第二章 §2.1 2.1 .1 合情推理(优秀经典公开课比赛教案)

[A 组 学业达标]
1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．没有推理
D ．以上说法都不对
解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B
2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可知扇
形面积公式为( ) A.r 22 B.l 22
C.lr 2
D ．无法确定
解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr
2. 答案：C
3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )
A．丁酉年B．庚午年
C．乙未年D．丁未年
解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.
答案：B
4．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为()
A．↓→B．→↑
C．↑→D．→↓
解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由
可知从2019到2021为→↓，故应选D.
答案：D
5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()
A．a n＝3n－1B．a n＝3n
C．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3
解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，
∴猜想a n＝3n－1.
答案：A
6．观察下列等式：
1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，
……
照此规律，第五个等式应为________．
解析：等式的左边是2n －1个连续自然数的和，最小的为序号n ，右边是(2n －1)2. 所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2. 答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝81
7．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________. 解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7. 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7
8．已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC ＝1
2r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A -BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A -BCD ＝________. 解析：内切圆半径r ――→类比
内切球半径R .
△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A -BCD 各面面积和． 答案：V A -BCD ＝13
R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ) 9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.
[B 组 能力提升]
1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 ……
则在表中数字2 019出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第82列 C ．第44行第77列
D ．第45行第83列
解析：第n 行有2n －1个数字，
前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 019＜2 025， ∴2 019在第45行． 又2 025－2 019＝6，
且第45行有2×45－1＝89个数字， ∴2 019在第89－6＝83列． 答案：D
2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225
D ．1 378
解析：记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2. 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C
3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.
解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B
2，
易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |
A 2＋
B 2＋
C 2.
答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2
4．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比
S △AEC S △BEC ＝AC
BC
，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC
类比成V A -CDE V B -CDE .
平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC
BC 类比成S △ACD S △BDC .
故有V A -CDE V B -CDE ＝S △ACD
S △BDC .
答案：V A -CDE V B -CDE ＝S △ACD
S △BDC
5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．
解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．
∵点M (m ，n )在已知双曲线上，
∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b
2a 2x 2－b 2.
则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2
a 2
(定值).。