利用小波门限法进行信号去噪
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第 36 卷 第 3 期 V ol. 36 N o. 3
山 东 大 学 学 报 ( 自然科学版 ) JO U RN A L OF SHA N DO N G U N I V ERS IT Y
2001 年 9 月 Sept . 2001
文章编号 : 0559 - 7234( 2001) 03 -0306 -06
j 2 [ 1]
的宽平 , 则有 ( 2)
( x ) 是实的
e( u )
j
( k - u ) du ,
e( u ) (k - u)
j(
k - u)e( v)
j(
j
( k - v ) du d v = ( 3)
e( u ) e( v )
k - v ) d ud v ,
2
又因为 E { e( u) e( v ) } = 所以, 得 E { | WT e ( j , k ) | 2} =
2 j -
( u - v),
( 4)
E { e( u) e ( v ) }
j(
j
( k - u)
j
( k - v ) d u dv =
(u- v)
j
(k - u)
2
k - v ) d ud v =
2
-
|
( k - u ) | 2 | du =
j
.
( 5)
对于上述的白噪声信号 , 其小波变换系数的平均功率与尺度 j 成反比. 可以证明 [ 1 ] , 它的离散细节信号的幅度随着小波变换级数的增长而不断减小. 对于所有的尺度 , 白噪声 小波变换 的离散 细节信 号系 数的方 差随着 尺度的 增加也 会有 规律 地减 小, 即 D j = D j- 1 / 2 , 其中 D j , D j - 1 为方差. 消除噪声就是抑制信号 s 中的噪声 e, 并恢复原始信号 f . 可以证明 [ 1 ] , 有用信号的小 波变换并不满足式( 5 ) , 其平均功率与尺度无关 . 同样, 对应于有用信号小波变换的离散细 节信号的幅度和方差也不随尺度的增大而减小 , 即不满足 D j = D j- 1 / 2. 在消噪过程中, 利用白噪声和有用信号的小波变换的性质不同 , 可以消除或减弱噪声, 提高信噪比. 消除噪声的过程可以分为 3 个步骤: ( 1) 小波分解. 选择要分解的级数 N , 选择采用的小波或者采用的滤波器 , 对给定的 信号进行分解. ( 2) 细节系数的处理 . 对于从 1 到 N 的每一级 , 对细节系数进行处理或修改 . ( 3) 信号重建. 在原来得到的第 N 级离散逼近信号系数和修改后的第 1 级到第 N 级 离散细节系数的基础上重建信号. 1992 年, M allat [ 2] 提出用奇异点 - 模极大值法检测信号的奇异点 , 并根据有用信号 和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性来消除噪声 , 并使信 噪比提高 4 ~ 7dB. M allat 利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈现不同的奇异 性 , 用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值 , 然后利用属
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报 ( 自然科学版 )
第 36 卷
用软门限方法. 实现步骤如下:
0) ( 1) 令 x ( k = s , j = 0 , 设定分解级数 J , 获取所用小波的低通分解滤波器参数 D L 和
高通分解滤波器参数 D H , 小波分解得 d (kj ) ( j = 1 , 2,
J ) , x (kJ ) , j = J .
性的能力, 此信号包含两个突变 ; 图 2( b) 是叠加了高斯白噪声 N ( 0, 1) 的被污染信号 . 利 用上面给出的各种门限估计准则, 对该信号序列小波变换后的离散细节信号估计门限 , 然 后用软门限方法对离散细节信号进行处理 , 并比较它们之间性能的差异. 在比较中 , 对于 给定的信号 , 叠加的高斯白噪声幅度从 0. 01 至 5. 00 . 选用 sym 8 小波, 分解尺度数为 5, 采
第3期
郭代飞等 : 利用小波门限法进行信号去噪
309
( a) 把待估计的矢量中的元素取绝对值 , 由小到大排序 , 然后将各个元素平方, 得到 新的待估计矢量 N V , 其长度为原待估计矢量的长度 n . ( b) 对应每一个元素下标( 即元素的序号) k , 若取门限为待估计矢量的第 k 个元素的 平方根 , 则风险算法为 :
k
n - 2k + R isk ( k ) =
j= 1
N V ( j ) + ( n - k)* N V ( n - k)
. ( 8) n 根据式 ( 8) , 画出对应于不同 k 值的风险曲线, 找出最小风险点及与之对应的 k 值 , 则 其门限 t hr 为 t hr = N V ( k). ( 9) ( 2) 固定门限准则. 利用固定形式的门限, 可取得较好的去噪特性. 其选取算法是: 设 n 为待估计矢量的长度, 取长度 2 倍的常用对数的平方根为门限 , 即 t hr = lo g ( 2 n ) . ( 10) ( 3) 混合准则 . 它是无偏风险估计和固定门限准则的混合. 其门限选取算法是: 首先判断两个变量 A 和 B 的大小, 它们的表达式分别为
第3期
郭代飞等 : 利用小波门限法进行信号去噪
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图 3 中 ABCD 分别对应无偏风险估计准则、 固定门限准则、 混合准则、 极小极大准 则 . 从中可以看出 , 在噪声幅度很小( 有噪信号的信噪比 > 25 dB) 时 , 消噪后的信噪比不但 没有提高, 反而下降了 . 有噪信号的信噪比大于 12 dB 时 , 4 种门限选取准则的效果相差 无几; 信噪比小于 12 dB 时 , 无偏风险估计法和混合法的效果几乎为 0, 固定门限法和极 小 极大法 的效 果要好 一些 , 有噪 信号 的信 噪比 为 0~ 15dB 时 , 消噪 后信 噪比 提高 10~ 14 dB. 与 M allat 的奇异点 - 模极大值法相比较 , 去噪后有噪信号的信噪比提高 6 dB 左右 . 有 噪信号的信噪比在( - 5 dB~ 0 dB) 时 , 效果较好的固定门限法的信噪比提高 5~ 10 dB.
图2
信号小波去噪示意图
Fig. 2 De -n ois ed signal a usin g w avelet
图3
4 种门限去噪性能曲线图
Fi g. 3 S N R gain of den oised sign al w it h dif feren t t hreshold sel ecti on rul es
( a) 原信号 图1
( b ) 硬门限信号 硬门限和软门限示意图
( c) 软门限信号
Fig . 1 Hard t hres hold and sof t t hreshold
百度文库
硬门限可以描述为 : 当数据的绝对值小于给定的门限时, 令其为零, 而数据为其他值 时不变 ; 软门限可以描述为 : 当数据的绝对值小于给定的门限时, 令其为零, 然后把其他数 据点向零收缩. 由图 1 可以看出 , 采用软门限方法产生的数据没有不连续点, 而采用硬门 限方法产生的数据在给定的点 x 和它关于零点的对称点 x 处各有一个不连续点 . 硬 门限是最简单的方法 , 而软门限有着很好的数学特性, 实践证明是有效的方法. 2 . 2 门限选择的准则及其算法 根据现有的文献 , 对于被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型, 一般地, 选择门限的 准则如下: ( 1) 无偏风险估计准则. 对应于每一个门限值, 求出与其对应的风险值 , 使风险最小 的门限就是我们所要选取的门限. 其具体算法为:
n
( A = B =
i= 1
| xi | 2- n) n 1 log ( n ) n log ( 2)
3
, ( 11) .
其中 n 是待估计矢量 X 的长度, 若 A < B , 则选取门限用固定门限准则 ; 否则 , 取无偏风险 估计准则与固定门限的较小者作为本准则的门限值 . 此准则是前两种准则的折衷 . ( 4) 极小极大准则. 本准则采用固定门限获得理想过程的极小极大特性 . 极小极大原 理是在统计学中为设计估计量而采用的, 由于去噪信号可以假设为未知回归函数的估计 量 , 则极小极大估计量是实现在最坏条件下最大均方误差最小的任选量 . 其门限是: t hr = 0. 3936 + 0 . 1829* lo g ( n) . log ( 2) ( 12)
近年来小波分析的理论发展及其实际应用正成为众多学科关注的热点. 小波分析被 看成是调和分析领域半个世纪以来工作的结晶 , 目前它正广泛应用于信号处理、 图像处 理、 量子理论、 地震勘测、 语音识别与合成、 流体湍流、 天体识别、 机器视觉、 机械故障诊断 与监控等科技领域. 小波分析优于 Fourier 分析的地方是 , 它在时域和频域同时有良好的 局域性 ; 而且由于它对高频成分可采用逐渐精细的时域取样步长, 从而可以聚焦到对象的 任意细节, 所以小波分析是对信号时频局部特性进行分析比较理想的数学工具. 小波变换 实现了信号从时域到时间 - 尺度域平面的转换, 通过多尺度分析可以在不同的尺度下观 察信号不同的局部化特征 . 由于信号和噪声经过小波变换后的统计特性不同 , 从而在多尺 度分析中呈现出不同的传播行为, 利用这一特性结合 M allat 提出的小波极大值去噪法或 本文给出的小波门限去噪声方法可以对有噪信号进行去噪.
以上估计准则, 未把估计的门限和信号小波变换的离散细节系数的中值相联系, 为了 更稳健地估计去噪门限, 在把所得门限用于对小波离散细节信号处理时 , 还需乘上原始信 号在某个尺度下离散细节信号的中值 . 本文采用缺省中值方法, 即令中值为 1 .
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实例分析
如图 2( a) 所示是一个长度为 2048 点的离散时间序列, 为了体现小波变换表征局部特
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报 ( 自然科学版 )
第 36 卷
于有用信号的模极大值重构小波 . 由于受到各种因素的干扰, 这种跟踪是很困难的 . 在实 际工作中需要一些经验性的判据.
2
利用小波门限法去噪[ 3]
所谓门限法 , 就是选择一个门限 , 然后利用这个门限对小波变换后的离散细节信号和
离散逼近信号进行处理. 2. 1 软门限和硬门限 令 sgn ( ) 代表符号函数. 图 1 是信号 y = x 的硬门限和软门限示意图 . 选择 x 为给 定的门限, 对于硬门限 ( 见图 1b) , 有 y = 对于软门限 ( 见图 1c) , 有 y = sgn ( x ) 0 ( | x |x) | x |> 其他 . x, ( 7) x 0 | x |> 其他. x, ( 6)
利用小波门限法进行信号去噪
郭代飞 高振明 张坚强
( 山东大学 电子工程系 , 山东 济南 250100)
摘要: 介绍了一维小波变换和用于小波去噪的硬门限和软门限处理方法 , 给出了 4 种门限估算准则. 根据信号与噪声在小波变换的多尺度上呈现出不同的传播 特性, 利用不同的门限估算准则 , 使用软门限对被噪声污染的一维信号的小波变 换进行去噪处理 , 并作出了 4 种门限估算准则的去噪效果曲线图. 计算机仿真结 果表明 , 门限法具有很好的实用价值 . 关键词 : 小波变换 ; 门限法 ; 小波去噪 中图分类号 : T N 912. 35 文献标识码: A
1 噪声的小波变换及其去噪原理
设一个被噪声污染的信号的基本模型为 s ( x ) = f ( x ) + e( x ) .
收稿日期 : 1999- 10- 25 基金项目 : 国家自然科学基金资助 ( 69772016) 作者简介 : 郭代飞 ( 1975 - ) , 男 , 硕士 , 从事信号处理 , 计算机应用研究 .
) ( 2) 依据 4 种门限准则求第 j 级离散细节信号 d (j k 的门限即所用的门限 t hr ( j ) .
( 3) 用门限 thr ( j ) 对第 j 级离散细节信号 d (kj ) 进行软门限处理. ( 4) 把 j 减 1, 重复以上步骤, 直到 j 等于 1 为止. ( 5) 小波反演得去噪后的信号. 由 4 种门限选择准则得到 4 条性能曲线如图 3 所示 . 而 图 2 ( c) 则示出了用混合准则去噪后得到的信号.
( 1)
第3期
郭代飞等 : 利用小波门限法进行信号去噪
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式中, f ( x ) 是数据信号 , e ( x ) 是一个[ 0,
] 的宽平稳的高斯白噪声 .
由于小波变换是线性变换 , 所以两个信号的和的小波系数是各个信号的小波系数的 和 ; 两个信号的和变换后的离散逼近信号和离散细节信号分别是各个信号变换后的离散 逼近信号和离散细节信号的和 . 上述噪声 e( x ) 是一个实的、 均值为零、 方差为 稳的高斯白噪声 , 令 WT e ( j , k ) 是 e( x ) 的小波变换. 这里 , 假设 WT e ( j , k ) = 而 | WT e ( j , k ) | 2 =
山 东 大 学 学 报 ( 自然科学版 ) JO U RN A L OF SHA N DO N G U N I V ERS IT Y
2001 年 9 月 Sept . 2001
文章编号 : 0559 - 7234( 2001) 03 -0306 -06
j 2 [ 1]
的宽平 , 则有 ( 2)
( x ) 是实的
e( u )
j
( k - u ) du ,
e( u ) (k - u)
j(
k - u)e( v)
j(
j
( k - v ) du d v = ( 3)
e( u ) e( v )
k - v ) d ud v ,
2
又因为 E { e( u) e( v ) } = 所以, 得 E { | WT e ( j , k ) | 2} =
2 j -
( u - v),
( 4)
E { e( u) e ( v ) }
j(
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( k - u)
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( k - v ) d u dv =
(u- v)
j
(k - u)
2
k - v ) d ud v =
2
-
|
( k - u ) | 2 | du =
j
.
( 5)
对于上述的白噪声信号 , 其小波变换系数的平均功率与尺度 j 成反比. 可以证明 [ 1 ] , 它的离散细节信号的幅度随着小波变换级数的增长而不断减小. 对于所有的尺度 , 白噪声 小波变换 的离散 细节信 号系 数的方 差随着 尺度的 增加也 会有 规律 地减 小, 即 D j = D j- 1 / 2 , 其中 D j , D j - 1 为方差. 消除噪声就是抑制信号 s 中的噪声 e, 并恢复原始信号 f . 可以证明 [ 1 ] , 有用信号的小 波变换并不满足式( 5 ) , 其平均功率与尺度无关 . 同样, 对应于有用信号小波变换的离散细 节信号的幅度和方差也不随尺度的增大而减小 , 即不满足 D j = D j- 1 / 2. 在消噪过程中, 利用白噪声和有用信号的小波变换的性质不同 , 可以消除或减弱噪声, 提高信噪比. 消除噪声的过程可以分为 3 个步骤: ( 1) 小波分解. 选择要分解的级数 N , 选择采用的小波或者采用的滤波器 , 对给定的 信号进行分解. ( 2) 细节系数的处理 . 对于从 1 到 N 的每一级 , 对细节系数进行处理或修改 . ( 3) 信号重建. 在原来得到的第 N 级离散逼近信号系数和修改后的第 1 级到第 N 级 离散细节系数的基础上重建信号. 1992 年, M allat [ 2] 提出用奇异点 - 模极大值法检测信号的奇异点 , 并根据有用信号 和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性来消除噪声 , 并使信 噪比提高 4 ~ 7dB. M allat 利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈现不同的奇异 性 , 用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值 , 然后利用属
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用软门限方法. 实现步骤如下:
0) ( 1) 令 x ( k = s , j = 0 , 设定分解级数 J , 获取所用小波的低通分解滤波器参数 D L 和
高通分解滤波器参数 D H , 小波分解得 d (kj ) ( j = 1 , 2,
J ) , x (kJ ) , j = J .
性的能力, 此信号包含两个突变 ; 图 2( b) 是叠加了高斯白噪声 N ( 0, 1) 的被污染信号 . 利 用上面给出的各种门限估计准则, 对该信号序列小波变换后的离散细节信号估计门限 , 然 后用软门限方法对离散细节信号进行处理 , 并比较它们之间性能的差异. 在比较中 , 对于 给定的信号 , 叠加的高斯白噪声幅度从 0. 01 至 5. 00 . 选用 sym 8 小波, 分解尺度数为 5, 采
第3期
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( a) 把待估计的矢量中的元素取绝对值 , 由小到大排序 , 然后将各个元素平方, 得到 新的待估计矢量 N V , 其长度为原待估计矢量的长度 n . ( b) 对应每一个元素下标( 即元素的序号) k , 若取门限为待估计矢量的第 k 个元素的 平方根 , 则风险算法为 :
k
n - 2k + R isk ( k ) =
j= 1
N V ( j ) + ( n - k)* N V ( n - k)
. ( 8) n 根据式 ( 8) , 画出对应于不同 k 值的风险曲线, 找出最小风险点及与之对应的 k 值 , 则 其门限 t hr 为 t hr = N V ( k). ( 9) ( 2) 固定门限准则. 利用固定形式的门限, 可取得较好的去噪特性. 其选取算法是: 设 n 为待估计矢量的长度, 取长度 2 倍的常用对数的平方根为门限 , 即 t hr = lo g ( 2 n ) . ( 10) ( 3) 混合准则 . 它是无偏风险估计和固定门限准则的混合. 其门限选取算法是: 首先判断两个变量 A 和 B 的大小, 它们的表达式分别为
第3期
郭代飞等 : 利用小波门限法进行信号去噪
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图 3 中 ABCD 分别对应无偏风险估计准则、 固定门限准则、 混合准则、 极小极大准 则 . 从中可以看出 , 在噪声幅度很小( 有噪信号的信噪比 > 25 dB) 时 , 消噪后的信噪比不但 没有提高, 反而下降了 . 有噪信号的信噪比大于 12 dB 时 , 4 种门限选取准则的效果相差 无几; 信噪比小于 12 dB 时 , 无偏风险估计法和混合法的效果几乎为 0, 固定门限法和极 小 极大法 的效 果要好 一些 , 有噪 信号 的信 噪比 为 0~ 15dB 时 , 消噪 后信 噪比 提高 10~ 14 dB. 与 M allat 的奇异点 - 模极大值法相比较 , 去噪后有噪信号的信噪比提高 6 dB 左右 . 有 噪信号的信噪比在( - 5 dB~ 0 dB) 时 , 效果较好的固定门限法的信噪比提高 5~ 10 dB.
图2
信号小波去噪示意图
Fig. 2 De -n ois ed signal a usin g w avelet
图3
4 种门限去噪性能曲线图
Fi g. 3 S N R gain of den oised sign al w it h dif feren t t hreshold sel ecti on rul es
( a) 原信号 图1
( b ) 硬门限信号 硬门限和软门限示意图
( c) 软门限信号
Fig . 1 Hard t hres hold and sof t t hreshold
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硬门限可以描述为 : 当数据的绝对值小于给定的门限时, 令其为零, 而数据为其他值 时不变 ; 软门限可以描述为 : 当数据的绝对值小于给定的门限时, 令其为零, 然后把其他数 据点向零收缩. 由图 1 可以看出 , 采用软门限方法产生的数据没有不连续点, 而采用硬门 限方法产生的数据在给定的点 x 和它关于零点的对称点 x 处各有一个不连续点 . 硬 门限是最简单的方法 , 而软门限有着很好的数学特性, 实践证明是有效的方法. 2 . 2 门限选择的准则及其算法 根据现有的文献 , 对于被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型, 一般地, 选择门限的 准则如下: ( 1) 无偏风险估计准则. 对应于每一个门限值, 求出与其对应的风险值 , 使风险最小 的门限就是我们所要选取的门限. 其具体算法为:
n
( A = B =
i= 1
| xi | 2- n) n 1 log ( n ) n log ( 2)
3
, ( 11) .
其中 n 是待估计矢量 X 的长度, 若 A < B , 则选取门限用固定门限准则 ; 否则 , 取无偏风险 估计准则与固定门限的较小者作为本准则的门限值 . 此准则是前两种准则的折衷 . ( 4) 极小极大准则. 本准则采用固定门限获得理想过程的极小极大特性 . 极小极大原 理是在统计学中为设计估计量而采用的, 由于去噪信号可以假设为未知回归函数的估计 量 , 则极小极大估计量是实现在最坏条件下最大均方误差最小的任选量 . 其门限是: t hr = 0. 3936 + 0 . 1829* lo g ( n) . log ( 2) ( 12)
近年来小波分析的理论发展及其实际应用正成为众多学科关注的热点. 小波分析被 看成是调和分析领域半个世纪以来工作的结晶 , 目前它正广泛应用于信号处理、 图像处 理、 量子理论、 地震勘测、 语音识别与合成、 流体湍流、 天体识别、 机器视觉、 机械故障诊断 与监控等科技领域. 小波分析优于 Fourier 分析的地方是 , 它在时域和频域同时有良好的 局域性 ; 而且由于它对高频成分可采用逐渐精细的时域取样步长, 从而可以聚焦到对象的 任意细节, 所以小波分析是对信号时频局部特性进行分析比较理想的数学工具. 小波变换 实现了信号从时域到时间 - 尺度域平面的转换, 通过多尺度分析可以在不同的尺度下观 察信号不同的局部化特征 . 由于信号和噪声经过小波变换后的统计特性不同 , 从而在多尺 度分析中呈现出不同的传播行为, 利用这一特性结合 M allat 提出的小波极大值去噪法或 本文给出的小波门限去噪声方法可以对有噪信号进行去噪.
以上估计准则, 未把估计的门限和信号小波变换的离散细节系数的中值相联系, 为了 更稳健地估计去噪门限, 在把所得门限用于对小波离散细节信号处理时 , 还需乘上原始信 号在某个尺度下离散细节信号的中值 . 本文采用缺省中值方法, 即令中值为 1 .
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实例分析
如图 2( a) 所示是一个长度为 2048 点的离散时间序列, 为了体现小波变换表征局部特
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于有用信号的模极大值重构小波 . 由于受到各种因素的干扰, 这种跟踪是很困难的 . 在实 际工作中需要一些经验性的判据.
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利用小波门限法去噪[ 3]
所谓门限法 , 就是选择一个门限 , 然后利用这个门限对小波变换后的离散细节信号和
离散逼近信号进行处理. 2. 1 软门限和硬门限 令 sgn ( ) 代表符号函数. 图 1 是信号 y = x 的硬门限和软门限示意图 . 选择 x 为给 定的门限, 对于硬门限 ( 见图 1b) , 有 y = 对于软门限 ( 见图 1c) , 有 y = sgn ( x ) 0 ( | x |x) | x |> 其他 . x, ( 7) x 0 | x |> 其他. x, ( 6)
利用小波门限法进行信号去噪
郭代飞 高振明 张坚强
( 山东大学 电子工程系 , 山东 济南 250100)
摘要: 介绍了一维小波变换和用于小波去噪的硬门限和软门限处理方法 , 给出了 4 种门限估算准则. 根据信号与噪声在小波变换的多尺度上呈现出不同的传播 特性, 利用不同的门限估算准则 , 使用软门限对被噪声污染的一维信号的小波变 换进行去噪处理 , 并作出了 4 种门限估算准则的去噪效果曲线图. 计算机仿真结 果表明 , 门限法具有很好的实用价值 . 关键词 : 小波变换 ; 门限法 ; 小波去噪 中图分类号 : T N 912. 35 文献标识码: A
1 噪声的小波变换及其去噪原理
设一个被噪声污染的信号的基本模型为 s ( x ) = f ( x ) + e( x ) .
收稿日期 : 1999- 10- 25 基金项目 : 国家自然科学基金资助 ( 69772016) 作者简介 : 郭代飞 ( 1975 - ) , 男 , 硕士 , 从事信号处理 , 计算机应用研究 .
) ( 2) 依据 4 种门限准则求第 j 级离散细节信号 d (j k 的门限即所用的门限 t hr ( j ) .
( 3) 用门限 thr ( j ) 对第 j 级离散细节信号 d (kj ) 进行软门限处理. ( 4) 把 j 减 1, 重复以上步骤, 直到 j 等于 1 为止. ( 5) 小波反演得去噪后的信号. 由 4 种门限选择准则得到 4 条性能曲线如图 3 所示 . 而 图 2 ( c) 则示出了用混合准则去噪后得到的信号.
( 1)
第3期
郭代飞等 : 利用小波门限法进行信号去噪
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307
式中, f ( x ) 是数据信号 , e ( x ) 是一个[ 0,
] 的宽平稳的高斯白噪声 .
由于小波变换是线性变换 , 所以两个信号的和的小波系数是各个信号的小波系数的 和 ; 两个信号的和变换后的离散逼近信号和离散细节信号分别是各个信号变换后的离散 逼近信号和离散细节信号的和 . 上述噪声 e( x ) 是一个实的、 均值为零、 方差为 稳的高斯白噪声 , 令 WT e ( j , k ) 是 e( x ) 的小波变换. 这里 , 假设 WT e ( j , k ) = 而 | WT e ( j , k ) | 2 =