2020年广东省高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−5<x<2}，B={x||x|<3}，则A∩B=()A. {x|−3<x<2}B. {x|−5<x<2}C. {x|−3<x<3}D. {x|−5<x<3}2.复数z=(2+i)(1−i)，其中i为虚数单位，则z的实部是()A. −1B. 1C. 2D. 33.若向量m⃗⃗⃗ =(0,−2)，n⃗=(√3,1)，则与2m⃗⃗⃗ +n⃗共线的向量可以是()A. (√3,−1)B. (−1,√3)C. (−√3,−1)D. (−1,−√3)4.设变量x，y满足约束条件{3x+y−6≥0x−y−2≤0y−3≤0，则目标函数z=y−2x的最大值为()A. −7B. −4C. 1D. 25.将函数的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式为()A. B.C. D.6.已知等差数列{a n}，a4=9，a8=−a9，则a1=()A. 21B. 19C. 17D. 157.已知cosα=√210，α∈(−π,0)，则cos(α−π4)=()A. −35B. −45C. 35D. 458.若函数f(x)={x2+x,x≥0x2−ax,x<0(a∈R)为偶函数，则下列结论正确的是()A. f(a)>f(2a)>f(0)B. f(a)>f(0)>f(2a)C. f(2a)>f(a)>f(0)D. f(2a)>f(0)>f(a)9.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10.已知正四面体P−ABC的棱长为2，D为PA的中点，E，F分别是线段AB，PC(含端点)边上的动点，则DE+DF的最小值为()A. √2B. √3C. 2D. 2√211.已知a>0，b>0，则“a>b”是“e a+2a=e b+3b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点，AB是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF⊥BF，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为()A. √5−1B. 2√2−1C. √3+1D. √5+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线y=ax是曲线的切线，则实数a=________．14.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+2a2+⋯+2n−1a n=n，则S5=______．15.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(4,y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|=√2|PF|，则y0=______．16.已知矩形ABCD，AB=1，BC=√3，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到四棱锥D−ABC，则在翻折的过程中有下列结论：①四棱锥D−ABC的体积最大值为14；②四棱锥D−ABC的外接球体积不变；③异面直线AB与CD所成角的最大值为90°．其中正确的是______(填写所有正确结论的编号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cosC=c+2b2a．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)已知点D在BC边上，DC=2BD=2，AC=√3，求AD.18.如图，四棱锥E−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAE=∠BAE=45°，∠DAB=60°．(Ⅰ)证明：平面ADE⊥平面ABE：(Ⅱ)若DE=√10，求四棱锥E−ABCD的体积．19.移动支付极大地方便了我们的生活，也为整个杜会节约了大量的资源与时间成本.2018年国家高速公路网力推移动支付车辆高速通行费.推广移动支付之前，只有两种支付方式：现金支付或ETC支付，其中使用现金支付车辆比例的为60%，使用ETC支付车辆比例约为40%，推广移动支付之后，越来越多的车主选择非现金支付，如表是推广移动支付后，随机抽取的某时间段内所有经由某高速公路收费站驶出高速的车辆的通行费支付方式分布及其他相关数据：并以此作为样本来估计所有在此高速路上行驶的车辆行费支付方式的分布．已知需要取卡的车辆进入高速平均每车耗时为10秒，不需要取卡的车辆进入高速平均每车耗时为4秒．(Ⅰ)若此高速公路的日均车流量为9080辆，估计推广移动支付后比推广移动支付前日均可少发卡多少张？(Ⅱ)在此高速公路上，推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗时能否比推广移动支付前大约减少一半？说明理由．20.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A、B两点．当A的坐标为(1,2√55)时，|OB|=|BF|．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)延长BF交椭圆C于Q，求△QAB的面积的最大值．21.已知函数f(x)=a−sinxx，0<x<π．(1)若x=x0时，f(x)取得极小值f(x0)，求实数a及f(x0)的取值范围；(2)当a=π，0<m<π时，证明：f(x)+mlnx>0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+costy=√3+sint(t为参数)．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)若射线θ=α与C有两个不同的交点M、N，求证|OM|+|ON|的取值范围．23.设函数f(x)=|2x+a|+|x−1|，其中a∈R．(Ⅰ)当a=3时，求不等式f(x)<6的解集；(Ⅱ)若f(x)+f(−x)≥5，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 则A ∩B ={x|−3<x <2}， 故选：A ．求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键． 2.答案：D解析：解：∴z =(2+i)(1−i)=2−2i +i +1=3−i ， ∴z 的实部是3． 故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：B解析：【分析】可求出2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =−√3(−1,√3)，从而得出向量2m⃗⃗⃗ +n ⃗ 与(−1,√3)共线． 考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理． 【解答】 解：2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(√3,−3)=−√3(−1,√3)； ∴2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ 与(−1,√3)共线． 故选：B ． 4.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0作出可行域如图，联立{y =33x +y −6=0，解得B(1,3)，化目标函数z =y −2x 为直线方程的斜截式：y =2x +z ．当直线y =2x +z 过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为3−2×1=1． 故选：C ． 5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：将函数y =√2sin(2x +π4)的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式y =√2sin(2x −π6+π4)=√2sin(2x +π12)，故选：D ． 6.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列通项公式列出方程组，能求出首项a 1． 【解答】解：∵等差数列{a n }，a 4=9，a 8=−a 9，∴{a 1+3d =9a 1+7d =−a 1−8d, 解得a 1=15，d =−2． 故选：D ． 7.答案：A解析：解：∵cosα=√210，α∈(−π,0)，∴sinα=−√1−cos 2α=−7√210， ∴cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=√210×√22+(−7√210)×√22=−35．故选：A ．由已知求得sinα，然后展开两角差的余弦求cos(α−π4).本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与两角差的余弦，是基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的奇偶性与单调性，属于基础题．先根据偶函数的定义求出a 的值，然后根据单调性比较大小． 【解答】解：因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)， 即1+a =2，所以a =1，易知当x ≥0时，f(x)是增函数， 又知2a >a >0，所以f(2a)>f(a)>f(0)，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查了读图识图的能力，属于基础题．【解答】A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A对．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为2011年，约为74%，最小为1992年，约为67%，故极差超过6%.D对．故选：B．10.答案：B解析：【分析】本题考查空间中的距离的计算，属中档题．过D作DG⊥AB垂足为G，过D作DH⊥PC，垂足为H，根据DE≥DG，DF≥DH可得．【解答】解：过D作DG⊥AB垂足为G，过D作DH⊥PC，垂足为H，∴DE≥DG=12×√32AB=12×√32×2=√32，DF≥DH=12×√32PC=12×√32×2=√32，故DE+DF≥√32+√32=√3．故选：B．11.答案：B解析：解：若e a+2a=e b+3b，则e a+2a−(e b+2b)=b>0，∴e a+2a>e b+2b，由f(x)=e x+2x在x>0时单调递增，∴a>b．反之不一定成立：“a>b”不一定得出“e a+2a=e b+3b”，例如取a=100，b=1.则“e a+2a=e100+200>e+3=e b+3b”．∴a>b”是“e a+2a=e b+3b”的必要不充分条件．故选：B．若e a+2a=e b+3b，则e a+2a−(e b+2b)=b>0，可得a>b.反之不一定成立：例如取a=100，b=1.即可得出．本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程bx+ay=0，AF⊥BF，AB是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，∴F(c,0)，AO=OB=c，∴A(−a,b)，∴AF的中点坐标(c−a2,b2 )，∴(c−a)24a2−b24b2=1，∴(c−a)2a2=5，∴e+1=±√5，∴e=√5−1，e=−√5−1(舍去)，故选：A．求出双曲线的渐近线方程，推出A的坐标，然后求解AF的中点，代入双曲线方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.答案：1解析：【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．欲求a的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=1+lnx，，设切点为(m,1+lnm)，得切线的斜率为1m，所以曲线在点(m,1+lnm)处的切线方程为：y−lnm−1=1m(x−m)，它过原点，∴−lnm=0，∴m=1，∴a=1m=1．故答案为：1．14.答案：3116解析：解：a1+2a2+⋯+2n−1a n=n，可得n=1时，a1=1，n≥2时，a1+2a2+⋯+2n−2a n−1=n−1，又a1+2a2+⋯+2n−1a n=n，相减可得2n−1a n=1，即a n=(12)n−1，上式对n=1也成立，可得数列{a n}首项为1，公比为12的等比数列，可得S5=1−1251−12=3116．故答案为：3116．由题意可得数列的首项，将n换为n−1，相减可得数列的通项公式，再由求和公式计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．15.答案：2解析：解：过P作准线l的垂线，垂足为M，则|PM|=|PF|，在Rt△PKM中，∵|PK|=√2|PF|=√2|PM|，∴PM=KM=4，∴y0=4−p2，把P(4,4−p2)代入抛物线方程x2=2py，解得p=4．∴y0=4−2=2．故答案为：2．过P作准线l的垂线，垂足为M，则PK|=√2|PM|，于是y0=4−p2，代入抛物线方程计算p的值即可求出y0．本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．16.答案：①②③解析：解：矩形ABCD，AB=1，BC=√3，可得AC=2，在翻折的过程中，当面ACD⊥面ACB时，D到底面的距离最大，且为直角三角形ACD斜边AC边上的高为√32，可得四棱锥D−ABC的体积最大值为13⋅12⋅1⋅√3⋅√32=14，故①正确；取AC的中点O，连接OB，OD，可得OA=OB=OC=OD，即O为四棱锥D−ABC的外接球的球心，且半径为1，体积为43π，故②正确；若AB⊥CD，又AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，即有AB⊥BD，由AB=1，AD=√3，BD=√2成立，故③正确．故答案为：①②③．考虑在翻折的过程中，当面ACD⊥面ACB时，D到底面的距离最大，进而得到棱锥体积最大，可判断①；取AC的中点O，可得O为棱锥的外接球的球心，计算可判断②；假设AB⊥CD，由线面垂直的判断和性质，可判断③．本题考查空间线面和线线的位置关系的判断，以及棱锥的体积计算，考查运算能力和推理能力，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵cosC=c+2b2a =a2+b2−c22ab，∴整理可得：b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3，(Ⅱ)∵A=2π3，DC=2BD=2，b=AC=√3，可得：a=BC=3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：9=3+c2−2×√3×c×(−12)，可得：c2+√3c−6=0，∴解得：c=√3(负值舍去)，∴cosC=a2+b2−c22ab =9+3−32×3×√3=√32，∴△ADC中，由余弦定理可得：AD=√AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cosC=√3+4−2×√3×2×√32=1．解析：(Ⅰ)由余弦定理化简已知可得b2+c2−a2=−bc，可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)由已知可求BC=3，由余弦定理解得c的值，可求cos C的值，△ADC中，由余弦定理可得AD的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：(I)证明：过D做DO⊥AE，垂足为O，连接OB，∵AD=2，∠DAE=45°，∴OD=OA=√2，在△AOB中，由余弦定理可得OB2=OA2+AB2−2OA⋅AB⋅cos∠OAB=2+4−2×√2×√22=2，∴OB=√2，∵AB=AD=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=2．∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又OD⊥AE，AE∩OB=O，∴OD⊥平面ABE，又OD⊂ADE，∴平面ADE⊥平面ABE．(II)∵DE=√10，∴OE=√DE2−OD2=2√2，∴AE=3√2．∴V E−ABCD=2V E−ABD=2V D−ABE=2×13×12×3√2×√2×√2=2√2．解析：(I)过D做DO⊥AE，垂足为O，连接OB，利用勾股定理证明OB⊥OD，结合OD⊥AE得出OD⊥平面ABE，故而平面ADE⊥平面ABE；(II)先计算EO ，再根据V E−ABCD =2V E−ABD =2V D−ABE 计算体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：(I)移动支付推出前，需在入口处停车取卡的车辆大约为9080×60%=5448辆，移动支付后，需在入口处停车取卡的车辆大约为9080×135+240135+240+750+375=2270辆， 估计推广移动支付后比推广移动支付前日均可少发卡5448−2270=3178张． (II)移动支付推出前，平均每辆车进出高速收费站大约耗时(10+30)×60%+(4+4)×40%=27.2秒， 移动支付推出后，平均每辆车进出高速收费站大约耗时(10+30)×1351500+(10+15)×2401500+(4+4)×750+3751500=3.6+4+6=13.6秒，所以推广移动支付后平均每辆车进出高速收费站总耗时比推广移动支付前大约减少一半．解析：(I)分别计算移动支付推广前后的发卡量即可得出结论；(II)分别计算移动支付推广前后的车辆总耗时的平均数得出结论．本题考查了数据统计与整理，考查加权平均数的计算与样本估计总体的统计思想，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)由A(1,2√55)，得B(−1,−2√55)， 而|OB|=|BF|，∴F(−2,0)，即c =2．由{1a 2+45b 2=1a 2=b 2+4，解得a 2=5，b 2=1． ∴椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1；(Ⅱ)当直线BF 斜率不存在时，BF ：x =−2，此时B(−2,−√55)，|BQ|=2√55，A(2,√55)， S QAB =12×2√55×2=2√55； 当BF 所在直线斜率存在时，设BF ：y =k(x +2)(k ≠0)．联立{y =k(x +2)x 25+y 2=1，得(1+5k 2)x 2+20k 2x +20k 2−5=0． 设B(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−20k 21+5k 2，x 1x 2=20k 2−51+5k 2． 则|BQ|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(−20k 21+5k 2)2−80k 2−201+5k 2=√1+k 2⋅4√5√1+k 21+5k 2． O 到BQ 的距离d =|2k|√1+k 2，则A 到BQ 的距离为4|k|√1+k 2． ∴S △QAB =12⋅√1+k 2⋅4√5√1+k 21+5k 2⋅√1+k 2=8√5√k 4+k 21+5k 2．令1+5k 2=t(t >1)，则S △QAB =8√5⋅√−425(1t )2+325t +125． 当1t =38时，(S △QAB )max =2√5．综上，△QAB 的面积的最大值为2√5．解析：(Ⅰ)由已知求得c =2，再由{1a 2+45b 2=1a 2=b 2+4，解得a 2=5，b 2=1.则椭圆C 的标准方程可求；(Ⅱ)当直线BF 斜率不存在时，BF ：x =−2，求出三角形QAB 的面积；当BF 所在直线斜率存在时，设BF ：y =k(x +2)(k ≠0).联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求|BQ|，再由点到直线距离公式求O 到BQ 的距离，得到A 到BQ 的距离，代入三角形面积公式，换元后利用配方法求最值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查数学转化思想方法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)由函数f(x)=a−sinx x ，0<x <π， 得，∵当x =x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)，，∴a =sinx 0−x 0cosx 0，∴f(x 0)=−x 0cosx 0x 0=−cosx 0，∵0<x <π，∴cosx 0∈(−1,1)，∴f(x 0)∈(−1,1)，即f(x 0)的取值范围为(−1,1)；(2)挡a =π时，f(x)=π−sinx x (0<x <π)， 要证f(x)+mlnx =π−sinxx +mlnx >0成立，即证mlnx >sinx −π成立，令g(x)=mlnx ，ℎ(x)=sinx −π，则，ℎ(x)=sinx −π∈(−π,1−π]， 令，则x =1e ，∴当0<x <1e 时，，此时g(x)递减， 当1e <x <π时，0'/>，此时g(x)递增， ∴g(x)min =g(1e )=−m e ，显然∀m ∈(0,π)，−me >1−π，∴0<m <π，g(x)>ℎ(x)，即当a =π，0<m <π时，f(x)+mlnx >0．解析：本题考查了利用导致研究函数的极值，考查了运算求解能力和化归与转化思想，属较难题．(1)根据x =x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)，可得，解方程得a =sinx 0−x 0cosx 0，将a 代入f(x)进一步求出f(x 0)的范围；(2)证明f(x)+mlnx >0成立，即证明mlnx >sinx −π成立，构造函数g(x)=mlnx ，ℎ(x)=sinx −π，根据g(x)和ℎ(x)的图象和最值可证该不等式成立．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=1，即x 2+y 2−2x −2√3y +3=0，又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρ=sinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2−2(cosθ+√3sinθ)ρ+3=0．(Ⅱ)联立射线θ=α与曲线C ，得ρ2−2(cosα+√3sinα)ρ+3=0，设M(ρ1,α)，N(ρ2,α)， |OM|+|ON|=ρ1+ρ2=2(cosα+√3sinα)=4sin(α+π6)， 又圆心C(1,√3)的极坐标为(2,π3)，所以α的取值范围是π6<α<π2，所以π3<α+π6<2π3，√32<sin(α+π6)≤1，2√3<4sin(α+π6)≤4， 所以|OM|+|ON|的取值范围为(2√3,4]．解析：(Ⅰ)先消去参数得曲线C 的直角坐标方程再利用互化公式可得曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =3时，f(x)=|2x +3|+|x −1|<6即{x ≥13x +2<6或{−32≤x <1x +4<6或{x <−32−3x −2<6， 解得−83<x <43，综上所述，不等式f(x)<6的解集为(−83,43).(Ⅱ)f(x)+f(−x)=|2x +a|+|x −1|+|−2x +a|+|−x −1|=(|2x +a|+|2x −a|)+(|x −1|+|x +1|)≥|2a|+2，所以|2a|+2≥5解得a ≤−32或a ≥32，即a 的取值范围是(−∞,−32]∪[32,+∞)．解析：(Ⅰ)分段去绝对值解不等式，最后可得解；(Ⅱ)利用绝对值不等式的性质求出左边的最小值，再解关于a 的不等式可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年广东省湛江市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足2z=3+12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数|z|=（）A. 3B. 2C. 4D. 52.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x-3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 83.现有甲班A，B，C三名学生，乙班D，E两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（）A. B. C. D.4.平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，=，则=（）A. 3B. -3C. 2D. -25.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性．这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：男女合计无403575有151025合计5545100附：K2=P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10k00.4550.708 1.323 2.072 2.706据此表，可得（）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%6.在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a cos B=（4c-b）cos A，则cos2A=（）A. B. C. D. -7.设F1，F2分别为离心率e=的双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，则tan∠MAN=（）A. -1B. -C. -D. -28.已知实数m是给定的常数，函数f（x）=mx3-x2-2mx-1的图象不可能是（）A. B. C. D.9.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，PB⊥面ABC，M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.把函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，并且g（x）的图象如图所示，则f（x）的表达式可以为（）A. f（x）=2sin（x+）B. f（x）=sin（4x+）C. f（x）=sin（4x-）D. f（x）=2sin（4x-）11.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，经过原点O的直线与椭圆C相交于点A，B，若|AF|=2，|BF|=4，椭圆C的离心率为，则△AFB的面积是（）A. B. 2 C. 2 D.12.函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）＝f（x）与f（1＋x）＝f（1-x）成立，并且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程的根的个数是A. 2020B. 2019C. 1010D. 1009二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=e x cos x+x5，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是______．14.若实数x，y满足不等式组，且z=x-2y的最小为0，则实m=______．15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2019]时，符合条件的a共有______个．16.圆锥Ω的底面半径为2，母线长为4．正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的上底面的顶点A′，B′，C′，D′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.S n为数列{a n}的前n项和，已知S n=．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PB=PD．（1）求证：PD⊥AB；（2）若AB=6，PC=8，E是BD的中点，求点E到平面PCD的距离．19.6家庭编号123456月收入x（千203035404855元）月支出y（千4568811元）参考公式：回归直线的方程是：=x，其中，==，=．（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取2个，求月支出都少于1万元的概率．20.已知定点F（1，0），横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若|TF|=|TH|+1．（1）求动点T的轨迹C的方程；（2）若点P（4，4）不在直l：y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A，B两个不同点．问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA，PB斜率之和是一个定值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.函数g（x）=（x-2）e x-ax+2，其中常数a∈R．（1）求f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；（2）若a＜0，讨论g（x）的零点的个数．22.在直角坐标系xOy中，点M（0，1），直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=|2x+3|．（1）解不等式f（x）-g（x）≥2；（2）若2f（x）≤g（x）+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m 取最小值时x的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z=a+bi，a、b∈R，∵2z=3+12i，∴2（a+bi）-（a-bi）=3+12i，即，解得a=3，b=4，∴z=3+4i，∴|z|=．故选：D．根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及子集的定义及子集个数的求法，属于基础题.求出集合B，然后求出A∩B，从而可确定它的子集个数．【解答】解：B={-1，1，3，5}；∴A∩B={1，3}；∴A∩B的子集个数为：．故选C．3.答案：D解析：解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，基本事件总数n==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m==4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P=1-=1-．故选：D．基本事件总数n==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m==4，由此能求出抽到2名学生来自于不同班级的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，∴=2×=-3，∵=，∴=，，则=（•===-3．故选：B．先根据向量的数量积求出•，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.答案：A解析：解：由表中数据，计算k=≈0.3367＜0.455，∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%；故选：A．由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．属中档题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得cos A，进而利用二倍角余弦公式得到结果．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理，∵a cos B=（4c-b）cos A，∴sin A cos B=4sin C cos A-sin B cos A即4sin C cos A=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,∴sin C=4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1=4cos A，即cos A=，那么cos2A=2cos2A-1=-．故选：C．7.答案：A解析：解：离心率e===，可得b=2a，可设双曲线的渐近线l的方程为y=2x，A（a，0）为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=c2，解得M（，）即（a，2a），N（-a，-2a），直线AN的斜率为=1，可得∠OAN=45°，且MA⊥x轴，可得tan∠MAN=tan（90°+45°）=-1．故选：A．由离心率公式和a，b，c的关系，求得直线l的方程y=2x，求得圆的方程，联立解得M，N，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的运用，考查方程是想和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题．令m=0，排除D，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断．【解答】解：当m=0时，C符合题意；当m≠0时，f′（x）=3mx2-2x-2m，△=4+24m2＞0，设3mx2-2x-2m=0的两根为x1，x2，则＜0，则两个极值点x1，x2异号，则D不合题意．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出AB⊥BC，PB⊥面ABC，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与MN所成角的余弦值．【解答】解：∵在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又PB⊥面ABC，∴以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PB=t，∵M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=，∴P（0，0，t），N（0，0，），A（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），∴MN==，解得t=2，∴P（0，0，2），Q（1，0，0），N（0，0，1），=（1，0，-2），=（-1，-1，1），设异面直线PQ与MN所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线PQ与MN所成角的余弦值为．故选B．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数图象的应用，利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题．根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，故排除AD；若f（x）=sin（4x-），则，不满足图像，进而可解.【解答】解：根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，故排除AD；若f（x）=sin（4x-），则，当时，g(x)=2，不满足图像，故选B．11.答案：C解析：解：设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，|AF′|=|BF|=4，∴|AF′|+|AF|=2+4=6=2a，∴a=3，又e=，∴c=，由余弦定理可得，cos∠FAF′==-，故sin∠FAF′=．∴S△AFB=S△AFF′=|AF′||AF|sin∠FAF′==故选：C．由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得cos∠FAF′，进而利用面积公式得到结果．本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．12.答案：A解析：解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数.又f（1+x）=f（1-x）成立，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（x）=f（2+x）,即函数f（x）为周期为2的周期函数.则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，即交点个数为2020，故选：A．由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．13.答案：y=x+1解析：【分析】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题．求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可.【解答】解：函数f（x）=e x cos x+x5，f′（x）=e x（cos x-sin x）+5x4，则f′（0）=1，又f（0）=1，故切线方程为y=x+1，故答案为：y=x+1．14.答案：解析：解：画出可行域如图阴影部分所示：当z=x-2y过A时取得最小值，联立得A，则，解m=．故答案为：．画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题．15.答案：135解析：解：由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，则3m=5n+1当m=5k，n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2，n=3k+1，满足题意当m=5k+3，n不存在；当m=5k+4，n不存在；故2≤a=15k+8≤2019，解-≤k≤，则k=0，1，2…134，共135个故答案为：135由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，得3m=5n+1，对m讨论求解即可．本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16.答案：解析：解：设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，根据相似性可得：，解得：h=，（其中0＜x＜2）．∴此正四棱柱体积为：V=x2h=x2•，V′=令V′=0，解得：x=，易得：V=x2•，在（0，）上递增，在（，2）上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为．故答案为：．设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h=，从而得到V的表达式，利用导数知识求最值即可．本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，导数的应用，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）当n≥2时，a n=S n-S n-1=+（n-1）2-（n-1）=11-n，当n=1时，满足上式，可得a n=11-n；（2）由a n=11-n，可得b n===（-），T n=（-+-+…+-）=（-）=--．解析：（1）运用数列的递推式，当n≥2时，a n=S n-S n-1，检验n=1成立即可得到所求通项公式；（2）由b n===（-），裂项相消求和即可．本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题．18.答案：（1）证明：由于四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形．设AB的中点为K，连接PK，DK，如图所示，则AB⊥DK，又PA=PB，所以AB⊥PK，又PK DK=K，平面PKD，所以AB⊥平面PKD．又PD⊂平面PKD，所以AB⊥PD．（2）解：由（1）可知，AB⊥平面PKD．又AB∥CD，所以CD⊥平面PKD．又CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PKD，设点E到平面PCD的距离为h，则由于BD=2ED，得点B到平面PCD的距离为2h．由于KB∥平面PCD，所以K，B两点到平面PCD的距离均为2h．所以点K到直线PD的距离就是2h．设△ABD的中心为H，则PH⊥平面ABD．HC=4HE=4，在Rt△PHC中，PH==4，在Rt△PHD中，PH=4，DH=2，所以PD==2．由DH=2HK，得点H到直线PD的距离为，即==，得h=．所以点E到平面PCD的距离为．解析：本题考查线线垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．（1）设K为AB的中点，要证AB⊥PD，转证AB⊥平面PKD，即证AB⊥PK，AB⊥DK；（2）设H为△ABD的中心，点E到平面PCD的距离为h，则点K到平面PCD的距离为2h，由（1）可知，AB⊥平面PKD,得平面PDC⊥平面PKD，最终可以得到H到直线PD的距离为，在Rt△AHD中计算H到PD的距离即可得出答案.19.答案：解：（1）=38，=7；其中==≈0.2，==7-0.2×38=-0.6，故月支出y关于x月收入的线性回归方程是：=0.2x-0.6，（2）若从6个家庭中抽取2个，则基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，月支出都少于1万元的基本事件为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种，则月支出都少于1万元的概率为P==．解析：（1）由题意得到、，，，从而得到月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程；（2）从6个家庭中抽取2个，共包含15种情况，其中月支出都少于1万元的基本事件共10种，从而得到结果．本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）设点T在直线x=-1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，∴|TR|=|TH|+1，又|TF|=|TH|+1，∴|TF|=|TR|，即点T到F（1，0）的距离与T到直线x=-1的距离相等，∴T的轨迹是以F为焦点，以x=-1为准线的抛物线．即C的方程是y2=4x．（2）由于A，B在曲线C上，可设A（，a），B（，b），则PA的斜率k1==，同理PB的斜率k2=．∴k1+k2=+=．又曲线C与直线l相交于A，B两点，∴k≠0，于是联立方程，得⇒ky2-4y+4m=0，∴a+b=，ab=．∴∴k1+k2==1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意．解析：（1）利用抛物线定义，即可得到动点T的轨迹C的方程；（2）设A（，a），B（，b），利用斜率计算公式可得k1+k2，利用韦达定理即可得到结果．本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）f（x）=（x-1）e x在定义域R上的导数为f′（x）=xe x．∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．∴f（x）的最小值是F（0）=-1．（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a．①当a≤-1时，由（1）可得g′（x）≥0，g（x）在R上是增函数，此时由g（0）=0，可得函数g（x）有唯一的零点．②当-1＜a＜0时，g′（0）=-1-a＜0，并且对于负数2ln（-a）-5，有g′[2ln（-a）-5]=[2ln（-a）-5-1]e[2ln（-a）-5]-a=[2ln（-a）-6]e[2ln（-a）-5]-a=．又∵2a ln（-a）-6a＜6＜e5，∴2a ln（-a）-6a-e5＜0，即g′[2ln（-a）-5]＞0．∴在区间（2ln（-a）-5，0）上存在负数t，使得g′（t）=0，则在（-∞，t）上g′（x）＞0，g（x）是增函数；在区间（t，0）上g′（x）＜0，g（x）是减函数．则g（t）＞g（0）=0，g（）=（）＜0．∴在（-∞，0）上，g（x）有且仅有1个零点；在区间（0，+∞）上，g′（0）=-1-a＜0，g′（1）=-a＞0并且g′（x）是增函数．∴存在正数n，使得在（0，n）上，g′（x）＜0，g（x）是减函数；在（n，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）是增函数．于是有g（n）＜g（0）=0，g（2）=2-2a＞0．∴在（0，+∞）上，g（x）恰有唯一的零点．∴当-1＜a＜0时，g（x）在R上恰有三个不同的零点．综上所述，当a≤-1时，g（x）有唯一的零点；当-1＜a＜0时，g（x）有三个不同的零点．解析：（1）导数为f′（x）=xe x，研究单调性即可得到f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a，对a分类讨论，数形结合即可明确g（x）的零点的个数．本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．22.答案：解（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24，∴7ρ2+ρ2（2cos2θ-1）=24，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为：+=1.（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），代入曲线C方程，得19t2+6t-45=0＞0恒成立,∴t1+t2=-，t1t2=-∴+=+===.解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，属中档题．（1）利用极坐标与直角坐标的互化求解即可；（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解+即可.23.答案：解：（1）f（x）-g（x）=|x-1|-|2x+3|，当x≤-时，不等式化为x+4≥2，解得x≥-2，可得-2≤x≤；当＜x＜1时，不等式化为-3x-2≥2，解得x≤-，可得＜x≤-；当x≥1时，不等式化为-x-4≥2，解得x≤-6，可得x∈∅．综上可得，原不等式的解集为{x|-2≤x}．（2）若2f（x）≤g（x）+m恒成立，则|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，∴m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，又∵|2x-2|-|2x+3|≤|2x-2-（2x+3）|=5，∴m最小值为5．此时∴，解得x≤．解析：（1）零点分段去绝对值化简f（x）-g（x）解不等式即可；（2）2f（x）≤g（x）+m恒成立，即|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，即m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，由绝对值三角不等式求m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，即可求解．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|0<x ≤1}B. {x|0<x <1}C. {x|1≤x <2}D. {x|0<x <2}2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3 C. −5 D. −65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB. l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥mD. l ⊂α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )A. √6B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin x ⋅1+2x 1−2x的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A −BCD 的体积为√22； ③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x−3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x−1)e x−a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥−2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．。
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（ ）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（ ）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（ ）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（ ）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（ ）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（ ）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（ ）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（ ）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是 ．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则 ．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有 对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品 旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。
2020年广东省高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺4.在中，已知，，且AB边上的高为，则A. B. C. D.5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，且，则A. 1B. 2C.D.9.的展开式中，的系数为A. 120B. 480C. 240D. 32010.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则A. 2B.C.D. 412.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B.C. D. ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知，则______．15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式；若是等比数列，且，求数列的前n项和．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：其，中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为．求椭圆C的方程；已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数的极小值为，求a的值；若，证明：当时，成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．3.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：如图，在中，，，且AB边上的高CD为，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得．故选：B．由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为h，由，得．∽，，即，得，该圆锥的体积为．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得关于x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等式的解集．7.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．8.答案：A解析：解：在中，由余弦定理有，，，易知，又，，故，．故选：A．先由余弦定理求得，再根据题设条件求得，而展开，利用数量积公式化简求解即可．本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：C．把的展开式看成6个因式的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含的项，求出项的系数．本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：B解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故选：B．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．12.答案：D解析：解：因为．令，则，所以当时，，即在R上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除A，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除BC，故选：D．求导，构造辅助函数，则，当时，可知在R上单调递增，，即可判断在上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分类讨论思想的应用，是中档题．13.答案：6解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：，则．故答案为：由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．15.答案：48解析：解：根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有48对．故答案为：48根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为，进而可得共有对对角线所成角为，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16.答案：解析：解：由题意圆的圆心为抛物线的焦点F，再由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：，，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，由抛物线的性质可得：弦长，由题意可得为的直径2，所以，而，所以可得：，因为，所以，代入直线AB中可得，即，将A点坐标代入抛物线的方程，整理可得，解得，因为，所以，故答案为：．由题意设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长的值，再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得为圆的直径，求出的值，再由题意可得的值，由题意可得A的横坐标，代入直线的方程，可得A的纵坐标，代入抛物线的方程中可得斜率的平方的值．本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题．17.答案：解：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，即，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．由题意，设等比数列的公比为q，则，故，．由知，，且，则，所以：，，得：，，，所以．解析：直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为，估计旧设备所生产的产品的优质品率为．补充完整的列联表如下所示，非优质品优质品合计新设备产品 30 70 100旧设备产品 45 55 100合计 75 125 200，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的分布列为：X 0 1 2 3P数学期望．解析：由频数分布表可知，将的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将的频率组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；先填写列联表，再根据的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；由知，新设备所生产的优质品率为，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：四边形ABCD是菱形，是AC的中点，，，，平面PAC，平面PAC，．，O是AC的中点，．平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD；解：由知，平面ABCD，．以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，．四边形ABCD是菱形，，与都是等边三角形．．0，，0，，0，，，，，．，，即，得．，．设平面PAE的法向量为，由，取，得；设平面PEC的一个法向量为，由，取，得．设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面PAC，得到再由进一步得到平面ABCD；由知，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设四边形ABCD的边长为4，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面PAE与平面PEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：依据题意得，所以，所以，因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：．联立，解得，，所以椭圆C的方程为：．由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，联立，消去y并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．解析：根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程．设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得化简，利用基本不等式可得出答案．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解：函数的定义域是R，，时，对恒成立，在R递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，时，取极小值，，即，令，则，，，在递增，，；，，，令，，令，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递增，时，取极小值，又，，存在使得，在递增，在递减，在递增，，，时，，即，令，，则对于恒成立，在递增，，即当时，，时，，，故时，成立．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；令，求出，令，，求出，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2020届广州市高三理科数学二模试卷-含答案解析
绝密★启用前2020届广州市高三理科数学二模试卷考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.若，则A. 1B.C. iD.3.若，则A. B. C. 1 D.4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为A. B. C. D.6.已知数列满足：，，且，则数列的前13项和为A. B. C. D.7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种8.函数的图象大致为A. B.C. D.9.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则该抽样可能是系统抽样；该抽样可能是随机抽样：该抽样一定不是分层抽样；本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为A. B. C. D.10.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的表面积等于A. B. C. D.11.已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是A. B. C. D.12.数列满足，，若不等式对任何正整数n恒成立，则实数的最小值为A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若向量与垂直，则______．14.已知实数x，y满足，目标函数的最大值为4，则．15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求边a的长．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求二面角的余弦值．19.已知函数．求曲线在点处的切线方程；证明：函数在区间内有且只有一个零点．20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的长轴长为4．求椭圆C的方程；已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第问中样本标准差s的近似值为用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格从k到，若掷出反面，遥控车向前移动两格从k到，直到遥控车移到第49格胜利大本营或第50格失败大本营时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是，直线l的参数方程是为参数．若，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求的最大值；若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．绝密★启用前2020届广州市高三理科数学一模试卷考试时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（一）（有答案解析）
2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A. （0，1）B. （0，3）C. （1，2）D. （2，3）2.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.已知双曲线C：的渐近线⽅程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. 2 D. 44.某学校随机抽取了部分学⽣，对他们每周使⽤⼿机的时间进⾏统计，得到如下的频率分布直⽅图．若从每周使⽤时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学⽣中⽤分层抽样的⽅法选取8⼈进⾏访谈，则应从使⽤时间在[20，25)内的学⽣中选取的⼈数为A. 1B. 2C. 3D. 45.已知⾓α为第三象限⾓，若=3，则sinα=（）A. -B. -C.6.如图所⽰，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某⼏何体的三视图，则该⼏何体的体积为（）A.B.C.D. 10π7.若函数图象的两个相邻最⾼点的距离为π，则函数f（x）的⼀个单调递增区间为（）A. []B. []C. [-]D. []8.函数的图象⼤致为（）A. B.C. D.9.⼗九世纪末，法国学者贝特朗在研究⼏何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在⼀个圆内任意选⼀条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三⾓形边长的概率是多少？”贝特朗⽤“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解⽅法，但结果都不相同．该悖论的⽭头直击概率概念本⾝，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的⽅法如下：设A为圆O上⼀个定点，在圆周上随机取⼀点B，连接AB，所得弦长AB⼤于圆O的内接等边三⾓形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.已知正⽅体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A. m∥D1QB. m∥平⾯B1D1QC. m⊥B1QD. m⊥平⾯A BB1A111.⼰知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离⼼率为（）12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （，e）C. （0，+∞）D. （，+∞）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内⾓A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满⾜，则=______16.如图（1），在等腰直⾓△ABC中，斜边AB=4，D为AB的⼱点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所⽰的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知数列{a n}满⾜a1=2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.某⽹店经销某商品，为了解该商品的⽉销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进⾏了初步处理，得到如下数表：x56789y86 4.5 3.53（1）统计学中⽤相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性⼀般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归⽅程；（3）根据（2）中的线性回归⽅程，应将售价x定为多少，可获取最⼤的⽉销售⾦额？（⽉销售⾦额=⽉销售量×当⽉售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r=，线性回归过程=x，=，=．和折起，使点重合于点位置，连结，得到如图所⽰的四棱锥.（1）在线段上是否存在⼀点，使与平⾯平⾏，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点到平⾯的距离20.设点P是直线y=-2上⼀点，过点P分别作抛物线C：x2=4y的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的⾯积为时，求|AB|．21.已知函数f(x) =.（其中常数e=2.71828...，是⾃然对数的底数）．（1）讨论函数f ( x) 的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x >0 时，f ( x) ≥．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为为参数）．圆C2的⽅程为（x-2）2+y2=4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，射线l 的极坐标⽅程为θ=θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标⽅程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|=2|OM|，求△MC2N的⾯积．23.已知函数（m＞1）．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．3.答案：D解析：解：双曲线C：的渐近线⽅程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利⽤双曲线的渐近线⽅程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．4.答案：C解析：解：由频率分布直⽅图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣数之⽐为：4：3：1，则从每周使⽤时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣中⽤分层抽样的⽅法选取8⼈进⾏访谈，则应从使⽤时间在[20，25）内的学⽣中选取的⼈数为=3，故选：C．由频率分布直⽅图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样⽅法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣数之⽐为：4：3：1，则应从使⽤时间在[20，25）内的学⽣中选取的⼈数为=3，得解本题考查了频率分布直⽅图及分层抽样，属简单题5.答案：B解析：解：∵⾓α为第三象限⾓，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利⽤两⾓和的正切公式，求得tanα的值，再利⽤同⾓三⾓函数的基本关系，以及三⾓函数在各个象限中的符号，求得si nα的值．本题主要考查两⾓和的正切公式，同⾓三⾓函数的基本关系，以及三⾓函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据三视图，该⼏何体是由⼀个圆锥和⼀个圆柱构成，圆锥的求半径为2，⾼为2，圆柱的底⾯半径为1，⾼为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．⾸先根据三视图，把⼏何体复原，进⼀步利⽤体积公式求出结果．解析：解：函数图象的两个相邻最⾼点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，，即：x．故选：A．⾸先利⽤函数的周期求出函数的关系式，进⼀步利⽤正弦型函数的性质的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应⽤，主要考察学⽣的运算能⼒和转换能⼒，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利⽤函数值符号以及极限思想进⾏排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利⽤排除法是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：设“弦AB的长超过圆内接正三⾓形边长”为事件M，以点A为⼀顶点，在圆中作⼀圆内接正三⾓形ACD，如所⽰，则要满⾜题意点B只能落在劣弧CD上，⼜圆内接正三⾓形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满⾜条件的B的位置，再由测度⽐是弧长⽐得答案．本题考查⼏何概型的意义，关键是要找出满⾜条件弦AB的长度超过圆内接正三⾓形边长的图形测度，再代⼊⼏何概型计算公式求解，是基础题．10.答案：B解析：解：∵正⽅体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m?平⾯B1D1Q，B1D1?平⾯B1D1Q，由直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平⾯B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．11.答案：C解析：解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，可得AF2的⽅程为x=c，AF1的⽅程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代⼊直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利⽤已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代⼊直线⽅程，即可求解椭圆的离⼼率．本题考查椭圆的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．12.答案：D解析：解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成⽴，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利⽤特殊值回代验证，利⽤函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应⽤，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能⼒．13.答案：4解析：【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），⼜由解析式求出f（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，故答案为4．14.答案：1解析：解：∵sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：a=2b，⼜∵c=，c osc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利⽤正弦定理可求a=2b，进⽽根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三⾓形中的应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于基础题．15.答案：解析：解：等边△ABC的边长为2，若点D满⾜，则=（+）=+=+=．故答案为：．利⽤已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应⽤，平⾯向量的加减运算，是基本知识的考查．16.答案：解析：解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球⼼O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平⾯A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD⊥平⾯A'BD，所以A'和B关于平⾯CDG对称，在平⾯CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球⼼O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平⾏线，交平⾯A'BD于点F，则OF⊥平⾯A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平⾯A'BD内，所以OF⊥A'F，即三⾓形A'OF为直⾓三⾓形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，⼜知OD=R，三⾓形ODE为直⾓三⾓形，∴三⾓形A'DF为等边三⾓形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球⼼的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和⾓度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球⼼的位置是解决本题的关键．属于难题．17.答案：解：（1）数列{a n}满⾜a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，⾸项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．解析：（1）数列{a n}满⾜a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利⽤求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等⽐数列的通项公式求和公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．18.答案：解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，⽉销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最⼤值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使⽹店的⽉销售额最⼤．解析：（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的⼤⼩进⾏判断即可（2）根据线性回归⽅程计算出相应的系数即可．（3）结合回归⽅程，进⾏预报计算即可．本题主要考查线性回归⽅程的求解，结合参考数据进⾏计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学⽣的计算能⼒．19.答案：解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平⾯连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正⽅形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平⾯EFG，PA?平⾯PAC，平⾯PAC∩平⾯EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上存在⼀点G，使PA与平⾯EFG平⾏，且=．（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF=P，∴PC⊥平⾯PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，∵E，F是正⽅形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，⼜PC∩AC=C，∴EF⊥平⾯PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．⼜OE=EF=，∴V E-PAC==，⼜S△PCE===4，设A到平⾯PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平⾯PEC的距离为．解析：（1）假设存在点G符合条件，利⽤线⾯平⾏的性质可得PA∥OG，故⽽可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列⽅程求出点A到平⾯PEC的距离．本题考查了线⾯平⾏的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题. 20.答案：解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的⽅程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的⽅程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，⼜点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．解析：（1）求出切线PA的⽅程后，将P的纵坐标代⼊可求得横坐标；（2）利⽤抛物线x2=2py的切线⽅程xx0=2p×可得PA，PB的切线⽅程，可得切点弦AB⽅程：x0x-2y+4=0，再利⽤弦长公式和点到直线距离可得⾯积，从⽽可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.答案：（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x?．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．解析：（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数⼤于0和⼩于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x?．令g（x）=，利⽤导数求其最⼩值得证．本题考查利⽤导数研究函数的单调性，考查利⽤导数求函数的最值，考查数学转化思想⽅法，属中档题．22.答案：解：（1）由，得C1的普通⽅程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标⽅程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代⼊ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代⼊ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，⼜0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的⾯积S=S-S=|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．解析：（1）由，得C1的普通⽅程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利⽤极径的⼏何意义和三⾓形的⾯积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x；②当-时，原不等式等价于＞3，不等式⽆解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成⽴，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x∈[-，2]时等号成⽴．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，再相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成⽴，再利⽤基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，若，则A. 2B.C. 1D.3.已知角的项点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则A. 2B.C.D.4.若实数x，y满足，则的最小值是A. 2B.C. 4D. 65.已知函数，若，则A. 0B.C. 2D.6.若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A. 是函数图象的一个对称中心B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图象可由 2x的图象向左平移个单位得到7.周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为A. B. C. D.8.在三棱柱中，E是棱AB的中点，动点F是侧面包括边界上一点，若平面，则动点F的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9.已知函数，则的解集为A. B. C. D.10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则cos C的值为A. B. C. D.11.若关于x的不等式恒成立，则a的最小整数值是A. 0B. 1C. 2D. 312.过双曲线C：右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若与共线，则实数k的值为______．14.已知等比数列是单调递增数列，为的前n项和，若，，则______．15.斜率为的直线l过抛物线C：的焦点F，若l与圆M：相切，则______．16.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，过点A作一个与侧棱PC垂直的平面，则平面被此正四棱锥所截的截面面积为______，平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，．求证：；若，，三棱锥的体积为1，且点A在侧面上的投影为点O，求三棱锥的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数百分制随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清用x表示，已知这30名职工的健康指数的平均数为．根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据即剔除健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差结果精确到．20.已知椭圆C：过点，且离心率为．求椭圆C的方程；若斜率为的直线1与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点，求k的取值范围．21.已知函数，记的导函数为．若是上的单调递增函数，求实数a的取值范围；若，试判断函数的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写出曲线和的直角坐标方程；已知P为曲线上的动点，过点P作曲线的切线，切点为A，求的最大值．23.已知函数的最大值为M，正实数a，b满足．求的最小值；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，，．故选：B．求出集合A，利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，，故故选：B．由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属基础题．3.答案：C解析：解：点在角的终边上，，故选：C．直接利用任意角的三角函数，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：实数x，y满足，边表示的可行域如图：化简为，是直线的截距，故当过点A时，截距取得最大值，此时z有最小值，由解得故目标函数的最小值为；故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.答案：C解析：解：根据题意，函数，则，，则有；故选：C．根据题意，由函数的解析式求出与的表达式，进而计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：由图可知，，函数经过点，，，即，，，．函数．令，则，当时，对称中心为，即A正确；令，则，不存在k使其对称轴为，即B错误；令，则，当时，单调递增区间为，即C错误；的图象向左平移个单位得到，即D错误．故选：A．先由图象可知，再把点代入函数解析式，结合，可求得，从而确定函数的解析式为然后根据正弦函数的中心对称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可．本题考查利用图象求三角函数的解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力、推理论证能力和运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆形钱币的半径为rcm，面积为；正方形边长为acm，面积为．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，则．故选：A．计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p，则可求．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．8.答案：A解析：解：分别取AC，，的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，因为E为AB的中点，可得且，，，所以N，E，M，F共面，所以可得，，而，，所以面面，而面MN ，所以面，所以要使平面，则动点F的轨迹为线段FN．故选：A．分别取AC，，的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，可得N，E，M，F共面，且可得使平面，所以F在线段FN上．本题考查线面平行的证法及求点的轨迹的方法，属于中档题．9.答案：C解析：解：函数，则，当时，不等式，即，求得．当时，不等式，即，求得．综上可得，不等式的解集为，故选：C．由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围．本题主要考查二次函数、对数函数的单调性应用，指数、对数不等式的解法，属于中档题．10.答案：D解析：解：，，，由正弦定理，可得，可得，，由正弦定理可得，可得，可得，，可得，，C为锐角，解得．故选：D．由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解cos C的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.答案：B解析：解：若关于x的不等式恒成立，问题等价于在恒成立，令，则，令，，则，故在递减，不妨设的根是，则，则时，，递增，时，，递减，，，，，，，a的最小整数值是1，故选：B．问题等价于在恒成立，令，求出的最大值，求出a的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于常规题．12.答案：C解析：解：如图，不妨设一条渐近线方程为，则所在直线的斜率为，直线：．联立，解得设，由，得，解得代入，得，整理得：．双曲线C的渐近线方程为．故选：C．由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线：与已知渐近线方程联立求得P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，考查向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．13.答案：2解析：解：根据题意，向量，，若与共线，则有，解可得；故答案为：2．根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量共线的坐标表示，注意向量共线的坐标表示公式，属于基础题．14.答案：30解析：解：设等比数列的公比为q，，，，化为：，解得或．等比数列是单调递增数列，．．则．故答案为：30．设等比数列的公比为q，由，，可得：，及其等比数列是单调递增数列，解得再利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：12解析：解：斜率为的直线l过抛物线C：的焦点，直线l的方程：，若l与圆M：相切，可得：，解得，故答案为：12．求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．16.答案：或解析：解：如图，在正四棱锥中，由底面边长为2，侧棱长为，可得为正三角形，取PC的中点G，得，且．设过AG与PC垂直的平面交PB于E，交PD于F，连接EF，则，，可得≌，得，，在与中，由，，，得．．在等腰三角形PBC中，由，，得，则在中，得．同理，则，得到．；则．又，平面将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为．故答案为：；或．由已知得为正三角形，取PC的中点G，得，且然后证明，且求得AG与EF的长度，可得截面四边形的面积；再求出四棱锥的体积与原正四棱锥的体积，则平面将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，考查计算能力，是中档题．17.答案：解：由题知：当时，有；当时，由，可得，由得，又时也适合，故；由知，，，由可得：，所以．解析：由时求得，当时，由，可得，由得，再检验当时是否适合，求得；由求得，再利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.答案：证明：侧面为菱形，，又，O为的中点，，而，平面ABO，得；解：点A在侧面上的投影为点O，即平面，在菱形中，，为等边三角形，又，设，则，，则，即．在平面中，过O作，连接AE，可得，则．，同理可得．则三棱锥的表面积为．解析：由侧面为菱形，得，再由，O为的中点，得，利用直线与平面垂直的判定可得平面ABO，从而得到；点A在侧面上的投影为点O，即平面，设，由三棱锥的体积为1求解a，再求解三角形可得三棱锥的表面积．本题考查多面体体积及表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是76，中位数是；根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，男职工抽人，记为a、b、c，女职工2人，记为D、E，从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件是ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，抽取的2人都是男职工的事件为ab、ac、bc，故所求的概率为；由题意知，，解得；所以样本中所有女职工的健康指数平均数为，方差为．解析：根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数；根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差．本题利用茎叶图考查了统计与概率的计算问题，是中档题．20.答案：解：因为椭圆C过点，且离心率为．所以解得，，，所以椭圆C的方程为：．设直线l的方程：，，联立直线l与椭圆C的方程得，，，，，即，所以线段MN中点，所以线段MN的垂直平分线的方程为，又因为线段MN的垂直平分线过点，所以，即，所以，代入式得，，解得或，所以k的取值范围为．解析：根据题意得解得a，b，c，进而写出椭圆的方程．设直线l的方程：，，联立直线l与椭圆C的方程得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，，，即，得到线段MN中点，写出线段MN的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入式得k的取值范围为．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．21.答案：解：，，因为是上的单调递增函数，恒成立，因为，故时，恒成立，且导数为0时不连续．故即为所求．由知，，当时，，此时函数单调递增，无极值点；当时，则，，而由三角函数的性质可知，，，此时函数单调递增，无极值点；当时，，则，此时函数单调递增，无极值点；当时，令，则，函数单调递减，又，存在唯一的，使得，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是函数的极大值点，综上所述，函数在上有且仅有唯一的极大值点，无极小值点．解析：只需在恒成立，借助于三角函数的有界性，问题可解决．分，四种情形分别研究的单调性，进而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．22.答案：解：由为参数，消去参数，可得．曲线的直角坐标方程为；由，得，即，即．曲线的直角坐标方程为；为曲线上的动点，设，则P与圆的圆心的距离．要使的最大值，则d最大，当时，d有最大值为．的最大值为．解析：由为参数，消去参数，可得曲线的直角坐标方程．由，得，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；由P为曲线上的动点，设，则P与圆的圆心的距离利用二次函数求最值，再由勾股定理求的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：函数，当时，取得最大值2，即，正实数a，b满足，由柯西不等式可得，化为，当时，取得最小值；证明：因为，a，，要证，即证，即证，即证，当时，，所以，由，可得；当时，；当时，，所以，因为，所以，综上所述，成立，即．解析：由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的性质和应用，考查不等式的证明，注意应用柯西不等式和分析法证明，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。
广东省广州市2020届高三数学二模考试试题文含解析
【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝4，a1+a3＝10，
∴ 4q＝10，化为：2q2﹣5q+2＝0，
解得q＝2或 ．
∵等比数列{an}是单调递增数列， ，
∴q＝2．
直线 的方程为 ，即 ，
直线 与圆 相切，圆心为 ，半径为 ，
，解得 或 （舍去）.
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解．
16.正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2 ,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
12.过双曲线C： 1（a＞0，b＞0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y＝± xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝± x
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为 ，求得直线F2P：y ,与已知渐近线方程联立求得点P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)
当0＜x＜m时， ＜0，f（x）单调递减；当x＞m时， ＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm， ＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数 ，若 是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把 化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)·z=3−i，则|z|=()A. 5B. 3C. √5D. √32.已知集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}，则()A. A∩B=BB. A∩B=⌀C. A∪B⊆AD. A⊆B3.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x5.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x+4)=−f(x)，如果当x∈[−4,0)时，f(x)=3−x，则f(985)=()A. 27B. −27C. 9D. −96.x1，x2…x n的平均数为x，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差是()A. S2B. 3S2C. 9S2D. 9S2+30S+257.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=()A. 35B. 30C. 25D. 158.函数f(x)=sinx⋅2x−12x+1部分图像大致为()A.B.C. D.9. 已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A(1,2√2)，则|PA|+|PF|的最大值为( ) A. 4+√2 B. 4√2 C. 4+√3 D. 4√310. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 24 11. 已知数列{a n }的通项公式a n =n−√98n−√99(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前30项中最大项为( ) A. a 30B. a 10C. a 9D. a 1 12. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．14.若x，y满足约束条件{x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0.则yx的最大值为______．15.某志愿者小组共有高一学生4名，高二5名，高三7名，若各年级各选1人参加青奥会志愿者活动，有________种不同的选法．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将沿EF折起到的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，D是BC的边上的点，cos∠BAD=35,cos∠ADC=−√55．(1)求sin B的值；(2)若BD=2DC=2，求AC的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．(1)证明：AB1⊥平面ABC．(2)求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19.如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2=1,A(1,0),B(−12,√32),C(−12,−√32)为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n(A)，P n(B),P n(C).例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)=0,P1(B)=12,P1(C)=12．(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；(3)记P n(A)=a n,P n(B)=b n,P n(C)=c n，其中a n+b n+c n=1.证明：数列{b n−13}是等比数列，并求a2020．20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)．(1)已知直线l:2x−y+2=0与抛物线C相切，求抛物线的方程；(2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l′交抛物线于A，B两点，AB的中点为E，以E为圆心，AB为直径作圆E，设E与y轴交于点M，N，求的最大值．21.已知函数f(x)=(ax−1)e x，a∈R，e是自然对数底数．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．。
2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(3−x)>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (1,+∞)2.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则z⋅z=()A. 12i B. −14C. 14D. 123.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为()A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为()A. 15B. 27C. 30D. 405.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为()A. 25B. 35C. 710D. 456.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为√2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E的一部分，且双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线E的离心率为()．A. 2√33B. √2C. √3D. 27.已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+2α)=()A. −17B. −43C. −3D. −28.已知函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，若曲线在点T(x0,f(x0))处的切线斜率为32，则x0的值为()A. ln2B. 2ln2C. 2D. √29. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则( )．A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，则cos B 等于( )A. 34B. 23C. 13D. 1211. 在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 16πB.49π4C.65π16D.65π412. 曲线f (x )=xe x (a <b <1)，则( )A. f(a)=f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a),f(b)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x 、y 满足{x −y −2⩽0x +2y −5⩾0y −2⩽0，则2x +y 的最大值为_________．14. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15. 若|a ⃗ |=√2,|b ⃗ |=2且(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角是______ ． 16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =4，AB =AC =2√3，BC =6，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1，(1)证明：数列{a n +12}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n−12a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n18.已知：梯形ABCD，AB//DC，AB=AD=2，DC=4，∠A=60°，将△ABD沿BD折起至△PBD的位置，使PC=4．(1)求证：平面PBD⊥平面BCD；(2)求点B到平面PCD的距离，19.为全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知斜率为1的直线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，当直线过焦点F时，△AOB的面积为2√2．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上任意一点M做切线交抛物线C的准线于点N，问y轴上是否存在定点P，使得PM⊥PN？若存在，求出P；若不存在，说明理由．21.已知f(x)=e x+alnx−ax．x(1)若a<0，讨论函数f(x)的单调性；)e x−x≥0在上恒成立，求b的取值范围．(2)当a=−1时，若不等式f(x)+(bx−b−1x22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知f(x)=|ax+1|，a∈R．(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，求实数a的值；)时，不等式f(x)≤2−|2x−1|恒成立．求实数a的取值范围．(2)若x∈(0,12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={x|x(3−x)>0}={x|0<x <3}， B ={x|x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，故A ∩B =(1,3)． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的底面圆半径为r =1，母线长为l =2， ∴它的侧面积为S 侧面=πrl =2π． 故选：A ．由题意知圆锥的底面圆半径和母线长，计算它的侧面积即可． 本题考查了圆锥的侧面积公式应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2(a1+2d)=3+a1，可得a1+4d=3=a5．=9a5=27．则S9=9(a1+a9)2故选B．5.答案：C解析：本题考查古典概型，列出基本事件，找出满足题意的即可．本题的基本事件有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,190，200)，(195,194，200)(196,190，194)，(196,190，200)，(196,194，200)，(190,194，200)十种情况，．满足轮胎基本合格的事件有7个，故这批轮胎基本合格的概率为710故选C．6.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于一般题．求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：两个圆锥的底面半径为r=1，母线长均为l=√2，可得圆锥的高为ℎ=√l2−r2=1，四边形ABCD为矩形，对角线AC，DB的长为√4+4=2√2,ABCD为正方形，可得直线AC，BD的夹角为45°，由双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，由双曲线的渐近线方程为y=±bax，即有ba=1，则e=ca=√1+1=√2．故选B．7.答案：A解析：解：∵α为锐角，cosα=√55，∴sinα=2√55∴tanα=sinαcosα=2∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43∴tan(π4+2α)=1+tan2α1−tan2α=1−431+43=−17故选A．先利用同角三角函数关系，计算sinα，tanα，从而可得tan2α，即可求得结论．本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：本题考查了导数的几何意义和函数的奇偶性性质，属于中档题．由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，∴(e x−e−x)(a−1)=0，∴a=1，。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|0＜x＜6}，B={2，4，6，8}，则A∩B=（）A. {0，1，3，5}B. {0，2，4，6}C. {1，3，5}D. {2，4}2.已知复数z=m（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）.A. （-∞，1）B. （-∞，）C. （）D. （-∞，）∪（1，+∞）3.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 245.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6.函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. y=2sin（）B. y=2sin（）C. y=2cos（）D. y=2cos（）7.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是( )A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n)8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为( )A. B. C. D.10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，则的取值范围为（）A. [-2，0]B. [-，0]C. [-2，-]D. [-1，-]11.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. 8πB.C.D.12.己知函数f（x）=e x-ex+a与g（x）=ln x+的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. [-e，+∞）B. [-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-1），b=（2，1），向量=2+，则||=______14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___．15.若函数f（x）=x2-x+1+a ln x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．16.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0，PQ的中点为M（x0，y0），且-1≤y0-x0≤7，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.中角，，的对边分别为，，，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面积．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点A到平面PBC的距离．19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x（年龄/岁）26273941495356586061y（脂肪含量14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6/%）根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：=27，，，=7759.6，，参考公式：相关系数r==回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，20.从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21.已知函数f(x)=(x+2)ln x+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=2p cosθ+8．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的倾斜角．23.己知函数f（x）=|2x-l|-a．（1）当a=l时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A={x∈N|0＜x＜6}={1，2，3，4，5}，∴A∩B={2，4}，故选：D．求出集合A，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键，比较基础．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键．根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义求出点的坐标，根据点的象限建立不等式组关系进行求解即可．【解答】解：z=m（3+i）-（2+i）=（3m-2）+（m-1）i，复数对应点的坐标为（3m-2，m-1），若对应点的坐标在第三象限，则由得，得m＜，即实数m的取值范围是（-∞，），故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x+8）辆，则=，解得x=16，即A型号车16辆，则=，解得n=72．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：x=1，y=2，则z=x+y=1+2=3，z＜20是，x=2，y=3，z=x+y=2+3=5，z＜20是，x=3，y=5，z=x+y=3+5=8，z＜20是，x=5，y=8，z=x+y=5+8=13，z＜20是，x=8，y=13，z=x+y=8+13=21，z＜20否，输出z=21，故选A．5.答案：A解析：解：从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，基本事件总数n==10，所选3人中至少有1名女生包含的基本事件个数m==9，∴所选3人中至少有1名女生的概率为p=．故选：A．基本事件总数n==10，所选3人中至少有1名女生包含的基本事件个数m==9，由此能求出所选3人中至少有1名女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：由图象可知，得函数的周期T=4×（3.5π-2π）=6π，∴T=6π．则ω===．∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．由f（2π）=2，得2sin（φ+）=2，∴可得：φ+=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ-，k∈Z，又|φ|＜π，∴当k=0时，φ=-．则f（x）的解析式是：f（x）=2sin（x-）．故选：B．由图象得到函数的周期T，然后求出ω，再由f（2π）=2求φ的值，则解析式可求．本题考查了由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，属于中档题．7.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的前n项和的性质，是基础题．举出反例能说明A，B，C都错误，利用等比数列前n项的性质可得D正确．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{2n}中，S1=2，S2=6，S3=14，S1+S2≠S3，故A错误；S22≠S1S3，故B错误；S22≠S1+S2-S3，故C错误．等比数列{a n}中，∵S n，S2n-S n,S3n-S2n成等比数列，即(S2n-S n)2=S n(S3n-S2n)整理得S2n+S22n=S n（S2n+S3n）．故选：D．8.答案：B解析：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y=0，可得，可得：，即，∵e=，所以e=．故选：B．利用双曲线的渐近线方程，得到ab的关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．根据体积得出底面半径r和高h的关系，根据基本不等式得出侧面积最小的条件，计算半径和高即可得出答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=，则V==，∴r2h=，即h=，∴S侧=πrl=πr=π，∵r4+=r4++≥3=，当且仅当r4=即r=时取等号，此时，h==1,∴母线与底面所成角的正切值为==．故选D．10.答案：C解析：解：∵1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，∴a+b+c=0，得b=-a-c，∴a≥b≥c，即a≥-a-c≥c，即得，若a＞0，则不等式等价为，即得-2≤≤-，若a＜0，则不等式等价为，即，此时不等式无解，综上的取值范围为-2≤≤-，故选：C．利用1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，得到a+b+c=0，得b=-a-c，利用条件不等式进行求解即可．本题主要考查不等式的应用，结合根与方程的关系得到b=-a-c，然后代入不等式进行求解是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：如图，由PA=PB=PC=2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB=AC=1，BC=，可得∠BAC=120°，则由正弦定理可得：=2AG，即AG=1．∴PG==．取PA中点H，作HO⊥PA交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO==．即该棱锥外接球半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为，故选：B．由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接球的球心，由三角形相似求得外接球的半径，则答案可求．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，属于较难题．先求出g（x）关于x轴对称的函数图象，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-，在（0，+∞）上有解，利用参数分离法进行转化，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：g（x）=ln x+的定义域为（0，+∞），则g（x）关于x轴对称的曲线为-y=ln x+，即y=-ln x-，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-在（0，+∞）上有解，得a=-ln x--e x+ex，设h（x）=-ln x--e x+ex，则函数的导数h′（x）=-+-e x+e=-（e x-e），当x=1时，h′（x）=0，当x＞1时，h′（x）=-（e x-e）＜0，此时函数为减函数，当0＜x＜1时，h′（x）=-（e x-e）＞0，此时函数f（x）为增函数，即当x=1时，函数h（x）=-ln x--e x+ex取得极大值同时也是最大值，最大值为h（1）=-ln1-1-e+e=-1，作出h（x）=-ln x--e x+ex的图象如图：即要使a=h（x）在（0，+∞）上有解，则a≤-1，即实数a的取值范围是（-∞，-1]，故选：C．13.答案：解析：解：；∴．故答案为：．可求出向量的坐标，从而得出的值．考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法．14.答案：解析：解：设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，由题意得，，则，解得，所以a1=，所以最小的一份为，故答案为：．由题意设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，根据等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出公差d和首项a1，即可得到答案．本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题．15.答案：[）解析：【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．由函数f（x）=x2-x+1+a ln x在（0，+∞）上单调递增可知f′（x）=2x-1+≥0在（0，+∞）上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化可求．【解答】解：∵函数f（x）=x2-x+1+a ln x在（0，+∞）上单调递增∴f′（x）=2x-1+≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥x-2x2在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=x-2x2，x＞0根据二次函数的性质可知，当x=时，g（x）取得最大值，∴．故答案为：[）．16.答案：（-∞，-2]∪[-，+∞）解析：解：∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式-1≤y0-x0≤7，如图，联立，解得A（，），联立，解得B（-5，2），的几何意义为线段AB上的点与原点连线的斜率，∵k AO=-2，，∴的取值范围是（-∞，-2]∪[-，+∞）．故答案为：（-∞，-2]∪[，+∞）．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划知识的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：（1）因为2（tan A+tan B）=，所以2（）=+．化简得：2（sin A cos B+cos A sin B）=sin A+sin B．即2sin（A+B）=sin A+sin B．因在△ABC中，A+B+C=π，则sin（A+B）=sin（π-C）=sin C．从而sin A+sin B=2sin C．由正弦定理，得a+b=2c．所以=2．（2）由（1）知c=，且c=2，所以a+b=4．因为C=，所以cos C==．即cos=．所以ab=4．所以S△ABC=ab sin C==．所以△ABC的面积为．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sin A+sin B，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解；（2）由（1）知可求a+b=4．由余弦定理可得ab=4，利用三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：（1）证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以AD=AB=BD．因为O为AD的中点，所以BO⊥AD．在△PAD中，PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD．因为BO∩OP=O，BO⊂平面POB,OP⊂平面POB,所以AD⊥平面POB．因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB．（2）在Rt△PAD中，AD=2，所以PO=1．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，所以OB=．在△PBO中，PO=1，OB=，PB=BC=2，因为PO2+OB2=PB2，所以PO⊥OB．由（1）有PO⊥AD，且AD∩OB=O，AD⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．在△PBC中，由（1）证得AD⊥PB，且BC∥AD，所以BC⊥PB．因为PB=BC=2，所以S△PBC=2．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，所以S△ABC=．设点A到平面PBC的距离为h，因为V A-PBC=V P-ABC，即S△PBC h=S△ABC PO．所以h=．所以点A到平面PBC的距离为．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间距离的计算，属于中档题．（1）取AD的中点O，连结OP，OB，BD，证明AD⊥平面POB得出AD⊥PB；（2）根据V A-PBC=V P-ABC计算点A到平面PBC的距离．19.答案：解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（ⅰ）；（ⅱ）回归系数r=====；因为，，所以r≈0.98；由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（2）因为回归方程为，即，所以；【或利用===】所以y关于x的线性回归方程为，将x=50代入线性回归方程得；所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．解析：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．（1）根据上表中的样本数据计算（ⅰ）平均数，求出（ⅱ）相关系数r，由此得出结论；（2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程，计算x=50时y的值即可．20.答案：解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则点Q的坐标为（x0，0）．因为．所以（x-x0，y-y0）=2（x0-x，-y）．即．因为点P在抛物线y2=36x上．所以y02=36x0，即（3y）2=36x．所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（2）设直线x=my+1与曲线C的交点坐标为A（，y1），B（，y2），由得y2-4my-4=0．由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4．设点T（，y0），则k AT==．所以直线AT的方程为y-y0=（x-）．令x=-1，得点D的坐标为（-1，）．同理可得点E的坐标为（-1，）．如果以DE为直径的圆过x轴某一定点N（n，0），则满足．因为（-1-n，）•（-1-n，）=（1+n）2+．所以（1+n）2+=0．即（1+n）2-4=0，解得n=1或n=-3．故以DE为直径的圆过x轴上的定点（1，0）和（-3，0）．解析：（1）利用已知条件转化为抛物线的定义，即可求点M的轨迹C的方程．（2）设直线x=my+1与曲线C的交点坐标为A（，y1），B（，y2），T（，y0），由韦达定理和直线的斜率，可得直线AT的方程，即可求出点D，E的坐标，根据向量的数量积即可求出．本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：（1）解：当a=时，f（x）=（x+2）ln x+x2-4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x++x-3．设g（x）=ln x++x-3，则g′（x）=-+1==，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）=0（当且仅当x=1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x=1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）=0，x=1是函数f（x）唯一的零点．所以若a=，则函数f（x）的所有零点只有x=1．（2）证法1：因为f（x）=（x+2）ln x+ax2-4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x++2ax-4．当a≥时，f′（x）≥ln x++x-3，由（1）知ln x++x-3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）=（x+2）ln x+ax2-4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x++2ax-4m（x）=ln x++2ax-4，则m′（x）=-+2a=，（x＞0）．设h（x）=2ax2+x-2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）=2ax2+x-2=0，解得x1=＜0，x2=＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知ln x++x-3≥0．…则f′（x2）=ln x2++x2-3+（2a-1）x2≥（2a-1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．解析：（1）若a=，求出f（x）的解析式，求出的导数，结合函数零点进行求解即可．（2）求函数的导数，结合函数极值和导数的关系进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数零点，函数极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22.答案：解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α=时，直线l的直角坐标方程为x=2．当时，直线l的直角坐标方程为y-=tanα（x-2）．因为ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x2+y2=2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0．（2）曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0，将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t2+（2+2cosα）t-5=0．因为△=（2+2cosα）2+20＞0，可设该方程的两个根为t1，t2，则，t1+t2=-（2+2cosα），t1t2=-5．所以|AB|=|t1-t2|===4．整理得（+cosα）2=3，故2sin（α+）=．因为0α＜π，所以=或，α+=解得或或=综上所述，直线l的倾斜角为或．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属中档题．（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α=时，直线l的直角坐标方程为x=2，当时，直线l的直角坐标方程为y-=tanα（x-2），因为ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x2+y2=2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0，（2）利用直线参数方程中参数的几何意义可得．23.答案：解（1）当a=1时，由f（x）＞x，得|2x-1|-1＞x+1．…………………………………………（1分）当x≥时，2x-1-1＞x+1，解得x＞3．当x时，1-2x-1＞x+1，解得x＜-．…………………………………………………………（4分）综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜-}．……………………………………（5分）（2）因为||2x-1|-|2x+1||≤|（2x-1）-（2x+1）|，………………………………………………（6分）即-2≤|2x-1|-|2x+1|≤2，则|2x-1|-|2x+1|≥-2．……………………………………………（7分）所以g（x）=|2x-1|-|2x+1|+|2x-1|≥-2+|2x-1|≥-2，…………………………………………（8分）当且仅当x=时等号成立．……………………………………………………………………………（9分）所以g（x）min=-2．所以实数a的取值范围为（-2，+∞）．…………………………………………………………………（10分）解析：（1）根据绝对值的定义，分2种情况去绝对值解不等式可得；（2）根据绝对值不等式的性质求出最值，再将不等式转化为最值可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A. （0，1）B. （0，3）C. （1，2）D. （2，3）2.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.已知双曲线C：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. 2 D. 44.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为A. 1B. 2C. 3D. 45.已知角α为第三象限角，若=3，则sinα=（）A. -B. -C.D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 10π7.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. []B. []C. [-]D. []8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.9.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A. m∥D1QB. m∥平面B1D1QC. m⊥B1QD. m⊥平面A BB1A111.己知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （，e）C. （0，+∞）D. （，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=______16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的巾点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x56789y86 4.5 3.53（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额=月销售量×当月售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r=，线性回归过程=x，=，=．19.在边长为的正方形中，点分别为边的中点，以和为折痕把和折起，使点重合于点位置，连结，得到如图所示的四棱锥.（1）在线段上是否存在一点，使与平面平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点到平面的距离20.设点P是直线y=-2上一点，过点P分别作抛物线C：x2=4y的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的面积为时，求|AB|．21.已知函数f(x) =.（其中常数e=2.71828...，是自然对数的底数）．（1）讨论函数f ( x) 的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x >0 时，f ( x) ≥．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的方程为（x-2）2+y2=4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|=2|OM|，求△MC2N的面积．23.已知函数（m＞1）．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：双曲线C：的渐近线方程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.答案：C解析：解：由频率分布直方图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，故选：C．由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，得解本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5.答案：B解析：解：∵角α为第三象限角，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得si nα的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．7.答案：A解析：解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，，即：x．故选：A．首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10.答案：B解析：解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．故选：B．由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，可得AF2的方程为x=c，AF1的方程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：D解析：解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.答案：4解析：【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），又由解析式求出f（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，则f（-3）=4.故答案为4．14.答案：1解析：解：∵sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：a=2b，又∵c=，c osc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利用正弦定理可求a=2b，进而根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.答案：解析：解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=（+）=+=+=．故答案为：．利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．16.答案：解析：解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD=R，三角形ODE为直角三角形，∴OE===2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．17.答案：解：（1）数列{a n}满足a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．解析：（1）数列{a n}满足a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，月销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．解析：（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．（3）结合回归方程，进行预报计算即可．本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.答案：解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平面EFG，连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平面EFG，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上存在一点G，使PA与平面EFG平行，且=．（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF=P，∴PC⊥平面PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，又PC∩AC=C，∴EF⊥平面PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．又OE=EF=，∴V E-PAC==，又S△PCE===4，设A到平面PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平面PEC的距离为．解析：（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得PA∥OG，故而可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题. 20.答案：解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的方程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的方程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴直线AB的方程为x0x-2y+4=0，联立消去y得x2-2x0x-8=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，又点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．解析：（1）求出切线PA的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线x2=2py的切线方程xx0=2p×可得PA，PB的切线方程，可得切点弦AB方程：x0x-2y+4=0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.答案：（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．解析：（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，利用导数求其最小值得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.答案：解：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标方程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代入ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，又0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的面积S=S-S=|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．解析：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x；②当-时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x∈[-，2]时等号成立．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，再相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年广东高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东高三二模理科第1题5分已知集合A={x|(x−√7)(x+3)<0}，B={x|−2<x<2√2}，则A∩B=（）．A. {x|−3<x<2√2}B. {x|−3<x<√7}C. {x|−2<x<√7}D. {x|−2<x<2√2}2、【来源】 2020年广东高三二模理科第2题5分已知复数z=i(a−i)（i为虚数单位，a∈R），若1<a<2，则|z|的取值范围为（）．A. (√2,√5)B. (√2,2)C. (2,√5)D. (1,2)3、【来源】 2020年广东高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考文科第6题5分2019~2020学年6月辽宁沈阳沈北新区东北育才双语学校高一下学期周测B卷第8题5分2020~2021学年10月甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高三上学期月考理科第6题5分2021年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三四模理科第4题5分《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺4、【来源】 2020年广东高三二模理科第4题5分在△ABC中，已知∠A=45°，AB=6√2，且AB边上的高为2√2，则sinC=（）．A. √1010B. 3√1010C. √105D. 2√1055、【来源】 2020年广东高三二模理科第5题5分一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为（）．A. 2√3ππB. 2√33πC. 4√33πD. 8√336、【来源】 2020年广东高三二模理科第6题5分已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x−1)>0的解集为（）．A. (−3,3)B. (−∞,−2)∪(1,4)C. (−∞,−4)∪(−1,2)D. (−∞,−3)∪(0,3)7、【来源】 2020年广东高三二模理科第7题5分2020年广东高三二模文科第8题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若FA →⋅FB →=0，则该双曲线的离心率为（ ）．A. √5B. 2C. √3D. √28、【来源】 2020年广东高三二模理科第8题5分已知四边形ABCD 中，AD//BC ，∠A =30°，AB =2√3，AD =5，E 在CB 的延长线上，且AE =BE ，则AE →⋅DB →=（ ）．A. 1B. 2C. 12D. √39、【来源】 2020年广东高三二模理科第9题5分(x +y +2)6的展开式中，xy 3的系数为（ ）．A. 120B. 480C. 240D. 32010、【来源】 2020年广东高三二模理科第10题5分2020年广东高三二模文科第10题5分把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数g(x)的图象，关于g(x)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最小值为√3；④函数g(x)在[0,π]上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 111、【来源】 2020年广东高三二模理科第11题5分如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1−CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1−CDE外接球的体积为8√23π，则a=（）．A. 2B. √2C. 2√2D. 412、【来源】 2020年广东高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=12ax2+cosx−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为（）．A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东高三二模理科第13题5分若x，y满足约束条件{x+y−3⩽0x−y−3⩽0x+1⩾0，则z=y−2x的最大值是．14、【来源】 2020年广东高三二模理科第14题5分已知cos(α+π12)=35，则sin(2α+2π3)=．15、【来源】 2020年广东高三二模理科第15题5分从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有对．16、【来源】 2020年广东高三二模理科第16题5分如图，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆(x−1)2+y2=1交于C，D两点，若2∣AC∣=∣BD∣，设直线l的斜率为k，则k2=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东高三二模理科第17题12分已知数列{a n}和{b n}满足a n⋅b n+1−a n+1⋅b n−2a n⋅a n+1=0，且a1=1，b1=1，．设c n=b n an(1) 求数列{c n}的通项公式．(2) 若{a n}是等比数列，且a2=3，求数列{b n}的前n项和S n．18、【来源】 2020年广东高三二模理科第18题12分为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图如图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1) 请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2) 优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K2=n(ad−bc)2，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．(3) 用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望．19、【来源】 2020年广东高三二模理科第19题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA =PC ，BD ⊥PA ．E 是BC 上一点，且EC =3BE ．设AC ∩BD =O ．(1) 证明：PO ⊥平面ABCD ．(2) 若∠BAD =60°，PA ⊥PE ，求二面角A −PE −C 的余弦值．20、【来源】 2020年广东高三二模理科第20题12分2020年四川成都高新区成都石室天府中学高三零模文科第20题已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 已知O 是坐标原点，向量m →=(1,1)，过点(2,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．若点Q (x,y )满足OQ →⋅m →=1，OM →+ON →=λOQ →，求λ的最小值．21、【来源】 2020年广东高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ae x −ex −a （a <e ），其中e 为自然对数的底数．(1) 若函数f(x)的极小值为−1，求a 的值．(2) 若a =1，证明：当x ⩾0时，f(x)+2x −xln(x +1)⩾0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东高三二模理科第22题10分2020年广东高三二模文科第22题10分在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x 212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1) 求直线l的直角坐标方程．(2) 已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线l于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东高三二模理科第23题10分2020年广东高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1) 解不等式：f(x)⩽6．(2) 若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2⩾493．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】6;;14 、【答案】−72515 、【答案】48;16 、【答案】12√2+16;17 、【答案】 (1) c n=2n−1．;(2) S n=(n−1)×3n+1．;18 、【答案】 (1) 70%，55%．;(2)有95%的把握认为产品质量高与新设备有关．;(3) X的分布列为E(X)=2.1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√15．5;+y2=1．20 、【答案】 (1) x22;(2) 2−√6．;21 、【答案】 (1) 1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x+y−a=0．;(2) 2．;23 、【答案】 (1) {x|−4⩽x⩽2}．;(2) 证明见解析．;。
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷1（含答案解析）
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷1一'选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合S= [x\x2-2x-3<0], T=｛x\-l<x<4.xeZ｝t WlJSnT等于（）A.（x|O<x<3,x e Z）B.（x|O<x<4,x E Z）C. （xl-1<x<O,x e Z）D.（x|-1<x<3,x G Z）2.己知Sfe1 =l+2i,z2=2-i,则关于它们的模下列选项正确的是（）A.\z±\>\z2\B.|电|v|z2|C.IzJ=\z2\D.不能比较大小3.己知向量m=（l,2）,»=（2,l-m），且•那么实数，〃的值为（）A.-2B.IC.2D.44.同时抛掷三枚均匀的硬币，一枚反而朝上，两枚正而朝上的概率等于（）A上B Y C.兰 D. 土83835.若直线ox-by+2=0（a>0f b>0）经过圆/+y2+4x-4y-1=。
的圆心，则；+：的最小值为（）A.10B.4+2V&C. 5+2v&D・6-已知函数六时=｛，贝W（》]的值是（）A.9B.|C.D・-97.在△ABC中，q=S,b=3,则siM：sinB=（）A.-B.：C.|D.-8.下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中，正确的是（）A.频率分布折线图与总体密度曲线无关B.频率分布折线图就是总体密度曲线C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线9.斐波那契数列｛/；｝：1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.233・现已知｛与｝连续两项平方和仍是数列｛&｝中的项，则F备“+F第]4等于（）A.已02。
B.已024C.^4027D.^402810.已知双曲线§一§=10>0，b>0）的一条渐近线过点（2,^3）.则双曲线的离心率为（）A.；B.四C.立D.归222311.三^P-ABC的四个顶点都在球。
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机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 195±3 内，则称这批轮胎基本合格．已知这
批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为
（
）
A.
B.
C.
D.
10. 函数
的部分图象不可能为（ ）
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A.
B.
C.
D.
11. 若函数 f（x）=x3-kex 在（0，+∞）上单调递减，则 k 的取值范围为（ ）
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21. 已知函数 f（x）= x2-（a+1）x+alnx．
（1）当 a=-4 时，求 f（x）的单调区间； （2）已知 a∈（1，2]，b∈R，函数 g（x）=x3+bx2-（2b+4）x+lnx．若 f（x）的极小
值点与 g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于 ．
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C．由图象知函数的周期 T=4π，则 =4π 得 ω=± ，
当 ω= 时，此时 f（x）=2sin（ x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin =-1，即此时 C 图象不可能，
当 ω=- 时，此时 f（x）=2sin（- x-π）=2sin x，f（π）=2sin =-1，即此时 C 图象可能，
（1）证明：EF∥平面 BCC1B1． （2）求三棱锥 B1-AEF 的体积．
20. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx＋1 与抛物线 C：x2＝4y 交于 A，B 两点．
(1)证明：△AOB 为钝角三角形． (2)若直线 l 与直线 AB 平行，直线 l 与抛物线 C 相切，切点为 P，且△PAB 的面积为 16，求直线 l 的方程．
解析：【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关 键． 【解答】∵f（x）是奇函数，且 f（1）=2，f（2）=3， ∴f（-2）=-3， 则不等式-3＜f（x-3）＜2 等价为 f（-2）＜f（x-3）＜f（1）， ∵f（x）是增函数， ∴-2＜x-3＜1 得 1＜x＜4， 即 x 的取值范围是（1，4）， 故选：A．
附：K2=
，其中 n=a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10
k0
2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面 A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6， 点 E，F 分别为 CA1 与 AB 的中点．
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性别 入围人数 未入围人数 总计
男生 24
女生
80
总计
（ 2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生． （ⅰ）求这 11 名学生中女生的人数； （ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这 11 名学生中女生测试分数的平均分的最小值．
p，q 为常数，则 ap＋q＝_____________．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，AC=3，C=120°．
（1）若 AB=7，求 BC 边的长；
（2）若 cosA= sinB，求△ABC 的面积．
18. 《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选 手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经 过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测 试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名，然后对这 200 名 学生进行脑力测试．规定：分数不小于 120 分为“入围学生”，分数小于 120 分为 “未入围学生”．已知男生入围 24 人，女生未入围 80 人． （1）根据题意，填写下面的 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 90%以上的把 握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．
A. [0，+∞）
B.
C.
D.
12. 已知直线 x=2a 与双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点 P，双曲
线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，且 cos∠PF2F1=- ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若函数 f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则 a=______．
14. 若 x，y 满足约束条件
，则 的最大值为______．
15. 在四棱锥 P－ABCD 中，PA 与矩形 ABCD 所在平面垂直，AB＝3，
，
，
则直线 PC 与平面 PAD 所成角的正切值为 ．
16. 在数列{an}中，an＋1＝2(an－n＋3)，a1＝－1，若数列{an－pn＋q)为等比数列，其中
7.答案：A
解析：【分析】 本题考查椭圆简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题. 利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程． 【解答】
解：由题意可得：
，
解得 a=4，b=3， 因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，
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所以椭圆方程为：
．
故选 A．
8.答案：A
2020 年广东省高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设 i 为虚数单位，则复数 z=i（2-i）的共轭复数 =（ ）
A. -1+2i
B. -1-2i
C. 1+2i
D. 1-2i
2. 已知集合 A={x|-1＜x＜6}，集合 B={x|x2＜4}，则 A∩（∁RB）=（ ）
12π，则椭圆 C 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.பைடு நூலகம்
8. 函数 f（x）在（-∞，+∞）单调递增，且为奇函数．已知 f（1）=2，f（2）=3，则
满足-3＜f（x-3）＜2 的 x 的取值范围是（ ）
A. （1，4）
B. （0，5）
C. （1，5）
D. （0，4）
9. 某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随
D. 72
6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇
形，若该几何体的表面积为 ，则其体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 阿基米德（公元前 287 年-公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数 学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的
乘积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为
23. 设函数 f（x）=|x+1|+|2-x|-k．
（1）当 k=4 时，求不等式 f（x）＜0 的解集；
（2）若不等式
对 x∈ 恒成立，求 k 的取值范围．
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：∵z=i（2-i）=1+2i，
∴
．
故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9.答案：C
解析：解：某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检， 从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 195±3 内，则称这批轮胎基本合 格． 这批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200，
基本事件总数 n= =10，
至少有 2 个轮胎的宽度在 195±3 内包含的基本事件个数 m=
4. 设向量 与向量 垂直，且 =（2，k）， =（6，4），则下列下列与向量 + 共线的是
（）
A. （1，8）
B. （-16，-2） C. （1，-8）
D. （-16，2）
5. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若公差 d=1，S9-S4=10，则 S17=（ ）
A. 34
B. 36
C. 68
3.答案：D
解析：解：在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形， 中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200， 设其他 8 组的频率数和为 m， 则由题意得：m+ m=200， 解得 m=150， ∴中间一组的频数为 =50． 故选：D． 设其他 8 组的频率数和为 m，则由题意得：m+ m=200，由此能求出中间一组的频数． 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题．
2.答案：C
解析：解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}， 则∁RB={x|x≥2 或 x≤-2}， 则 A∩（∁RB）={x|2≤x＜6}， 故选：C． 求出集合 B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本 题的关键．
6.答案：A
解析：解：将三视图还原可知该几何体为球体的 ，
S=3× +
=，
r= ，几何体的体积为：
=．
故选：A． 首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的 应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．