第二章 §2.1 2.1 .1 合情推理(优秀经典公开课比赛教案)

[A 组 学业达标]

1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．没有推理

D ．以上说法都不对

解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B

2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高

2，可知扇

形面积公式为( ) A.r 22 B.l 22

C.lr 2

D ．无法确定

解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr

2. 答案：C

3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )

A．丁酉年B．庚午年

C．乙未年D．丁未年

解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.

答案：B

4．n个连续自然数按规律排列下表：

根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为()

A．↓→B．→↑

C．↑→D．→↓

解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由

可知从2019到2021为→↓，故应选D.

答案：D

5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()

A．a n＝3n－1B．a n＝3n

C．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3

解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，

∴猜想a n＝3n－1.

答案：A

6．观察下列等式：

1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，

……

照此规律，第五个等式应为________．

解析：等式的左边是2n －1个连续自然数的和，最小的为序号n ，右边是(2n －1)2. 所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2. 答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝81

7．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________. 解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7. 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7

8．已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC ＝1

2r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A -BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A -BCD ＝________. 解析：内切圆半径r ――→类比

内切球半径R .

△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A -BCD 各面面积和． 答案：V A -BCD ＝13

R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ) 9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．

解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.

于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，

则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.

证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.

[B 组 能力提升]

1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 ……

则在表中数字2 019出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第82列 C ．第44行第77列

D ．第45行第83列

解析：第n 行有2n －1个数字，

前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 019＜2 025， ∴2 019在第45行． 又2 025－2 019＝6，

且第45行有2×45－1＝89个数字， ∴2 019在第89－6＝83列． 答案：D

2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225

D ．1 378

解析：记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2. 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.

将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C

3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.

解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B

2，

易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |

A 2＋

B 2＋

C 2.

答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2