总结性专题

用正交补的眼光看待问题

解空间是行向量空间的正交补，研究解空间只需研究行向量空间即可

问题一 0Ax = 0Bx =

同解，A B 行向量所在空间相同（也即A B 行向量等价）

不同解，A B 行向量所在空间交集为0，

有非零公共解，A B 行向量所在空间有非零交集，

问题二120,0,Ax W Bx W ==解空间为解空间为 证明：12n W W P ⊕=

需研究系数矩阵行向量空间正交补

证明和是直和

仅需要120W W ⋂= 以及对应的其它要素 如1212dim dim dim()W W W W +=+

证明和是直和 且等于W

则要求首先两者相等有三种方法，齐次考虑直和条件

方法一 W α∀∈ 有1212W W ααα∀=+∈+ 反向根据具体情况，如果后两者12,W W 是W 子空间，则不必再证明。如果没说明还要反向再证明

最后再120W W ⋂=

方法二 12,W W 是W 子空间情形，分别取12WW 基，如果和在一起无关，并且秩达到W 的秩。该种方法不必考虑120W W ⋂=

方法三 12,W W 是W 子空间情形，只要1212dim dim dim()W W W W +=+ 且120W W ⋂=

证明12W W W ⊕=题型

题型一

120,0,Ax W Bx W ==解空间为解空间为,A B 有一定关系， 证明：12n W W P ⊕= （进一步追问需要12n W W P ⊕=所有可能条件是什么？是否是充要？）

本质：将A 的行向量极大无关组与B 行向量的极大无关组和在一起仍然是极大无关组，

也即A 的行向量空间与B 行向量空间直和为n P ，简单记为n A P B ⎛⎫=

⎪⎝⎭

题型二 12()0,()0,()()0,f A x W g A x W f A g A x W ===解空间为解空间为解空间为且(,)1f g =

证明：12W W W ⊕=

（进一步追问需要12n W W P ⊕=所有可能条件是什么？是否是充要？） （(,)1f g = 能推出来对应解集不交，除此还能推出其他吗？）