各种投影正反转换说明
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
常用地图投影转换公式
常用地图投影转换公式作者：青岛海洋地质研究所戴勤奋 投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”（1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标,-- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
小学六年级数学重点知识平面形的投影与旋转
小学六年级数学重点知识平面形的投影与旋转一、平面形的投影平面形的投影是指将一个平面上的图形投射到另一个平面上，根据不同的投影方法，可以得到不同的图形。
在小学六年级数学中，主要介绍了平行投影和垂直投影两种方法。
1. 平行投影平行投影是指将平面上的图形沿着平行于某个方向的线投射到另一个平面上，得到的图形与原图形相似。
常见的平行投影有正投影和斜投影两种。
正投影是指将平面图形沿着平行于地平线的方向投影到垂直于地平线的投影面上。
在正投影中，图形的长度、宽度和高度都会发生变化，但是保持了图形的相似性。
斜投影是指将平面图形按一定倾斜角度投影到另一个平面上。
斜投影是指将平面图形按一定倾斜角度投影到另一个平面上。
在斜投影中，图形的长度、宽度和高度都会发生变化，但是仍然保持了图形的相似性。
2. 垂直投影垂直投影是指将平面上的图形沿着垂直于平面的方向投射到另一个平面上，得到的图形与原图形相似。
常见的垂直投影有顶视图和正视图两种。
顶视图是指将平面图形的上方向投影到平行于地面的投影面上。
在顶视图中，图形的长度和宽度保持不变，但是高度会发生变化。
正视图是指将平面图形的前方向投影到垂直于地面的投影面上。
在正视图中，图形的长度和高度保持不变，但是宽度会发生变化。
以上是小学六年级数学中平面形的投影知识的简要介绍，通过对平行投影和垂直投影的学习，我们可以更好地理解和描述平面上的图形。
二、平面形的旋转平面形的旋转是指将一个平面上的图形绕某个点旋转一定角度后，得到一个新的图形。
在小学六年级数学中，主要介绍了绕定点旋转和绕原点旋转两种方法。
1. 绕定点旋转绕定点旋转是指将平面图形绕一个固定点旋转一定角度。
在绕定点旋转中，旋转后的图形与原图形在形状和大小上保持相似，只是位置发生了变化。
2. 绕原点旋转绕原点旋转是指将平面图形绕原点旋转一定角度。
在绕原点旋转中，旋转后的图形与原图形在形状和大小上保持相似，只是位置发生了变化。
通过学习平面形的旋转知识，我们可以更好地掌握图形的变换规律，进一步提高解决数学问题的能力。
【VIP专享】各种投影正反转换说明
各种投影正反转换说明一、编者语本程序是常用地图投影系列小程序之一，程序能用于不同基准面上单点及批量数据的墨卡托投影正、反转换，正投影时的输入经纬度数据可以是度、度分及度分秒格式。
本套系列程序原来包括“3°、6°带高斯-克吕格投影正反转换程序”、“墨卡托投影正反转换程序”及“兰勃特等角投影正反转换程序”。
2005年3月根据用户反馈作了更新，更新后增加了“UTM投影正反转换程序”，其中包括UTM与高斯-克吕格投影的相互转换功能，此外更新后反投影精度提高，反算能完全精确到小数后六位的度。
编制这套程序原因有三：之一，本人工作中常需要投影计算，现有软件使用不太方便；之二，常发现用十进制度坐标数据作正式成果图的现象，可能是手头没有合适的投影软件所至；之三，常发现WGS84定位数据被当作北京54（克拉索夫斯基椭球体）坐标数据投影，可能是沿用早年的投影转换程序所至。
这些原因促成了我编制一套简单实用、在Windows环境下的常用地图投影小程序的想法，现在完成了，而且在大家的促使下作了第一次更新，提供给大家免费使用，使用过程中如遇budge请别忘了告诉我，此外需要投影动态连接库接口的可以通过Email与我联系，我的Email地址：qddqinfen@二、地图投影的选择选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的多采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，是横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)的一个变种；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。
投影变换换面与旋转
Ｖ/Ｈ→Ｖ/Ｈ1→Ｖ2/Ｈ1
例2 已知直线AB与平面CDE平行，试求它们之间的距离。 空间及投影分析：
将平面CDE变换为投影面垂直面，则BK变换为投影面平行线。
1）把CDE平面变换为 H/V1 体 系 中 的 投 影 面 垂 直 面 ， 求 得 d1’c1’e1’ （积聚为直线）； 2）求出a1’b1’； 3）求 距 离（ ＢＫ ）： 作ｂ1’k1’⊥ c1’d1’e1’则 ｂ1’k1’反映实长。 4）求BK的原投影 ｂｋ、 ｂ′ｋ′。
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直 线，是为了使直线投影成为一个点，从 而解决与直线有关的度量问题(如求两直 线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。
［例2］已知正平线AB的两投影， 试把它变为投影面垂直线。
分析：直线AB为正平线，
应将AB变换为新投影面Ｈ1 的垂直线 ,因ＡＢ∥Ｖ，而 新投影面要垂直AB又必须 垂直一个投影面，所以只能 设置新投影面Ｈ1⊥Ｖ，且 Ｈ1⊥ＡＢ，即建立新投影 体系Ｖ/Ｈ1。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2
直线的旋转
直线的旋转，仅 需使属于该直线的任 意两点遵循绕同一轴、 沿相同方向、转同一 角度的规则作旋转， 然后，把旋转后的两 个点连接起来。
直线旋转的基本性质
1）直线AB经过两次投影变换， 变成Ｖ1/Ｈ2体系中的投影面 垂直线ａ2、ｂ2。 2）求距离MN的实长。 由点ａ2（ｂ2）向ｃ2ｄ2作垂 线ｎ2ｍ2，ｍ2ｎ2反映AB、CD 两直线间距离的实长， ｍ1’ｎ1’∥Ｏ2Ｘ2。 3）求MN的原投影ｍｎ和 ｍ′ｎ′。
例4：求平面ABC和ABD的夹角。
投影计算公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
各种投影正反转换说明
各种投影正反转换说明一、编者语本程序是常用地图投影系列小程序之一，程序能用于不同基准面上单点及批量数据的墨卡托投影正、反转换，正投影时的输入经纬度数据可以是度、度分及度分秒格式。
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2005年3月根据用户反馈作了更新，更新后增加了“UTM投影正反转换程序”，其中包括UTM与高斯-克吕格投影的相互转换功能，此外更新后反投影精度提高，反算能完全精确到小数后六位的度。
编制这套程序原因有三：之一，本人工作中常需要投影计算，现有软件使用不太方便；之二，常发现用十进制度坐标数据作正式成果图的现象，可能是手头没有合适的投影软件所至；之三，常发现WGS84定位数据被当作北京54（克拉索夫斯基椭球体）坐标数据投影，可能是沿用早年的投影转换程序所至。
这些原因促成了我编制一套简单实用、在Windows环境下的常用地图投影小程序的想法，现在完成了，而且在大家的促使下作了第一次更新，提供给大家免费使用，使用过程中如遇budge请别忘了告诉我，此外需要投影动态连接库接口的可以通过Email与我联系，我的Email地址：qddqinfen@二、地图投影的选择选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的多采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，是横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)的一个变种；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。
投影转换的原理
投影转换的原理投影转换是指通过一定的数学方法将三维空间中的点或物体投射到二维平面上。
它是图形学中的一个重要概念，被广泛应用于计算机图形学、制图学等领域。
投影转换的原理是将三维空间中的点通过投影变换映射到一个二维平面上，从而将三维空间中的物体在二维平面上以一种相似的形式表示出来。
投影转换有很多种方法，常用的有平行投影和透视投影两种。
首先，我们来看平行投影。
平行投影是指当光线与投影面平行时，产生的投影。
在平行投影中，目标物体上的每个点通过与投影面平行的投影线，映射到投影面上的一个对应点。
平行投影通常有正交投影和斜投影两种形式。
正交投影是指光线与投影面平行，并且与目标物体垂直入射，它可以将物体的各种细节保持在投影过程中的完整性。
在正交投影中，目标物体上的每个点与投影面上的对应点之间的距离保持不变，从而保持了物体的形状。
这种投影方法常用于工程制图和计算机辅助设计中。
而斜投影则是光线与投影面平行，但与目标物体不垂直入射。
斜投影会将目标物体的形状进行扭曲，但保持了它们的大小和平行性。
这种投影方法常用于艺术和插图设计中，因为它能够更好地表现出物体的立体感。
其次，我们来看透视投影。
透视投影是通过模拟人眼看物体的方式，将三维物体投射到二维平面上。
它利用了人眼观察物体时的透视原理，使得远处的物体比近处的物体大，从而在投影上呈现出一种深度感。
透视投影中，物体的每个点都沿着与人眼位置相连的射线进行投影。
这个射线与投影面的交点就是目标物体在投影平面上的投影点。
由于远距离的物体会产生较小的投影，所以透视投影能够模拟出物体的远近比例，从而使得画面更加真实。
透视投影也是计算机图形学中最常用的投影方法之一。
在计算机中，通过设定观察点、投影面和投影平面的位置，可以利用透视投影算法来计算物体在二维平面上的投影坐标。
总的来说，投影转换的原理是通过数学方法将三维空间中的点或物体映射到二维平面上。
平行投影使得投影点之间的距离保持不变，而透视投影则模拟了人眼观察物体的透视关系。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
(整理)高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式
§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，如展开为l 的级数，收敛。
+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。
由第三个条件知：qy l x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式----=++++++=+++5533156342442204523164253l dqdm l dq dm l dq dm l m l m l m l dqdm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即dq dm m dqdm m dqdm m 2312013121⋅=⋅-==(8-35)(8-35)是一种递推公式，只要确定了0m 就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l时有：0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)B V Mr M B N dq dB M dBdXcos cos 2==== 得：B V cB N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)B B Ndq dB dB dm dq dm m cos sin 22121112=⋅-=⋅-= (8-39)依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 8.3.2高斯投影坐标反算公式x,y⇒B,l投影方程：),(),(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
投-影-变-换
投影面垂直面经一次换面可将其换成投影面平行面，从而求出其实形，如图所示。 作图方法是：保留H面换掉V面，并使新投影面V1与H面垂直，同时与平面P平行，因 此平面P在新投影体系中为正平面，其投影反映实形。
2 角。如右图所示，若要求平面ABC与V面的夹角α，可在
由V，H面组成的投影体系中添加平面ABC的投影面垂直 面V1。
具体作图方法（如右图所示）： ① 先在平面内作一条水平线BD，使新投影面 V1垂直于H面和这条水平线BD。 ② 作新轴O1X1与BD的水平投影bd垂直。 ③ 按直线的投影变换求出ΔABC各点的新投影， 即可得ΔABC的积聚投影a1b1c1，则积聚投影 a1b1c1与新轴O1X1的夹角反映平面与V面的夹角α的 实际大小。
同理，若求直线AB 与V面的夹角β，可用a点 与b点的Y坐标差ΔY为直 角边作直角Δa′b′B，则 ∠Ba′b′为直线AB与V面的 夹角β，a′B为空间直线AB 的实长。
2 直角三角形法
1．直线的投影变换
2
一般位置直线可经过一次换面将其 换成新投影面的平行线。如图所示，若 要求空间直线AB对H面的夹角α和AB的实 长，可在由V，H面组成的投影体系中添 加新投影面V1，使V1和H面垂直，且与直 线AB平行，则在由V1，H面组成的新投 影体系中AB为正平线，且直线AB端点的 Z坐标不变，由此可在V1面上得到直线AB 的投影a1′b1′。
机械制图
当直线或平面相对投影面处于一般位置时，其投影不能直接反映出它 们的实长、实形及对投影面的倾角。但在工程上，往往要求用作图的方法 解决这一问题。常用的是直角三角形法和投影变换法。
1
工程测量中的高斯投影转换方法
工程测量中的高斯投影转换方法引言：工程测量是土木工程中重要的一环，它涉及到建筑、道路、桥梁等工程项目的规划、设计和施工。
其中，测量的准确性对于工程项目的成功实施至关重要。
在测量过程中，我们常常需要将地理坐标转换为平面坐标，这就需要使用高斯投影转换方法。
1. 高斯投影的原理高斯投影是将地球的表面投影到一个坐标平面上，以实现地球上的点的坐标测量。
它是基于大圆方位角投影原理的一种切面投影方法。
在高斯投影中，地球被近似看作一个椭球体，而不是完全的球体。
通过对地球进行近似，我们可以将弯曲的地球表面展开成一个平面，从而方便地进行测量和计算。
2. 高斯投影转换的方法高斯投影转换方法主要有正算和反算两种。
（1）正算：正算是将地理坐标（经度、纬度）转换为平面坐标（X轴、Y轴）的过程。
在正算中，我们需要通过一系列的计算公式和参数，根据给定的经度、纬度计算出相应的平面坐标。
这些计算公式和参数基于特定的高斯投影坐标系，因此在进行正算时，需要确定使用的高斯投影中央经线和椭球体参数。
（2）反算：反算是将平面坐标（X轴、Y轴）转换为地理坐标（经度、纬度）的过程。
在反算中，我们需要根据给定的平面坐标、高斯投影中央经线和椭球体参数，计算出相应的地理坐标。
反算的计算公式和方法是正算的逆过程，通过逆推计算，可以得到原始的地理坐标。
3. 高斯投影转换的应用高斯投影转换方法在工程测量中有着广泛的应用。
它可以将地球表面上的点的地理坐标转换为平面坐标，以达到实际测量和计算的目的。
这对于土木工程项目的规划、设计和施工非常重要。
在工程测量中，我们常常需要绘制平面图、制作地形图、进行地质勘探等。
这些工作都需要使用高斯投影转换方法，将地理坐标转换为平面坐标，从而方便地进行图形绘制和数据分析。
此外，高斯投影转换方法还可以应用于导航和定位等领域。
在导航和定位中，我们经常需要通过平面坐标确定位置，这就需要使用高斯投影转换方法将地理坐标转换为平面坐标，以得到准确的位置信息。
投影转换及七参数转换说明
投影转换及七参数转换说明1、投影转换1.1、说明A：88°8′8.88″应输入为：88.080888；168.5834789应理解为：168°58′34.789″B：投影东坐标均不带带号以及偏移（500KM）C:批量转换结果均保存在exe所在文件夹1.2、高斯克吕格-UTM正算输入：中央经线L0，纬度B，经度L，长半轴a，扁率倒数f；正算输出：输出经纬度X，Y。
其中X为北坐标反算输入：中央经线L0，投影坐标X，Y，长半轴a，扁率倒数f；反算输出：纬度B，经度L图1、高斯投影正算图2、高斯投影反算UTM投影与高斯投影输入输出均相同，选择相应的投影即可。
UTM也称为0.9996高斯投影1.2、mercator投影正算输入：标准纬线B0，中央经线L0，长半轴a，扁率倒数f，纬度B，经度L正算输出：投影坐标X，Y；X指北。
反算输入：标准纬线B0，中央经线L0，长半轴a，扁率倒数f，纬度X，经度Y反算输出：地理坐标B，L图3、Mercator正算图4、Mercator反算1.3、Lambert割圆锥投影正算输入：原点纬线B0，中央经线L0，第一标准纬线B1,第二标准纬线B2，长半轴a，扁率倒数f，纬度B，经度L正算输出：投影坐标X，Y；X指北反算输入：原点纬线B0，中央经线L0，第一标准纬线B1,第二标准纬线B2，长半轴a，扁率倒数f，X，Y反算输出：地理坐标坐标纬度B，经度L图5、Lambert正算图6、Lambert反算1.4、投影到空间坐标的转换空间坐标为XYZ右手系。
经度的正负与Y正负相同。
正算输入：纬度B，经度L，椭球高度h（可选），椭球长半轴a，扁率倒数f正算输出：空间X YZ反算输入：空间XYZ，椭球长半轴a，扁率倒数f反算输出：纬度B，经度L，椭球高度h（可选）图7、空间XYZ到BLH图8、空间XYZ到BLH1.5、批量转换批量转换是基于文件的转换，批量转换与单点转换的设置基本相同。
高斯投影坐标正反算.ppt
2
4
6
8
高斯投影坐标正算（3）
dm0 = dX
dB =M
N cos B =N cos B
,
dq dB dq
M
c
m1 = N cos B
= V
cos B
子午线曲率半径
等量纬度定义式
m2
N 2
sin B cos B
m3
N b
cos3 B(1 t 2
2)
m4
N sin B cos3 24
y 2 dn4 dx
y4
N
cos M
B
(n1
3n3
y2
5n3
y4
)
2n2 y 4n4 y3
N cos B ( dn1 y dn3 y3 dn5 y5 )
M
dx
dx
dx
由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式
n1
M N cos B
• 高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）
§4.9.2 正形投影的一般条件
一、长度比的通用公式推导
dS 2 (MdB)2 ( N cos Bdl )2
ds2 dx2 dy2
长度比平方为：
m2
ds dS
2
dx2 dy2 (MdB)2 (N cos
dn2 dx
y2 dn4 dx
y4
N
cos M
B
(n1
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
第六讲 投影变换
离为d。由相似三角形关系求得空间点P(x0，y0，z0)和投影平面上投影点 P‘(xp，yp，zp)的坐标关系： xp=x0· d/z0；yp=y0· d/z0 ；zp=d
投影矩阵表示为：
xp 1
yp
0
z z0
p
d
0 0
00 10 01 0 1/ d
0x0
0
y0
0 1
z0 1
为
。
A. T(1,0) · R(180 °) B. T(1,0) · R(-180 °) C. R(180 °) · T(1,0) D. R(-180 °) · T(1,0) E. T(1.0) · S(-1,1) F. T(1.0) · S(-1,-1)
三、多选题
3、平行投影就是
。
A. 投影射线与投影平面垂直的投影。
正二轴测投影 投影线与各坐标轴的夹角中有两个相等，使得物体中有 两个与坐标轴平行的边等比例变换的正轴测投影
常用的正轴测投影有：
正三轴测投影 投影线与各坐标轴夹角全不相等，使得物体中三个与坐 标轴平行的三条边各以不同比例缩小的正轴测投影
如下图所示，设投影中心处于坐标系原点，投影平面与Z轴垂直并距原点距
2、所谓平行投影就是说投影中心在有限远处的投影。 3、投影变换的实质是从二维物体模型描述到三维图形描述的转换过程。 4、正平行投影和斜平行投影的主要区别是投影射线是否与投影平面垂直。 5、投影变换主要分为平行投影和透视投影两大类，这两种投影变换的主要区别为投影平
面是与一个坐标轴相交还是与多个坐标轴相交。
二点透视：有二个主灭点或者说投影平面与二个坐标轴 相交，这种投影被称为二点透视。
三点透视：有三个主灭点或者说投影平面与三个坐标轴 相交，这种投影被称为三点透视。
正方体的投影与空间形的转换
正方体的投影与空间形的转换正方体是一种立体图形，具有六个面，每个面都是正方形。
在现实生活中，我们经常遇到正方体，比如骰子、建筑物的柱体等等。
正方体的投影和空间形的转换是数学和几何学中的重要内容，在多个领域都有广泛的应用。
本文将讨论正方体的投影和空间形的转换。
一、正方体的投影正方体的投影是指将其在平面上的投射结果。
常见的正方体投影有正投影和斜投影两种形式。
1. 正投影正投影是指将正方体在一个垂直于某个面的平面上所得的投影。
当正方体与投影平面垂直时，投影结果呈现出与正方体相似的形状，比如一个正方体上底面的投影是一个正方形。
当正方体与投影平面不垂直时，投影结果会有一定的形变，但仍然保留着正方体的基本特征。
正投影通常用于技术图纸、工程设计等领域。
2. 斜投影斜投影是指将正方体在一个不垂直于任何面的平面上所得的投影。
斜投影会使正方体的各个面呈现出不同的形状和大小，但仍然可以通过相应的关系还原出正方体的形态。
斜投影通常用于建筑设计、视觉艺术等领域。
二、正方体的空间形的转换正方体的空间形的转换是指将正方体从一个空间位置变换到另一个空间位置。
常见的空间形的转换有平移、旋转和缩放。
1. 平移平移是指将正方体沿着某个方向移动一定的距离。
在平移过程中，正方体的各个面保持不变，只是位置发生了改变。
平移可以用于物体的移动、布局等方面。
2. 旋转旋转是指围绕一个点或一条轴进行旋转运动。
正方体可以绕着某个边或对角线进行旋转，旋转使正方体的各个面在空间中发生变化。
旋转可以用于物体的仿真、动画等领域。
3. 缩放缩放是指改变正方体的尺寸大小。
正方体可以被放大或缩小，使得其体积和表面积发生变化。
缩放可以用于比例模型制作、尺寸调整等方面。
正方体的投影和空间形的转换在工程学、建筑学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过对正方体的投影和空间形的转换的研究，可以更好地理解和应用立体几何的原理、原型和方法。
总结正方体的投影和空间形的转换是数学和几何学中的重要内容。
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各种投影正反转换说明一、编者语本程序是常用地图投影系列小程序之一，程序能用于不同基准面上单点及批量数据的墨卡托投影正、反转换，正投影时的输入经纬度数据可以是度、度分及度分秒格式。
本套系列程序原来包括“3°、6°带高斯-克吕格投影正反转换程序”、“墨卡托投影正反转换程序”及“兰勃特等角投影正反转换程序”。
2005年3月根据用户反馈作了更新，更新后增加了“UTM投影正反转换程序”，其中包括UTM与高斯-克吕格投影的相互转换功能，此外更新后反投影精度提高，反算能完全精确到小数后六位的度。
编制这套程序原因有三：之一，本人工作中常需要投影计算，现有软件使用不太方便；之二，常发现用十进制度坐标数据作正式成果图的现象，可能是手头没有合适的投影软件所至；之三，常发现WGS84定位数据被当作北京54（克拉索夫斯基椭球体）坐标数据投影，可能是沿用早年的投影转换程序所至。
这些原因促成了我编制一套简单实用、在Windows环境下的常用地图投影小程序的想法，现在完成了，而且在大家的促使下作了第一次更新，提供给大家免费使用，使用过程中如遇budge请别忘了告诉我，此外需要投影动态连接库接口的可以通过Email与我联系，我的Email地址：qddqinfen@二、地图投影的选择选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的多采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，是横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)的一个变种；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。
一般应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。
三、大地基准面的选择地图坐标系由大地基准面和地图投影确定，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。
我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的IAG 75地球椭球体建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前GPS定位所得出的结果都属于WGS84坐标系统，WGS84基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心的坐标系。
相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。
需要说明的是，在“常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数，与实际基准面无关。
本程序中采用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范GB/T 18314-2001”）：椭球体长半轴短半轴Krassovsky 6378245 6356863.0188IAG 75 6378140 6356755.2882WGS 84 6378137 6356752.3142椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 19 42、索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。
在目前的GIS商用软件中，大地基准面都通过当地基准面向WGS84的转换7参数来定义，即三个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ表示两坐标原点的平移值；三个旋转参数εx、εy、εz表示当地坐标系旋转至与地心坐标系平行时，分别绕Xt、Yt、Zt的旋转角；最后是比例校正因子，用于调整椭球大小。
我国的北京54、西安80相对WGS84的转换参数保密，至今没有公开。
实际工作中可通过当地测绘部门获取相应参数，或利用工作区内已知的北京54或西安80坐标控制点计算，计算方法有“三参数莫洛金斯基（Molodenski）”法，“七参数布尔莎（Bursa-Wolf）”法，及多项式或线性转换等。
以（32°，121°）的30°标准纬度墨卡托投影结果为例，北京54及WGS84基准面，两者投影结果在东西方向差距约196米，南北方向差距约57米(见下表)，对于几十或几百万的地图来说，这一误差无足轻重，但在工程地图中还是应该加以考虑的，西安80与WGS84投影结果非常接近。
输入坐标（度）北京54 墨卡托（米）西安80 墨卡托（米）WGS84墨卡托（米）纬度值（X）32 3242287 3242231 3242230经度值（Y）121 11675036 11674845 11674840以（32°，121°）的25°，40°双标准纬度，原点纬度10°，原点经度110°的兰勃特投影结果为例，北京54及WGS84基准面，两者投影结果在东西方向差距约18米，南北方向差距约45米(见下表)，西安80与WGS84投影结果基本一致。
输入坐标（度）北京54 兰勃特（米）西安80 兰勃特（米）WGS84 兰勃特（米）纬度值（X）32 2531235 2531191 2531190经度值（Y）121 1028805 1028788 1028787以中央经度为123°的（32°，121°）高斯-克吕格投影结果为例，北京54及WGS84基准面，两者投影结果在南北方向差距约63米(见下表)，东西方向基本一致；西安80与WGS84投影结果基本一致。
输入坐标（度）北京54 高斯（米）西安80 高斯（米）WGS84 高斯（米）纬度值（X）32 3543664 3543603 3543601经度值（Y）121 21310994 21310997 21310997以中央经度为123°的（32°，121°）UTM投影结果为例，北京54及WGS84基准面，两者投影结果在南北方向差距约63米(见下表)，东西方向基本一致；西安80与WGS84投影结果基本一致。
输入坐标（度）北京54 UTM(米）西安80 UTM（米）WGS84 UTM（米）纬度值（X）32 3542246 3542185 3542183经度值（Y）121 311069 311072 311072四、（一）墨卡托投影（1）墨卡托投影性质墨卡托(Mercator)投影，是一"等角正轴圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定，假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。
基准纬线取至整度或整分。
（2）墨卡托投影坐标系取零子午线或自定义原点经线与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系，此投影标准纬线无变形。
（3）下例：格式原始纬度值原始经度值输入纬度值输入经度值十进制度35.445901° 122.997344° 35.445901 122.997344度分35°26.7541′ 122°59.8406′ 3526.7541 12259.8406度分秒35°26′45.245″ 122°59′50.438″ 352645.245 1225950.438下例为度分秒格式(WGS84)的墨卡托正投影输入数据文件:350000.000 1220000.000351600.519 1225959.506345800.101 1225959.8343600.336 1230000.26341400.018 1225959.897335159.17 1225959.46333000.08 1230000.28332300.674 1232000.103下例为度分秒格式(WGS84)的标准纬度30°，原点经度0°的正投影转换结果数据文件:1 350000 1220000 3587805.49 11771326.192 351600.519 1225959.506 3619142.82 11867799.233 345800.101 1225959.8 3583900.99 11867807.114 343600.336 1230000.26 3541028.21 11867819.445 341400.018 1225959.897 3498328.12 11867809.716 335159.17 1225959.46 3455798.28 118677987 333000.08 1230000.28 3413508.75 11867819.988 332300.674 1232000.103 3400100.68 11899977.32（二）兰勃特投影（1）兰勃特投影性质兰勃特等角(Lambert Conformal Conic)投影，是一"等角正割圆锥投影”，由德国数学家兰勃特（mbert）在1772年拟定。
设想用一个正圆锥切于或割于球面，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃特投影平面。