2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx
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新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册综合练习因式分解及其应用1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7)C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-252.下面分解因式正确的是( )A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4xC.ax+bx=(a+b)xD.m2-2mn+n2=(m+n)23.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( )A．-1 B．0 C．1 D．24.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-y2+1B.x2+(-y)2C.m2-n2D.-x2+(-y)25.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+16.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( )A.-9，6，-1B.9，-6，1C.9，6，1D.9，6，-17.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( )A.99×(57+44)=9 999B.99×(57+44-1)=9 900C.99×(57+44+1)=10 098D.99×(57+44-99)=1988.(-12)2 015+(-12)2 016的结果是( )A.-12 B.12 C.(12)2 015D.-(1 2)2 0169.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________.10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________.11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________.12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________．13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________.14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________.15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________.16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.17.因式分解：（1）4a2b2-12ab2+24ab3c; (2)4x(y-x)-y2;(3)x2-(y-1)2; (4)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2.18.用简便方法计算：（1）15×1012-992×15; (2)14×8.92-8.9×2.9×12+14×2.92.19.若|a+b-6|+(ab-4)2=0，求-a3b-2a2b2-ab3的值.20.已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.21.春蕾中学正在新建一栋食堂，在施工过程中，需要浇制三种半径分别为0.21 m，0.35 m，0.44 m的钢筋圆环，每种圆环都需要20个，则所需钢筋共有多长？22.阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像这样，先添一适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”因式分解：a2-6a+8;（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．参考答案1.B2.C3.B4.B5.D6.B7.B8.D9.3a(x-y) 10.011.(4x+3)(x-3) 12.a c b 13.7或-114.a2-b2=(a+b)(a-b) 15.26、24 16.x2(x+y)(x-y)17.(1)原式=4ab2(a-3+6bc).(2)原式=4xy-4x2-y2=-(2x-y)2.(3)原式=(x+y-1)(x-y+1).(4)原式=(a2+1-2a)2=(a-1)4.18.(1)原式=15×(1012-992)=15×200×2=6 000.(2)原式=14×(8.92-8.9×2.9×2+2.92)=14×(8.9-2.9)2=14×62=9.19.因为|a+b-6|+(ab-4)2=0,所以a+b-6=0,ab-4=0,即a+b=6,ab=4.又因为-a3b-2a2b2-ab3=-ab(a2+2ab+b2)=-ab(a+b)2,当a+b=6,ab=4时,原式=-ab(a+b)2=-4×6=-24.20.因为a2+b2+8a-6b+25=0,所以(a2+8a+16)+(b2-6b+9)=0,(a+4)2+(b-3)2=0.所以a=-4,b=3,(a+b)2 014=(-4+3)2 014=1.21.2π×0.21×20+2π×0.35×20+2π×0.44×20=2π×20×(0.21+0.35+0.44)=40π≈125.6(m).答：所需钢筋共有约125.6 m．22.（1）a2-6a+8=a2-6a+9-1=（a-3）2-1=（a-3+1）（a-3-1）=（a-2）（a-4）. （2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×6=13.②a4+b4 =（a2+b2）2-2a2b2=132-2×62=97.。
2020-2021学年湘教版七年级数学下册第3章因式分解单元综合能力提升训练(附答案)
2021年度湘教版七年级数学下册第3章因式分解单元综合能力提升训练（附答案）1．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2B．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2C．x2+x+＝（x+）2D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣92．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．403．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．64．多项式2ax2﹣6axy中，应提取的公因式是．5．已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为．6．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为．7．分解因式：9x2﹣6x+1＝．8．分解因式：9x2﹣y2＝．9．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为．10．把多项式x2﹣8x+16分解因式的结果为．11．把a3﹣4ab2分解因式，结果为．12．把多项式a3﹣4a2b+4ab2分解因式的结果是．13．分解因式：ab2﹣9a＝．14．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．15．分解因式：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝．16．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．17.因式分解：﹣28m3n2+42m2n3﹣14m2n＝．18．在实数范围内分解因式：3x2﹣6y2＝．19．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．20．如果x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2＝．21．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）22．分解因式：4xy2+4x2y+y3．23．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）1﹣x2﹣y2+2xy．24．观察下列因式分解的过程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n 分解因式．25．把下列各式分解因式：（1）2x2﹣5x﹣3（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3（3）（x2﹣3）2﹣4x2（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y）（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab26．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．27．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．28．如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．29．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．30．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．31．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．参考答案1．解：A、（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B、a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、x2+x+＝（x+）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．2．解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．3．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．4．解：∵2ax2﹣6axy＝2ax（x﹣3y），∴应提取的公因式是2ax．故答案是：2ax．5．解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．6．解：由题意得：a+b＝8，ab＝15，则原式＝ab（a+b）＝120，故答案为：1207．解：原式＝（3x﹣1）2，故答案为：（3x﹣1）28．解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．9．解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，∴2（m﹣2）＝±10，解得：m＝7或﹣3，故答案为：7或﹣310．解：x2﹣8x+16＝（x﹣4）2．故答案为：（x﹣4）2．11．解：原式＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b），故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）12．解：a3﹣4a2b+4ab2＝a（a2﹣4ab+4b2）＝a（a﹣2b）2．故答案为：a（a﹣2b）2．13．解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．14．解：由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．故答案为：9．15．解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．16．关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．17．解：（1）﹣28m3n2+42m2n3﹣14m2n＝﹣14m2n（2mn﹣n2+1）；18．解：原式＝3（x2﹣2y2）＝3（x+y）（x﹣y），故答案为3（x+y）（x﹣y）．19．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．20．解：∵x﹣y＝2，xy＝3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×2＝6．故答案为：6．21．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．22．解：4xy2+4x2y+y3＝y（4xy+4x2+y2）＝y（y+2x）2．23．解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（5x+4y）（x+8y）；（3）1﹣x2﹣y2+2xy＝1﹣（x2+y2﹣2xy）＝1﹣（x﹣y）2＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．24．（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（d﹣c）（a﹣b）②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2＝（x﹣3）2﹣y2＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）（1+x）n＝（1+x）n+125．解：（1）2x2﹣5x﹣3，＝（x﹣3）（2x+1）；（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3，＝a（x﹣2a）2（2a+x﹣2a），＝ax（x﹣2a）2；（3）（x2﹣3）2﹣4x2，＝（x2﹣3）2﹣（2x）2，＝（x2﹣2x﹣3）（x2+2x﹣3），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）（x+3）；（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1，＝（a2+2ab+b2）﹣（2a+2b）+1，＝（a+b）2﹣2（a+b）+1，＝（a+b﹣1）2；（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y），＝（x﹣y）（x2+3xy+y2﹣5xy），＝（x﹣y）3；（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab，＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab，＝（a2+6ab+9b2）﹣（2c）2，＝（a+3b﹣2c）（a+3b+2c）．26．解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．27．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）28．解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，∴a2+b2+ab＝29+10＝39．29．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．30．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案为：15．31．解：（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为（a+2b）（2a+b）；故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）由已知得：，化简得∴（a+b）2﹣2ab＝121，∴ab＝24，5ab＝120．∴空白部分的面积为120平方厘米．。
2020-2021学年湘教版七年级数学下册 第3章因式分解 章末综合能力提升训练
2021年湘教版七年级数学下册《第3章因式分解》章末综合能力提升训练（附答案）1．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2B．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2C．x2+x+＝（x+）2D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣92．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（）A．a2﹣4a+5＝a（a﹣4）+5B．a2﹣b2＝（a﹣b）2C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b23．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．64．下列各组中，没有公因式的一组是（）A．ax﹣bx与by﹣ay B．6xy﹣8x2y与﹣4x+3C．ab﹣ac与ab﹣bc D．（a﹣b）3与（b﹣a）2y5．计算248﹣26的结果更接近（）A．248B．247C．242D．2406．已知x﹣y＝，xy＝，则xy2﹣x2y的值是（）A．﹣B．1C．D．7．若多项式x2﹣ax+4能因式分解为（x﹣m）2，则a的值是（）A．±4B．±2C．4D．﹣48．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2C．x2+1＝（x+1）2D．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）9．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）10．把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是．11．在实数范围内分解因式：x4y4﹣4x4＝．12．多项式4xy2+12xyz的公因式是．13．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为．14．分解因式4x2y3+8x3y2﹣12x4y的公因式是．15．多次式36x+24x3y﹣12xy中各项的公因式是．16．分解因式y3﹣2y2+y＝．17．分解因式：y+y2+xy+xy2＝．18．分解因式：3m3﹣18m2n+27mn2＝．19．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝，n＝．20．若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．21．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是．22．如果3x2+px+q＝（3x+4）（x﹣2），那么p＝23．因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是．24．2021×20242024﹣2024×20212021＝．25．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．26．分解因式：（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2；（4）a3（x﹣y）+ab2（y﹣x）．27．先分解因式，再求值：已知a+b＝2，，求a3b+2a2b2+ab3的值．28．分解因式：（1）4x2﹣3y（4x﹣3y）（2）利用因式分解进行简便计算：20212﹣2022×202029．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足c2a2﹣c2b2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵c2a2﹣c2b2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣﹣（A）∴c2＝a2+b2﹣﹣（B）∴△ABC是直角三角形﹣﹣（C）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）从错误的那一步起写出正确完整过程．参考答案1．解：A、（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B、a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、x2+x+＝（x+）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．2．解：A、结果不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；B、根据平方差公式可知a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），故本选项不符合题意；C、从左到右的变形，是分解因式，故本选项符合题意；D、从左到右的变形中，是整式的乘法，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．4．解：A、ax﹣bx＝x（a﹣b），by﹣ay＝﹣y（a﹣b），有公因式（a﹣b），故本选项不符合题意；B、6xy﹣8x2y＝﹣2xy（4x﹣3），﹣4x+3＝﹣（4x﹣3），有公因式（4x﹣3），故本选项不符合题意；C、ab﹣ac＝a（b﹣c），ab﹣bc＝b（a﹣c），没有公因式，故本选项符合题意；D、（a﹣b）3x与（b﹣a）2y有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意．故选：C．5．解：248﹣26＝26（242﹣1）≈26×242＝248，故选：A．6．解：∵x﹣y＝，xy＝，∴xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y）＝﹣×＝﹣．故选：A．7．解：因为多项式x2﹣ax+4能因式分解为（x﹣m）2，所以m＝±2．当m＝2时，a＝4；当m＝﹣2时，a＝﹣4．故选：A．8．解：A选项中，多项式x2﹣x+2在实数范围内不能因式分解；选项B，C中的等式不成立；选项D中，2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．9．解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．10．解：4ab2﹣16ac2＝4a（b2﹣4c2）＝4a（b+2c）（b﹣2c）．故答案是：4a（b+2c）（b﹣2c）．11．解：x4y4﹣4x4＝x4（y4﹣4）＝x4（y2+2）（y2﹣2）＝x4（y2+2）（y+）（y﹣），故答案为：x4（y2+2）（y+）（y﹣）．12．解：多项式4xy2+12xyz的公因式是4xy，故答案为：4xy．13．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故选：13或﹣11．14．解：分解因式4x2y3+8x3y2﹣12x4y的公因式是4x2y．故答案为：4x2y．15．解：多项式36x+24x3y﹣12xy中各项的公因式是12x，故答案为：12x．16．解：y3﹣2y2+y，＝y（y2﹣2y+1），＝y（y﹣1）2．故答案为：y（y﹣1）2．17．解：y+y2+xy+xy2＝（y+y2）+（xy+xy2）＝y（1+y）+xy（1+y）＝（1+y）（y+xy）＝y（1+y）（1+x）．故答案为：y（1+y）（1+x）．18．解：3m3﹣18m2n+27mn2，＝3m（m2﹣6mn+9n2），＝3m（m﹣3n）2．故答案为：3m（m﹣3n）2．19．解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m解得m＝﹣20，n＝2；故应填﹣20，2．20．解：设另一个因式为x+a，则x2﹣px+q＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，由此可得，由①得：a＝﹣p﹣3③，把③代入②得：﹣3p﹣9＝q，3p+q＝﹣9，故答案为：﹣9．21．解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，∴设另一个因式是x+a，则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，∵（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，∴a﹣1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2，故答案为：2．22．解：∵（3x+4）（x﹣2）＝3x2﹣2x﹣8，3x2+px+q＝（3x+4）（x﹣2），∴p＝﹣2．故答案为：﹣2．23．解：因式分解x2+ax+b时，∵李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵王勇看错了b的值，分解的结果为（x+2）（x﹣3），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴原二次三项式为x2﹣x﹣12，因此，x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3），故答案为：（x﹣4）（x+3）．24．解：2021×20242024﹣2024×20212021＝2021×2024×10001﹣2024×2021×10001＝（2021×2024）（10001﹣10001）＝0．故答案为0．25．解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为126．解：（1）﹣3a2+6ab﹣3b2＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x ﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2；（4）a3（x﹣y）+ab2（y﹣x）＝a3（x﹣y）﹣ab2（x﹣y）＝a（x﹣y）（a2﹣b2）＝a（x ﹣y）（a+b）（a﹣b）．27．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2∵a+b＝2，，∴原式＝＝18．28．解：（1）4x2﹣3y（4x﹣3y）＝4x2﹣12xy+9y2＝（2x）2﹣12xy+（3y）2＝（2x﹣3y）2；（2）20212﹣2022×2020＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）＝201212﹣20212+1＝129．解：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C，故答案为：C；（2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况，故答案为：没有考虑a＝b的情况；（3）∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0∴a＝±b（﹣b舍去）或c2＝a2+b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形。
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解》单元测试题及参考答案二.doc
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册单元综合检测（三）第3章(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下列从左到右的变形,哪一个是因式分解( )A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.x2-y2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1)C.(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2D.x2+5x+4=x错误!未找到引用源。
2.若(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·A,则A表示的多项式是( )A.m2+n2B.m2-mn+n2C.m2-3mn+n2D.m2+mn+n23.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-x2+y2B.x2-(-y)2C.-m2-n2D.4m2-错误!未找到引用源。
n24.(2013·西双版纳州中考)因式分解x3-2x2+x正确的是( )A.(x-1)2B.x(x-1)2C.x(x2-2x+1)D.x(x+1)25.把代数式3x3-6x2y+3xy2因式分解,结果正确的是( )A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)26.若x-y=5,xy=6,则x2y-xy2的值为( )A.30B.35C.1D.以上都不对7.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是( )A.m=1,n=3B.m=1,n=-3C.m=-1,n=-3D.m=-1,n=3二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2013·绵阳中考)因式分解:x2y4-x4y2= .9.(2013·菏泽中考)因式分解:3a2-12ab+12b2= .10.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=6,则x-y-z= .11.(2013·威海中考)因式分解:-3x2+2x-错误!未找到引用源。
= .12.(2013·杭州中考)32×3.14+3×(-9.42)= .三、解答题(共47分)13.(10分)因式分解:(1)25x2-16y2.(2)(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).(3)a2-4ab+4b2.(4)4+12(x-y)+9(x-y)2.14.(12分)利用因式分解进行计算:(1)3.46×14.7+0.54×14.7-29.4.(2)9×1.22-16×1.42.15.(12分)观察猜想:如图,大长方形是由四个小长方形拼成的,根据此图可得x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x+p)(x+q).事实上,我们也可以用如下方法进行变形:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).于是我们可利用上面的方法进行多项式的因式分解.例:把x2+3x+2因式分解.解:x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).请利用上述方法将下列多项式因式分解:(1)x2+7x+12.(2)x4-13x2+36.16.(13分)先请阅读下列题目和解答过程:“已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 解:因为a2c2-b2c2=a4-b4①,所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)②,所以c2=a2+b2③,所以△ABC是直角三角形④.”请解答下列问题:(1)上列解答过程,从第几步到第几步出现错误?(2)简要分析出现错误的原因.(3)写出正确的解答过程.答案解析1.【解析】选C.A,B中最后结果不是乘积的形式,不属于因式分解;C中(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2,是运用完全平方公式进行的因式分解;D中不是在整式范围内进行的分解,不属于因式分解.2.【解析】选 D.因为(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·[(m+n)2-mn]=(m+n)·(m2+2mn+n2-mn)= (m+n)·(m2+mn+n2)=(m+n)·A,所以A表示的多项式是m2+mn+n2.3.【解析】选C.A中-x2+y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;B 中x2-(-y)2=x2-y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;C中-m2-n2=-(m2+n2),两平方项符号相同,故本选项错误;D中4m2-错误!未找到引用源。
2020-2021学年七年级数学湘教版下册《第3章因式分解》章末综合优生辅导训练(附答案)
2020-2021年度湘教版七年级数学下册《第3章因式分解》章末综合优生辅导训练（附答案）1．下列等式变形中属于因式分解的是（）A．a（a+2）＝a2+2a B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．m2+m+3＝m（m+1）+3D．a2+6a+3＝（a+3）2﹣62．下列因式分解变形正确的是（）A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）3．已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（）A．6B．﹣1C．﹣5D．﹣64．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝5．多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（）A．ab B．2ab C．4ab D．4ab26．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+97．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m＝（）A．6B．﹣6C．3D．﹣39．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）10．我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果为（）A．﹣299B．299C．﹣2D．212．以下关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2B．3x2﹣x+1C．2x2﹣9x﹣1D．x2﹣4x+213．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（）①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a﹣；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9A．1个B．2个C．3个D．4个14．下列不可利用x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分解因式的是（）A．x2﹣3x+2B．x2+3x+2C．x2﹣2x﹣3D．x2+2x+315．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（）A．m2+4n2B．﹣m2+4n2C．m2﹣4n2D．﹣m2﹣4n2 16．分解因式：（1）2a3﹣8a2+8a；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）；（3）x2﹣x﹣12．17．因式分解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．18．分解因式：（1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）；（2）4ab2﹣4b3﹣a2b．19．分解因式：（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2 （2）a3b﹣ab；（3）x2+2x﹣320．因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．21．因式分解：（1）9x3y﹣xy3；（2）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．22．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．23．将下列各式因式分解：（1）a4﹣16；（2）﹣mp2+4mp﹣4m；（3）（x﹣3）x2+9（3﹣x）；（4）（m2+2m）2﹣2（m2+2m）+1．24．（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．（2）计算：20202﹣2019×2021．25．已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．26．阅读例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，∴，解得．∴另一个因式（x+3），m的值为3．问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．27．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（1）若解释因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（2）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为5a2+mab+b2，则m的值为，将此多项式分解因式为．（3）有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为．28．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：n＝﹣7，m＝﹣21，∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值；（2）已知二次三项式3x2+4ax+1有一个因式是（x+a），求另一个因式以及a的值．29．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．例如：x2+6x﹣7分析：观察得出：两个因式分别为（x+7）与（x﹣1）解：原式＝（x+7）（x﹣1）（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1②（拆项法）x2﹣6x+8③x2﹣5x+6＝．（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．30．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．31．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．32．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．33．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac 的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．34．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．参考答案1．解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B．符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；C．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B．2．解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．故选：B．3．解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，故选：D．4．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．5．解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），则4ab是公因式，故选：C．6．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：∵x2+mx+9＝（x﹣3）2，∴x2+mx+9＝x2﹣6x+9，∴m＝﹣6，故选：B．9．解：因为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b＝﹣6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a＝﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）故选：B．10．解：（x﹣y）3+4（y﹣x）＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故选：A．11．解：原式＝（﹣2）99×（﹣2+1）＝（﹣2）99×（﹣1）＝299．故选：B．12．解：A．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），此选项不符合题意；B．3x2﹣x+1不能在实数范围内因式分解，此选项符合题意；C．2x2﹣9x﹣1＝2（x﹣）2﹣＝[（x﹣）+][（x﹣）﹣]，此选项不符合题意；D．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝（x﹣2+）（x﹣2﹣），此选项不符合题意；故选：B．13．解：①4x2﹣4xy﹣y2，不能用完全平方公式分解；②﹣1﹣a﹣＝﹣（1+a+）＝﹣（+1）2，可以用完全平方公式分解；③m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，可以用完全平方公式分解；④a2﹣2ab+4b2，不能用完全平方公式分解；⑤x2﹣8x+9，不能用完全平方公式分解；故选：B．14．解：x2﹣3x+2＝x2+（﹣1﹣2）x+（﹣1）×（﹣2）＝（x﹣1）（x﹣2），x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2），x2﹣2x﹣3＝x2+（1﹣3）x+1×（﹣3）＝（x+1）（x﹣3），x2+2x+3不能用公式进行分解，故选项D符合题意；故选：D．15．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意；C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意；D．不能进行因式分解，此选项不符合题意；故选：C．16．解：（1）原式＝2a（a2﹣4a+4）＝2a（a﹣2）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；（3）原式＝（x﹣4）（x+3）．17．解：（1）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．18．解：（1）原式＝3a（x﹣y）+2b（x﹣y）＝（x﹣y）（3a+2b）；（2）原式＝﹣b（﹣4ab+4b2+a2）＝﹣b（a﹣2b）2．19．解：（1）原式＝[（m+n）﹣2m]2＝（n﹣m）2（2）原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．（3）原式＝（x+3）（x﹣1）．20．解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+3）＝（x+5）（x﹣1）（x+3）（x+1）．21．解：（1）原式＝xy（9x2﹣y2）＝xy（3x+y）（3x﹣y）；（2）原式＝（a﹣b）（3a+b）2﹣（a+3b）2（a﹣b）＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]＝（a﹣b）（9a2+6ab+b2﹣a2﹣6ab﹣9b2）＝（a﹣b）（8a2﹣8b2）＝8（a﹣b）（a2﹣b2）＝8（a﹣b）（a﹣b）（a+b）＝8（a﹣b）2（a+b）．22．解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．23．解：（1）原式＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝﹣m（p2﹣4p+4）＝﹣m（p﹣2）2；（3）原式＝（x﹣3）x2﹣9（x﹣3）＝（x﹣3）（x2﹣9）＝（x﹣3）（x+3）（x﹣3）＝（x ﹣3）2（x+3）；（4）原式＝（m2+2m﹣1）2．24．解：（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；（2）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202+1＝1．25．解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形．26．解：设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，∴，解得，∴另一个因式为（x+2），k的值为﹣6．27．解：（1）如图所示；（2）由题意可得，m＝6，∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b），故答案为：（5a+b）（a+b）；（3）3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故答案为：a+2b．28．解：（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，解得：，则另一个因式是：x+4，k＝20．（2）设另一个因式是（3x+m），则（x+a）（3x+m）＝3x2+（m+3a）x+am＝3x2+4ax+1，则，解得，或，另一个因式是3x﹣1或3x+1，故另一个因式是3x+1，a＝1或3x﹣1，a＝﹣1．29．解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；故答案为：（x﹣2）（x﹣3）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．∴△ABC的周长为7．30．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．31．解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．32．解：（1）阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，则需应用上述方法2020次，结果是（1+x）2021，故答案为：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n+1．33．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案为：15．34．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，故答案为：1；（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；答：k的值为﹣5；（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。
2020最新湘教版初一(七年级)下册数学第三章《因式分解》专项练习题含答案
《因式分解》单元测试一、选择题1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、 ；B 、； C 、； D 、； 2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、；B 、；C 、；D 、； 3、多项式的公因式是( )A 、；B 、；C 、；D 、；4、如果是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 、15 ；B 、±5；C 、30；D 、±30；5、下列多项式能分解因式的是 ( )A 、a 2-b ；B 、a 2+1；C 、a 2+ab+b 2；D 、a 2-4a+4；6、下列各式中不是完全平方式的是( )A 、B 、C 、D 、7、在下列多项式：① ② ③④中，有一个相同因式的多项式是( )A 、①和②B 、①和④C 、①和③D 、②和④8. 如右图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩形，如图①. 这一过程可以验证（ ）A. B.C. D.9、多项式分解因式正确的是( )29)3)(3(x x x -=+-))((23n m n m m mn m -+=-)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y z yz z y z z y yz +-=+-)2(224222)(b a -+mn m 2052-22y x --92+-x 3222315520m n m n m n +-5mn 225m n 25m n 25mn 2592++kx x 21664m m -+2242025m mn n ++2224m n mn -+221124964mn m n ++249m -+2294m n -24129m m ++2296m mn n -+a b 222)(2b a ab b a -=-+222)(2b a ab b a +=++))(2(3222b a b a b ab a --=+-))((22b a b a b a -+=-323m n m n x x +++++b a 图○1 ba图○2A 、B 、C 、D 、 10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）.把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）.通过计算图形（阴影部分）的面积,验证了一个等式，则这个等式是（ ）A 、B 、C 、D 、 二、填空题1、24m 2n+18n 的公因式是________________；2、分解因式x(2－x)+6(x －2)=_________________；(x 2+y 2)2－4x 2y 2=________________；3、x 2－y 2=（x+y ）·（ ____ ）；4、在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：（1）； （2）。
湘教版七年级数学下册期末复习：专题03 因式分解(含答案及解析)
专题03因式分解2020-2021学年七年级数学下册期末复习精选精炼练（湘教版）一、单选题1．下列选项从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4a a a +-=-B ．24(2)(2)a a a -=+-C ．2(1)(2)2a a a a +-=--D ．23(1)3x x x x --=--【答案】B【分析】根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，进行作答即可．【详解】解：A 、2(2)(2)4a a a +-=-是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B 、24(2)(2)a a a -=+-右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；C 、2(1)(2)2a a a a +-=--是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；D 、23(1)3x x x x --=--右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式． 2．若因式分解()()231x ax x x b +-=-+，则a 的值是（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【分析】 根据因式分解的定义可直接进行求解．【详解】解：由()()231x ax x x b +-=-+可得：()2231x ax x b x b +-=+--， ∴1,3a b b =-=，∴2a =；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．3．多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是（ ）A ．2(3)x x y +B ．(3)x x y +C ．(3)xy x y +D ．(3)x x y -【答案】B【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：∴322+6+9x x y xy ()2269x x xy y =++()23x x y =+， 339x y xy -()229xy x y =-()()33xy x y x y =+-，∴多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是(3)x x y +．故选：B ．【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．4．4x 2y 和6xy 3的公因式是（ ）A ．2xyB ．3xyC ．2x 2yD ．3xy 3【答案】A【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．【详解】24x y 和36xy 的公因式是2xy ，故选：A ．【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．5．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．21x +B ．21x --C ．21x -+D ．2(1)1x +- 【答案】C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A 、是x 2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；B 、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C 、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；D 、去括号后结果为x 2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．6．下列运算正确的是（ ）A ．23235m m m +=B ．32m m m ÷=C ．()326m m m ⋅=D ．()()22m n n m n m --=-【答案】B【分析】根据同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式逐项计算即可判断．【详解】A. 2m 和23m 不是同类项不能合并．故该选项错误，不符合题意．B. 3232m m m m -÷==．故该选项正确，符合题意．C. ()32236167m m m m m m m m ⨯+⋅=⋅=⋅==．故该选项错误，不符合题意．D. ()()()2222m n n m m n m mn n --=--=-+-．故该选项错误，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式．熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-； ③()23242x x x +-=+； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭． 其中因式分解正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①()()2422x x x -=-+，此项错误； ②()()2111x x x -+=+-，此项正确； ③()23242x x x +-≠+，此项错误； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，此项正确． 故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二、填空题8．分解因式：26a a -=__________；【答案】(6)a a -【分析】找出公因式，直接提取分解因式即可．【详解】解：a 2-6a =a （a -6）．故答案为：a （a -6）．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．9．若224x y -=-，则236x y -+的值为________．．【答案】12【分析】先将236x y -+提取公因式再整体代入求解即可．【详解】∴223632x y x y -+=--（）且224x y -=- ，∴2363412x y -+=-⨯-=（），故答案为：12．【点睛】此题考查代数式求值，利用提取公因式法因式分解再整体代入求解，难度一般．10．分解因式：a 2﹣4＝_____________．【答案】（a +2）（a ﹣2）．【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可；【详解】a 2﹣4＝(a +2)(a ﹣2)．故答案为：(a +2)(a ﹣2)．【点睛】本题考查了平方差公式进行因式分解，正确掌握知识点是解题的关键；11．分解因式：2363x x ++=__________．【答案】()231x +【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，即可得到答案．【详解】解：2363x x ++， ()2321x x =++，()231x =+．故答案为：()231x +．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法进行分解因式，正确运用分解因式的方法是解题关键． 12．分解因式：a 3－4a 2＋4a ＝_________．【答案】a (a －2)2【分析】先提公因式，再运用完全平方公式．【详解】解：原式2(44)a a a =-+ 2(2)a a =-．故答案为：2(2)a a -．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．13．若3ab =，1a b +=-，则代数式22a b ab +的值等于__．【答案】-3【分析】直接提取公因式ab ，进而分解因式，把已知数据代入得出答案．【详解】解：∴ab =3，a +b =-1，a 2b +ab 2=ab （a +b ）=3×（-1）=-3．故答案为：-3．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．三、解答题14．因式分解（1）29x - （2）2(1)22x x --+【答案】（1）()()33x x +-；（2）()()13x x --【分析】（1）直接利用平方差分解因式得出答案；（2）将括号展开，合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：（1）29x -=()()33x x +-；（2）2(1)22x x --+=21222x x x +--+=243x x -+=()()13x x --【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和②：①ax by bx ay +++()()ax bx ay by =+++()()x a b y a b =+++()()a b x y =++②2221xy y x +-+()2221x xy y =++-()21x y =+-()()11x y x y =+++-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：22a a b b +--；（2）两个不相等的实数m ，n 满足2240m n +=．若26m m k -=，26n n k -=，求m n +和k 的值．【答案】（1）()()1a b a b -++；（2）6m n +=，2k =．【分析】（1）先分组得()22a b a b -+-，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知26m m k -=，26n n k -=两式相减得到22660m m n n --+=，左边分解后可得到6m n +=，再由已知26m m k -=，26n n k -=两式相加结合2240m n +=即可求得k 的值．【详解】解：（1）22a a b b +--()22a b a b =-+-()()()a b a b a b =+-+-()()1a b a b =-++；（2）∴26m m k -=，26n n k -=，两式相减得22660m m n n --+=，∴22660m n m n --+=，即()()()60m n m n m n +---=，因式分解得()()60m n m n -+-=，∴m n ≠，∴60m n +-=即6m n +=，∴26m m k -=，26n n k -=，两式相加得22662m m n n k -+-=，即()2262m n m n k +-+=， ∴2240m n +=，6m n +=，∴240664k =-⨯=，∴2k =．【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 16．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且 m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为288cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m +2n ）（2m +n ）；（2）48cm【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m 2+5mn +2n 2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10cm 2，得出等式求出m +n ，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【详解】解：（1）2m 2+5mn +2n 2可以因式分解为（m +2n ）（2m +n ）；故答案为：（m +2n ）（2m +n ）；（2）依题意得，2m 2+2n 2=88，mn =10，∴m 2+n 2=44，∴（m +n ）2=m 2+2mn +n 2，∴（m +n ）2=44+20=64，∴m +n ＞0，∴m +n =8，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m +6n =6（m +n ）=48cm ．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．17．先化简：22121(1)24x x x x ++-÷+-，再从不等式216x --<的负整数解中选一个适当的数代入求值． 【答案】21x x -+；x 取-3，原式值为52． 【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．【详解】 解：22121(1)24x x x x ++-÷+- 22214221x x x x x +--=⨯+++ 21(2)(2)2(1)x x x x x ++-=⨯++ 21x x -=+ 216x --<72x ∴>-72x ∴>-的负整数解有：-3，-2，-1， 2,1x x ≠-≠-3x ∴=- 原式21x x -=+ 3231--=-+ 52=． 【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：23111111111111;;()333623231535235-==-==-==-⨯⨯等． （问题解决）利用上述材料中的方法，解决下列问题：（1）求111111261220342380++++++的值； （2）求11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+的值； （3）求211111315356341n +++++-的值． 【答案】（1）1920；（2）22n n +；（3）21n n +． 【分析】 （1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题； （2）先提出12，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．【详解】解：（1）111111261220342380++++++＝111223+⨯⨯+134⨯+…+1118191920+⨯⨯ ＝1﹣1111122334+-+-+…+111118191920-+- ＝1﹣120＝1920； （2）11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+ ＝12×[1112612+++…+1n(n 1)+] ＝12×[111223+⨯⨯+134⨯+…+1n(n 1)+] ＝12×（1﹣1111122334+-+-+…+111n n -+） ＝12×（1﹣11n +） ＝12×111n n +-+ ＝22n n +； （3）211111315356341n +++++-＝111335+⨯⨯+157⨯+…+1(21)(21)n n -+ ＝12×（1﹣1111133557+-+-+…+112121n n --+） ＝12×（1﹣121n +） ＝12×221n n + ＝21n n +． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．。
2020—2021学年湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》常考题(解析版)
2020—2021学年湘教版数学七年级下册第3章《因式分解》常考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+y）（x-2y）=x2-xy+y2B．3x2-x=x（3x-1）C．（a-b）2=（a-b）（a-b）D．25（x-2y）2-4（2y-x）2【答案】B【分析】认真审题，根据因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，进行分析，据此即可得到本题的答案．【详解】解：A．结果不是乘积的形式，故不符合；B．符合因式分解的定义，故符合；C．两边都是乘积的形式，故不符合；D．没有进行变形，故不符合；故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，牢记定义是解题的关键，要注意认真总结．2．4x2y和6xy3的公因式是（）A．2xy B．3xy C．2x2y D．3xy3【答案】A【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．【详解】和的公因式是，故选：A．【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．3．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【答案】B【分析】此题可将x﹣y的形式化成﹣（y﹣x），然后提取公因式（y﹣x），据此可解此题．【详解】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选：B．【点评】此题考查的是因式分解，先观察题意找出公因式y﹣x，然后提取公因式．4．下列各式：①﹣x2﹣y2；①﹣a2b2+1； ①a2+ab+b2； ①﹣x2+2xy﹣y2；①﹣mm+m2n2，用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；①﹣a2b2+1＝1﹣＝（1+ab）（1﹣ab），因此①能用公式法分解因式；①a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此①不能用公式法分解因式；①﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此①能用公式法分解因式；①﹣mm+m2n2＝（﹣mn）2，因此①能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有①①①，故选：B．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．5．若实数，满足方程组，则的值为（）A．20B．15C．D．10【答案】B【分析】直接利用整体思想得出ab ，a +b 的值，进而分解因式得出答案．【详解】解：①，①，①a 2b -ab 2=ab （a -b ）=3×5=15．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及整体思想的应用，正确解方程组是解题关键．6．已知x 2+kx +9可以用完全平方公式进行因式分解，则k 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．6D ．±6 【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．【详解】解：①x 2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，①k=±6，故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．如果多项式221155abc ab a bc -+-的一个因式是，那么另一个因式是（ ） A ．B ．5c b ac +-C ．D ． 【答案】A【分析】该多项式是有公因式的，提取公因式即可得．【详解】解：原式=()155ab c b ac --+故选A【点睛】本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．8．若二次三项式可分解为，则a+b的值为（）A．B．1C．D．2【答案】A【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，①二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），①，解得：，①a+b= -+=-1．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．9．设是三角形的三边长，且满足222++=++，关于此三角形的形状a b c ab bc ca有以下判断：①是直角三角形； ①是等边三角形； ①是锐角三角形；①是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出．进而判断即可．【详解】①222++=++，a b c ab bc ca①222a b c ab bc ca++=++，222222即，①，①此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故选：B．本题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键．10．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则（ ） A ．48B ．36C ．96D ．无法计算 【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【详解】解：4m n p q +=+=，，， 16mp mq np nq ∴+++=，4mp nq +=，12mq np ∴+=，，2222m pq n pq mnp mnq =+++，，，，()()mp nq np mq =++，，，故选：A ．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．分解因式：____．首先找出公因式2y ，进而提取2y ，分解因式即可．【详解】原式=2y （x ﹣2）．故答案为：2y （x ﹣2）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．分解因式：2(2)2a b a b --+=_______．【答案】（2a -b ）（2a -b -1）【分析】先添加括号，再提取公因式，即可得出答案．【详解】解：（2a -b ）2-2a+b=（2a -b ）2-（2a -b ）=（2a -b ）（2a -b -1），故答案为：（2a -b ）（2a -b -1）．【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．13．分解因式：_____．【答案】【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：()()()324422m m m m m m m -=-=-+ 故答案为：．【点睛】本题考查综合提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提公因式的技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．14．若212()()++=++x mx x a x b ，且、为整数，则常数的所有可能值有________个．由可得,12,m a b ab =+=再结合为整数，从而可得答案．【详解】解：,12,m a b ab ∴=+=、为整数，()()12112112,=⨯=-⨯-或或()()123434,=⨯=-⨯-11213m ∴=+=或11213,m =--=-或或故符合题意的的值有：个，故答案为：【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，掌握十字乘法分解因式是解题的关键．15．若，则分解因式为____________．【答案】（x+5y ）（x -5y ）【分析】由|m -1|+（n -25）2=0得出m 和n 的值，然后代入进行因式分解．【详解】解：由|m -1|+（n -25）2=0得：m -1=0，n -25=0，①m=1，n=25，所以mx 2-ny 2=x 2-25y 2=（x+5y ）（x -5y ），故答案为：（x+5y ）（x -5y ）．【点睛】本题主要考查了分解因式，解此类题目的关键是由|m -1|+（n -25）2=0得出m 和n 的值．16．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】解：①x2－3x－1＝0，①x2－3x＝1，①32x x x--+23111==将x2－3x＝1代入原式=2+-+x x3x2111=将x2－3x＝1代入原式=，故答案为：4．【点睛】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．17．=_______．【答案】【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．【详解】解：====【点睛】本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．分解因式：(1)(2) 2363x y xy y -+【答案】（1）(1)(1)x x x +-；（2）【分析】（1）先提出公因式x ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提出公因式3y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可.【详解】解：(1) 32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=+-(2) 2223633(21)3(1)x y xy y y x x y x -+=-+=-【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键.19．阅读材料：例：分解因式解：原式==222(233)37x x +⨯+--=()2316x +-==(34)(34)x x +++-=(7)(1)x x +-上述例子用到了“在式子变形中，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法．”请根据这种方法解答下列问题：分解因式：（1）2616a a --；（2）241615a a -+【答案】（1）；（2）【分析】仿照题中分解因式的方法计算即可．【详解】解：（1）2616a a --==()2235a --==；（2）241615a a -+====【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．（1）化简求值：2(2)(2)(3)x y x y x y +----，其中．（2）先因式分解再求值，已知，，求42332444x y x y x y -+-．【答案】（1），；（2）()2222x y x y --，【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．（2）提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后将，代入计算．【详解】解：（1）2(2)(2)(3)x y x y x y +---- =()2222964x y xy x y +-+-=2222964x y xy x y ----=将代入，原式==；（2）42332444x y x y x y -+-=()222244x y x xy y --+=()2222x y x y --①，，①原式===．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知．（1）求a ，b 的值．（2）求代数式的值．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先化简，再代入求值．【详解】解：（1），22(3)(31)0a b ++-=，①30,310a b +=-=，①．（2）22321a b ab =-+-①，①22321a b ab -+-23()21ab ab =-+-2113323133⎛⎫⎛⎫=--⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的化简求值以及因式分解，解题关键是熟练运用整式的运算法则进行化简，代入数值后合理计算．22．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和①：①ax by bx ay +++①2221xy y x +-+请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：；（2）两个不相等的实数m ，n 满足2240m n +=．若26m m k -=，，求和k 的值．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）先分组得()22a b a b -+-，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知26m m k -=，两式相减得到22660m m n n --+=，左边分解后可得到，再由已知26m m k -=，两式相加结合2240m n +=即可求得的值．【详解】解：（1）()22a b a b =-+-；（2）①26m m k -=，，两式相减得22660m m n n --+=，①22660m n m n --+=，即，因式分解得，①，①即，①26m m k -=，，两式相加得22662m m n n k -+-=，即()2262m n m n k +-+=， ①2240m n +=，，①240664k =-⨯=，①．【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=①M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a --=-+-=--①(a -b )2≥0，①当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：． （2）若228M x x =-，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +-；（2）；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+-+-2214x x =++-；（2）22282(4)x x x x -=-22(444)x x =-+-22(2)8x =--2(2)0x -≥当时，有最小值；（3）22222245x y z xy y z ++---+2222(2(21)()44)x xy y y y z z =-++-++-+222()(1)(20)x y y z -+-+-=解得则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．。
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解》近几年中考题汇编及答案解析.docx
湘教新版七年级（下）近3年中考题单元试卷：第3章因式分解一、选择题（共2小题）1．（2015•台州）把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣8）B．2（x﹣2）2C．2（x+2）（x﹣2）D．2x（x﹣）2．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）二、填空题（共28小题）3．（2015•威海）因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y= ．4．（2015•黔西南州）分解因式：4x2+8x+4= ．5．（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x= ．6．（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= ．7．（2015•无锡）分解因式：8﹣2x2= ．8．（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= ．9．（2015•通辽）因式分解：x3y﹣xy= ．10．（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2= ．11．（2015•抚顺）分解因式：ab3﹣ab= ．12．（2015•锦州）分解因式：m2n﹣2mn+n= ．13．（2015•呼伦贝尔）分解因式：4ax2﹣ay2= ．14．（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2= ．15．（2015•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= ．16．（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= ．17．（2015•扬州）因式分解：x3﹣9x= ．18．（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= ．20．（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2= ．21．（2015•济宁）分解因式：12x2﹣3y2= ．22．（2015•本溪）分解因式：9a3﹣ab2= ．23．（2015•安顺）分解因式：2a2﹣4a+2= ．24．（2015•内江）分解因式：2x2y﹣8y= ．25．（2015•南平）分解因式：ab2﹣9a= ．26．（2015•丹东）分解因式：3x2﹣12x+12= ．27．（2015•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2= ．28．（2015•青海）4x•（﹣2xy2）= ；分解因式：xy2﹣4x= ．29．（2015•梧州）因式分解：ax2﹣4a= ．湘教新版七年级（下）近3年中考题单元试卷：第3章因式分解参考答案与试题解析一、选择题（共2小题）1．（2015•台州）把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣8）B．2（x﹣2）2C．2（x+2）（x﹣2）D．2x（x﹣）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x﹣2）（x+2）．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因式是解题关键．2．（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x（x2﹣4xy+4y2）=﹣x（x﹣2y）2，故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．二、填空题（共28小题）3．（2015•威海）因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y= ﹣2y（x﹣3）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣6x+9）=﹣2y（x﹣3）2．故答案为：﹣2y（x﹣3）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（2015•黔西南州）分解因式：4x2+8x+4= 4（x+1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=4（x2+2x+1）=4（x+1）2．故答案为：4（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x= 9x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式9x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：9x3﹣18x2+9x=9x（x2﹣2x+1）=9x（x﹣1）2．故答案为：9x（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2015•深圳）因式分解：3a2﹣3b2= 3（a+b）（a﹣b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b），故答案为：3（a+b）（a﹣b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．（2015•无锡）分解因式：8﹣2x2= 2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．8．（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= ab（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2），故答案为：ab（a+2）（a﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2015•通辽）因式分解：x3y﹣xy= xy（x﹣1）（x+1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x3y﹣xy，=xy（x2﹣1）…（提取公因式）=xy（x+1）（x﹣1）．…（平方差公式）【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2= 2（a+1）（a﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣2，=2（a2﹣1），=2（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（2015•抚顺）分解因式：ab3﹣ab= ab（b+1）（b﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ab3﹣ab，=ab（b2﹣1），=ab（b+1）（b﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（2015•锦州）分解因式：m2n﹣2mn+n= n（m﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2．故答案为：n（m﹣1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（2015•呼伦贝尔）分解因式：4ax2﹣ay2= a（2x+y）（2x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）=a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2= 2（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．15．（2015•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= 5x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：5x3﹣10x2+5x=5x（x2﹣2x+1）=5x（x﹣1）2．故答案为：5x（x﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．16．（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．17．（2015•扬州）因式分解：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．18．（2015•呼和浩特）分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，=x（x2﹣1），=x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．19．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．20．（2015•沈阳）分解因式：ma2﹣mb2= m（a+b）（a﹣b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ma2﹣mb2，=m（a2﹣b2），=m（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．21．（2015•济宁）分解因式：12x2﹣3y2= 3（2x+y）（2x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公式．【解答】解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式22．（2015•本溪）分解因式：9a3﹣ab2= a（3a﹣b）（3a+b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式9a3﹣ab2，找到公因式a，提取公因式a后发现9a2﹣b2是平方差公式，再利用平方差公式继续分解．【解答】解：9a3﹣ab2，=a（9a2﹣b2），=a（3a﹣b）（3a+b）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2015•安顺）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．（2015•内江）分解因式：2x2y﹣8y= 2y（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】常规题型．【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2x2y﹣8y，=2y（x2﹣4），=2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．25．（2015•南平）分解因式：ab2﹣9a= a（b+3）（b﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ab2﹣9a=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3）．故答案为：a（b+3）（b﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．26．（2015•丹东）分解因式：3x2﹣12x+12= 3（x﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取3后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣4x+4）=3（x﹣2）2，故答案为：3（x﹣2）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．27．（2015•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2= a（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．28．（2015•青海）4x•（﹣2xy2）= ﹣8x2y2；分解因式：xy2﹣4x= x （y+2）（y﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用；单项式乘单项式．【分析】4x•（﹣2xy2）：根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系数，相同的字母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可；xy2﹣4x：只需先提得公因子x，然后再运用平方差公式展开即可【解答】解：4x•（﹣2xy2），=4×（﹣2）•（x•x）•y2，=﹣8x2y2．xy2﹣4x=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2）．故答案为：﹣8x2y2，x（y+2）（y﹣2）．【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，关键是对平方差公式的掌握．29．（2015•梧州）因式分解：ax2﹣4a= a（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．【解答】解：ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x﹣2）（x+2）．故答案为：a（x﹣2）（x+2）．【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字相乘法和分组分解法是解题的关键．30．（2015•梅州）分解因式：m3﹣m= m（m+1）（m﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】压轴题．【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：m3﹣m，=m（m2﹣1），=m（m+1）（m﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．。
湘教版七年级下册数学第3章 因式分解含答案(综合考试)
湘教版七年级下册数学第3章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列变形是因式分解的是（）A.6x 2y 2=3xy•2xyB.a 2﹣4ab+4b 2=（a﹣2b）2C.（x+2）（x+1）=x 2+3x+2 D.x 2﹣9﹣6x=（x+3）（x﹣3）﹣6x2、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A.（a+3）（a﹣3）=a 2﹣9B.x 2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1C.a2b+ab 2=ab（a+b） D.x 2+1=x（x+ ）3、下列因式分解正确的是（）A. B. C.D.4、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.5、下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（）.A.x 2-y 2=(x+y)(x-y)B.(x+2)(x+3)= x 2+5x+6C.x2+3x+5=x(x+3)+5 D.m 2-n 2+2=(m+n)(m-n)+26、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B. C.D.7、下列各式因式分解正确的是( )A. B. C.D.8、下列各式变形中，是因式分解的是（）A.a 2﹣2ab+b 2﹣1=（a﹣b）2﹣1B.2x 2C.（x+2）（x﹣2）=x 2﹣4D.x 2﹣6x+9=（x﹣3）29、将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式的是（）．A. B. C. D.10、已知代数式 x2-2x+1 的值为9，则 2x2-4x+3 的值为（）A.18B.12C.19D.1711、下列从左到右的变形是分解因式的是( )A. B. C.D.12、下列因式分解中，正确的有（）①4a﹣a3b2=a（4﹣a2b2）；②x2y﹣2xy+xy=xy（x﹣2）；③﹣a2+ab﹣ac=﹣a（a﹣b﹣c）；④9abc﹣6a2b=3abc（3﹣2a）；⑤x2y+xy2=xy（x+y）A.0个B.1个C.2个D.5个13、如果x2+4xy+4y2=0，那么的值为（）A.2B.﹣2C.3D.﹣314、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.（x+1）（x﹣2）=x 2﹣x﹣2B.4a 2b 3=4a 2•b 3C.x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2D.15、下列因式分解正确是( )A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：3x2－12＝________．17、利用分解因式计算:32003+6×32002－32004=________．18、因式分解：＝________．19、因式分解：=________.20、分解因式：= ________.21、分解因式：m2+2m=________.22、分解因式：________23、分解因式：3a2-3________．24、分解因式：________．25、分解因式： ________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，求的值.27、已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．28、（1）计算：3﹣[6﹣（2﹣3）2]（2）因式分解：4m2﹣16n2．29、把下列多项式分解因式（1）﹣a+a3b2（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．30、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、D4、C5、A6、B7、D8、D9、D10、C11、C12、B13、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
2020-2021学年湘教版数学七年级下册 第3章 因式分解 单元复习 练习题
第3章因式分解1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A．a(x－y)＝ax－ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1 D．x2－x＝x(x－1)2．下列各式中，不是多项式2x2－4x＋2的因式的是( )A．2 B．2(x－1) C．(x－1)2 D．2(x－2)3．下面四个多项式中，能进行因式分解的是( )A．x2＋y2 B．x2－y C．x2－1 D．x2＋x＋14．已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b、c的值为( ) A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－65．分解因式x3＋4x的结果是( )A．x(x2＋4) B．x(x＋2)(x－2) C．x(x＋2)2 D．x(x－2)26．计算1002－2×100×99＋992的结果为( )A．1 B．－1 C.2 D．－27．如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b＋ab3的值为( )A．37.5 B．65 C.290 D．222.58．将多项式4x2＋1再加上一项，使它能分解因式成(a＋b)2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是( )A．2x B．－4x C.4x4 D．4x9．下列各式能用平方差公式分解因式的是( )A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋y2 D．x2－y310．对多项式x2－2x＋1因式分解，结果正确的是( )A．(x＋1)2 B．(x＋1)(x－1) C．(x－1)2 D．(x＋1)(x－2)11．分解因式：(2a ＋1)2－a 2＝ ．12．如果把多项式x 2－8x ＋m 分解因式得(x －10)(x ＋n)，那么m ＝ ，n ＝ .13．已知ab ＝3，a ＋b ＝1，则a 2b ＋ab 2＋10＝ .14．若n 为正整数，且n ＞6，则(n ＋5)2－(n －1)2一定能被 整除(填满足条件的最大的数)．15．若整式x 2＋ky 2(k 为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 (写出一个即可)．16．如果多项式P ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋2019，那么P 的最小值是 .17. 因式分解：(1)4x 2＋20x ＋25＝ ；(2)x 4－18x 2＋81＝ ；(3)(a ＋b)2－12(a ＋b)＋36＝ .18. 先分解因式，再求值：(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2－x(2x ＋1)(2－3x)，其中x ＝32；19. 已知2m －n ＝116，mn ＝4，求4m 4n 3－2m 3n 4的值．20．已知M ＝x 2－x －2，N ＝2x 2－3x －1.(1)当N ＝2M 时，求x 的值；(2)比较M 与N 的大小．21. 在将多项式x 2＋ax ＋b 因式分解时，小芳看错了b 的值，分解的结果为(x ＋2)(x＋4)；小王看错了a的值，分解的结果为(x－1)(x－9)．试将多项式x2＋ax ＋b因式分解．22．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，即m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，即m＋n＝0且n－3＝0，∴m＝－3，n＝3.问题：(1)若x2＋y2－4x－6y＋13＝0，求x y的值；(2)若三角形三边a、b、c满足b2－2ab＋2a2＝2ac－c2判断三角形的形状．答案;1-10 DDCDA ACACC11. (3a ＋1)(a ＋1)12. －20 213. 1314. 1215. －4(答案不唯一)16. 201617. (1) (2x ＋5)2(2) (x ＋3)2(x －3)2(3) (a ＋b －6)218. 解：原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3(2x ＋1)(3x －2)＝3(3＋1)(92－2)＝30 19. 解：4m 4n 3－2m 3n 4＝2m 3n 3(2m －n)，又因为2m －n ＝116，mn ＝4，所以原式＝2×43×116＝8 20. 解：(1)2x 2－3x －1＝2(x 2－x －2)，解得：x ＝3；(2)N －M ＝2x 2－3x －1－(x 2－x －2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴N ≥M.21. 解：由x 2＋ax ＋b ＝(x ＋2)(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8，得a ＝6，由x 2＋ax ＋b ＝(x －1)(x －9)＝x 2－10x ＋9，得：b ＝9，所以：x 2＋ax ＋b ＝x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2.22. 解：(1)原式可变形为：x 2－4x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，即(x －2)2＋(y －3)2＝0，解得：x ＝2，y ＝3，∴x y ＝8；(2)移项得：b 2－2ab ＋2a 2－2ac ＋c 2＝0，即b 2－2ab ＋a 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0，(b －a)2＋(a －c)2＝0，∴b ＝a ＝c ，∴该三角形是等边三角形．。
2020-2021学年湘教版七年级数学下册第3章因式分解达标测试卷
第3章达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )A ．y 2－25＝(y ＋5)(y －5)B ．(x ＋2)(x ＋3)＝x 2＋5x ＋6C ．x 2＋3x ＋5＝x (x ＋3)＋5D ．x 2－x ＋14＝x 2⎪⎭⎫⎝⎛+-24111x x2．将多项式－6a 3b 2－3a 2b 2因式分解时，应提取的公因式是( )A ．－3a 2b 2B ．－3abC ．－3a 2bD ．－3a 3b 33．把a 2－4因式分解，结果正确的是( )A ．(a ＋2)(a －4)B ．(a ＋4)(a －4)C ．(a ＋2)(a －2)D ．(a －2)24．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．a 2－1B ．a 2＋4C ．a 2＋2a ＋1D ．a 2－4a －45．下列因式分解正确的是( )A ．p 2－16＝(p ＋16)(p －16)B ．a 2＋2a ＋1＝a (a ＋2)＋1C ．－x 2＋3x ＝－x (x ＋3)D ．x 2－2x ＋1＝(x －1)26．在下列因式分解中，结果分解彻底的是( )A ．xy 3－xy ＝xy (y 2－1)B ．a 3－2a 2＋a ＝a (a 2－2a ＋1)C ．x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)D ．x 2(x －2)＋4(2－x )＝(x －2)(x 2－4)7．若二次三项式x 2＋8x ＋k 2可以用完全平方公式因式分解，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．88．已知a 为任意整数，且(a ＋13)2－a 2的值总可以被n (n 为正整数，且n ≠1)整除，则n 的值为() A ．13 B ．26 C ．13或26 D ．13的倍数二、填空题(每题4分，共32分)9．因式分解：x 3y －4xy ＝________________．10．多项式ax 2－a 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是__________．11．因式分解：4＋12(x －y )＋9(x －y )2＝________________．12．若多项式6x 2－ax －3因式分解的结果是(3x ＋1)(2x ＋b )，则a ＝__________，b ＝__________．13．若a －b ＝2，3a ＋2b ＝3，则3a (a －b )＋2b (a －b )＝__________．14．已知x ，y 是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝1，x ＋y ＝6的解，则式子x 2－y 2的值为__________． 15．如果1＋a ＋a 2＋a 3＝0，那么a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝__________．16．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-222221011911...411311211的结果是________． 三、解答题(第17，20题每题12分，第18题4分，第19题6分，第21题10分，共44分)17．将下列各式因式分解：(1)4a 2y 2－16a 2x 2;(2)2a 2x －2ax ＋12x ；(3)3(x －y )3－6y (y －x )2;(4)14(a ＋b )2＋(a ＋b )＋1.18．已知y ＝10，请你说明无论x 取何值，代数式(3x ＋5y )2－2(3x ＋5y )(3x －5y )＋(3x －5y )2的值都不变．19.利用因式分解计算：(1)2 0222－2 021×2 023－9992; (2)2 0202－2 020×40＋202；(3)1.222×9－1.332×4; (4)(1＋5)(1＋52)(1＋54)(1＋58)(1＋516)．20．(1)已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求x2－6xy＋9y2的值；(2)若x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值．21．阅读某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程，并解决问题．解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)＝y2＋8y＋16(第二步)＝(y＋4)2(第三步)＝(x2－4x＋4)2(第四步)．(1)该同学第二步到第三步的变形运用了()A．提公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式(2)该同学从第三步到第四步，用所设的代数式进行了代换，得到的这个结果能否进一步因式分解？______(填“能”或“不能”)．如果能，直接写出最后结果为________；(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋6x)(x2＋6x＋18)＋81进行因式分解．答案一、1.A 2.A 3.C 4.C 5.D6．C 7.C8.A 点拨：(a ＋13)2－a 2＝a 2＋26a ＋132－a 2＝26a ＋132＝13(2a ＋13)，故(a ＋13)2－a 2的值总可以被13整除，即n 的值为13.二、9.xy (x －2)(x ＋2) 10.x －111．(3x －3y ＋2)212．7；－3 点拨：因为(3x ＋1)(2x ＋b )＝6x 2＋3bx ＋2x ＋b ，所以6x 2＋3bx ＋2x ＋b ＝6x 2－ax－3，所以⎩⎨⎧3b ＋2＝－a ，b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝7，b ＝－3.13．6 点拨：3a (a －b )＋2b (a －b )＝(3a ＋2b )(a －b )＝3×2＝6.14.6515．0 点拨：因为1＋a ＋a 2＋a 3＝0，所以a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝a (1＋a ＋a 2＋a 3)＋a 5(1＋a ＋a 2＋a 3)＝0.16.1120 点拨：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×…×(1＋19)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋110×(1－110) ＝32×12×43×23×…×109×89×1110×910＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32×43×…×109×1110×(12×23×…×89×910)＝112×110＝1120.三、17.解：(1)原式＝4a 2(y 2－4x 2)＝4a 2(y －2x )(y ＋2x )．(2)原式＝2x (a 2－a ＋14)＝2x (a －12)2.(3)原式＝3(x －y )3－6y (x －y )2＝3(x －y )2(x －y －2y )＝3(x －y )2(x －3y )．(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（a ＋b ）＋12＝14(a ＋b ＋2)2. 18．解：(3x ＋5y )2－2(3x ＋5y )(3x －5y )＋(3x －5y )2＝[(3x ＋5y )－(3x －5y )]2＝(3x ＋5y －3x ＋5y )2＝(10y )2＝100y 2.当y ＝10时，原式＝100×102＝10 000.所以无论x 取何值，原代数式的值都不变．19．解：(1)原式＝2 0222－(2 022－1)×(2 022＋1)－(1 000－1)2＝2 0222－2 0222＋1－1 0002＋2×1 000－1＝－998 000.(2)原式＝(2 020－20)2＝4 000 000.(3)原式＝1.222×32－1.332×22＝3.662－2.662＝(3.66－2.66)×(3.66＋2.66)＝1×6.32＝6.32.(4)原式＝（1－5）（1＋5）（1＋52）（1＋54）（1＋58）（1＋516）1－5＝（1－52）（1＋52）（1＋54）（1＋58）（1＋516）－4＝（1－54）（1＋54）（1＋58）（1＋516）－4＝（1－58）（1＋58）（1＋516）－4＝（1－516）（1＋516）－4＝1－532－4＝532－14. 20．解：(1)因为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝(x 2－4x ＋4)＋(y 2＋6y ＋9)＝(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，所以(x －2)2＝0，(y ＋3)2＝0，即x ＝2，y ＝－3.所以x 2－6xy ＋9y 2＝(x －3y )2＝[2－3×(－3)]2＝121.(2)因为x －y ＝1，xy ＝2，所以x 3y －2x 2y 2＋xy 3＝xy (x 2－2xy ＋y 2)＝xy (x －y )2＝2×12＝2.21．解：(1)C (2)能；(x －2)4(3)设x 2＋6x ＝y ，则(x 2＋6x )(x 2＋6x ＋18)＋81＝y (y ＋18)＋81＝y 2＋18y ＋81＝(y ＋9)2＝(x 2＋6x＋9)2＝(x ＋3)4.。
2020-2021学年湘教 版七年级下册数学 第3章 因式分解 单元测试卷
2020-2021学年湘教新版七年级下册数学《第3章因式分解》单元测试卷一．选择题1．分解8a3b2﹣12ab3c时应提取的公因式是（）A．2ab2B．4ab C．ab2D．4ab22．将x m+3﹣x m+1分解因式，结果是（）A．x m（x3﹣x）B．x m（x3﹣1）C．x m+1（x2﹣1）D．x m+1（x﹣1）（x+1）3．下列多项式在有理数范围内不能因式分解的是（）A．8x2﹣2y2B．﹣m2+4C．﹣16x2+y2D．x2﹣6y24．下列多项式能分解因式的个数为（）①x2+64；②x2﹣64；③x4+64；④x4﹣64A．1个B．2个C．3个D．4个5．x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2可化为（）A．（x﹣y）2B．（x﹣y）3C．（y﹣x）2D．（y﹣x）36．把（a+b）2+4（a+b）+4分解因式得（）A．（a+b+1）2B．（a+b﹣1）2C．（a+b+2）2D．（a+b﹣2）2 7．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），则a，b的值可能为（）A．a＝4，b＝5B．a＝﹣4，b＝5C．a＝4，b＝﹣5D．a＝﹣4，b＝﹣5 8．已知n是正整数，则下列数中一定能整除（2n+3）2﹣25的是（）A．6B．3C．4D．59．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）（1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如果2x2﹣3x﹣2019＝0，那么2x3﹣x2﹣2022x﹣2020＝．11．如果多项式x2+2x+m分解因式得（x﹣9）（x﹣n），那么m＝，n＝．12．分解因式：（2m+3n）2﹣（3m﹣2n）2＝．13．在实数范围内分解因式a4﹣14a2+49＝．14．49x2y2﹣x2可分解为．把a3+ab2﹣2a2b分解因式的结果是．15．分解因式：a n+a n﹣1+a n﹣2＝（n为大于2的正整数）．16．6a2bc，8abc2，12a2b2c3的公因式是，2a（x﹣y）6，4ac（y﹣x）3的公因式是．17．分解因式：a2+ab+ax+bx＝，所用方法是．18．若x2﹣mx﹣18＝（x﹣3）（x+6），则m的值为．三．解答题19．指出下列多项式的公因式：（1）3a2y﹣3ay+6y；（2）xy3﹣x3y2；（3）﹣27a2b3+36a3b2+9a2b．20．已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a＝（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定a，b，c的值．21．已知a＝2，b＝﹣，求3a3b4+7a4b3﹣5a2b3的值．22．分解因式：（1）81x4﹣16y4；（2）（y﹣x）2+2x﹣2y；（3）（a2+1）2﹣4a2；（4）a2b2﹣ab+．23．分解因式：（1）a3﹣9a；（2）（x+1）（x﹣3）+4；（3）4a（x﹣y）﹣16b（y﹣x）；（4）（2x+y）（2x﹣3y）+x（2x+y）．24．把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x2﹣16（2）x4﹣10x2+2525．实数x，y满足x≥y≥1，且2x2﹣xy﹣5x+y+4＝0，求x+y的值．26．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n的值．27．观察下列式子的计算过程．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2；（x+2）（x+3）＝x2+5x+6（x+3）（x+4）＝x2+7x+12；（x+7）（x+8）＝x2+15x+56（1）请你分解因式：①x2+3x+2；②x2+5x+6；③x2+7x+12；④x2+15x+56．（2）从上述因式分解中，你发现了怎样的规律，试着叙述出来，并用这一规律对多项式x2+9x+18分解因式．参考答案与试题解析一．选择题1．解：8a3b2﹣12ab3c＝4ab2（2a2﹣3bc）．所以应提取的公因式是4ab2．故选：D．2．解：x m+3﹣x m+1，＝x m+1•x2﹣x m+1，＝x m+1（x2﹣1），＝x m+1（x+1）（x﹣1）．故选：D．3．解：A、8x2﹣2y2＝2（2x+y）（2x﹣y）；B、﹣m2+4＝（2+m）（2﹣m）；C、﹣16x2+y2＝（y+4x）（y﹣4x）；D、x2﹣6y2不能在有理数范围内不能分解，故选：D．4．解：①x2+64不能因式分解；②x2﹣64＝（x+8）（x﹣8），能因式分解；③x4+64不能因式分解；④x4﹣64＝（x2+8）（x+2）（x﹣2），能因式分解；故选：B．5．解：x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2，＝x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）2，＝（x﹣y）2（x﹣y），＝（x﹣y）3．故选：B．6．解：（a+b）2+4（a+b）+4＝（a+b+2）2．故选：C．7．解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），所以a＝5，b＝﹣4或a＝﹣4，b＝5．故选：B．8．解：（2n+3）2﹣25＝[（2n+3）+5][（2n+3）﹣5]＝（2n+8）（2n﹣2）＝4（n+4）（n﹣1），∴（2n+3）2﹣25一定能被4整除，故选：C．9．解：（1）分组错误，无法继续分解因式；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）可用完全平方公式和平方差公式分解；（3）分组错误，无法继续分解因式；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）用平方差公式和提公因式法继续分解因式．故选：B．二．填空题10．解：∵2x2﹣3x﹣2019＝0，∴2x3﹣x2﹣2022x﹣2020＝（2x3﹣3x2﹣2019x）+（2x2﹣3x﹣2019）﹣1＝x（2x2﹣3x﹣2019）+（2x2﹣3x﹣2019）﹣1＝0+0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．11．解：∵多项式x2+2x+m分解因式得（x﹣9）（x﹣n），∴﹣9﹣n＝2、﹣9×（﹣n）＝m，解得：m＝﹣99，n＝﹣11，故答案为：﹣99，﹣11．12．解：（2m+3n）2﹣（3m﹣2n）2＝[（2m+3n）+（3m﹣2n）][（2m+3n）﹣（3m﹣2n）]＝（5m+n）（5n﹣m）故答案为（5m+n）（5n﹣m）13．解：a4﹣14a2+49＝（a2﹣7）2＝（a+）2（a﹣）2．故答案为：（a+）2（a﹣）214．解：49x2y2﹣x2＝x2（49y2﹣1）＝x2（7y+1）（7y﹣1）；a3+ab2﹣2a2b＝a（a2+b2﹣2ab）＝a（a﹣b）2．故答案为：x2（7y+1）（7y﹣1）；a（a﹣b）2．15．解：a n+a n﹣1+a n﹣2＝a n﹣2（a2+a+1），故答案为：a n﹣2（a2+a+1）．16．解：6a2bc，8abc2，12a2b2c3系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是abc，∴公因式为2abc；2a（x﹣y）6，4ac（y﹣x）3系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是a（x﹣y）3，∴公因式为2a（x﹣y）3；故答案为：12abc，2a（x﹣y）3．17．解：a2+ab+ax+bx＝a（a+b）+x（a+b）＝（a+b）（a+x）．故答案为（a+b）（a+x），提取公因式法．18．解：∵x2﹣mx﹣18＝（x﹣3）（x+6）＝x2+3x﹣18，∴﹣m＝3，即m＝﹣3．故答案为：﹣3三．解答题19．解：（1）（3a2y﹣3ay+6y）的公因式是：3y；（2）（xy3﹣x3y2）的公因式是：xy2；（3）（﹣27a2b3+36a3b2+9a2b）的公因式是：﹣9a2b．20．解：∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）＝6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc ∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc＝6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a∴2c+3b＝14，b﹣3c＝1，a＝bc联立以上三式可得：a＝4，b＝4，c＝1故a＝4，b＝4，c＝1．21．解：∵3a3b4+7a4b3﹣5a2b3＝a2b3（3ab+7a2﹣5），将a＝2，b＝﹣，代入原式得：原式＝a2b3（3ab+7a2﹣5）＝22×（﹣）3×[3×2×（﹣）+7×4﹣5]＝4×（﹣）×20＝﹣10．22．解：（1）81x4﹣16y4＝（9x2+4y2）（9x2﹣4y2）＝（9x2+4y2）（3x﹣2y）（3x+2y）；（2）（y﹣x）2+2x﹣2y＝（x﹣y）2+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y+2）；（3）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）＝（a﹣1）2（a+1）2；（4）a2b2﹣ab+＝（ab﹣）2．23．解：（1）原式＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3）；（2）原式＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；（3）原式＝4a（x﹣y）+16b（x﹣y）＝4（x﹣y）（a+4b）；（4）原式＝（2x+y）（2x﹣3y+x）＝3（2x+y）（x﹣y）．24．解：（1）3x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．（2）x4﹣10x2+25＝（x2﹣5）2＝（x+）2（x﹣）2．25．解：∵2x2﹣xy﹣5x+y+4＝0∴x2+x2﹣xy﹣4x﹣x+y+4＝0∴x2﹣4x+4+x（x﹣y）﹣（x﹣y）＝0∴（x﹣2）2+（x﹣y）（x﹣1）＝0∵（x﹣2）2≥0，x≥y≥1，∴（x﹣y）（x﹣1）≥0因此两项都非负，只能都为0∴x＝y＝2∴x+y＝4．26．解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5）•（x+a），＝x2+（5+a）x+5a，＝x2+mx+n，∴5+a＝m，5a＝n，这样就得到一个方程组，解得．∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x＝﹣5是方程x2+mx+n＝0的解，则25﹣5m+n＝0，①又m+n＝17，②由①②得到：m＝7，n＝10．27．解：（1）①x2+3x+2＝（x+1）（x+2x）；②x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；③x2+7x+12＝（x+3）（x+4）；④x2+15x+56＝（x+7）（x+8）；（2）由（1）知，x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；则x2+9x+18＝（x+3）（x+6）．。
第3章因式分解 全章考点复习 -2020-2021学年湘教版七年级数学下册(含解析)
《因式分解》全章考点复习因式分解基础问题的考查1．分解因式216x y y -的结果为_____________．2．因式分解：34x x -=______．3．因式分解：2y 2﹣18＝_____．4．因式分解：xy 3－4xy ＝_______．5．分解因式：3a 2b+6ab 2=____．6．分解因式：3222x xy -=______．7．分解因式：2363x x -+=________．因式分解易错问题的考查8．因式分解：(1)－3x 2＋6xy －3y 2； (2)(m 2n 2＋4)2－16m 2n 2；9．因式分解（1）334x y xy -+ （2）4221x x -+10．把下列各式因式分解：（1）522a a -（2）2x 2-10x+12（3）2()14()49x y x y +-++（4）2244x y x --+因式分解最终结果的考查11．分解因式：（1）3x 3－27x ；（2）2x 2y －4xy ＋2y12．分解因式：（1）328a a - ；（2）32231212x x y xy -+- ．13．分解因式：（1）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2；（2）a 2+2ab +b 2﹣4．14．分解因式：（1）3a 3+12a 2+12a（2）4（m +2n ）2-9（2m -n ）215．分解因式（1）329a ab -（2）2269x xy y -+16．因式分解（1）229(3)4(32)a b a b +-- 、（2）()()22252732x x x x +++-+因式分解综合应用的考查17．分解因式：（1）22363ax axy ay ++；（2）2244x x y -+-．18．已知x 2+x ﹣1=0，则x 3+x 2﹣x+3的值为_____．19．因式分解:(1)169(a-b)2-196(a+b)2;(2)m4-2m2n2+n4;(3)m2(m-1)-4(1-m2).20．分解因式：22-++．m n mn2596参考答案1．()()44y x x +-【分析】首先提出公因式y ，再逆用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()22161644x y y y x y x x -=-=+-． 故答案为：()()44y x x +-．【收获】本题考查了因式分解法的内容，该题需要用到的是提公因式和平方差公式，解决本题的关键是学生要理解因式分解的最终结果是什么形式，并且牢记因式分解的基本步骤和要用到的乘法公式等．2．()()22x x x +-【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】()()()324422x x x x x x x -=-=+-，故答案为：()()22x x x +-．【收获】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的步骤是解答本题的关键．3．2（y +3）（y ﹣3）．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式＝2（y 2﹣9）＝2（y +3）（y ﹣3），故答案为：2（y +3）（y ﹣3）【收获】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．()()22xy y y +-【解析】先提取公因式xy ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：xy 3-4xy=xy （y 2-4）=xy （y+2）（y-2）．故答案为xy （y+2）（y-2）．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．3ab （a+2b ）【分析】观察可得此题的公因式为：3ab ，提取公因式即可求得答案．【详解】解：3a 2b+6ab 2=3ab （a+2b ）故答案为：3ab （a+2b ）6．2x （x +y ）（x ﹣y ）．【解析】解：原式=222()x x y -=2x （x +y ）（x ﹣y ），故答案为：2x （x +y ）（x ﹣y ）．收获：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．()231x -【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解，即可得到答案．【详解】解：()()22236332131x x x x x -+=-+=-．故答案为：()231x -．【收获】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．8．（1）－3(x －y)2 ；（2）(mn ＋2)2(mn －2)2【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据平方差公式分解，再根据完全平方公式分解．【详解】（1）原式＝-3（x 2-2xy+y 2）＝－3(x －y)2 ；（2）原式＝(m 2n 2+4+4mn)(m 2n 2+4-4mn ）＝(mn ＋2)2 (mn-2）2【收获】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键 ．9．（１）()()22y x y x y x -+-；（２）()()2211x x +-． 【分析】（１）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可；（２）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）334x y xy -+=()()()22242y y x y x y x x y x -+=---；（2）()()()22242221=1=11x x x x x -+-+-．【收获】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键，因式分解的步骤一般为“一提二看三检查” ．10．（1）()()()22111a a a a ++-；（2）()()223x x --；（3）2(7)x y +-；（4）()()22x y x y -+--【分析】（1）先提公因式2a ，再逐步利用平方差公式分解；（2）先提公因式2，再利用十字相乘法分解；（3）直接利用完全平方公式分解；（4）先分组，再利用完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解．【详解】解：（1）522a a -=()421a a -=()()22211a a a +-=()()()22111a a a a ++-； （2）221012x x -+=()2256x x -+=()()223x x --；（3）2()14()49x y x y +-++ =2(7)x y +-；（4）2244x y x --+=2244x x y -+-=()222x y --=()()22x y x y -+--【收获】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的各种方法，针对所给式子运用适当的方法分解．11．（1）3x(x+3)(x-3)；（2）2y(x-1)2【分析】（1）先提取公因式，在进行平方差公式；（2）先提取公因式，在进行完全平分公式；【详解】（1）原式()()()239333x x x x x =-=+-； （2）原式()()2222121y x x y x =-+=-； 【收获】本题主要考查了因式分解，准确计算是解题的关键．12．（1）()()222a a a +-；（2）()232x x y -- 【分析】（1）先提公因式2a ，再用平方差公式即可得答案；（2）先提取公因式3x -，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】解：（1）328a a -()224a a =- ()()222a a a =+-（2）32231212x x y xy -+-()22344x x xy y =--+()232x x y =--【收获】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握提取公因式的技巧及乘法公式的公式结构正确计算是解题关键．13．（1）4(2)(2)m n m n ++；（2）(2)(2)a b a b +++-；【分析】（1）利用平方差公式分解即可；（2）前三项结合利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；【详解】（1）原式＝[]223()()m n m n +--＝[][]3()()3()()m n m n m n m n +--++-＝4(2)(2)m n m n ++；（2）原式＝22(2)4a ab b ++- ＝2()4a b +-＝(2)(2)a b a b +++-；【收获】本题主要考查代数式的因式分解，关键在于灵活使用平方差公式和完全平方公式； 14．（1）3a （a +2）2；（2）（8m +n ）（7n -4m ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）原式=3a （a 2+4a +4）=3a （a +2）2；（2）原式=[2（m +2n ）+3（2m -n ）][2（m +2n ）-3（2m -n ）]=（8m +n ）（7n -4m ）【收获】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．（1）()(33)a a b a b +-；（2）2(3)x y - 【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式进行分解因式即可．【详解】（1）原式()22=9a a b -()()=+33a b a b a -（2）原式()23x y =-【收获】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 16．（1）()()95313a b a b -+-；（2）()()()2113x x x +-+ 【分析】（1）根据平方差公式分解；（2）将()22x x +看作一个整体，先将括号展开化简，再利用十字相乘法逐步分解．【详解】解：（1）229(3)4(32)a b a b +-- =[][]3(3)2(32)3(3)2(32)a b a b a b a b ++-+--=()()95313a b a b -+-；（2）()()22252732x x x x +++-+ =()()()2222272523532x xx x x x +-+++-+ =()()2222223x x x x +-+-=()()222123x x x x +++-=()()()2113x x x +-+【收获】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式，十字相乘法，解题时要注意整体思想的运用．17．(1)3a （x +y ）2；(2)(2)(2)x y x y +---【分析】（1）先提取公因式3a ，再利用公式法分解因式即可．（2）先利用完全平方公式分解244x x -+，再利用平方差公式分解因式即可；【详解】解：（1）22363ax axy ay ++＝3a （x 2+2xy +y 2）＝3a （x +y ）2（2）2244x x y -+-＝22(2)x y --=(2)(2)x y x y -+--=(2)(2)x y x y +---【收获】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 18．3【解析】分析：先将所求的代数式前三项提取公因式x ，再把已知条件整体代入法求解即可．详解：∵210x x +-=，∴3223(1)303 3.x x x x x x +-+=+-+=+=故答案为3.收获：考查因式分解的应用，将所求的代数式前三项提取公因式x 是解题的关键,注意整体代入思想在数学中的应用.19．（1）-(27a+b )(a+27b )；（2）(m+n )2(m-n )2；（3）(m-1)(m+2)2【解析】试题分析：()1平方差公式,()2完全平方公式.()3提公因式法和公式法相结合.试题解析： (1)原式=[13(a-b )]2-[14(a+b )]2=[13(a-b )+14(a+b )][13(a-b )-14(a+b )]=(27a+b )(-a-27b )=-(27a+b )(a+27b );(2)原式=(m 2-n 2)2=[(m+n )(m-n )]2=(m+n )2(m-n )2;(3)原式=m 2(m-1)+4(m+1)(m-1)=(m-1)(m 2+4m+4)=(m-1)(m+2)2.20．()()3535m n m n +++-【解析】试题分析：本题考查了分组分解法分解因式.先把22259m n -+用完全平方公式分解为()23m n +，再把()2325m n +-用平方差公式分解. 解：原式=()226925m mn n++-=()2325m n +- =()()3535m n m n +++-．。
第3章 因式分解 单元测试卷2020-2021学年湘教版七年级数学下册
第3章因式分解一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．D．x（y+z+1）＝xy+xz+x2．2x3y2与12x6y的公因式是（）A．xy B．x3y C．2x3y D．12x6y23．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（）A．m+1B．2m C．2D．m+24．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+95．因式分解x2y﹣4y的正确结果是（）A．y（x+2）（x﹣2）B．y（x+4）（x﹣4）C．y（x2﹣4）D．y（x﹣2）26．如果多项式y2+my+16是完全平方式，那么m的值为（）A．8B．﹣8C．±4D．±87．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（）A．x2+y2B．x2﹣xy+y2C．x2﹣3xy+y2D．x2+xy+y28．已知a+b＝﹣3，则代数式5a2+5b2+10ab的值是（）A．﹣3B．3C．45D．﹣159．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4﹣■＝（x2+4）（x+2）（x﹣▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1B．16，2C．24，3D．64，810．若a*b＝a2+2ab，则x2*y所表示的代数式分解因式的结果是（）A．x2（x2+2y）B．x（x+2）C．y2（y2+2x）D．x2（x2﹣2y）二．填空题（共8小题）11．因式分解：（1）a2+ab＝；（2）x2﹣64＝．12．多项式a2﹣2ab+b2与a2﹣ab的公因式为．13．若多项式x2+ax+b可分解为（x+1）（x﹣2），则ab＝．14．已知x＝y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为．15．用简便方法计算：﹣×19﹣×15＝．16．若x2﹣y2＝﹣32，x+y＝4，则y﹣x＝．17．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）．三．解答题（共66分）19．（16分）因式分解：（1）m（x﹣y）+n（y﹣x）；（2）m3﹣mn2；（3）10xy2﹣25x2y﹣y3；（4）（2m﹣n）2﹣（m﹣2n）2．20．（10分）先化简，再求值：（1）已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+2a2b2+ab3的值；（2）（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝18，y＝22．21．（8分）如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．22．（10分）不解方程组，求5n（2m﹣n）2﹣2（n﹣2m）3的值．23．（10分）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．24．（12分）阅读下列材料：提取公因式法、公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫“分组分解法”．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）分解因式：x4﹣3x2y2+2y4；（3）请比较多项式2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4与x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．D．x（y+z+1）＝xy+xz+x【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【解答】解：A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；C、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B．2．2x3y2与12x6y的公因式是（）A．xy B．x3y C．2x3y D．12x6y2【分析】根据公因式的定义求解．【解答】解：2x3y2与12x6y的公因式是2x3y．故选：C．3．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（）A．m+1B．2m C．2D．m+2【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），＝（m﹣1）（m+1+1），＝（m﹣1）（m+2）．故选：D．4．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故D正确．故选：D．5．因式分解x2y﹣4y的正确结果是（）A．y（x+2）（x﹣2）B．y（x+4）（x﹣4）C．y（x2﹣4）D．y（x﹣2）2【分析】先提取公因式y，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x2﹣22）＝y（x+2）（x﹣2）．故选：A．6．如果多项式y2+my+16是完全平方式，那么m的值为（）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据完全平方式的结构即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m＝±8，故选：D．7．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（）A．x2+y2B．x2﹣xy+y2C．x2﹣3xy+y2D．x2+xy+y2【分析】先提取公因式（x+y），然后再利用完全平方公式展开后整理即可确定D．【解答】解：∵（x+y）3﹣xy（x+y），＝（x+y）[（x+y）2﹣xy]，＝（x+y）（x2+xy+y2），又∵（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，∴A＝x2+xy+y2．故选：D．8．已知a+b＝﹣3，则代数式5a2+5b2+10ab的值是（）A．﹣3B．3C．45D．﹣15【分析】先提取公因式5，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：5a2+5b2+10ab＝5（a2+2ab+b2）＝5（a+b）2，将a+b＝﹣3代入得，5（a+b）2＝5×（﹣3）2＝45．故代数式5a2+5b2+10ab的值为45．故选：C．9．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4﹣■＝（x2+4）（x+2）（x﹣▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1B．16，2C．24，3D．64，8【分析】可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：由（x2+4）（x+2）（x﹣▲）得出▲＝2，则（x2+4）（x+2）（x﹣2）＝（x2+4）（x2﹣4）＝x4﹣16，则■＝16．故选：B．10．若a*b＝a2+2ab，则x2*y所表示的代数式分解因式的结果是（）A．x2（x2+2y）B．x（x+2）C．y2（y2+2x）D．x2（x2﹣2y）【分析】把x2*y表示成一般形式，分解因式即可．【解答】解：x2*y＝x4+2x2y＝x2（x2+2y）．故选：A．二．填空题（共8小题）11．因式分解：（1）a2+ab＝a（a+b）；（2）x2﹣64＝（x+8）（x﹣8）．【分析】（1）提公因式a；（2）使用平方差公式即可．【解答】解：（1）a2+ab＝a•a+a•b＝a（a+b）；（2）x2﹣64＝x2﹣82＝（x+8）（x﹣8）．故答案为：（1）a（a+b）；（2）（x+8）（x﹣8）．12．多项式a2﹣2ab+b2与a2﹣ab的公因式为a﹣b．【分析】根据完全平方公式分解a2﹣2ab+b2，再根据提公因式法分解a2﹣ab，即可找到两个多项式的公因式．【解答】解：解a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，解a2﹣ab＝a（a﹣b），故多项式a2﹣2ab+b2与a2﹣ab的公因式是：a﹣b，故答案为：a﹣b．13．若多项式x2+ax+b可分解为（x+1）（x﹣2），则ab＝2．【分析】根据因式分解的意义，直接利用多项式乘法运算法则得出a，b的值进而得出答案．【解答】解：∵多项式x2+ax+b可分解为（x+1）（x﹣2），（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝x2+ax+b，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴ab＝（﹣1）×（﹣2）＝2．故答案为：2．14．已知x＝y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为﹣9．【分析】根据已知条件“x＝y+4”可知“x﹣y＝4”；然后将所求的代数式转化为含有x ﹣y的形式，将x﹣y的值代入求值即可．【解答】解：∵x＝y+4，∴x﹣y＝4，∴x2﹣2xy+y2﹣25＝（x﹣y）2﹣25＝16﹣25＝﹣9，故答案是：﹣9．15．用简便方法计算：﹣×19﹣×15＝﹣26．【分析】根据乘法分配律计算即可求解．【解答】解：﹣×19﹣×15＝﹣×（19+15）＝﹣×34＝﹣26．故答案为：﹣26．16．若x2﹣y2＝﹣32，x+y＝4，则y﹣x＝8．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣32，x+y＝4，∴x﹣y＝（﹣32）÷4＝﹣8，∴y﹣x＝﹣（x﹣y）＝8．故答案为：8．17．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为35．【分析】直接利用矩形的性质得出a+b的值，进而将原式变形得出答案．【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为10，∴2（a+b）＝14，ab＝5，故a+b＝7，ab＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×7＝35．18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010（写出一个即可）．【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．【解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y），当x＝10，y＝10时，x＝10；2x+y＝30；2x﹣y＝10，用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010．故答案为：101030或103010或301010．三．解答题（共66分）19．（16分）因式分解：（1）m（x﹣y）+n（y﹣x）；（2）m3﹣mn2；（3）10xy2﹣25x2y﹣y3；（4）（2m﹣n）2﹣（m﹣2n）2．【分析】（1）x﹣y和y﹣x互为相反数，把y﹣x＝﹣（x﹣y），提公因式x﹣y即可；（2）先提公因式m，再用平方差公式；（3）先提公因式﹣y，再用完全平方公式；（4）把2m﹣n和m﹣2n看做整体，用平方差公式．【解答】解：（1）m（x﹣y）+n（y﹣x）＝m（x﹣y）﹣n（x﹣y）＝（x﹣y）（m﹣n）；（2）m3﹣mn2＝m（m2﹣n2）＝m（m+n）（m﹣n）；（3）10xy2﹣25x2y﹣y3＝﹣y（25x2﹣10xy+y2）＝﹣y（5x﹣y）2；（4）（2m﹣n）2﹣（m﹣2n）2＝[（2m﹣n）+（m﹣2n）][（2m﹣n）﹣（m﹣2n）]＝（2m﹣n+m﹣2n）（2m﹣n﹣m+2n）＝（3m﹣3n）（m+n）＝3（m﹣n）（m+n）．20．（10分）先化简，再求值：（1）已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+2a2b2+ab3的值；（2）（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝18，y＝22．【分析】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，当a+b＝2，ab＝2时，原式＝2×22＝8；（2）原式＝4x2﹣y2﹣4y2+x2＝5x2﹣5y2＝5（x+y）（x﹣y），当x＝18，y＝22时，原式＝5×（18+22）（18﹣22）＝5×40×（﹣4）＝﹣800．21．（8分）如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．【分析】根据题意和图形可以表示出草坪的面积，然后根据因式分解法和a、b的值可以求得草坪的面积【解答】解：由图可得，草坪的面积是：a2﹣4b2，当a＝13.6，b＝1.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（13.6+2×1.8）×（13.6﹣2×1.8）＝17.2×10＝172，即草坪的面积是172．22．（10分）不解方程组，求5n（2m﹣n）2﹣2（n﹣2m）3的值．【分析】因式分解后代入计算即可．【解答】解：原式＝（2m﹣n）2[5n+2（2m﹣n）]＝（2m﹣n）2（4m+3n）．∵2m﹣n＝3，4m+3n＝1，∴原式＝9×1＝923．（10分）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．【分析】先计算出（x﹣1）（x﹣9）与（x﹣2）（x﹣4），根据二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，确定二次三项式，再因式分解．【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，由于二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，∴q＝9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，由于二次三项式x2+px+q的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，∴p＝﹣6．∴原二次三项式是x2﹣6x+9．∴x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．24．（12分）阅读下列材料：提取公因式法、公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫“分组分解法”．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）分解因式：x4﹣3x2y2+2y4；（3）请比较多项式2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4与x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1的大小，并说明理由．【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；（2）把﹣3x2y2写成﹣x2y2和﹣2x2y2分别与头尾两项结合分解因式，便可达目的；（3）化简两个多项式之差，再分解因式后便可明显判断差的正负，进而达到判断两个多项式的大小的目的．【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）；（2）原式＝x4﹣x2y2﹣2x2y2+2y4＝x2（x2﹣y2）﹣2y2（x2﹣y2）＝（（x2﹣y2）（x2﹣2y2）＝（x+y）（x﹣y）（x2﹣2y2）；（3）2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4＞x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1．理由如下：∵（2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4）﹣（x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1）＝2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4﹣x2+xy+2y2+2y+1＝x2﹣4xy+5y2﹣2y+5＝x2﹣4xy+4y2+y2﹣2y+1+4＝（x﹣2y）2+（y﹣1）2+4＞0，∴2x2﹣5xy+3y2﹣4y+4＞x2﹣xy﹣2y2﹣2y﹣1．。
2020-2021学年 湘教版七年级数学下册阶段复习测试：第3章 因式分解 自我综合评价
第3章因式分解自我综合评价一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是 ()A.x·(x-y)=x2-xyB.x2+3x-1=x(x+3)-1C.(x-y)2-y2=x(x-2y)D.x2-2=x x-2.将多项式-6a3b2-3a2b2因式分解时,应提取的公因式是()A.-3a2b2B.-3abC.-3a2bD.-3a3b33.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.a2-1B.a2+4C.a2+2a+1D.a2-4a-44.把a2-4因式分解,结果正确的是()A.(a+2)(a-4)B.(a+4)(a-4)C.(a+2)(a-2)D.(a-2)25.下列因式分解正确的是()A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax)B.a2+2a+1=a(a+2)+1C.-x2+3x=-x(x+3)D.x2-2x+1=(x-1)26.因式分解中有一个易错点:结果未分解彻底.在下列分解中结果分解彻底的是()A.xy3-xy=xy(y2-1)B.a3-2a2+a=a(a2-2a+1)C.x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)D.x2(x-2)+4(2-x)=(x-2)(x2-4)7.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式因式分解,则实数m的值是()A.4B.-4C.-2或2D.-4或48.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9的值一定能()A.被8整除B.被m整除C.被m-1整除D.被2m-1整除二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9.分解因式:2x2-2= .10.若4x2+kx+25能用完全平方公式因式分解,则k的值是.11.若多项式6x2-ax-3因式分解的结果是(3x+1)·(2x+b),则a= ,b= .12.若a-b=2,3a+2b=3,则3a(a-b)+2b(a-b)= .13.已知x,y是二元一次方程组的解,则式子x2-4y2的值为.14.如图果1+a+a2+a3=0,那么a+a2+a3+a4+= .三、解答题(本大题共6小题,共52分)15.(12分)将下列各式因式分解:(1)4a2y2-16a2x2;(2)2a2x-2ax+x;(3)3x(x-y)3-6y(y-x)2;(4)(a+b)2+(a+b)+1.16.(6分)已知6x-3y-1=0,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.17.(6分)如图图,在一个边长为a的正方形木板上,锯掉四个边长均为b的小正方形b<a.请你计算当a=18 cm,b=6 cm时,剩余部分的面积.18.(8分)通过计算说明255+511能被30整除.19.(10分)当今“互联网+”时代,有一种用“因式分解法”生成密码的方法:将一个多项式因式分解,如图将多项式x3+2x2-x-2分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2).当x=19时,x-1=18,x+1=20,x+2=21,此时可得到数字密码182021.(1)根据上述方法,当x=37,y=12时,对于多项式x3-xy2因式分解后可以形成哪些数字密码(写出两个即可);(2)将多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后,利用题目中的方法,当x=87时可以得到密码808890,求m,n的值.20.(10分)观察:①x2+5x+6=(x+2)(x+3),其中2+3=5,2×3=6;②x2+7x+12=(x+4)(x+3),其中4+3=7,4×3=12;③x2-4x+3=(x-1)(x-3),其中(-1)+(-3)=-4,(-1)×(-3)=3;④x2+2x-8=(x+4)(x-2),其中4+(-2)=2,4×(-2)=-8.从以上各例中你发现了什么规律?请用你发现的规律对x2+6x+8进行因式分解.1.C2.A3.C[解析] 选项C,a2+2a+1=(a+1)2,故正确;选项A,B,D不符合完全平方公式法分解因式的式子特点.4.C[解析] a2-4=a2-22=(a+2)(a-2).故选C.5.D[解析] 3ax2-6ax=3ax(x-2),故A错误.a2+2a+1=(a+1)2,故B错误.-x2+3x=-x(x-3),故C错误.6.C7.D[解析] 因为x2+mx+4=(x±2)2,即x2+mx+4=x2±4x+4,所以m=±4.故选D.8.A[解析] 根据平方差公式(4m+5)2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=4·(m+2)·2·(2m+1)=8(m+2)(2m+1),故能被8整除.9.2(x+1)(x-1)10.±2011.7-3[解析] 因为(3x+1)(2x+b)=6x2+3bx+2x+b=6x2+(3b+2)x+b=6x2-ax-3, 所以b=-3,3b+2=-a,所以a=-[3×(-3)+2]=-(-9+2)=7.12.6[解析] 因为a-b=2,3a+2b=3,所以3a(a-b)+2b(a-b)=(a-b)(3a+2b)=2×3=6.13.14.0[解析] 因为1+a+a2+a3=0,所以a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3)=0+0=0.15.解:(1)原式=4a2(y2-4x2)=4a2(y+2x)(y-2x).(2)原式=2x a2-a+=2x a-2.(3)原式=3(x-y)2(x2-xy-2y).(4)原式=(a+b+2)2.16.解:2x4y3-x3y4=(xy)3(2x-y).因为6x-3y-1=0,xy=2,所以2x-y=,所以当2x-y=,xy=2时,原式=23×=.17.解:剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b),当a=18 cm,b=6 cm时,剩余部分的面积为180 cm2.18.解:因为255+511=510+511=510×(1+5)=59×30,所以255+511能被30整除.19.解:(1)因为x3-xy2=x(x-y)(x+y),所以当x=37,y=12时,x-y=25,x+y=49, 所以可得到数字密码372549或374925(形成的数字密码不唯一).(2)因为当x=87时,密码为808890,且x3的系数是1,x-7=80,x+1=88,x+3=90, 所以x3+(m-3n)x2-nx-21=(x-7)(x+1)(x+3)=x3-3x2-25x-21,所以m-3n=-3,n=25,所以m=72,n=25.20.解:发现的规律:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).x2+6x+8=(x+4)(x+2).。
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新课标 2017-2018 学年湘教版七年级数学下册
综合练习 因式分解及其应用
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是
2.下面分解因式正确的是 ( )
4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是
22
D. -x 2+(-y) 2
D.9， 6， -1
7. 利用因式分解简便计算 57×99+44 ×99-99 正确的是 ( )
A. 99×(57+44)=9 999
B. 99×(57+44-1)=9 900
2
A ． a +4a-21=a(a+4)- 2
B ． a +4a-21=(a-2
C ． (a-3)(a+7)=a 2
+4a-22
D ． a 2+4a-21=(a+2) 2-25
2
A ． x
23 B.(x -4)x=x -4x C.ax+bx=(a+b)x
D.m 2
-2mn+n 22
2=(m+n) 2
3.若代数式 x 2+ax 可以因式分解，则常数 a 不可以取 ( A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
A.-y 2
+1
22
B.x 2+(-y) 2
22
C.m -n
5.下列多项式中， 能用完全平方公式进行因式分解的是
2
A ． -a -
B ． 2
a +6ab-9b
22
C ． a 2
+6a+9b
D ． 2
4(a-b ) 2+4 ( a-b )+1
22
6. 若多项式 ax 2
+bx+c 可分解为 (1-3x) 2
，那么 a 、
c 的值分别为 ( )
A. -9 ，6，-1
B. 9，-6 ， 1
C. 9， 6， 1
C. 99×(57+44+1)=10
D. 99×(57+44-99)=198
098
11
8. (- 2)2 015+(- 2)2 016的结果是( )
1 1 1
A.- 2
B.2
C.( 2 )2 015
1
2)2 016
D.-(
2
9. _________________________________________________________________ 将3a(2 x-y )-6ab(y-x )用提公因式法因式分解，应提出的公因式是 ___________
2
10. ________________________________ 计算：32×3.14+3 ×(－9.42)= .
2
11. _____________________________ 因式分解：x2+3x(x-3)-9= .
2 2 2 2 2
12. ______________________ 设a＝192×918，b＝8882-30 2，c＝1 0532-747 2，
则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是___ <_ <．_
13. _________________________________________________ 若x2+(m-3)x+4 是完全平方式，则数m 的值是 __________________________ .
14. ________________________ 如图，边长为a的正方形中有一个边长为 b
的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图
2 的阴影部分的面积，你能得到的公式是.
15.58-1 能被20 至30 之间的两个整数整除，那么这两个整数是________
2 2 2
16. ___________________________________________________________ 若a※b=a -ab ，则x ※y 所表示的代数式因式分解的结果是____________ .
17. 因式分解：
2 2 2 3
1)4a 2b 2
-12ab 2
+24ab 3
c;
22
(3)x 2-(y-1) 2;
2 2 2 2
(4)(a +1) -4a(a +1)+4a .
18. 用简便方法计算：
1 1 1
22
(2) 4 ×8.92-8.9 ×2.9×2 + 4 ×2.92.
2 3 2 2 3
19. 若|a+b-6|+(ab-4) 2=0，求 -a 3b-2a 2b 2-ab 3的值.
2
(2)4x(y-x)-y 2;
22
1) 15×1012-99 2×15;
2 2 2 014
20. 已知a3+b 2+8a-6b+25=0 ，求(a+b) 2 014的值.
21. 春蕾中学正在新建一栋食堂，在施工过程中，需要浇制三种半径分别为0.21 m，0.35 m，0.44 m 的钢筋圆环，每种圆环都需要20 个，则所需钢筋共有多长？
22
22. 阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）的形式．但对于二次三项式x +2ax-3a ，就不能直接
3
的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
运用公
2 2 2 2
式了．此时，我们可以在二次三项式x +2ax-3a 中先加上一项 a ，使它与x+2ax
2 2 2 2 2 2 2 2
x +2ax-3a =（x +2ax+a ）-a -3a =（x+a）-（2a）= （x+3a ）（x-a ）像这样，先添一适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”因式分解：a2-6a+8;
2）若a+b=5 ，ab=6 ，求：
② a 4+b 4的值．
2 2 2
(2)原式 =4xy-4x -y =-(2x-y) .
(3) 原式 =(x+y-1)(x-y+1).
2 2 4
(4) 原式=(a 2+1-2a) 2=(a-1) 4.
22
18. (1)原式=15 ×(1012-99 2)=15×200×2=6 000.
1 1 1
(2)原式= 4 ×(8.92-8.9 ×2.9×2+2.92)= 4 ×(8.9-2.9) 2= 4 ×62=9. 19. 因为 |a+b-6|+(ab-4) 2=0,
所以 a+b-6=0,ab-4=0, 即 a+b=6,ab=4.
4 4 2 2 2 2 2 2 2
②a+b =(a +b ) -2a b =13 -2 ×6 =97.
22
①a+b ； 1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.B 11.(4x+3)(x-3) 12.a c b 22
14.a -b =(a+b)(a-b)
15.26、 17. (1)原式=4ab 2(a-3+6bc).
参考答案
7.B 8.D 9.3a(x-y) 10.0 13.7 或-1
2
24
16.x (x+y)(x-y)
3 2 2 3 2 2 2
又因为-a b-2a b -ab =-ab(a +2ab+b )=-ab(a+b) ,
2
当a+b=6,ab=4 时,原式=-ab(a+b) =-4 ×6=-24.
22
20. 因为a2+b 2+8a-6b+25=0,
2 2 2 2
所以(a2+8a+16)+(b 2-6b+9)=0,(a+4) 2+(b-3) 2=0.
2 014 2 014
所以a=-4,b=3,(a+b) =(-4+3) =1.
21.2π×0.21×20+2 π×0.35×20+2 π×0.44×20=2 π×20×(0.21+0.35+0.44)=40 π≈125.6(m).
答：所需钢筋共有约125.6 m．
2 2 2
22.(1)a2-6a+8=a 2-6a+9-1= ( a-3 )2-1= ( a-3+1 )(a-3-1 )=(a-2)(a-4 ).
2 2 2 2
( 2)① a2+b 2= ( a+b ) 2-2ab=5 2-2 ×6=13.。