信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析

定义： 使 f t et 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉普拉斯
变换的收敛域。
比如： 若 0 时， f t et 绝对可积，
则，f t 的拉普拉斯变换的收敛域为
1
1 1
1
0 t 0 t0
0
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2. 可以得到系统在频域的系统函数，方便理解系统的传 输特性，同时易于求取系统的零状态响应。
e(t)
h(t )
T
时域分析方法对于复杂的系统只能
rzs t e t h t
求得结果，不能从物理概念上解释 为什么得到这种响应，从而在系统
‫ ٭‬对具有初始条件的系统问题，不能利用傅里叶变换求 得系统的完全响应。
‫ ٭‬一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶 变换，如 et ，而不能用傅里叶分析法分析。
♣ 这个科学家就是法国的拉普拉斯，他希望能解决 上面问题，然后提出了新的变换方法，被称为拉 普拉斯变化法。
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业
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♣ 4.1(1)(5)、 4.2 (2)(4)(6)、 4.4 ♣ 4.8(2)(4)(10)、 4.6 (1)(2)、 4.9(1)(2) ♣ 4.10 (1)(3)(4) 、 4.11(1) 、4.13 ♣ 4.15、4.19 (1)、4.35
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2 拉普拉斯变换的收敛域
在前面的讨论中，引入一衰减因子 et ，使 f t et 满足绝对可积，
才得到拉普拉斯变换式，所以，拉普拉斯变换存在的充要条件是：
f t et dt 或 lim f t et 0
0
t
f (t)不同，则满足条件的σ不同
4.1 拉普拉斯变换 laplace transform
1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
积分变换式须有严格的数学证明，不能随意给出，下面由傅里叶变 换式推导拉普拉斯变换式。
当函数 f (t)满足狄里赫利条件时，可构成一对傅里叶变换：
F j f t e jtdt f t 1 F j e jt d 2
♣ 本章即学习和研究用拉普拉斯变换分析法分析信 号与系统。主要内容：
‫ ٭‬由傅里叶变换导出拉普拉斯变换。 ‫ ٭‬讨论拉普拉斯变换的基本性质和常用信号的拉普拉斯
变换对。
‫ ٭‬讨论线性系统的拉普拉斯变换分析法，并运用该分析 法分析线性系统。
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本章内容安排
分析、设计和调整上遇到困难。
E( j)
H ( j)
例如：
E j
Rzs j E j H j
傅立叶分析法可以从频谱的观点说 明激励与响应之间的差异情况，物 理概念清楚，方便系统分析、设计 和元件参数调整。
H j
RZS j
0
ω1
ω2
ω1
0
ω1
ω2
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♣ 有科学家在应用傅里叶分析法求响应时，觉得
f
t e jtdt
与 F j f t e jtdt 比较，
显然 F1 j F j
令
s j
通过积分变换，将
则
F1 j F s
f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
得到单边拉普拉斯变换：
F s f t estdt 0_
f
t
1
2
j
j j
F
s
est
ds
t
如无特别说明，拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换。
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拉普拉斯变换的理解
在傅立叶反变换中，时间函数 f t 分解为无穷多项ω的指数函数 e jt
之和。
拉氏变换可以理解为一种广义的傅立叶变换，e jt 扩展为复变量 s
的复指数函数 ests j ，即将时间函数 f t 看成无穷多项 est
的叠加。
est et jt et cost j sint
σ表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。 ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
§4.1 拉普拉斯变换 §4.2 拉普拉斯变换的性质 §4.3 拉普拉斯反变换 §4.4 连续时间系统的复频域分析 §4.5 系统函数 §4.6 系统函数及其零、极点分布与系统的时域和频域特性 §4.7 双边拉普拉斯变换 §4.8 连续时间系统的s域模拟 §4.9 系统的稳定性
内容回顾
信号与系统
作
很多信号因为不满足绝对可积，不存在傅里叶变换。
绝对可积 极值数目有限 有限个间断点
为使更多的函数存在变换，引入一衰减因子 et 与 f (t) 相乘，
使 f t et 满足绝对可积，求其傅里叶变换：
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F1
j
F f
t
et
f
t ete jtdt
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
f (t) 1 j F (s)est ds
2 j j
通过积分变换，将 自变量为s的函数变 成自变量为t的函数
信号与系统
由此得到双边拉普拉斯变换：
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F s f t estdt
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第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t
t F j F j
（拉普拉斯正变换）
f t 1 j F s est ds （拉普拉斯逆变换）
2 j j
通常表示为：
F s L[ f t ຫໍສະໝຸດ f t L1[F s]或 f t F s 原函数 象函数
实际应用中的 f t 大都是有始信号，并考虑到信号在t=0时刻
可能包含有冲激函数及其导数项，取积分的下限为0 。