概率论大数定律与强大数定理优秀课件

研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限理论进行研究. 极 限理论的内容很广泛，其中最重要的两种 是:
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景
在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
则 称 随 机 变 量 序 列 X n 服 从 大 数 定 律 .
【定律】马尔可夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 随 机 变 量 序 列 , 如 果 下 式 成 立
1 n
n2D(i1Xi)0 (n)
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
显 然 , X 1 , X 2 ,, X n 是 相 互 独 立 的 , 且 P { X i = 1 } = p
故有
E X k p ,D X k p 1 p 1 4 k 1 ,2 , ,n
【定律】车贝晓夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
D
1n
n i1 ε2
Xi
C nε2
于是，当 n 时，有
1n 1n
l n i m P n i 1X i n i 1E X i 0
注1
车 贝 晓 夫 大 数 定 律 的 条 件 ： X i之 间 彼 此 不 相 关 ， 每 一 个 E (Xi)都 存 在 ， 方 差 D(Xi)有 限 ， 且 有 公 共 的 上 界
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则序 X列 n 1i n1Xi依概率 n 1i n 收 1EX 敛 i, 于
即
X Pn1in1EXi
注4 车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系
车 贝 晓 夫 大 数 定 理 显 然 可 由 马 尔 可 夫 大 数 定 理 推 出 ， 而 马 尔 可 夫 大 数 定 理 没 有 任 何 关 于 不 相 关 的 假 设 。
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设 X1,X2, ,Xn, 是随机变 , 量
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这序 样a 列 一 1,a2,个 ,an常 , ,数
对任ε意 0,恒 的有
liP m Y n a n ε 0
n
或 者 l n i m P Y n a n 1
或 者 ln i m P n 1i n 1X in 1i n 1E X i 1
【证】因 为 X n 两 两 不 相 关 , 故
D n 1in 1X i n 1 2in 1D X iC n
Байду номын сангаас
再 由 车 贝 晓 夫 不 等 式 得 到
0P n 1i n1Xin 1i n1EiXε
注2 当 n 很 大 时 , 随 机 变 量 X 1 , X 2 ,, X n 的
算术 平均n1值 in1Xi接近于它们的数 的学 算术平n 1均 in 1E值 Xi.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
4σ2
n2n12
n
i2
i1
4n n 6 n 2 1 n 2 n 1 2 1 σ22 3 2 n n n 1 1 σ 2
从而对任意给定的 0, 由车贝晓夫不等式得
0P {Y |nμ|ε}D ε Y 2 n
2 3n 2n n 1 1σ ε2 2 0 n 因此 Yn P .
例： 设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立,
具有如下分布律:
Xn na 0 na
P
1 2n2
1
1 n2
1 2n2
问是否满足车贝晓夫大数定律的条件? 解
检验是否有 数学期望
由题意可知随机变量彼此不相关条件满足. E(Xn)n2 a n 120 1n 1 2 n2 a n 12 0,
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
检验是否
所E 以 X n 2n2 a n 1 2a2
有有限方 差
D X n E X n 2 E X n 2 a 2
因 此 ,随 机 变 量 X n n 1 ,2 , 有 限 的 方 差 ,且 有
公 共 上 界 .
故满足车贝晓夫大数定律的条件.
【定律】 贝努里大数定律
设 n 是 n 次 独 立 重 复 贝 努 里 试 验 中 事 件 A 发 生 的
概率论大数定律与强大数定理
主要内容 问题提出 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律
一、问题的引入
概率论是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是 说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该 研究大量随机现象.
例：设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序 ,E (X 列 i) μ ,D (X i) σ 2 均 ,证 存明 在
Y nn n 2 1 i n 1iX i
依概率收敛到.
解 因为 EYnEnn21i n1iX i
nn21in1iEXi
2
nn
1
n i1
i
DYnn2n412i n1i2DXi
总 次 数 ， p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ( 0 p 1 ) , 则对任ε意 0,的 有
n l iP m n n p 0
证 引入随机变量
Xk＝ 1 0,,
在k第 次试验A 中 不事 发件 生 在k第 次试验A 中 发事 生件
n
k1,2, ,n.unX1X2 Xn Xi i1