数理方程试卷及答案2
07级数理方程试题答案
07级数理方程试题答案07801-808数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1 现有一长度为l 的均匀细弦，弦的0x =端固定，x l =端受迫作简谐振动sin A t ω，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题是（）。
2000(0,0),0,sin (0),0,0(0).tt xxx x l t t t u a u x l t u u A t t u u x l ω====?=<<>??==>??==≤≤?? 2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温0u ，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。
0000(0,0),0,0(0),0,(0).x x y y x x x x a y y b u u x a y b u u y b u u u x b ====?+=<<<<??=<<(,)u u f M t n αβΩ+=?），当（0β= ）就是第一类边界条件；当（0α= ）时，就是第二类边界条件。
4 积分()30x J x dx =?（）。
解利用递推公式1[()]()m mm m d x J x x J x dx-=和分部积分法，得32002321113212()[()][()]()2()()2().x J x dx x xJ x dxx d xJ x x J x x J x dxx J x x J x C ===-=-+?二求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）（1） ()()0,(0)0,()0.X x X xX X l λ''+=??'==? （2）2'''2()()(9)()0,()0,|(0)|.r R r r R r r R r R a R μ?++-=?=<∞?解（1）因为我们已经知道，本征值0λ≥。
数理方程第二次作业参考答案
第二次作业1.化下列方程为标准形式：0=+yy xx yu u解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=∆2。
（1）当0=y 时，0=∆，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ；（2）当0>y 时，0<∆，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C ix y =±2 选取变换x y ==ηξ,2，带入原方程可得01=-+ξηηξξξu u u （3）当0<y 时，0>∆，方程为双曲型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得()()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解：023=+-yy xy xx u u u解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，0412>=-=∆ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy解得两条特征线为212C x y C x y =+=+选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为0=ξηu此方程的通解是()()ηξg f u +=其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数，所以原方程的通解为()()y x g y x f u +++=2作业中出现的问题：第一题：1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。
2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。
3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。
另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。
此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。
还有计算问题也出现了很多。
第二题：1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。
数理方程试题及解答二
数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。
数理方程资料
一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
数理方程期末试题
数理方程与特殊函数试题（行波法与付氏变换）（2008-10-27）一、（15分）求解初值问题：⎩⎨⎧==>∞<<-∞+===x t t t xx tt xeu x u t x x u u 00|,sin |)0,(sin 解：令 u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )，……………………………………………………（2分） 代入原方程，得v tt = [v xx + w xx ] + sin x ………………………………（2分）所以取 w (x ) = sin x ，……………………………………………………………………（2分） 得v (x ，t )满足的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===x t xx tt xex v x v v v )0,(0)0,(…………………………………………（2分） 由达朗贝尔公式，得⎰+--+-++---+==t x t x t x t x t x t x e e e t x e t x d e t x v ])()[(2121),(ξξξ…………（3分） ])1()1[(21t x t x e t x e t x -++---+=………………（2分） 所以u (x ，t ) = v (x ，t ) + w (x )x e t x e t x t x t x sin ])1()1[(21++---+=-+……（2分）二、（15分）求解半无界弦定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===>∞<<====0sin ,cos )0,0(0002x x t t t xx tt u x u x u t x u a u 解：对初始条件中函数做偶延拓⎩⎨⎧<≥=0,cos 0,cos )(x x x x x ϕ…………………………………………（2分） ⎩⎨⎧<-≥=0,sin 0,sin )(x x x x x ψ………………………………………（2分） 应用达朗贝尔公式，当x >0，且 x > at 时，有⎰+-+-++=at x at x d aat x at x t x u ξξsin 21)]cos()[cos(21),(………………（2分） )]cos()[cos(21cos cos at x at x aat x --+-+=………………（2分）at x aat x sin sin 1cos cos -=……………………………………（1分） 当x >0，且 x < at 时，有 ⎰⎰+--+-++=at x at x d d a at x at x t x u 00sin sin [21)]cos()[cos(21),(ξξξξ……（4分） )]cos(11)[cos(21cos cos at x at x aat x -+--+-+=………………（2分） )cos cos 1(1cos cos at x a at x -+=……………………………………（2分）三、（15分）记)]([)(ˆx f F f=ω 1．证明)](ˆ)(ˆ[)]([ωωωf fx f x F '+-='； 2． 用付里叶变换方法求解方程0='-''y x y 。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数理方程第二章(2)
有限长杆上的热传导
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度 分布为 ( x ). 试求细杆上温度的变化规律。
令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得
特征பைடு நூலகம்题
当
或
时,
当
时,
由边界条件
从而
亦即特征根
特征函数为：
T 的方程
2
2
n cos x l
2
二
一
cos
2n 1 x 2l
注2：用分离变量法求解包含第三类(齐次)
边界条件 的定解问题时，其过程与
第 一 类（或第二类）边界条件相同，
但在确定特征值时，一般比较复杂。
例 细杆的热传导问题
长为 的均匀细杆，设与细杆垂直截面上各点的 温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由 散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为
练习： 求下列定解问题的解
ut a 2 uxx 0 x l , t 0 ux 0, t ux l , t 0 u x, 0 x
解为 :
其中
1 u x , t a0 ane 2 n 1
求此杆的温度分布。 解 定解问题为
设
且
由
及齐次边界条件，有
得特征值问题
当 当 由
或 时, 得
时,
故
由
得
即 令 有
函数方程
y
r3 r2 r1
y1 tg r
由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根
r1
r2
y2 rr r3
数理方程试题
专业年级_____________学号_____姓名__________考试日期______年___月__日分数______
一、指出下列方程的类型（16分）
1、
2、
3、
4、
二、对下列二阶线性偏微分方程，试判断其所属类型（16分）
1、
2、
3、
4、
三、基于一维波动方程柯西问题的D’Alembert公式，试在x、t坐标平面上画出点（x,t）的依赖区域、区间[x1,x2]的决定区域和区间[x1,x2]的影响区域，并说明相应的含义。（12分）
四、试用特征线法求解柯西问题（20分）
五、已知一长为l的细杆，其初始温度分布为φ（x），杆的一段保持零度，另一端绝热，试给出相应的定解问题并用分离变量法求解。（20分）
六、试用Fourier变换求定解问题（16分）
（已知： ）
授课
教师
命题教师或命题负责人
签字
院系负责人
签字
年月日
注：请命题人标明每道考题的考分值。
数理方程习题解答
β,
α4
=
1 cosθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
±
1, 2
1 sinθ sin β , 2
1 sinθ cos β , 2
1 2
cosθ
⎞ ⎟⎠
。
8
（3）设α
=
(α1,α2,α3 )
，则0
=
α
2 2
−
α
2 3
，取单位特征方向，α12
+
α
2 2
+
α
2 3
=1。
所以，α12
+
2α
2 2
= 1。记α1
=
cosθ , α2
问题 II：求u ∈ M = C1 (Ω) 使得它对于任意v ∈ M 都满足
∫ (∇u ⋅ ∇v + u ⋅ v − fv) dx + ∫ (a(x)uv − gv) ds = 0
Ω
∂Ω
问题 III (第三边值问题)：求u ∈ C 2 (Ω) ∩ C1 (Ω) 满足以下边值问题
⎧⎪−Δu + u = f
( ) uξη
+
1 2(ξ −η)
uξ − uη
=0
（5）由特征方程sin2 xdy2 − 2 y sin xdxdy + y2dx2 = 0 解得一簇特征线
ytg x = c ，做变换ξ = ytg x ,η = y ，则由链式法则原方程化为
2
2
uηη
− 2ξ ξ2 +η2
uξξ
=0
( ) ( ) （6）由特征方程 1 + x2 dy2 + 1 + y2 dx2 = 0 解得两簇共轭特征线
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数理方程试题
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下 －函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是 （ ）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、 （9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
数理方程试题2012-
学年第二学期期末考试试题(I)数学物理方程 一. 填空题（每小题4分，共20分）1.方程122222-+=∂∂-∂∂y x yu y x u x 的类型是 2.长为2π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos ,则其定解条件是3. 方程222230u ux y∂∂-=∂∂ 的特征线为 4.已知边值问题⎩⎨⎧===λ+0)2()0(0)()(''"X X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 5.方程2"'20xy xy x y ++=的通解为二．单项选择题（每小题4分，共8分）1. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ，侧面绝热初始温度为)(x φ，则其柯西问题为（ ）(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+∂∂=∂∂)()0,(),(222x x u t x f x u a t u φ .(B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+∂∂=∂∂),()0,()(222t x f x u x x ua t u φ (C) ⎪⎩⎪⎨⎧=+∂∂=∂∂)()0,(),(22222x x u t x f x ua t u φ (D)⎪⎩⎪⎨⎧=+∂∂=∂∂),()0,()(22222t x f x u x x u a t u φ (其中ρ),(),(t x F t x f =) 2.偏微分方程220u uu x y∂∂-+=∂∂的通解是（ ） （A ）2(,)(2)xu x y e x y =+ （B ）(,)(2)yu x y e x y =+ （C ）2(,)(2)xu x y ef x y =+ （D ）(,)(2)y u x y e f x y =+3.拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yux u 的一个解是（ ）（A ）22ln ),(y x y x u += （B ）22(,)u x y x y =+（C ）221(,)u x y x y =+ （D ）(,)sin sin y x u x y e y e x =+ 4.导数0[()]dJ x dxβ=（ ） （A ）1()J x β- （B ）0()xJ x ββ （C ）1()J x ββ- （D ）1()xJ x ββ5. 单位半径的圆板的热传导混合问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(),(,0),1()1()1(222r f r u M t r u t u r r u r ru a t u 有形如（ ）的级数解。
数理方程作业参考答案
第三次作业题目：试求适合于下列处置条件及边界条件的一维热传导方程的解.0,0),(),0(;0),()0,(>==≤≤-=t t l u t u l x x l x x u解：设),(t x u 为下列问题的解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==≤≤-=><<=∂∂-∂∂0,0),(),0(0),()0,(0,0,0222t t l u t u l x x l x x u t l x x u a t u1.分离变量设)()(),(t T x X t x u =，)(),(t T x X 非零，则有0)()()()0(,)()()()(''2'==-==t T l X t T X x X x X t T a t T λ，所以有0)()0(==l X X ，则)(x X 满足下列方程：⎩⎨⎧===+)2(,0)()0()1(,0)()(''l X X x X x X λ2.求解)(x X① 若0<λ，则（1）式通解为xxBe Aex X λλ---+=)(，由（2）式可得0==B A ，0)(=x X ，不满足题意，舍去。
② 若0=λ，则（1）式通解为B Ax x X +=)(，由（2）式可得0==B A ，0)(=x X ，不满足题意，舍去。
③若0>λ，则（1）式通解为x B x A x X λλsin cos)(+=，由（2）式可得0sin 0==l B A λ，，所以有2⎪⎭⎫⎝⎛=l n n πλ，则⋯==3,2,1,sin )(n x l n B x X n n π 3.求解)(t T将2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ带入)(t T 满足的方程，则有0)()(2222'=+t T l n a t T n n π，解得tl n a n n eC t T 2222)(π-=，则有x ln eD t x u tl a n n n ππs i n ),(2222-=，其中n n n C B D =，所以有∑∞=-=1sin),(2222n tl a n n x ln eD t x u ππ 4.求解系数 根据初始条件，有)(sin1x l x x ln D n n -=∑∞=π，则有()⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数，为奇数n n n l xdx l n x l x l D ln 0,8sin )(2320ππ，所以有()⎪⎩⎪⎨⎧=∑∞=-为偶数，为奇数n n x ln e n l t x u n tla n 0,sin 8),(1322222πππ本次作业出现的问题：1.没有按照步骤分步求解2.求)(x X n 时出现错误3.求系数()⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数，为奇数n n n l xdx l n x l x l D ln 0,8sin )(2320ππ 时学生不会求第四次作业1.求下列定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>==><<+∂∂=∂∂l x x u t t l u t u t l x A x u a t u 0,0)0,(0,0),(),0(0,0,222解:令)(),(),(x W t x V t x u +=，带入上述方程组，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=+>=+=+><<+∂∂+∂∂=∂∂l x x W x V t l W t l V W t V t l x A x W x V a t V 0,0)()0,(0,0)(),()0(),0(0,0,22222）（ ① ，为了化为齐次方程组，则)(x W 满足的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧>==><<=+∂∂0,0)()0(0,0,0222t l W W t l x A x Wa ，则有x a Al x a A x W 22222)(+-= 此外，),(t x V 满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=>==><<∂∂=∂∂l x x W x V t t l V t V t l x x V a t V 0),()0,(0,0),(),0(0,0,222 ②利用分离变量法求解),(t x V 。
数理方程复习试卷2014
一、（15分）用达朗贝尔公式求解定解问题：�ðð2uu ððtt 2=16ðð2uu ððxx 2，−∞<xx <+∞，tt >0uu |tt=0=3xx 2，ððuu ððtt |tt=0=9xx 解：∵uu (xx ,tt )=12[φφ(xx +aatt )+φφ(xx −aatt )]+12aa ∫ψψ(ξξ)ddξξxx+aatt xx−aatt∴φφ(xx )=3xx 2，ψψ(xx )=9xx , aa =4 ∴uu (xx ,tt )=12[3(xx +4tt )2+3(xx −4tt )2]+18∫9ξξddξξxx+4tt xx−4tt =3xx 2+9xxtt +48tt 2二、（15分）用分离变量法求解定解问题：⎩⎪⎨⎪⎧ðð2uu ððtt 2=aa 2ðð2uu ððxx 2，0<xx <ll ，tt >0uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0uu |tt=0=5，uu tt |tt=0=3ssss ss 3ππxx 2ll 解：∵令uu (xx ,tt )=XX (xx )TT (tt )∴TT ,,(tt )aa 2TT (tt )=XX ,,(xx )XX (xx )=−λλ ∴�TT ,,(tt )+λλaa 2TT (tt )=0…①XX ,,(xx )+λλXX (xx )=0…②∵uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0 ∴XX (0)=XX ,(ll )=0 （1）当λλ<0时，XX (xx )=AAee √−λλxx +BBee −√−λλxx ∵XX (0)=XX ,(ll )=0，则AA =BB =0 ∴λλ不能小于零。
数理方程作业答案
1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。
若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。
解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t xα∂∂=+∂∂ 依题意(,)f x t =-g ，所以弦的微震动方程为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t hL=-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t=∂=∂又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ 02(,)|t x u x t hL == 02Lx ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2Lx L ≤≤0(,)|0t u x t t=∂=∂ 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t xu x t h L==；当2L x L ≤≤时，0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t ==2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。
试证明导线内的热传导方程为：222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数解：设导线内的热传导方程为：22(,)u k uf x t t c x ρ∂∂=+∂∂ 依题意，(,)f x t =2j rc ρ将其代入得222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。
（1）推导出杆的热传导方程；（2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为()2x L x - ，试写出相应的定解问题。
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长沙理工大学考试试卷
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试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
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课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号
专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）
1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）
2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）
3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷
问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ
).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可
表示为=)(0M u dS n
G z y x f ⎰⎰Γ∂∂-)
,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1
1
1050358⎰-=dx x P x P ； （ ）
5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则
[])()(021ax xJ a ax xJ dx
d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．
2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.
0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．
3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．
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4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：
⎩
⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=at
x at x ds s a at x at x t x u )(212)
()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u t
xx tt ψϕ 的解．
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长沙理工大学试卷标准答案
课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03
一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）
1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．
二．解答题：（本题总分65分）
1．（本小题15分）
泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分
2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为
∑∞==0cos
)(),(n n l
x n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得
l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞
=， ……………10分 于是
),1(0)()(2
≠=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分
显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；
当1=n 时，解上面的微分方程得
ττπωτπd t l a A a l t u t
)(sin sin )(0
1-=⎰
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⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 1
22， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=。
……………20分 3．（本小题15分）
由于xy y x f =),(是自变量y x ,的二次多项式，设它的特解为
33),(B x y y Ax y x u +=， ……………7分
代入方程，得
xy xy B A =+)(6， ……………10分
故33),(Bxy y Ax y x u +=中满足1)(6=+B A 都是其特解，如y x y x u 361),(=
．……15分 4．（本小题15分）
因为 2
2c o s 2c o s s i n ),(22B A B A B A R u ++-=+=θθθθ 故可设其解为 C Er Dr r u ++=θθθ2cos 2sin ),(22，
其中C E D ,,为待定常数． ……………5分 易证 C Er Dr r u ++=θθθ2cos 2sin ),(22满足泛定方程． ………………8分 由边界条件有
2
2c o s 22c o s 2s i n ),(22B A B A C ER DR R u ++-=++=θθθθ， 于是 0,2,22=+=-=
D B A C R
B A E ， …………………14分 故原定解问题的解是 θθ2c o s 22),(2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=R r B A B A r u ． …………………15分 三．证明题：（本题总分10分）
证明：先证明),(t x u 满足泛定方程．
[][])()(2
1)()(2at x at x at x at x a u t -+++-'-+'=ψψϕϕ
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[][])()(2
)()(22at x at x a at x at x a u tt -'-+'+-''++''=ψψϕϕ …………3分 [][])()(21)()(21at x at x a
at x at x u xx -'-+'+-''++''=ψψϕϕ …………5分 故 [][])()(2
)()(22at x at x a at x at x a u tt -'-+'+-''++''=ψψϕϕ [][]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-'-+'+-''++''=)()(21)()(212at x at x a at x at x a ψψϕϕ xx u a 2=； …………8分
再证明),(t x u 满足初始条件．
)(2)
()()0,(x x x x u ϕϕϕ=+=； …………………9分
[][])()()(2
1)()(2)0,(x x x x x a x u t ψψψϕϕ=++'-'=
． 所以结论成立． …………………10分
第3页（共3页）。