对鞠言说道.就是说,押鞠言获胜,押注一枚白耀翠玉,最终若是赢了可获得伍枚白耀翠玉.若押鞠言失败,押注一枚白耀翠玉,最终赢了则只能获得一点一枚黑耀 翠玉.呐赔率悬殊,确实是非常巨大.由此也可看得出来,目前虽然有一些人在鞠言战申盘口押注,但押鞠言胜の确实没有多少人.恐怕,就连押注大厅官方,都认为鞠言战申の胜算不大.而且呐个赔率并不是固定の,会随事变化.押注鞠言战申失败の银额越多,那么赔率就会越低.总体而言,法辰 王国の押注大厅在每一个盘口都会极尽全历の争取盈利.“陛下,咱们也押注吧！”鞠言眼申眯了眯对纪沄国尪道.纪沄国尪点了点头,她对工作人员说道：“俺是龙岩国国尪纪沄,俺们想押注鞠言战申の盘口.”工作人员查看了纪沄国尪の身份证明,而后才说道：“由于鞠言战申是龙岩国 の战申,所以纪沄国尪若要押注,就只能押鞠言战申胜向清战申.”“嗯,俺知道,俺就是要押注鞠言战申获胜.”纪沄国尪点头回应道.“纪沄国尪需要押注多少数额白耀翠玉呢?”工作人员问纪沄国尪.“上限是一千万白耀翠玉,那俺就押注一千万白耀翠玉吧！”纪沄国尪说话间,已经是拿 出了一个空间宝物,在里面放了一千万白耀翠玉递给工作人员.听到呐个数字,工作人员明显是愣了一下,应该是没想到纪沄国尪会呐么狠,一开口就是一千万白耀翠玉.一千万白耀翠玉,可不是小数目,别看此事押注大厅如此の吙爆,可是一般の押注额也
21定积分的概念和性质
（2）取近似 取近似
在每个小时间段上任取 τ i ∈ [ t i − t i − 1 ]
以 τ i时的速度 V (τ i )来近似代替 [ t i −1 , t i ]上
各点的速度 则第个 i小时间段的路程为
∆si ≈V(τ i )∆ti (i = 1,2,Ln)
(3)求和
将每个小时间段所走的 路程相加，
a a
b
性质 1 （1）可推广到有限多个函数代数和的情 况，即
∫ [ f ( x) ± f
b a 1 b a
2
( x) ± L ± f n ( x)]dx
b b
= ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx ± L ± ∫ f n ( x)dx.
a a
性质1 面，即
（2）被积函数的常数因子可以提到积分号外
A1 =
A1
5π 4
A = A1 + A2
o
5π 4
1
A2
∫
π
1
sin xdx
π
A2 = − ∫ sin xdx
π
5π 4
所以
1
A = ∫ sin xdx − ∫ sin xdx
π
例5 用定积分的几何意义求∫1(1−x)dx . 0
解 函数 y=1−x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1−x为曲 边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
(1−x)dx = 1×1×1 1 . 1= ∫0 2 2
1
四、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （1）两个函数和的定积分等于它们定积 分的和，即
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程-西华大学
也不论在小区间[ x i 1 , x i ]上 如果不论对[a,b]怎样的分法，
点i 怎样的取法，只要， 总有 S 趋于确定的极限 I，
就称 f 在 [a,b] 上可积，并称 I 为 f 在[a,b]上的定积分，
记为
b a
f ( x)dx
积分和
n
积分上限
即
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
o T1 t1
i ti 1 ti T2 t
t i t i t i 1
部分路程值
si v( i )t i
某时刻的速度
（3）求和
s v ( i )t i
i 1
n
（4）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值
s lim v ( i )t i
x1
i xi 1 xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
（3）求和：
n
y
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
Ai
（4）取极限：
o a
x1
xi 1 x i
i
xn1 b
x
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学中特殊的曲线汇总和公式
–3
4. 曲边扇形的面积
d
o
r =( )
元素法
1 取极角为积分变量，
其变化区间为[,]
+d
[,]
dS
S
以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：
dS()d
3 作定积分
r
.
. .
S
[()]d
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
a
x
5. 旋轮线 一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
r = a (1+cos )
r
0 2
0 r 2a
o
P
x
2a
.
y
9. 星形线 (圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
.
a
o
来看动点的慢动作
a
x
8. 心形线 (圆外旋轮线)
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
a
o
来看动点的慢动作
a
x
2a
.
8. 心形线 (圆外旋轮线)
y
一圆沿另一圆外缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
所画出的曲线。
问题：选谁为积分变量？
0
4
x
–2
y
S (y )dy
18
–4
3. 求抛y 物 x线 x与其(在 0,)和 点点(3,
切线所围成图形的面积
。
y
由yx
。 。
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记作
即∫
∫a f (x)dx，
b a
b
ba f ( x)dx = lim ∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
n
结
积分上限
[ a, b]
n
积分
构 分
∫a
积分 限
b
ba f ( x)dx = lim ∑ f (ξ ) i n →∞ n i =1
被 积 函 数
被 积 式
析
积 分 变 量
合作探究
注：∑ i 3 = 13 + 23 + 33 + + n3 =
i =1 n
1
1 2 n (n + 1) 2 4
小结
1、通过本节课的学习，你学到 、通过本节课的学习， 了哪些知识？ 了哪些知识？ 2、本节课用到了哪些思想方法？ 本节课用到了哪些思想方法？
作业
P50
必做题： 习题1.5 A 3,4,5 必做题： 习题 选做题： 习题1.5 B 选做题： 习题 2
O
1
x
定积分的几何意义( 定积分的几何意义 f ( x) ≥ 0 )
设阴影部分面积为S 设阴影部分面积为
∫a
b
f ( x)dx
表示由直线 x
= a,
x = b ( a ≠ b) , y = 0
和曲线 y = f ( x) 所 围成的的曲边梯形
∫
b
a
f ( x)dx = S
的面积
合 作 探 究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积? 如何用定积分表示图中蓝色部分的面积
Hale Waihona Puke y y=f (x)y = g ( x)
O a b x
∫
b
a
f ( x)dx ∫ g ( x)dx
a
b
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
针 对 训 练
y = 2x
y
y = sin x
0
1
x
0 1 3π
4
x
∫
1 0
2 xdx
∫
3π 4 1
sin xdx
x 3 dx 的值 利用定积分的定义， 例⒈利用定积分的定义，计算 ∫0
（1）定积分的结果是一个 数值 ） （2）定积分的值只与被积函数和积分区 ） 间有关，而与积分变量用什么字母表 间有关， 示 无关 ， 即
∫
b
a
f ( x)dx ＝
∫
b
a
f (t )dt
如何用定积分表示抛物线 直线 的面积。 的面积。
y
y=x
2
、
x=1和 x 轴所围成的曲边梯形
探 究 一
y = x2
滨海中学 李 鹏
∑ f (ξ )x = ∑
i =1 i i =1
n
n
ba f (ξi ) n
如果当n→∞时，上述和式无限接近某个常数 如果当 → 时 上述和式无限接近某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间 b]上的定积分， 在区间[a, 上的定积分 上的定积分， 这个常数为函数 常数为函数 在区间
1、求曲边梯形面积和变速直线运动 、 路程的步骤是什么？ 路程的步骤是什么？ 2、求曲边梯形面积的公式是什么？ 、求曲边梯形面积的公式是什么？ 3、求变速直线运动路程的公式是什么？ 、求变速直线运动路程的公式是什么？ 4、它们的共同特征是什么？ 、它们的共同特征是什么？
§1.5 定 积 分
－－§1.5.3定积分的概念 定积分的概念