山东省烟台市高一数学上学期期末考试试题(扫描版)
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
山东省烟台市【最新】高一上学期期末考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线经过两点(,2)A m ，3(,21)2B m m -，且倾斜角为045，则m 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．34 D ．122．根据表格中的数据， 可以判定函数()e 2x f x x =--的一个零点所在的区间为（ ）．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(2,3)D ．(1,2) 3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图''''A B C D （如图所示），其中''2A D =，''4B C =，''1A B =，则直角梯形DC 边的长度是（ ）A B ．C ．D 4．如果AB >0,BC >0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．已知集合(){,|35160,23}A x y x y x =++=-≤≤，(){,|10}B x y kx y k =-+-=，若A B ∅⋂≠，则实数k 的取值范围是（ ） A ．][(),31,-∞-⋃+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．[]3,1- D ．()3,1- 7．若点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，则直线y kx b =+在y 轴上的截距是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=m +n =( )A ．0B ．1C ．-2D ．-19．设点,E F 分别是空间四边形ABCD 的边,AB CD 的中点，且5EF =，6BC =，8AD =，则异面直线AD 与EF 所成角的正弦值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45 10．若方程1lg ()03x x a -+=有两个不相等的实数根，则实根a 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞ C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞11．各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P ABC -的侧棱长为a ，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 2aB ．22a πC 2aD ．23a π12．已知[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数2()[]f x x a x x a =+-在(0,2)上仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4)-∞-B ．(0,1)C ．(,4)(0,1)-∞-⋃D ．4(,)(0,)3-∞-⋃+∞二、填空题13．若直线l 经过点(2,0)-，且与斜率为23-的直线垂直，则直线l 的方程为__________． 14．在ABC ∆中，2AB =，32BC =，0120ABC ∠=，若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A C 与平面11BB D D 所成角的正弦值为________．16．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________．三、解答题17．已知直线1:(21)(2)340l m x m y m ++-+-=，无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点M .（1）求点M 的坐标；（2）若直线2l 过点M ，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，点D 是AB 的中点.（1）求证：1//AC 平面1CDB ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，11AA =，AC BC ==求二面角1B CD B --的大小. 19．已知ABC ∆的顶点(4,1)A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为220x y ，AC 边上的高BH 所在的直线方程为2320x y +-=.（1）求点C 的坐标；（2）求BC 所在直线的方程.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060BCD ∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（2）棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.21．如图所示，一块形状为四棱柱的木料，,E F 分别为11,A D AD 的中点.（1）要经过E 和FC 将木料锯开，在木料上底面1111D C B A 内应怎样画线？请说明理由；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，060BAD ∠=，1AA ⊥平面ABCD ，且1AA 1111CFA B C D 的体积.22．某市郊区有一加油站，【最新】初汽油的存储量为50吨，计划从年初起每周初均购进汽油m 吨，以满足城区内和城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5吨；城区内汽车用油前x 个周需求量y 吨与x 的函数关系式为y =*(116,)x x N ≤≤∈，a 为常数，且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.（1）试写出第x 个周结束时，汽油存储量M （吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，试确定m 的取值范围.参考答案1．A【解析】直线经过两点(),2A m ，3,212B m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且倾斜角为045，则()223231 2.32m m m m m m --==⇒=- 故答案为A ．2．D【解析】函数()e 2x f x x =--，满足()()21e 30,240f f e =-=-. 由零点存在定理可知函数()e 2xf x x =--的一个零点所在的区间为() 1,2. 故选D.点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．由此可判断根所在区间. 3．B【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了45︒方向的线段，且长度是原高的一半，∴原高为2AB =而横向长度不变，且梯形ABCD 是直角梯形，DC ∴===故选B4．B【解析】 试题分析：斜率为0A B >，截距0C B -<，故不过第二象限. 考点：直线方程.5．D【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故选D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6．A【分析】集合A 表示(2,2)--到(3,5)-的线段，集合B 表示过定点(1,1)的直线，A B ∅⋂≠，说明线段和过定点的直线有交点，由此能求出实数k 的取值范围．【详解】由题意可得，集合A 表示(2,2)--到(3,5)-的线段上的点，集合B 表示恒过定点()1,1的直线.∵A B ∅⋂≠∴线段和过定点的直线有交点∴根据图像得到只需满足()15313k --≤=--，或()()12112k --≥=--故选A ．【点睛】本题考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解答本题的关键是理解集合A 表示(2,2)--到(3,5)-的线段，集合B 表示过定点(1,1)的直线，再通过A B ∅⋂≠得出直线与线段有交点，通过对应的斜率求解.7．D【解析】∵点A （1，1）关于直线y=kx+b 的对称点是B （﹣3，3），由中点坐标公式得AB 的中点坐标为()1,2-，代入y=kx+b 得2k b =-+ ①直线AB 得斜率为311.312-=---，则k=2. 代入①得， 4.b = ．∴直线y=kx+b 为24y x =+ ，解得：y=4．∴直线y=kx+b 在y 轴上的截距是4．故选D ．8．C【分析】根据直线平行得到4n =-，根据两直线的距离公式得到2m =，得到答案.【详解】由12l l ，得122n-=，解得4n =-，即直线2:230l x y --=， 两直线之间的距离为d ==2m = (8m =-舍去)， 所以2m n +=-故答案选C.【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.9．C【解析】取BD 中点G ，连结EG 、FG∵△ABD 中，E 、G 分别为AB 、BD 的中点∴EG∥AD且EG=12AD=4，同理可得：FG∥BC且FG=12BC=3，∴∠FEG（或其补角）就是异面直线AD与EF所成的角∵△FGE中，EF=5，EG=4，FG=3，∴EF2=25=EG2+FG2，得3 sin.5FEG∠=故答案为：C。
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x33．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．98．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为．15．函数y＝的定义域为．16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．sin17°cos13°+sin73°cos77°＝（）A．B．C．D．解：sin17°cos13°+sin73°cos77°＝sin17°cos13°+cos17°sin13°＝sin（17°+13°）＝，故选：B．2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A．y＝tan x B．y＝3x C．D．y＝x3解：y＝tan x在定义域上不具备单调性，不满足条件．y＝3x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y＝的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．y＝x3是增函数，是奇函数，满足条件．故选：D．3．设a＝log0.33，，c＝log23，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解：∵log0.33＜log0.31＝0，，log23＞log22＝1，∴c＞b＞a．故选：A．4．函数f（x）＝x3+3x﹣2的零点所在区间为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x3+3x﹣2是连续函数且单调递增，∵f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝+﹣2＝＞0∴f（）f（）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（，）．故选：C．5．已知函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα＝（）A．B．C．D．解：令x+3＝0，求得x＝﹣3，y＝4，函数y＝a x+3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα＝＝﹣，故选：B．6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8（单位：百米），OA是函数y＝log a（x+b）图象的一部分，ABC 是函数y＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，最高点为B（5，），则道路OABC所对应函数的解析式为（）A．B．C．D．解：由三角函数的图象知M＝，＝8﹣5＝3，即T＝12，则，得ω＝，则y＝sin（x+φ），由函数过B（5，），得sin（×5+φ）＝，得sin（+φ）＝1，即+φ＝2kπ+，得φ＝2kπ﹣，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，则y＝sin（x﹣），（4≤x≤8），排除B，D，当x＝4时，y＝sin（×4﹣）＝sin＝×＝2，即A（4，2），y＝log a（x+b）过（0，0），则log a b＝0，则b＝1，则y＝log a（4+1）＝log a5＝2，得a＝，则y＝log（x+1），（0≤x＜4），排除A，故选：C．7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9解：设他至少经过t小时候才可以驾车，则0.6×100（1﹣10%）t＜20，即3×，即t×，所以t，所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选：B．8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos[2（x+φ）﹣]＝cos（2x+2φ﹣），若x1，x2使得f（x1）g（x2）＝﹣1，则f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1或f（x1）＝﹣1，g（x2）＝1，不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝﹣1，则2x1﹣＝2k1π，2x2+2φ﹣＝2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π+，2x2+＝2k2π+π﹣2φ+，两式作差得2（x1﹣x2）＝2（k1﹣k2）π+2φ﹣π，即（x1﹣x2）＝（k1﹣k2）π+φ﹣，∵|x1﹣x2|的最小值为，∴当k1﹣k2＝0时，最小，此时|φ﹣|＝，∵0＜φ＜，∴φ﹣＝﹣，得φ＝﹣＝，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过﹣2π弧度B．若sinθ＞0，cosθ＜0，则θ为第二象限角C．若sinθ+cosθ＞1，则θ为第一象限角D．函数y＝sin|x|是周期为π的偶函数解：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是﹣2π弧度，所以A错；对于B，由sinθ＞0，cosθ＜0，可知θ为第二象限角，所以B对；对于C，sinθ+cosθ＞1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＞1⇒2sinθcosθ＞0，又sinθ+cosθ＝1＞0，所以sinθ＞0，cosθ＞0，即θ为第一象限角，所以C对；对于D，函数y＝sin|x|是偶函数，但不以π周期，如f（）＝1，f（π+）＝﹣1，二者不等，所以D错；故选：BC．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）图象关于点对称C．f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD．当时，f（x）取得最小值解：函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当x∈（，π）上，x+∈（，），故f（x）在上单调递减，故A 正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）图象关于点对称，故B正确；f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为＝π，故C正确；当x＝+2kπ，k∈Z时，f（x）＝，为最大值，故D错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），则（）A．f（x）定义域为（0，a）B．f（x）的最大值为2﹣2log a2C．若f（x）在（0，2）上单调递增，则1＜a≤4D．f（x）图象关于直线对称解：函数f（x）＝log a x+log a（a﹣x）（a＞0，且a≠1），对于选项A，令x＞0且a﹣x＞0，解得0＜x＜a，故函数f（x）的定义域为（0，a），故选项A正确；对于选项B，f（x）＝log a x+log a（a﹣x）＝log a[（a﹣x）x]＝log a（﹣x2+ax），因为y＝﹣x2+ax图象开口向下，故y有最大值，但若0＜a＜1时，函数y＝log a x单调递减，此时f（x）无最大值，故选项B错误；对于选项C，若f（x）在（0，2）上单调递增，①当0＜a＜1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递减，故，解得a≤0，故不符合题意；②当a＞1时，则y＝﹣x2+ax在（0，2）上单调递增，故，解得a≥4，故选项C错误；对于选项D，f（x）＝log a x+log a（a﹣x），则f（a﹣x）＝log a（a﹣x）+log a x＝f（x），所以f（x）图象关于直线对称，故选项D正确．故选：AD．12．定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2（2x+2y），x，y∈R，则对任意实数a，b，c有（）A．a⊗a＝2a B．（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）C．D．（a⊗b）﹣c＝（a﹣c）⊗（b﹣c）解：对于A，由题意a⊗a＝log2（2a+2a）＝a+1，故A错误；对于B，（a⊗b）⊗c＝[log2（2a+2b）]⊗c＝log2[2+2c]＝log2（2a+2b+2c]，a⊗（b⊗c）＝a⊗[log2（2b+2c）]＝log2[2a+2]＝log2（2a+2b+2c]＝（a⊗b）⊗c，故正确；对于C，a⊗b＝log2（2a+2b），2a+2b≥2≥2＝2+1，所以log2（2a+2b）≥log22+1，即，故正确；对于D，（a⊗b）﹣c＝log2（2a+2b）﹣c（a﹣c）⊗（b﹣c）＝log2（2a﹣c+2b﹣c）＝log22＝log22﹣c+log2（2a+2b）＝﹣c+log2（2a+2b），故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣a有两个不同的零点，即方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不等实根，故△＝（﹣2）2﹣4×（﹣a）＞0⇒a＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）．14．若幂函数的图象不经过原点，则实数m的值为﹣1．解：由函数是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，图象不经过原点，满足题意；当m＝2时，f（x）＝x8，图象经过原点，不满足题意；所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．解：要使函数有意义，则sin x+≥0，及sin x≥﹣，及2kπ﹣≤x≤2kπ+，即函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为．解：可以分为三步，每步走60°，每步以与桌面右侧接触点为圆心，到P的距离为半径，第一步：r＝2，L1＝，第二步：r＝，L2＝，第三步：r＝1，L3＝，所以当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为L1+L3+L3＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）；（2）已知tanα＝﹣2，求的值．解：（1）原式＝＝＝．（2）由于tanα＝﹣2，原式＝＝＝＝﹣1．18．在①f（x）图象过点，②f（x）图象关于直线对称，③f（x）图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为2π，_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．解：若选①：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）因为f（x）图象过点，所以，即，）又因为，所以，故．（2）由已知得，于是，解得，故g（x）的单调递增区间为．若选②：（1）由已知得，，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于直线对称，所以，即又因为，所以，故．（2）由已知得．由，）即．故g（x）的单调递增区间为．若选③：（1）由已知得，则ω＝1，于是f（x）＝2sin（x+φ）．因为f（x）图象关于点对称，所以，即，又因为，所以，故．（2）由已知得，由，k∈Z，即故g（x）的单调递增区间为．19．（1）求函数y＝，的值域；（2）解关于x的不等式：（a＞0，且a≠1）．解：（1）解：令t＝log2x，由于，则t∈[﹣1，1]．于是原函数变为，由于y（t）图象为开口向上的抛物线，对称轴，且，故当，y取最小值；当t＝1时，y取最大值2．所以原函数的值域为．（2）解：当a＞1时，原不等式可化为：，解得．故a＞1时，原不等式的解集为．当0＜a＜1时，原不等式可化为：，即，解得﹣1＜x＜1．故0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．综上可得，a＞1时，原不等式的解集为．0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．20．已知函数．（1）设，求f（x）的最值及相应x的值；（2）设，求的值．解：（1）＝＝＝，∵，所以2x+∈[﹣，]，故当，即时，函数f（x）取得最小值1；当，即时，函数f（x）取得最大值．（2）由，得．于是＝＝．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．解：（1）如图，PM＝40﹣30cosθ，PN＝40﹣30sinθ，于是S＝（40﹣30sinθ）（40﹣30cosθ）＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，其中，，故S关于θ的函数关系式为S＝﹣1200（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ+1600，（0≤θ≤）；（2）令t＝sinθ+cosθ，则，又，当时，，所以，于是＝450t2﹣1200t+1150，S（t）为开口向上的抛物线，对称轴，又，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）+g（x）＝2e x，其中e ＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，+∞），使成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知f（x）+g（x）＝2e x，①可得f（﹣x）+g（﹣x）＝2e﹣x，由f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+g（x）＝2e﹣x，②于是①+②可得2g（x）＝2 e x+2 e﹣x，即g（x）＝e x+e﹣x，所以f（x）＝e x﹣e﹣x；（2）由已知f（x2+3）+f（1﹣ax）＞0在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x2+3）＞f（ax﹣1）在（0，+∞）上恒成立，又因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以x2+3＞ax﹣1在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，所以．因为，当且仅当，即x＝2时取等号．所以a＜4；（3）设h（x）＝e﹣|x﹣m|，f（x）在[m，+∞）上的最小值为f（x）min，h（x）在[0，1]上的最小值为h（x）min，由题意，只需f（x）min≤h（x）min，因为f（x）＝e x﹣e﹣x为R上的增函数，所以．当m≥0时，因为h（x）在（﹣∞，m）单调递增，在（m，+∞）单调递减，所以当x∈[0，1]时，h（x）min＝min{h（0），h（1）}．于是，由h（0）＝e﹣|m|≥e m﹣e﹣m得e m≤2 e﹣m，即e2m≤2，解得．考虑到，故h（1）＝e﹣11﹣m|＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m，即，解得．因为，所以．当m＜0时，h（x）在[0，1]单调递减，所以．又e m﹣1＞0，e m﹣e ﹣m＜0，所以对任意m＜0，恒有h（1）＝e m﹣1≥e m﹣e﹣m＝f（x）min恒成立．综上，实数m的取值范围为．。
山东省烟台市高一上学期期末数学试卷
山东省烟台市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知A={x︱},B={x︱},全集U=R,则=（）A . {x︱}B . {x︱}C . {x︱}D . {x︱}2. （2分）设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A . M=PB . P⊊MC . M⊊PD . M∪P=R3. （2分） (2016高二上·蕉岭开学考) 设α角属于第二象限，且|cos |=﹣cos ，则角属于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A . [﹣1，0]B . [﹣1，2]C . [0，1]D . （﹣∞，1]∪[2，+∞）5. （2分） (2018高一上·牡丹江期中) 设，则（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·榆林模拟) 已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高一下·河北开学考) 已知y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[1，2）时，f（x）=log2x，设a=f（），，c=f（1），则a，b，c的大小关系为（）A . a＜c＜bB . c＜a＜bC . b＜c＜aD . c＜b＜a8. （2分） (2016高一下·武城期中) 已知，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·台州期中) 函数，的图象可能是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx 的图象，则只要将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度11. （2分） (2016高一上·杭州期中) 已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A . [0，4]B . [2，+∞）C . [0， ]D . （0， ]12. （2分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且f（x）≥0恒成立，则的最小值是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·上海期中) 函数y= 的定义域是________．14. （1分）已知函数f（x）=loga（ax2﹣x+1），（a＞0且a≠1）．若f（x）在区间[，]上为增函数时，则a的取值范围为________．15. （1分） (2015高一上·洛阳期末) 若函数y=﹣x2+ax﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为________．16. （1分） (2017高一上·和平期中) 若关于x的方程x2+2ax﹣9=0的两个实数根分别为x1 ， x2 ，且满足x1＜2＜x2 ，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．（1）求A∪B；（2）（∁UA）∩B；（3）若A∩C=∅，求a的取值范围．18. （10分） (2017高三上·武进期中) 如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．19. （15分） (2016高一上·荔湾期中) 已知函数．（1）求函数 f (x ) 的解析式．（2）若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围．（3）是否存在实数，使得函数的定义域为（其中）时，值域为，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．20. （10分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米．（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21. （15分） (2019高三上·上海期中) 定义：若函数对任意的，都有成立，则称为上的“淡泊”函数.（1）判断是否为上的“淡泊”函数，说明理由；（2）是否存在实数，使为上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；（3）设是上的“淡泊”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的，都有成立，求的最小值.22. （10分） (2016高一上·杭州期末) 已知点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函数f（x）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f （x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)
2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2023-2024学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√322．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√325．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．27．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m ＞n ＞0，则（ ） A ．m ﹣1＜n ﹣1B ．lgm ＞lgnC ．2﹣m＞2﹣nD ．sin m ＞n10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A ．sin α2＞0B ．tan α2＞0C ．sin2α＜0D ．cos2α＜011．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝202412．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 ． 14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 ．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 ．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 ，x 1x 2x 3的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x−π3)．（1）用五点法画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求不等式f（x）≥1的解集．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√32解：cos960°＝cos（720°+240°）＝cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°=−1 2．故选：C．2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称解：因为函数y＝e x与y＝lnx互为反函数，所以两者的图象关于直线y＝x对称．故选：C．3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由题设，y＝lnx，y=−6x在（0，+∞）为递增函数，f（x）是定义域在（0，+∞）上连续不断的递增函数，又f（2）＝ln2﹣3+1＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣2+1＝ln3﹣1＞0，f（2）f（3）＜0，由零点存在定理可知，零点所在区间为（2，3）．故选：C．4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：射线y=√33x(x≤0)为角7π6的终边，20s后，点P在角7π6−π6×20=−13π6的终边上，则20s后点P的纵坐标为sin(−13π6)=−sin13π6=−sin(2π+π6)=−sinπ6=−12．故选：A．5．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解：∵a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，0＜c＝0.23＜1，∴a＜c＜b．故选：B．6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．2解：由题意得log23＞1＞0，故f(log23)=f(log23−1)=f(log232)=f(log232−1)=f(log234)=2−log234−1=43−1=13．故选：C．7．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)解：设μ＝sin x，则μ∈[﹣1，1]；函数y＝cosμ，μ∈[﹣1，1]，在[﹣1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．又μ＝sin x在[2kπ，2kπ+π2]，k∈Z上单调递增且μ∈[0，1]；在[2kπ+π2，2kπ+π]，k∈Z上单调递减且μ∈[0，1]；在[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z上单调递减且μ∈[﹣1，0]；在[2kπ+3π2，2kπ+2π]，k∈Z上单调递增且μ∈[﹣1，0]．根据复合函数的单调性可得y＝cos（sin x）的单调减区间为[2kπ，2kπ+π2]或[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z．即减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．故选：B．8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1解：对于A，由于y＝sin x为周期函数，考查其在一个周期内的情况即可；先考虑在递增区间[−π2，π2]内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即sin a ＝a ，sin b ＝b ，即在[−π2，π2]内，sin x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝sin0＝0，当0＜x ≤π2时，0＜sin x ≤1，且sin x ＜x ，当−π2≤x ＜0时，﹣1≤sin x ＜0，结合y ＝sin x 以及y ＝x 的对称性知sin x ＞x ， 即不能满足sin x ＝x 有两不同实数解；故此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]； 结合y ＝sin x 的对称性知在单调递减区间[π2，3π2]内，不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，A 错误；对于B ，考查y ＝tan x 在一个周期内的情况，即在单调递增区间(−π2，π2)内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即tan a ＝a ，tan b ＝b ，即在(−π2，π2)内，tan x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝tan0＝0，当0＜x ＜π2时，0＜tan x ＜x ，当−π2＜x ＜0时，x ＜tan x ＜0，即不能满足tan x ＝x 有两不同实数解；即不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，B 错误；对于C ，函数y =−14x 2−1在（﹣∞，0]上单调递增，在0，+∞）上单调递减，由于y =−14x 2−1的图象关于x ＝0对称，且y =−14x 2−1≤−1，x ＝0时取等号，故只需考虑函数在（﹣∞，﹣l ]上的情况；假设y =−14x 2−1为“M 函数”，则在（﹣∞，﹣1]上−14x 2−1=x 需有两个不同实数根，而−14x 2−1=x ，即x 2+4x +4＝0，∴x ＝﹣2，不符合要求，即此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，C 错误； 对于D ，假设y ＝e x ﹣1﹣1为“M 函数”，由于y ＝e x ﹣1﹣1在R 上单调递增，则存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 则e x ﹣1﹣1＝x ，即e x ﹣1＝x +1需有两不同实数解，作出函数y ＝e x﹣1的图象和直线y ＝x +1，结合二者图象可知，函数y＝e x﹣1的图象和直线y＝x+1有两个不同交点，即e x﹣1﹣1＝x，也即e x﹣1＝x+1有两不同实数解，假设成立，即y＝e x﹣1﹣1为“M函数”，D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m＞n＞0，则（）A．m﹣1＜n﹣1B．lgm＞lgn C．2﹣m＞2﹣n D．sin m＞n解：对于A，因为m＞n＞0，所以m﹣1＜n﹣1，故A正确；对于B，因为y＝lgx是增函数，且m＞n＞0，所以lgm＞lgn，故B正确；对于C，因为y=(12)x是减函数，且m＞n＞0，所以(12)m＜(12)n，即2﹣m＜2﹣n，故C不正确；对于D，因为π2＞π3，sinπ2=1＜π3，所以D不正确．故选：AB．10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（）A．sinα2＞0B．tanα2＞0C．sin2α＜0D．cos2α＜0解：由题意2kπ+π2＜α＜π+2kπ，k∈Z，所以kπ+π4＜α2＜π2+kπ，k∈Z，4kπ+π＜2α＜2π+4kπ，k∈Z，所以α2为第一或第三象限角，2α为第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴，故BC正确，AD错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝2024解：对于A ，由图可知A =√2，T 2=1−(−3)=4=2π2ω，解得T ＝8，ω=π4，且1×π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以只能k ＝0，φ=π4，故A 正确；对于B ，f(x)=√2sin(π4x +π4)，当x ∈[8，10]时，π4x +π4∈[94π，114π]，所以f （x ）在区间[8，10]上不单调，故B 错误；对于C ，f(−5)=√2sin(−π)=0，即f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称，故C 正确； 对于D ，f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（8）＝2+1+0+1+2+1+0+1＝8， 又周期T ＝8，所以f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（2024）＝8×20248=2024，故D 正确． 故选：ACD ．12．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0解：对于A ，取n =1，x =π2，则f 1(cos π2)=f 1(0)=cos π2=0，故A 错误；对于B ，∀x ∈[﹣1，1]，存在t ∈[0，2π）使得x ＝cos t ，所以当n ∈N *时，f n +1（x ）＝cos （nt +t ）＝cos （nt ）cos t ﹣sin （nt ）sin t=cos(nt)cost −12[cos(n −1)t −cos(n +1)t]=xf n (x)−12[f n−1(x)−f n+1(x)]，解得f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗，故B 正确；对于C ，由f 0（cos x ）＝cos0＝1是偶函数， 由f 1（cos x ）＝cos x ，得f 1（x ）＝x 是奇函数，所以由f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗得， f 2(x)=2xf 1(x)−f 0(x)=2x 2−1是偶函数，f 3(x)=2xf 2(x)−f 1(x)=2x(2x 2−1)−x =4x 3−3x 是奇函数，f 4(x)=2xf 3(x)−f 2(x)=2x(4x 3−3x)−(2x 2−1)=8x 4−8x 2+1是偶函数， f 5（x ）＝2xf 4（x ）﹣f 3（x ）是奇函数，……，所以归纳可得当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数，故C 正确； 对于D ，若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则4x 3−3x −12=4(x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)， 左边的二次项系数为0，展开后右边的二次项系数为﹣4（x 1+x 2+x 3）， 所以﹣4（x 1+x 2+x 3）＝0，即x 1+x 2+x 3＝0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 20 ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 因为扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则{S =12lr =25l =2r，解得{r =5l =10，所以该扇形的周长为l +2r ＝10+10＝20． 故答案为：20．14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 −13 ．解：由题意知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)=sinα−cosα−cosα−sinα=tanα−1−1−tanα=2−1−1−2=−13． 故答案为：−13．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 1 ． 解：函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则有f （﹣x ）＝f （x ）， 即log 2(4x +m)−x −1=log 2(4−x +m)+x −1， 得log 2(4x +m)−log 2(4−x +m)=2x ，则有log 24x +m 4−x +m =2x =log 222x =log 24x，得4x +m 4−x +m=4x ，即（m ﹣1）（1﹣4x ）＝0，解得m ＝1，f(x)=log 2(4x +1)−x −1，函数定义域为R ，符合题意．所以实数m 的值为1． 故答案为：1．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 （0，1） ，x 1x 2x 3的取值范围为 （16，8+8√2） ． 解：∵f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，∴作出其图象如下：∵x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根， ∴y ＝f （x ）与y ＝t 有三个交点， ∴数形结合可得t ∈（0，1）；不妨设x 1＜x 2＜x 3，令−14x 2+x +1=0，x ＞4，可得x =2+2√2，∴x 1∈（1，2），x 2∈（2，4），x 3∈(4，2+2√2)， 又f （x 1）＝f （x 2），∴|log 2x 1﹣1|＝|log 2x 2﹣1|， ∴1﹣log 2x 1＝log 2x 2﹣1，∴log 2（x 1x 2）＝2， ∴x 1x 2＝4，∴x 1x 2x 3的＝4x 3∈（16，8+8√2）． 故答案为：（0，1）；(16，8+8√2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．解：（1）原式=223⋅213+lg5lg4⋅lg2lg25−e ln2=2+lg52lg2⋅lg22lg5−2 =14． （2）原式=√(1+sinα)21−sin 2α−√(1−sinα)21−sin 2α=√(1+sinα)2cos 2α−√(1−sinα)2cos 2α．因为α为第三象限角，所以1+sin α＞0，1﹣sin α＞0，cos α＜0， 即上式=1+sinα−cosα−1−sinα−cosα=2sinα−cosα=−2tan α．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x −π3)．（1）用五点法画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）求不等式f （x ）≥1的解集． 解：（1）由题意函数f(x)=2sin(2x −π3)，列表如下：描点，连线，可得f(x)=2sin(2x −π3)的图象如下：（2）由题意f （x ）≥1，可得sin(2x −π3)≥12，令π6+2kπ≤2x −π3≤5π6+2kπ，k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ， 所以不等式f （x ）≥1的解集为{x|π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．解：（1）由题知，f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx，所以，f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以函数f（x）的周期T=π=2π2ω，所以ω＝1，f(x)=sin(2x+π6 )．令2x+π6=π2+kπ，解得x=π6+kπ2，k∈Z，函数f（x）图象的对称轴所在直线的方程为x=π6+kπ2，k∈Z．（2）由题知，将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(2(x−π6)+π6)=sin(2x−π6)，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=sin(x−π6 )．所以，当x−π6∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，即x∈[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z时，g（x）单调递增，所以函数g（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．解：（1）因为f（0）＝0，所以n＝0．又因为f（3）＝4，即f(3)=log2√3+1+3m=4，所以m＝1．又因为g（0）＝0，即0﹣log232+p＝0，解得p＝5．（2）由（1）知，f(x)=log2√x+1+x，x≥0，g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+5，0≤x＜32．设企业所获利润为h（x），投入A生产线x万元，则投入B生产线（22﹣x）万元，所以h（x）＝f（x）+g（22﹣x），0≤x≤22，即ℎ(x)=log2√x+1+x+22−x−log2(10+x)+5，0≤x≤22，整理得ℎ(x)=log2√x+110+x+27，0≤x≤22，令√x+1=t，t∈[1，√23]，则x＝t2﹣1，所以u(t)=log2t9+t2+27=log219t+t+27，t∈[1，√23]，因为t+9t≥6，当且仅当t=9t，即t＝3时等号成立，此时x＝8．最大利润为27+log216=26−log23．所以投入A生产线8万元、B生产线14万元时，该企业获得最大利润为（26﹣log23）万元．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．解：（1）因为AB=3，BC=√3，∠PCQ=π4，所以在直角△PCD中，PD＝3tanα，则AP=√3−3tanα，在△QBC中，QB=√3tan(π4−α)，所以AQ=3−√3tan(π4−α)，所以S△CPQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ﹣S△CPD﹣S△BCQ=3√3−12(√3−3tanα)(3−√3tan(π4−α))−92tanα−32tan(π4−α)，0≤α≤π6，整理得S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6；（2）由（1）知，S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6，所以S△CPQ=3√32(1−sinαsin(π4−α)cosαcos(π4−α))=3√32×[1sinα(√22cosα−√22sinα)cosα(22cosα+22sinα)]=3√32×1cos2α+sinαcosα=3√32×112cos2α+12sin2α+12=3√32sin(2α+π4)+1，因为0≤α≤π6，所以2α+π4∈[π4，7π12]，所以当2α+π4=π2，即α=π8时，√2sin(2α+π4)取得最大值√2，所以△CPQ面积的最小值为3√6−3√3．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），令x＝1，y＝0，所以f（1）﹣f（0）＝2，因为f（1）＝0，所以f（0）＝﹣2．（2）由（1）知，f（0）＝﹣2，令y＝0，得f（x）﹣f（0）＝x2+x，所以f（x）＝x2+x﹣2．所以f(sinx)+14=sin2x+sinx−74，令sin x＝t，其中﹣1≤t≤1，则y=t2+t−7 4，所以当t=−12时，y=t2+t−74取得最小值y min=14−12−74=−2．又因为∀x∈R，∀y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)，所以，∀y∈（﹣∞，﹣1），log a（1﹣y）＜﹣2恒成立．当a＞1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，因为1﹣y＞2，则u＝log a（1﹣y）＞log a2，则log a（1﹣y）＜﹣2不可能恒成立，舍去；当0＜a＜1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，所以要使log a（1﹣y）＜﹣2在（﹣∞，﹣1）上恒成立，只需log a2≤−2=log a 1a2，可得1a2≤2，解得√22≤a＜1．综上，a的取值范围为[√22，1)．。
2020学年烟台市高一上学期期末考试数学试卷
2020−2021学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin17°cos13°＋sin73°cos77°＝（ ）A 、23B 、21C 、−23D 、−21 2．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）A 、y ＝tanxB 、y ＝3xC 、y ＝xD 、y ＝x 33．设a ＝log 3.03，b ＝231-，c ＝log 23，则（ ）A 、c ＞b ＞aB 、c ＞a ＞bC 、a ＞c ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数f （x ）＝x 3＋3x −2的零点所在区间为（ ）A 、(0，41) B 、(41，21) C 、(21，43) D 、(43，1) 5．已知函数y ＝a 3+x ＋3（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则 cos α＝（ ）A 、53B 、−53C 、54D 、−54 6．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC 长度为8（单位：百米），OA 是函数y ＝log a （x＋b ）图象的一部分，ABC 是函数y ＝Msin （ωx ＋φ）（M ＞0，ω＞0，|φ|＜2π，x ∈[4，8]）的图象，最高点为B （5，334），则道路OABC 所对应函数的解析式为（ ）A 、y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤+84),36sin(33440),1(log 3x x x x ππB 、y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤+84),36sin(33440),1(log 3x x x x ππ C 、y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤+84),36sin(33440),1(log 5x x x x ππ D 、y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤+84),36sin(33440),1(log 5x x x x ππ7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL ，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（ ）（参考数据：lg3≈0.477）A 、6B 、7C 、8D 、98．将函数f(x)＝cos(2x −3π)的图象向左平移φ(0＜φ＜2π)个单位长度得到函数g （x ）的图象，若x 1，x 2使得f （x 1）g （x 2）＝−1，且|x1−x2|的最小值为6π，则φ＝（ ） A 、12π B 、6π C 、4π D 、3π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（ ）A 、经过30分钟，钟表的分针转过−2π弧度B 、若sin θ＞0，cos θ＜0，则θ为第二象限角C 、若sin θ＋cos θ＞1，则θ为第一象限角D 、函数y ＝sin|x|是周期为π的偶函数10．已知函数f （x ）＝sinx ＋cosx ，则（ ） A 、f （x ）在(2π，π)上单调递减 B 、f （x ）图象关于点(43π，0)对称 C 、f （x ）图象的两条相邻对称轴之间的距离为πD 、当x ＝4π＋2k π(k ∈Z)时，f （x ）取得最小值 11．已知函数f （x ）＝log a x ＋log a （a −x ）（a ＞0，且a ≠1），则（ ）A 、f （x ）定义域为（0，a ）B 、f （x ）的最大值为2−2log a 2C 、若f （x ）在（0，2）上单调递增，则1＜a ≤4D 、f （x ）图象关于直线x ＝2a 对称 12．定义新运算“⊗”：x ⊗y ＝log 2（2x ＋2y ），x ，y ∈R ，则对任意实数a ，b ，c 有（ ）A 、a ⊗a ＝2aB 、（a ⊗b ）⊗c ＝a ⊗（b ⊗c ）C 、a ⊗b ≥1＋2b a + D 、（a ⊗b ）−c ＝（a −c ）⊗（b −c ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝x 2−2x −a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________．14．若幂函数f(x)＝(m 2−m −1)x的图象不经过原点，则实数m 的值为_________． 15．函数y ＝21sin +x 的定义域为__________________． 16．如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点P 为正六边形的一个顶点，当点P 第一次落在桌面上时，点P 走过的路程为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．化简求值：（1）(827)32-＋π0＋log 322−log 9164；（2）已知tan α＝−2，求)3sin()cos()2sin()sin(2παααπαπ-+-++-的值．18．在①f （x ）图象过点(2π，1)，②f （x ）图象关于直线x ＝32π对称，③f （x ）图象关于点(6π，0)对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，−2π＜φ＜0)的最小正周期为2π，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）将f （x ）的图象上所有点向左平移12π个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递增区间．19．（1）求函数y ＝(log 2x)2＋log 2x ，x ∈[21，2]的值域；（2）解关于x 的不等式：log a (x ＋1)＞log a (3−x 2)（a ＞0，且a ≠1）．20．已知函数f(x)＝2cos(x −3π)cosx ＋1． （1）设x ∈[−6π，3π]，求f （x ）的最值及相应x 的值； （2）设f(α＋12π)＝611，求cos(67π−2α)的值．21．为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m的扇形健身场地AEF，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值以及相应θ的值．22．已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且f（x）＋g（x）＝2e x，其中e＝2.71828…．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若不等式f（x2＋3）＋f（1−ax）＞0在（0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[m，＋∞），使f(x2)＝e成立，求实数m的取值范围．。
2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．tan15︒=（ ） A．2B．2 C1 D1【答案】B【解析】将所求式子中的角15︒变形为4530︒-︒然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值. 【详解】()1tan 45tan 3012tan15tan 453021tan 45tan 306︒-︒-︒=︒-︒=====-+︒︒. 故选：B. 【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题. 2．方程3log 5x x =-的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】D【解析】构造函数()3log 5f x x x =+-，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间. 【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上为增函数， 所以，函数()3log 5f x x x =+-至多只有一个零点，()140f =-<，()32log 230f =-<，()310f =-<，()34log 410f =->，由零点存在定理可知，方程3log 5x x =-的根所在的区间为()3,4.故选：D. 【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 3．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角【答案】D【解析】根据象限角写出2a 的取值范围，讨论即可知2a 在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈，时，2a是第一象限角当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．4．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案. 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的弧长为6，面积为6，可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得3α=，即扇形的圆心角为3rad .故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ） A ．略有降低 B ．略有提高 C ．相等 D ．无法确定【答案】A【解析】先阅读题意，再列出现价，然后再比较大小即可. 【详解】设现价为b ，原价为a ，则()()()222110%110%10.01b a a a =+-=-<， 故选：A . 【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题，重点考查的是阅读能力，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.6．若02x π<<=（ ）A ．B ．-C ．0D ．2【答案】A【解析】根据半角公式化简原式，再根据x 的范围即可求得. 【详解】由半角公式可得：221cos 22cos ,1cos 22sin x x x x +=-=， 又02x π<<知，sin 0,cos 0x x >>，原式+==故选：A . 【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.7．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象可知当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，进而即可求出k 的值；接下来根据正弦函数的性质可得当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 有最大值，据此进行解答即可 【详解】由图像可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=， 当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=. 故选：C. 【点睛】本题是一道关于三角函数图象应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的图象与性质，是基础题. 8．已知函数()3f x x x =+，()2log g x x x =+，()2x h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案. 【详解】函数3()f x x x =+的零点为函数3y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数2()log g x x x =+的零点为函数2log y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数()2x h x x =+的零点为函数2x y =与y x =-的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数3y x =，2log y x =，2x y =与y x =-的图象如图所示：由图可知：0,0,0a b c =><，c a b ∴<<， 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是函数零点存在性定理，考查指数函数，对数函数，幂函数的图象的应用，数形结合思想的应用，是基础题.二、多选题 9．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可. 【详解】 根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；()76f x cos x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键. 10．若0a b >>，01c <<，则（ ） A ．log log c c a b < B ．a b c c > C ．c ca b >D ．()log 0c a b +>【答案】AC【解析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断. 【详解】A 项，因为01c <<，所以log c y x =为单调递减函数，由0a b >>得log log c c a b <，故A 正确；B 项，因为01c <<，所以xy c=为单调递减函数，由0a b >>，得a b c c <，故B 错误；C 项，因为0a b >> ，01c <<，所以1ca b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以c ca b >，故C 正确； D 项，取1,22c a b =+=，则()12log log 210c a b +==-<，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A．经过10min点P距离地面10mB．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的1倍2C．第17min和第43min时P点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m的min时间为203【答案】ACD【解析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P上升的高度，求出点P离地面的高度，再一一判断即可.【详解】由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP 垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：(),50P t h -，40A =，20T =可得20210ππω==，故点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 即t 时刻点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得40cos5010h t π=+；当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =,则其周期变为原来的2倍,故B 错误；第17min P 点距离地面的高度为()1731740cos5040501010h cos ππ=+=+， 第20min P 点距离地面的高度为()4334340cos5040cos 501010h ππ=+=+， 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即1040cos5070t π+≥， 即1cos 102t π≥，020t ≤≤，得0210t ππ≤≤，0103t ππ∴≤≤或52310tπππ≤≤，解得1003t ≤≤或50203t ≤≤，共20min 3，故D 正确. 故选：ACD . 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型,作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“M 函数”．下列所给出的函数中是“M 函数”的有（ ） A ．2yxB ．1y x =C ．12x y -=D ．()ln 1y x =+【答案】BD【解析】根据M 函数”的定义，逐一判断各函数是否为“M 函数”即可. 【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值()f x 与y 所对应的函数值()f y 互为相反数，即()()f y f x =-，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M 函数”的条件.对于A 中函数的值域为[)0,+∞，值域不关于原点对称，故A 不符合题意；对于B 中函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞，值域关于原点对称，故B 符合题意；对于C 中函数的值域为()0,∞+，值域不关于原点对称，故C 不符合题意；对于D 中函数的值域为R ,值域关于原点对称，故D 符合题意. 故选：BD . 【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题13．函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______． 【答案】310【解析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得.【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+22tan 2tan tan 1ααα-=+9691-=+310=. 故答案为：310.【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．已知函数()()3x af x a +=∈R 满足()()2f x f x =-，则实数a 的值为______；若()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】1- 1【解析】根据题意取0x =，再利用指数函数性质即可求得实数a 的值；将函数()f x 用分段函数表示，根据()f x 的单调性即可得出实数m 的最小值. 【详解】 （1）()()2f x f x =-,取0x =得，()()02f f =，233aa+∴=，即2a a =+，解得：1a =-； （2）由（1）知()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩， ()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增.()f x 在[),m +∞上单调递增，1m ∴≥，m 的最小值为：1.故答案为：1-；1. 【点睛】本题主要考查的是函数的概念和性质，考查学生对分段函数的理解和应用以及对函数性质的应用，考查学生的理解能力，是中档题.16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【解析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果. 【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒sin15=-︒ ()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒4=【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题17．求下列各式的值： （1）31log 493232log 2log 9+- （2）()1433101227--⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 【答案】（1）94；（2）2【解析】（1）利用对数的运算性质即可求得； （2）利用分数指数幂的运算性质即可求得. 【详解】 （1）原式331219224944log log ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭； （2）原式=14333324311212344--⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题主要考查的是分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质，考查学生的计算能力，熟练掌握并应用公式是解决本题的关键，是基础题.18．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点⎝⎭． （1）求()()23cos 22sin cos 222cos sin 22ππαπααπααπ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值； （2）已知02πβ-<<，且sin β=，求()cos αβ-的值．【答案】（1）3；（2）10【解析】（1）利用任意角三角函数的定义求得tan α，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值；（2）利用任意角三角函数的定义求得sin ,cos αα，再利用同角三角函数基本关系式求得cos β，再利用两角差的余弦公式即可求得()cos αβ-的值. 【详解】（1）依题意2tan α=， 原式()2222222sin sin sin sin cos sin sin sin sin sin cos ααααααααααα--+==--1123121cos sin tan sin cos tan αααααα+++====---；（2）因为α是第一象限角，且终边过点⎝⎭，所以sin cos αα==，因为02πβ-<<，且sin β=所以cos β==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+51051010⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用，熟练掌握这些公式是解决本题的关键，是基础题. 19．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%． （1）现有三个奖励函数模型：①()0.038f x x =+，②()0.8200x f x =+，③()20100log 50f x x =+，[]3000,9000x ∈．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到8000万元 【解析】（1）根据公司要求知函数()f x 为增函数，同时应满足()100f x ≥且()5xf x ≤，一一验证所给的函数模型即可； （2）由2010050350log x +≥，解不等式即可. 【详解】（1）由题意符合公司要求的函数()f x 在[]3000,9000为增函数，在且对[]3000,9000x ∀∈，恒有()100f x ≥且()5x f x ≤． ①对于函数()0.038f x x =+，当3000x =时，()300098100f =<，不符合要求；②对于函数()0.8200x f x =+为减函数，不符合要求； ③对于函数()2010050f x log x =+在[]3000,10000， 显然()f x 为增函数，且当3000x =时，()2030001002050100f log >+≥；又因为()()2020900010090005010016000050450f x f log log ≤=+<+=；而300060055x ≥=，所以当[]3000,9000x ∈时，()5max minx f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭． 所以()5xf x ≥恒成立；因此，()2010050f x log x =+为满足条件的函数模型． （2）由2010050350log x +≥得：203log x ≥，所以8000x ≥， 所以公司的投资收益至少要达到8000万元． 【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力. 20．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的表达式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3,23⎡⎣ 【解析】(1)利用函数的图象得到,A T ，求出ω，利用函数图象经过的特殊点，求出ϕ，即可求出函数()f x 的解析式； （2）根据函数平移关系求出函数()g x 的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可. 【详解】（1）由题图可知2A =，11521212T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()22f x sin x ϕ=+， 得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，即()23k k Z πϕπ=-∈， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()223f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）依题意()222263g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，方程()()0f x g x a +-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，即方程()()f x g x a +=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解．令()22223223h x sin x sin x sin x x π⎛⎫=-+=⎪⎝⎭12222sin x cos x ⎫=-⎪⎪⎭26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()h x 的值域为⎡⎣，所以实数a 的取值范围为⎡⎣．【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.21．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．22cos 15cos 15sin15︒︒︒+︒；()()22cos 80cos 50sin 50︒+-︒︒-︒； ()()22cos 170cos 140sin 140︒+-︒︒-︒．（1）求出这个常数；（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）74；（2）见解析【解析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据30αβ+=︒将β用α表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明.【详解】（1）2215151515cos cos sin ︒+︒︒︒2221515cos =︒-︒)130130cos cos =+︒-︒7112224=+--=⎝⎭；（2）推广：当30αβ+=︒时，2274cos cos sin αβαβ+-=． 证明：∵30αβ+=︒，∴30βα=︒-，22cos cos sin αβαβ+()()223030cos cos sin αααα=+︒-︒-22112222cos sin cos sin αααααα⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222313442cos cos sin sin sin sin αααααααα=+++22777444cos sin αα=+=． 【点睛】本题主要考查的是二倍角公式，两角差的正弦、余弦公式，以及特殊角的三角函数值，归纳推理，考查的是学生的计算能力，要求学生熟练应用三角恒等变换，是中档题. 22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m <<【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明； （3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln 1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()()()()()11212222111111ln 111ln 1ln x x x x f x f x x x x x --+=+--=++--，因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数．同理，()f x 在(),1-∞上为增函数．（3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩， 即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mxx ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根， 令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}24A x x =<<，{}260B x x x =--≤，则()U A B ∩等于（ ）A ．(]2,3B ．()3,4C ．[)2,4-D ．()(),23,4-∞-【答案】B【解析】化简集合B ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】{}260B x x x =--≤{|23}x x =-≤≤，{|2UB x x =<-或3}x >，所以()U A B ∩{|34}x x =<<. 故选：B2．命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A ．0x ∀≥，sin x x > B ．00x ∃<，00sin x x > C ．00x ∃≥，00sin x x > D ．00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是 00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．4．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2A ，1sin ,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()sin1,C n ，则m 与n 的大小关系为（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不等确定【答案】B【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助()f x 的单调性即可判断作答.【详解】依题意，设()f x x α=，由()42f =得：42α=，解得12α=，则有()f x x =，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，又sin y x =在(0,)2π上单调递增，即10sin sin12<<，因此有1sin sin12<，则m n <，B 正确.故选：B 5．函数lg 1()x x f x x-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求函数定义域得()()(),00,11,x ∈-∞+∞，再根据定义域分0x <，01x <<，1x >三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：()()(),00,11,-∞+∞， 当0x <时，11x -+>函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-，故排除CD 选项； 当01x <<时，011x <-+<，故函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<，故排除B 选项； 当1x >时，函数()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．在ABC 中，3cos 5A =且5cos 13B =，则cos C 等于（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365-D ．6365【答案】B【分析】在ABC 中， ()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在ABC 中，A B C π++=， ∴()C A B π=-+，又3cos 5A =，5cos 13B =，∴4sin 5A =，12sin 13B =， ∴()()cos cos cosC A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+ 354123351351365⎛⎫=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【解析】令[]sin 21,3t x =+∈，可得出()44f x t t =+-，令()44g t t t =+-，证明出函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，由此可求得函数()g t 在区间[]1,3上的最大值，即为所求.【详解】令[]sin 21,3t x =+∈，则sin 2x t =-，则()()222sin 44sin 2t x f x t x t t-===+-+，令()44g t t t =+-，下面证明函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，任取1t 、[)21,2t ∈且12t t <，则()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，1212t t ≤<<，则120t t -<，1214t t <<，()()120g t g t ∴->，()()12g t g t ∴>，所以，函数()44g t t t =+-在区间[)1,2上为减函数，同理可证函数()44g t t t =+-在区间(]2,3上为增函数，()11g =，()133g =，()max 1g t ∴=.因此，函数()f x 的最大值为1. 故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下： （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,]5∪(5，＋∞)B ． 1(0,)5∪[5,)+∞C ． 11(,)75∪(5，7)D ． 11(,)75∪[5，7)【答案】A【详解】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)，因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是10,5⎛⎤⎥⎝⎦∪(5，＋∞)．故选A .点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅ B ．{}0∅⊆ C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得,A D 错误，,B C 正确. 【详解】,A 0∉∅，所以该选项错误； ,B 空集是任何集合的子集，所以该选项正确；,C 由子集的定义得{}{},,a b b a ⊆，所以该选项正确；,D ∅是一个集合，它和{0}之间不能用∈连接，所以该选项错误.故选：BC10．下列不等式中正确的是（ ） A ．已知a b <，则有2a ba b +<< B ．已知0a b <<，0c d >>，0m >，则m ma cb d<-- C ．已知0a b >>，则22ac bc > D ．已知0a >，0b >，则2aba b≤+【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断. 【详解】因为a b <，所以有：2a a b <+，所以：2a ba +<，又：2a b b +<，所以：2a b b +<，所以：2a ba b +<<，所以A 正确； 因为0c d >>，所以有：0c d -<-<，所以：0a c b d -<-<，所以：110a c b d>>--，又0m >，所以：m ma cb d>--，所以B 错误； 因为2c ≥0，0a b >>，当20c >时，22ac bc >成立，当2c =0时，220ac bc ==，所以C 错误； 因为0a >，0b >，所以有：0a b +≥，10a b>+，所以()11a b a b a b +≥⋅++即：01<≤2ab a b ≤+D 正确. 故选：AD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A ．()1f x x =+B ．()1f x x x=-，0x > C ．()23f x x x =-+D ．()12log f x x =【答案】BD【解析】对于ABC ：通过解方程()00f x x =可得答案；对于D ，通过作出两个函数的图象可得答案. 【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的， 对于A ：当001x x +=时，该方程无解，故A 不满足； 对于B ：当0001x x x -=，00x >时，解得02x =B 满足；对于C ：当20003x x x -+=，即()20120x -+=时，无实数根，故C 不满足；对于D ；画出()12log f x x =与y x =的图象显然有交点，即存在一个点0x ，使得()00f x x =，故D 满足；综上，BD 均满足. 故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.12．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+< 【答案】ABD【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A ；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B ；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C ；由0x >时，lg y x =-和tan y x =的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】因为()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-， 所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即2x k π=+π，Z k ∈时， ()sin cos sin cos 02x f x x k k πππ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭，所以当2x k π=+π，Z k ∈时，()0g x ≠， 当2x k ππ≠+，Z k ∈时，()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-，当00x <，00x ->，则()()()000lg f x f x x =--=--，由于()g x 的一个零点为0x ，则()()()00000tan lg lg tan 0x f x x x x =-=-⇒--=，故B 正确；如图：当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，2lg y x =-，的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且()()0sin00cos00g f =+⋅=，所以函数在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C错误；由图可知，()g x 大于1的零点，134x ππ<<，2322x ππ<<，所以12934x x ππ<+<， 而974π>，故推出1273x x π<+<，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______．【答案】15-【分析】由于22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++，然后代值计算即可 【详解】因为tan 2α=，所以22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++ 214212215+⨯=-=-+，故答案为：15-14．已知,x y ∈R +,且24,x y +=则(1)(21)x y ++的最大值为_______. 【答案】9【解析】将(1)(21)x y ++展开化为221x y x y ⋅+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】24,x y +=且,x y ∈R +,∴ 22(1)(21)2212192x y x y x y x y x y +⎛⎫++=⋅+++≤+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当2,1x y ==时取等号，故(1)(21)x y ++的最大值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.四、双空题16．已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则f (6)=________；若方程()f x x a =+在区间[4,8]-有三个不等实根，实数a 的取值范围为________.【答案】 8 {2}(4,0)⋃-【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的取值范围．【详解】解：因为22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩()()()()62222242228f f f ∴==⨯-=--+=作出函数()f x 在区间[4,8]-上的图象如图：设直线y x a =+，要使()f x x a =+在区间[4,8]-上有3个不等实根， 即函数y x a =+与()y f x =在区间[4,8]-上有3个交点， 由图象可知40a 或2a = 所以实数a 的取值范围是(){}4,02- 故答案为：8；(){}4,02-．【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．五、解答题 17．求值： (1)1030.256341782(23)86；(2)2552lg4lg log 5log 48++⋅.【答案】(1)112 (2)3【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决； （2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决. 【详解】（1）1030.256341782(23)861113110.25336233424432122(23)2223112（2）22555lg5lg 42lg 4lglog 5log 4lg 4lg 88lg 2lg525lg 42lg 2lg 4lg101238lg 2lg 218．已知函数()224x a f x x a =-+-的定义域是[]2,3-.（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；（2）设:p a M ∈，[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由.【答案】（1）[]1,8-；（2）[)4,+∞(答案不唯一)，理由见解析. 【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤的充要条件，然后可得答案. 【详解】当2a =时，()()211f x x =--， 所以()()min 11f x f ==-，()()max 28f x f =-= 所以值域是[]1,8-.（2）据题意使“[]2,2x ∀∈-，都有()0f x ≤”为真命题的充要条件是()max 0f x ≤，即有()()2222802280f a a f a a ⎧-=-++≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，其解集是(][),44,-∞-⋃+∞， 故使p 是q 的充分不必要条件的集合M 可以是[)4,+∞. 19．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 又222()2121xx x f x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x xx f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+， 所以，1a =.（2）由（1）知，2()121xf x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<.又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.20．已知函数()()πsin 03f x x m ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知． 条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 的最大值与最小值之和为0； 条件③：()02f =． (1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，求实数a 的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)5π12【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出； （2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解. 【详解】（1）若选择条件①，则2ππω=，故可得2ω=；若选择条件②，则110m m ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，故可得m =若选择条件③，则πsin 23m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得2m =； 根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件． 若选择①②，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；若选择①③，则()πsin 223x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，()πsin 23f x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又其单调性与()πsin 23h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭相同，故函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，可转化为()h x 在[]0,a 上是增函数． 又当[]0,x a ∈，πππ2,2333x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要满足题意，只需ππ232a -≤，故可得50π12a <≤，即实数a 的最大值为5π12．21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==； ②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 22．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2()lg1xf x x =+，()(),10,-∞-+∞；（2）()()0,22,+∞；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lgxf x ax b=+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式； （2）转化为21x t x =+，解得2tx t =-，可求出满足条件的实数t 的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．22lglg lg xxx a ax b b x -=++，即22lglg lg x x ax b a bx-=++， 即2lg lg 2x a bx x ax b+⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+． 整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==． ∴2()lg 1xf x x =+， ∵201xx >+，∴1x <-，或0x >， ∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞．（2）方程()lg f x t =有解，即2lg lg 1xt x =+， ∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2tx t =-，∴12t t<--，或02tt >-，解得2t >或02t <<， ∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅， ∴()2lglg 81x x m x =++，∴281xx m x =++， ∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.。
山东省烟台市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
8
分
= 2 +1 = 3 ·····························································································10 分
18.解：（1）由题意得： cosα = a = − 4 ， ·········································· 2 分 a2 + 9 5
求实数 m 的取值范围.
高一数学试题 （第 6 页，共 6 页）
2021～2022 学年度第一学期期末学业水平诊断
高一数学参考答案
一、选择题 ACBC DABB
二、选择题 9.BD 10.ACD
三、填空题
11.AC 12.ABD
13. 2
3
14.
2π
15. 1 ≤ a < 1 16.1， 2 < c < 2 2 6
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。
17.（10 分）化简求值：
（1） (
2
8) 3
1
3 4 23
(3)0 ；
5
（2） log2 3 log3 4 lg 2 lg 5 .
18.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在坐标原点 O ，始边 与 x 轴的非负
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. sin 210 =
A. 1
1
B.
2
2
C. 3 2
3
D.
2
2.函数 y ln(4 x) x 的定义域为
山东省烟台市_学年高一数学上学期期末考试试题(PDF,无答案)【含答案】
则
.
C
?N
=
,
Yt
x
z
.
71 =
2
D
J?1 =
,
n
×
?
7
母 线 长为 ! 的 圆锥 的似面展 开
2
圆心 角等 于 12 0 勺 B
8
c
.
•B 则该 圆锥的体积 为
10
D
万
A
4
81
.
B
.
81
81
81 月 的 中点为 N
8
在 正 方 体 姓彐C D
与 B N 所 成凭 为
A
• B , C D , 中 C D 的 中点 为 M
2016 2 017
学年 度 第
一
学期 高
一
期 末 自主 练 习
数 学 试 题
注意 事项 . 本 试题 满 分 19 分 考 试 时 间 为 120 分 钟 2 使川 符 l越纸 HJ 必 须 使 用 0 5 毫 米 :BJ 黑 色签 字 笔 l $写 要字迹 乿 整 笔迹 清 晰 超 出 x 答 题 : l $写的 答案无 效 在 草稿 纸 丄 试题 卷 上 答题无效 3 得 卷 前将 密封 线 内 的项 目填 写清 楚 丄选 择 题 本 大题 共 12 小题 每 小题 5 分 共 6 o 分 在每 小题给 出 的 四个选 项 中
( 2 ) 规 定 每天 中 f
三 丄 解答 题
17
本大 题 共 6 个小 题
共
70
尔
B
( 本 小题 满 分 10 分 )
18
(
本 小 题 满分
,
12
分)
过 点 P (3 0 ) 有
山东省烟台市重点名校2023届高一上数学期末检测试题含解析
求 的值；
求 的值.
19．已知 .
（1）化简 ；
（2）若 ，求 .
20．设全集 ， ， .求 ， ， ，
21．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图
11、
【解析】根据题意，设满足题意得格点为 ，这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和为 ，故 ，再分别求 和 的最小值时的 即可得答案.
【详解】解：设满足题意得格点为 ，这6个回收点沿街道到回收站之间路程 和为 ，
则 ，
令 ，由于其去掉绝对值为一次函数，故其最小值在区间端点值，
所以代入 得 ，
所以当 时， 取得最小值，
【详解】 ， ， ，
则 或 ，则
，则 或
21、（1） ;20；
（2） 分,76.67分
（3）
【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；
（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；
（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.
所以
17、（1）
（2）
【解析】（1）当 时， ，当 时，函数 的值最小，求解即可；
（2）由于 ，分 ， ， 三种情况讨论，再结合题意，可得实数 的值
【小问1详解】
解：依题意得
山东省烟台市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.tan15︒=（ ）A. 2B. 2-C.1D.1【答案】B 【解析】 【分析】将所求式子中的角15︒变形为4530︒-︒然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值.【详解】()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303︒-︒︒=︒-︒=====+︒︒故选：B.【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题.2.方程3log 5x x =-根所在的区间为（ ） A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()3log 5f x x x =+-，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间.【详解】构造函数()3log 5f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上为增函数， 所以，函数()3log 5f x x x =+-至多只有一个零点，()140f =-<Q ，()32log 230f =-<，()310f =-<，()34log 410f =->，由零点存在定理可知，方程3log 5x x =-的根所在的区间为()3,4. 故选：D.【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.已知a 是第一象限角，那么2a是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】 【分析】 根据象限角写出2a 的取值范围，讨论即可知2a在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈， 时，2a是第一象限角当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．4.一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的弧长为6，面积为6，可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得3α=，即扇形的圆心角为3rad . 故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ） A. 略有降低 B. 略有提高 C. 相等 D. 无法确定【答案】A 【解析】 【分析】先阅读题意，再列出现价，然后再比较大小即可.【详解】设现价为b ，原价为a ，则()()()222110%110%10.01b a a a =+-=-<， 故选：A .【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题，重点考查的是阅读能力，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题. 6.若02x π<<，则cos sin x x+=（ ）A.B. -C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据半角公式化简原式，再根据x 的范围即可求得.【详解】由半角公式可得：221cos 22cos ,1cos 22sin x x x x +=-=，又02x π<<知，sin 0,cos 0x x >>，原式==.故选：A .【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.7.如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】 由图象可知当sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，进而即可求出k 的值；接下来根据正弦函数的性质可得当sin 16x πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，y 有最大值，据此进行解答即可【详解】由图像可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=， 当sin 16x πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭时，max 538y =+=. 故选：C.【点睛】本题是一道关于三角函数图象应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的图象与性质，是基础题.8.已知函数()3f x x x =+，()2log g x x x =+，()2xh x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】B 【解析】 分析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案.【详解】函数3()f x x x =+的零点为函数3y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数2()log g x x x=+零点为函数2log y x =与y x =-的图象交点的横坐标，函数()2xh x x =+的零点为函数2xy =与y x =-的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数3y x =，2log y x =，2xy =与y x =-的图象如图所示：由图可知：0,0,0a b c =><，c a b ∴<<， 故选：B.【点睛】本题主要考查的是函数零点存在性定理，考查指数函数，对数函数，幂函数的图象的应用，数形结合思想的应用，是基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. 2π为()f x 的一个周期B. ()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C. ()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. ()f x π+的一个零点为3π 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可. 【详解】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确. 当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；Q ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键. 10.若0a b >>，01c <<，则（ ） A. log log c c a b < B. a b c c > C. c c a b >D. ()log 0c a b +>【答案】AC 【解析】 【分析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断.【详解】A 项，因为01c <<，所以log c y x =为单调递减函数，由0a b >>得log log c c a b <，故A 正确；B 项，因为01c <<，所以xy c =为单调递减函数，由0a b >>，得a b c c <，故B 错误；C 项，因为0a b >> ， 01c <<，所以1ca b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以c c a b >，故C 正确；D 项，取1,22c a b =+=，则()12log log 210c a b +==-<，故D 错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.11.如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A. 经过10min 点P 距离地面10mB. 若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的12倍 C. 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同D. 摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为203min 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点P 上升的高度，求出点P 离地面的高度，再一一判断即可.【详解】由图形知，可以以点O 为原点，OP 所在直线为y 轴，与OP 垂直的向右的方向为x 轴建立坐标系，设出时间为t ，由题意：(),50P t h -，40A =，20T =可得20210ππω==， 故点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，即t 时刻点P 离地面的高度40sin 50102h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，化简得40cos 5010h t π=+；当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =,则其周期变为原来的2倍,故B 错误；第17min P 点距离地面的高度为()1731740cos 5040501010h cos ππ=+=+， 第20min P 点距离地面的高度为()4334340cos 5040cos 501010h ππ=+=+， 第17min 和第43min 时P 点距离地面高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即1040cos 5070t π+≥，即1cos102tπ≥，020t ≤≤Q ，得0210t ππ≤≤，0103t ππ∴≤≤或52310t πππ≤≤， 解得1003t ≤≤或50203t ≤≤，共20min 3，故D 正确. 故选：ACD .【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型,作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题.12.已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“M 函数”．下列所给出的函数中是“M 函数”的有（ ） A. 2y x = B. 1y x=C. 12x y -=D. ()ln 1y x =+【答案】BD 【解析】 【分析】根据M 函数”的定义，逐一判断各函数是否为“M 函数”即可.【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值()f x 与y 所对应的函数值()f y 互为相反数，即()()f y f x =-，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“M 函数”的条件.对于A 中函数的值域为[)0,+∞，值域不关于原点对称，故A 不符合题意；的对于B 中函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞，值域关于原点对称，故B 符合题意； 对于C 中函数的值域为()0,∞+，值域不关于原点对称，故C 不符合题意； 对于D 中函数的值域为R ,值域关于原点对称，故D 符合题意. 故选：BD .【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域， 考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()f x =________． 【答案】[2．+∞． 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 14.已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______． 【答案】310【解析】 【分析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】tan 3α=Q ，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+ 22tan 2tan tan 1ααα-=+ 9691-=+310=. 故答案为：310. 【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题. 15.已知函数()()3x af x a +=∈R 满足()()2f x f x =-，则实数a 的值为______；若()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______．（本题第一空2分，第二空3分） 【答案】 (1). 1- (2). 1 【解析】 【分析】根据题意取0x =，再利用指数函数性质即可求得实数a 的值；将函数()f x 用分段函数表示，根据()f x 的单调性即可得出实数m 的最小值. 【详解】（1）Q ()()2f x f x =-, 取0x =得，()()02f f =，233a a+∴=，即2a a =+，解得：1a =-； （2）由（1）知()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩， ()f x 在(),1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增.()f x Q 在[),m +∞上单调递增，1m ∴≥， m 的最小值为：1.故答案为：1-；1.【点睛】本题主要考查的是函数的概念和性质，考查学生对分段函数的理解和应用以及对函数性质的应用，考查学生的理解能力，是中档题.16.在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【解析】 【分析】利用诱导公式将点k P 的坐标变为()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒-，然后根据三角函数定义可得()cos sin 15k k θ=︒-，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】k P ()()()15,75sin k sin k ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒ 由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=()()sin14sin13sin 14sin 15︒+︒++-︒+-︒Lsin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒L sin15=-︒()sin 4530=-︒-︒cos45sin30sin 45cos30=︒︒-︒︒=故答案为：4. 【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。
2021-2022学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 求值sin210°=( )A. √32B. −√32C. 12D. −122. 函数y =ln(4−x)+√x 的定义域为( )A. (0,4)B. (0,4]C. [0,4)D. [0,4]3. 下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )A.B.C.D.4. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =lnxC. y =sinxD. y =2x5. 已知a =31.1，b =30.2，c =log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 已知函数f(x)={f(x +1),x <1(1e )x ,x ≥1，则f(−1+ln5)的值为( )A. 15B. 5C. e5D. 5e7. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示．设水车的直径为8m ，其中心O 到水面的距离为2m ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是120s.当水车上的一个水筒A 从水中(A 0处)浮现时开始计时，经过t(单位：s)后水筒A 距离水面的高度为f(t)(在水面下高度为负数)，则f(140)=( )A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m8. 设a ，b ∈R ，定义运算a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b，则函数f(x)=sinx ⊗cosx 的最小值为( )A. −1B. −√22C. −12D. 0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知α是第三象限角，则α2可能是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角10. 下列说法正确的有( )A. 函数y =x −1的图象不经过第四象限B. 函数y =tanx 在其定义域上为增函数C. 函数y =2x 与y =2−x 的图象关于y 轴对称D. 函数y =2x 与y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称11. 已知函数f(x)=cosx +cos(πx)，则下列结论正确的有( )A. f(x)是偶函数B. 2π是f(x)的一个周期C. f(x)的最大值为2D. f(x)的最小值为−212. 设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意的x 1∈D ，存在x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=c(c为常数)，则称函数y =f(x)在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有( )A. y =x 3B. y =tanxC. y =2sinxD. y =√4−x 2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若2a =3b =√6，则1a +1b 的值为______．14. 已知扇形的圆心角为π3，弧长为1，则其面积为______．15. 已知函数f(x)={(1−a)x +2a,x <03x−1,x ≥0的值域为R ，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤28x −2−1,x >2，若存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则ab 的值为______，c 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简求值：(1)(√8)−23−√43×213+(35)0；(2)log 23×log 34+lg2+lg5．18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点A(a,3)，cosα=−45． (1)求a 和tanα的值； (2)求sin(−α)+2sin(π2+α)3sin(3π2+α)+sin(π−α)值．19. 已知函数f(x)=sin(2x −π3)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π2]时，求不等式f(x)≥12的解集．20. 已知函数f(x)=2sin 2x +cosx −2．(1)求函数f(x)的零点； (2)当x ∈[α,2π3]时，函数f(x)的最小值为−1，求α的取值范围．21.直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示，咨询答疑、导购销售的新型营销模式．据统计，某职业主播的粉丝量不低于2万人时，其货物销售利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如表所示：(1)根据表中数据，分别用模型y=log a(x+m)+b和y=c√x+n+d建立y关于x的函数解析式；(2)已知该主播的粉丝量为9万人时，货物销售利润为3.3万元，你认为(1)中哪个函数模型更合理？说明理由．(参考数据；√57≈7.55)22.已知函数f(x)=4log2x+1，g(x)=m⋅4x+2x+1−m，m<0．log2x(1)求函数f(x)在区间(1,+∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用，属于基础题． 通过诱导公式得sin 210°=−sin(210°−180°)=−sin30°得出答案． 【解答】解：∵sin 210°=−sin(210°−180°)=−sin30°=−12． 故选D ．2.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{4−x >0x ≥0，解得0≤x <4．∴函数y =ln(4−x)+√x 的定义域为[0,4)． 故选：C ．由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由图象可知，B 中图象的零点是不变号零点， 其它图象中零点都是变号零点， 故B 不能用二分法求零点近似值． 故选：B ．根据变号零点能用二分法求近似值，不变号零点不能用二分法求零点近似值求解． 本题主要考查二分法的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：A.y =x 3是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确； B .对数函数y =lnx 的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误； C .正弦函数y =sinx 在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误；D .指数函数y =2x 的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误． 故选：A ．根据奇函数、增函数的定义，奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．考查奇函数和增函数的定义，以及奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，并熟悉指数函数、对数函数的图象，以及y =x 3的图象．5.【答案】D【解析】解：∵a =31.1>30.2=b >0，c =log 20.3<log 21=0，∴a >b >c ． 故选：D ．根据指对函数单调性可解决此题．本题考查指对函数单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={f(x +1),x <1(1e )x ,x ≥1，−1+ln5>0，∴f(−1+ln5)=(1e )−1+ln5=(1e )−1×(1e )ln5=e ×15=e5．故选：C ．由−1+ln5>0，得f(−1+ln5)=(1e )−1+ln5，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由题设，水车的角速度为2π120=π60/s ， 又水车的直径8m ，中心O 到水面的距离2m ，∴∠HOA 0=π3，故t(单位：s)后水筒A 距离水面的高度为f(t)=2−4cos(π3+πt60)m ， ∴f(140)=2−4cos(π3+140π60)=4m ．故选：B ．由题设可得三角函数模型f(t)=2−4cos(π3+πt60)，将t =140代入求值即可． 本题考查了数学建模思想及三角函数的运算，难点在于求出f(t)=2−4cos(π3+πt60)，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：定义运算a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b ，则函数f(x)=sinx ⊗cosx ={sinx (sinx ≥cosx)cosx(sinx <cosx)；由于函数的最小正周期为2π， 根据函数的图象：故：函数的最大值为1，函数的最小值为−√22；故选：B ．直接利用函数的图象的应用求出函数的最小值本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】BD【解析】解：因为α是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，当k为偶数时，α2是第二象限角；当k为奇数时，α2是第四象限角，故选：BD．因为α是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，再讨论k的奇偶可得．本题考查了象限角，轴线角，属基础题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，函数y=x−1的图象在一三象限内，不经过第四象限，选项A正确；对于B，函数y=tanx在每一个区间(−π2+kπ,π2+kπ)，k∈Z上单调递增，但在整个定义域内不是增函数，选项B错误；对于C，因为函数y=2x与y=2−x的图象关于y轴对称，所以选项C正确；对于D，因为函数y=2x与y=log2x互为反函数，所以两函数的图象关于直线y=x对称，选项D正确；故选：ACD．根据图象关于y轴对称、关于y=x对称，以及函数图象所在的象限和单调性，对照选项判断即可．本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题的真假判断问题，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：A：∵f(−x)=cos(−x)+cos(−πx)=cosx+cos(πx)=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴A正确，B ：∵f(0)=cos0+cos0=2，f(2π)=cos2π+cos(2π2)=1+cos(2π2)，∴f(0)≠f(2π)，∴B 错误，C ：当x =0时，则f(0)=cos0+cos0=2，又∵cosx ∈[−1,1]，cosπx ∈[−1,1]，∴f(x)的最大值为2，∴C 正确，D ：∵f(x)=cosx +cos(πx)≥−1−1=−2，当且仅当x =(2k 1+1)π，k 1∈Z 时，cosx =−1，x =2k 2+1，k 2∈Z 时，cos(πx)=−1等号成立， 故(2k 1+1)π=2k 2+1，∴π=2k 2+12k1+1，∵π为无理数，2k 2+12k 1+1为有理数，∴等号取不到，∴f(x)的最小值不为2，∴D 错误， 故选：AC ．利用三角函数的图象与性质判断即可． 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 3，其定义域为R ，值域为R ，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1，即x 23=2−x 13必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意； 对于B ，y =tanx ，其值域为R ，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1，即tanx 1+tanx 2=2必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意；对于C ，y =2sinx ，其定义域为R ，值域为[−2,2]，当x 1=−π2时，sinx 1=−1，若f(x 1)+f(x 2)2=1，解可得sinx 2=3，方程无解，不符合题意；对于D ，y =√4−x 2，其值域为[0,2]，对任意的x 1∈R ，方程f(x 1)+f(x 2)2=1必定有解，则f(x)在其定义域上的均值为1，符合题意； 故选：ABD ．根据题意，依次分析选项中函数是否为均值为1的函数，即可得答案． 本题考查函数与方程的关系，涉及函数的值域，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：∵2a =3b =√6，∴a =log 2√6，b =log 3√6， ∴1a+1b =log √6log √6=log √62+log √63=log √66=2，故答案为：2．先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解即可．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．14.【答案】32π【解析】解：扇形的弧长l =αr ，所以扇形的半径r =lα=1π3=3π， 扇形的面积S =12lr =12×1×3π=32π． 故答案为：32π．先利用扇形的弧长公式l =αr ，求得半径r ，再由扇形的面积公式S =12lr ，即可得解 本题考查扇形面积的求法，牢记扇形的面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】[16,1)【解析】解：根据题意得{1−a >0(1−a)×0+2a ≥30−1，解得a ∈[16,1)． 故答案为：[16,1)．结合函数单调性及值域可解决此题．本题考查函数单调性及值域，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．16.【答案】1 (2,2√2)【解析】解：函数f(x)的图象如图所示，因为存在实数a，b，c(a<b<c)满足f(a)=f(b)=f(c)，所以−log2a=log2b，即log2a+log2b=0，∴log2ba=0，所以ab=1，当x>2时，y=8x−2−1，由8x−2−1=0，得x=2√2，所以2<c<2√2，故答案为：1，(2,2√2).画出f(x)的图象，由图可知−log2a=log2b，化简可求出ab的值，然后求出函数y=8x−2−1与x轴的交点坐标，从而可求出c的取值范围本题考查了对数函数的性质、幂函数的零点及数形结合思想，作出图象是解答本题的难点，也是关键点，属于基础题．17.【答案】解：(1)原式=232×(−23)−223×213+1=12−2+1=−12．(2)原式=log24+lg(2×5)=2+lg10=2+1=3．【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．(2)利用对数的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为角α的终边经过点A(a,3)，cosα=−45=√a2+32<0，两边平方，可得a2=16，所以a=−4，或4(舍去)，所以tanα=−34．(2)sin(−α)+2sin(π2+α)3sin(3π2+α)+sin(π−α)=−sinα+2cosα−3cosα+sinα=−tanα+2−3+tanα=−(−34)+2−3+(−34)=−1115．【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义即可求解． (2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ， 故f(x)的单调递增区间[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)． (2)因为f(x)≥12，所以sin(2x −π3)≥12， 则2kπ+π6≤2x −π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 当k =0时，π4≤x ≤7π12，又x ∈[−π2,π2]，所以π4≤x ≤π2， 当k =−1时，−3π4≤x ≤−5π12，又x ∈[−π2,π2]，所以−π2≤x ≤−5π12， 所以不等式f(x)≥12的解集为：{x|−π2≤x ≤−5π12，或π4≤x ≤π2}.【解析】(1)利用正弦函数的单调性即可求解；(2)由题意可得sin(2x −π3)≥12，利用正弦函数的性质可得2kπ+π6≤2x −π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，分类讨论即可求解．本题考查正弦函数的单调性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是灵活解决问题的关键，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin 2x +cosx −2=−2(cosx −14)2+18，当cosx −14=±14时，即cosx =0或12时，函数f(x)=0； 即x =kπ+π2或x =2kπ+π3时，函数f(x)的值为0， 故函数的零点为{x|x =kπ+π2或x =2kπ+π3}(k ∈Z)． (2)由于f(x)≥−1，故−2(cosx −14)2+18≥−1， 整理得−12≤cosx ≤1，由于x ∈[α,2π3]， 故α∈[−2π3,2π3)．故α的取值范围[−2π3,2π3)．【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的求出函数的零点； (2)直接利用三角函数的不等式的应用求出α的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)若用模型y =log a (x +m)+b ，则{ 14=log a (2+m)+b 54=log a (3+m)+b 94=log a (5+m)+b ，解得a =2，m =−1，b =14，所以用模型y =log a (x +m)+b 建立y 关于x 的函数解析式为y =log 2(x −1)+14， 若用模型y =c √x +n +d ，则，解得c =√2，n =−158，d =−14， 所以用模型y =c √x +n +d 建立y 关于x 的函数解析式为y =√2⋅√x −158−14．(2)在模型y =log 2(x −1)+14中，当x =9时，y =log 2(9−1)+14=134=3.25万元； 在模型y =√2⋅√x −158−14中，当x =9时，y =√2⋅√9−158−14=√572−14≈7.552−14=3.525万元，由于3.25万元更接近销售利润3.3万元，所以模型y =log 2(x −1)+14更合理．【解析】(1)将表格中已知的三组数据(x,y)分别代入两个函数模型中，解方程组，求出参数，即可；(2)分别令(1)中得到的两个函数模型中的x =9，求出相应的y 值，并比较与销售利润3.3万元的接近程度，即可得解．本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握指数幂、对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=4log 2x +1log 2x ，x ∈(1,+∞)．令log 2x =t ∈(0,+∞)，f(x)=4t +1t =ℎ(t)，t ∈(0,+∞)，ℎ′(t)=4−1t 2=4(t+12)(t−12)t 2=0，解得t =12∴函数ℎ(t)在t ∈(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增． ∴t =12时，函数ℎ(t)取得极小值即最小值，ℎ(12)=4． 即log 2x =t =12，x =√2时，函数f(x)取得最小值4．(2)g(x)=m ⋅4x +2x+1−m =m(2x +1m )2−m −1m ，m <0． ∵x ∈[1,2]，∴2x ∈[2,4]． m ∈[−14,0)时，−1m∈[4,+∞)，此时函数g(x)单调递增，x =2时取得最大值，g(2)=15m +8．m ∈(−12,−14)时，−1m ∈(2,4)，此时函数g(x)在[1,log 2(−1m ))上单调递增，在(log 2(−1m),2]上单调递减．∴x =log 2(−1m )时取得最大值，g(log 2(−1m ))=−m −1m．m ∈(−∞,−12]时，−1m ∈(0,2]，此时函数g(x)单调递减，x =1时取得最大值，g(1)=3m +4．(3)对∀x 1∈(1,+∞)，∃x 2∈[1,2]，使得f(x 1)+g(x 2)>7成立⇔f(x 1)min >[7−g(x 2)]min =7−g(x 2)max ，∀x 1∈(1,+∞)，∃x 2∈[1,2]．①m ∈[−14,0)时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值g(2)=15m +8，∴4>7−(15m +8)，解得m >−13，∴−14≤m <0．②m ∈(−12,−14)时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值为g(log 2(−1m ))=−m −1m ，∴4>7−(−m −1m )，解得：m <−3−√52，或m >√5−32，又m ∈(−12,−14)，∴√5−32<m <−14．③m ∈(−∞,−12]时，g(x)在x ∈[1,2]上的最大值为g(1)=3m +4，∴4>7−(3m +4)，解得m >−13，不满足m ∈(−∞,−12]，舍去．综上可得实数m的取值范围是(√5−32,0)．【解析】(1)函数f(x)=4log2x+1log2x，x∈(1,+∞).令log2x=t∈(0,+∞)，f(x)=4t+1t=ℎ(t)，t∈(0,+∞)，利用导数研究函数ℎ(t)的单调性极值与最值，即可得出结论．(2)g(x)=m⋅4x+2x+1−m=m(2x+1m )2−m−1m，m<0.x∈[1,2]，2x∈[2,4].对m分类讨论，结合二次函数的单调性即可得出结论．(3)对∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)+g(x2)>7成立⇔f(x1)min>[7−g(x2)]min=7−g(x2)max，∀x1∈(1,+∞)，∃x2∈[1,2].结合(1)，(2)即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2022-2023学年山东省烟台市烟台高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】由函数 在区间 上单调递增，
可得 ，求得 ，故 的最大值为 ，
故答案为：4
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算：（1）
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】结合指数与对数的运算法则和换底公式即可.
即 ，所以 ，
故答案为：100.
15.已知钝角 终边上一点的坐标为 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据任意角三角函数定义得到 ，再结合诱导公式及角的范围得到 的值.
【详解】因为 ，又因为角 为钝角，所以 .
故答案为：
16.已知函数 在 上单调递增，则 的最大值是____.
【答案】4
【详解】因为 ，所以 ，
，则 ， ， .
所以 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用 计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7.已知函数 ，若函数 只有两个零点，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解 为0时 的值，可得 只有两个零点，再根据 分析可得 无解，进而求得 的取值范围即可.
所以当 时，方程 有4个不同的实数根，故D正确，
故选：ACD．
12.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为 ，质点A以 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）
A. 时， 的弧度数为 B. 时，扇形 的弧长为
C. 时，扇形 的面积为 D. 时，A，B在单位圆上第一次相遇
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(wd无答案)
山东省烟台市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. （）．A．B．C．D．(★★★) 2. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）．A．B．C．D．(★) 3. 设，，，则（）．A．B．C．D．(★★) 4. 函数的零点所在区间为（）．A．B．C．D．(★★) 5. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（）．A．B．C．D．(★★★) 6. 改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路长度为8（单位：百米），是函数图象的一部分，是函数的图象，最高点为，则道路所对应函数的解析式为（）．A．B．C．D．(★★★) 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（参考数据：）（）．A．6B．7C．8D．9(★★★) 8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若, 使得，且的最小值为，则（）．A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列说法正确的有（）．A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度B．若，，则为第二象限角C．若，则为第一象限角D．函数是周期为的偶函数(★★★) 10. 已知函数，则（）．A．在上单调递减B．图象关于点对称C．图象的两条相邻对称轴之间的距离为D．当时，取得最小值(★★★) 11. 已知函数（，且），则（）．A．定义域为B．的最大值为C．若在上单调递增，则D．图象关于直线对称(★★★) 12. 定义新运算“ ”：，，则对任意实数，，有（）．A．B．C．D．三、填空题(★) 13. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ________ ．(★★) 14. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ________ ．(★★) 15. 函数的定义域为 ________ ．(★★) 16. 如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为________ ．四、解答题(★★) 17. 化简求值：（1）；（2）已知，求的值．(★★★) 18. 在① 图象过点，② 图象关于直线对称，③ 图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知的最小正周期为，________．（1）求函数的解析式；（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．(★★) 19. （1）求函数，的值域；（2）解关于的不等式：（，且）．(★★★) 20. 已知函数．（1）设，求的最值及相应的值；（2）设，求的值．(★★) 21. 为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为的正方形空地，若已规划出以为圆心、半径为的扇形健身场地，欲在剩余部修建一块矩形草坪，其中点在圆弧上，点，分别落在和上，设，矩形草坪的面积为．（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值以及相应的值．(★★★★) 22. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…．（1）求函数和的解析式；（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；（3）若，，使成立，求实数的取值范围．。
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山东省烟台市2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）
高一年级第一学期期末考试
数学答案
一、选择题： DACAC BDDAC
二、填空题： 11. 80 12. 0534=±-y x 13.28 14. 2>a 15. ② ④
三、解答题：
16.解：（1）∵0=b ，∴直线()01
:1≠=a a x l
………………………………… 3分
∵21l l ⊥，∴ 02=+a ，即2-=a .…………………………………… 6分
（2）∵2=b ，∴直线1l 的斜率为2a
.
又∵12//l l ，∴ ()22+-
=a a ，解得34
-=a ， …………………… 9分
∴直线0364:1=++y x l ，直线0864:2=-+y x l .
直线1l 与2l 之间的距离()2613
11648322=+--=d
.…………………………………12分
17.证明：(1) 因为四边形ABCD 是矩形,
所以AB //CD ,⊄AB 平面CDEF ,
所以AB //平面CDEF , ………………………………… 3分 ⊂AB 平面ABFE ,
平面ABFE ⋂平面EF CDEF =,AB //EF . ……………………… 6分
(2) 因为⊥DE 平面ABCD , ⊂BC 平面ABCD ;
所以BC DE ⊥,
因为CD BC ⊥, D DE CD =⋂,⊂DE CD ,平面CDEF , …………… 9分 所以⊥BC 平面CDEF ,⊂BC 平面BCF 内，
所以平面⊥BCF 平面CDEF . …………………………………… 12分 E F
18．解:(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．
∴2=a ，方程即为03=+y x . …………………………………… 3分 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得2
12
-=+-a a a ，即11=+a ，∴0=a ，方程即为02=++y x .
综上，l 的方程为03=+y x 或02=++y x . …………………………………… 6分
(2)将l 的方程化为2)1(-++-=a x a y ，
∴⎩⎨⎧≤->+-020)1(a a 或⎩⎨
⎧≤-=+-020
)1(a a
∴1-≤a .
综上可知a 的取值范围是1-≤a . …………………………………… 12分
19.解：⑴由题意知，当300≤≤x 时，();60=x v
当21030≤≤x 时，设(),b ax x v +=
由已知可得⎩⎨⎧=+=+02106030b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨
⎧=-=703
1
b a .
所以函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤=210
30,703130
0,60x
x x x v . …………………………………… 6分
⑵由⑴可知()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤
+-≤≤=210
30,703130
0,602x x x x x x f
当300≤≤x 时，()x x f 60=为增函数，
∴当30=x 时，其最大值为1800. …………………………………… 9分
当21030≤≤x 时，()()3675
10531703122+--=+-=x x x x f
，
当105=x 时，其最大值为3675. …………………………………… 11分 综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆. ……… 12分
20．解：（1）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，
因为∆ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．…………………………………… 3分 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面⋂ADB 平面ABC AB =，
所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥
由已知可得1DE EC ==，
在DEC Rt △
中，2CD ==．…………………………………… 7分
(2）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．
证明如下：
①当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，
所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥……………………… 9分 ②当D 不在平面ABC 内时，由（1）知AB DE ⊥．
又因AC BC =，所以AB CE ⊥．
又DE CE ，为相交直线，
所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．
综上所述，总有AB CD ⊥． …………………………………… 13分
21. 解：(1) 连结1AC ,交C A 1于点F ,则F 为1AC 中点，
又D 是AB 中点，连结DF ,则DF BC //1,
A B
C
D
E
因为⊂DF 平面CD A 1 ,⊄1BC 平面CD A 1,
所以//1BC 平面CD A 1. …………………………………… 3分
（2）直三棱柱111C B A ABC -中，
因为AC AA =1，所以C A AC 11⊥ ………………………………… 4分 因为CB CA ⊥, BC C B //11,
所以⊥11C B 平面11A ACC ,所以C A C B 111⊥…………………………… 6分 1111C AC C B =⋂,所以⊥C A 1平面11C AB
所以11AB C A ⊥ …………………………………… 8分
(3) 在直三棱柱111C B A ABC -中，CD AA ⊥1,
已知,CB AC =D 为AB 的中点,所以AB CD ⊥,
⊥CD 平面11A ABB .
∴DB CD DE CD ⊥⊥,,
∴ BDE ∠为二面角B CD E --的平面角.
在DEB Rt ∆中，22tan =∠BDE . 由,21===CB AC AA CB CA ⊥ ，
∴22=AB ，2=DB .
∴22
=DB BE ,得1=BE .∴点E 为1BB 的中点. …………………………11分 又∵2=CD ,61=D A ,3=DE ,31=E A ,
故21221E A DE D A =+,故有D A DE 1⊥
所以1
23621
313111=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-DC S V DE A DE A C ………………14分。