估计量优良性的若干判别准则

估计量优良性的若干判别准则

作者 李晓辉 指导老师 胡学平

摘要 未知参数的估计通常有很多种，一个好的估计量应该在多次观测中，其观测值围绕被估计参

数的真值摆动.为正确评价估计量，要建立判别估计量好坏的标准.本文主要总结估计量优良性的若干判别准则，如无偏性、有效性、一致性等。通过本文的研究，进一步了解了估计量优良性的一些判别准则，为今后学习打下了基础。

关键词 无偏性 一致性 有效性 一致最小方差无偏估计 均方误差

1 引言

对于估计量优良性的研究，国内外更多的是将其依托于一个具体的实验或具体的实际问题中去进行比较研究，如在1982年《数学杂志》中，刘学圃写了一篇名为《一类平稳时间序列谱密估计量的优良性质》文章，又如在《统计与信息论坛》中，写了一篇《系统样本差估计量的优良性》，所以说对其的研究更多的是依据于是研究中，通过其试验来体现一个估计量的优良性.当然，单纯对于优良性的研究国内有一篇很是经典的文章—王力宾的《对估计量优劣性评价标准的研究》，他在此文中比较详细地介绍了若干判别准则，大致上分为两类：一类是小样本估计量优良性的若干判别准则，另一类是大样本估计量优良性的判别准则。他也同样在文中详细地叙述了两类之间的联系.其实，一直以来，我国的统计工作者，一直都是把无偏性，有效性，一致性看作是评价估计量优良性的三大标准，但对于其实用性并未进行过较为系统的研究.

评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验的结果来衡量.这是因为估计量是样本的函数，是随机变量。由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.对于一个特定的应用，选择好的估计量与许多因素有关系，最基本的考虑因素就是选择一个好的数据模型，它的复杂性应该足以描述数据的基本特征，但是与此同时要简单的足以允许估计量是最佳的且易于实现.举个简单的例子，对于信号的处理问题，选择一个合适的估计量要从易于现实的最佳估计量开始.如果这种寻找没有效果，那么就应该考察准最佳估计量.对于同一参数，用不同的估计法得到的点估计量不一定相同，那么用哪一种估计法好呢？并且，人们总是希望估计量能代替真实参数．为正确评价估计量，要建立判别估计量好坏的标准.根据不同的要求，评价估计量可以有各种各样的标准．所以，对于一个估计量的优良性进行判别显得尤为重要.对于估计量优良性若干判别准则的研究，为了以后我们进一步的学习和工作都奠定了良好的基础.

2 判别优良性的准则 2.1 估计量的无偏性 2.1.1无偏估计量的定义及定理

定义 设()n

,ξ,,ξξT θ 21ˆ=是未知参数θ的一个估计量，若 ()

Θθθ, θE ∈∀=ˆ

则称()n

,ξ,,ξξT θ 21ˆ=为θ的无偏估计量. 在这里我们要接触一个新的名词：统计量，到底什么是统计量，下面我们来简单介绍一

下统计量的定义.

统计量 是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。宏观量是大量微观量的统计

平均值，具有统计平均的意义，对于单个微观粒子，宏观量是没有意义的．相对于微观量的统计平均性质的宏观量也叫统计量．需要指出的是，描写宏观世界的物理量例如速度、动能等实际上也可以说是宏观量，但宏观量并不都具有统计平均的性质，因而宏观量并不都是统计量．

定理1 设总体X 的均值为μ,方差为2σ,n 21,,,X X X 为来自该总体的简单随机样本.

∑==n

i i X n X 1

1

()2

1

2

11∑=-=n i i X X n-S

则

()()

22σS μ, E X E ==

即样本均值和样本方差是μ和σ2

的无偏估计.

证明

()()n

σX , Var μX E 2

2==

()

()⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∑=n i i

X X n-E S E 122

11 ()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=

∑=2111n i i X X E n- ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+--=∑∑==2112211X n X X X E n n

i i n i i

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=∑=21211X n X E n-n i i

()

212

1

11X E n n )E(X n n i i

∑=---= ()()[]{}

()()[]{}2

12

1

11X E X Var n n X E X Var n n i i

i +--+-=∑=

()

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+-=

2222111μσn n n μσn n 2

σ=

2.1.2 无偏估计量的举例说明

例1 设n 21,,,X X X 为抽自均值为μ的总体X 的样本,考虑μ的估计量.

解 11ˆX =μ

， 因为

()()μX E μ

E ==11ˆ, 所以1ˆμ

是无偏估计 2

ˆ2

12X X μ

+=, 因为

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=2ˆ212X X E μE ,

所以2ˆμ

是无偏估计 1213ˆn-n

X X X X μ

n

++++= （假设4n ≥），

因为

()1213ˆn-n X X X X E μE μn ++++⎛⎫== ⎪⎝⎭

,

所以3ˆμ

是无偏估计 142ˆX =μ

, 因为

()()μX E μ

E 22ˆ14==, 所以4ˆμ

不是无偏估计 3

ˆ2

15X X +=μ

, 因为

()μX X E μE 3

23ˆ215=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,

所以5ˆμ

不是无偏估计. 例2 设总体[]θξ,0~U ,求未知参数()0>θ的无偏估计量.

解 设()n 21,,,ξξξ 为取自总体的样本.由替换原则有