多元函数的可微性

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多元函数的可微性

x0
x
2022年9月1日10时41分
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9
类似地可定义关于 y 的偏导数
f y
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
lim
y y0
f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ) y y0
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
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22
例6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
z
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x (x0, y0 )
x0
x
作平面 y =y0 , 得曲线 L ,
z f (x, y)
y
y0
在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0 , y0 ))处
作曲线L的切线 Tx
由一元函数导数的几何意义：
z = tan
x ( x0 , y0 )
A( x x0 ) B( y y0 )
dz
从而
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 )
2022年9月1日10时41分
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在使用上，⑴式常写成下列形式：
其中
z Ax By x y
lim lim 0

关于多元函数可微性充分条件的说明

Ａｚ＝＿厂（Ｘ０＋Ａｘ，Ｙｏ＋Ａｙ）一厂（Ｘ０，Ｙｏ）
＝
引言
多元函数是数学分析的教学重点和难点之一。由于多元函数极限的复杂性，使多元函数比一元函数具有令人难以捉摸的一些性质，而学生对这部分的掌握往往和一元函数相比较，以为多元函数和一元函数具有相类似的性质，实则不然。学生对多元函数可微性掌握的程度，将直接影响数学分析以后的课程，进而影响到数学分析的学习效果。对于多元函数可微性，许多作者都作出了出色的工作，例如［２］中作者举例讲如何判定多元函数的可微性，［３］中作者给出了多元函数可微的充分必要条件，［１］中作者给出了二元函数可微性的两个判别方法，此方法比以往的方法更简单和有效，［４］中作者给出了多元函数可微性较弱的充分条件。本文从另外一个角度探讨多元函数可微的充分条件，我们先建立多元函数极限存在与同一变化过程中无穷小量之间的关系，从而很自然地理解多元函数可微的充分条件，达到提高数学分析教学质量的目的。大多数的数学分析中，在证明多元函数可微性的充分条件时，都要用到这个事实。设函数ｚ＝厂（，）在Ｐ。（Ｘｏ，Ｙｏ）点的某领域Ｕ（Ｐｏ）上有定义。若对ｖｐ ∈ Ｕ（Ｐｏ），ｌｉｍｆ（ｐ）Ａ，则厂（Ｐ）＝Ａ＋６ｃ，其中。【是在ｐ－－￣ｐ。过程中的无穷小量。在讲到这部分内容时，同学们就会产生下面的疑问：（１）什么是多元函数的无穷小量；（２）ｆ（Ｐ）＝Ａ＋６【这个条件是ｌｉａ厂ｒ（Ｐ）＝Ａ的什么条件。为了回答上面的两个问题，

多元函数的可导和可微关系

多元函数的可导和可微关系多元函数是数学中重要的研究对象，它通过不同自变量的取值来描述现实世界中的问题。

在多元函数中，可导和可微是两个常用的概念，它们在数学和物理学等领域中发挥着重要的作用。

本文将讨论多元函数的可导和可微关系，并探讨它们之间的联系和区别。

首先，我们来看可导和可微的定义。

在一元函数中，可导性是指函数在某点上存在切线，而在多元函数中，可导性则是指函数在某点上存在线性逼近。

与一元函数类似，我们可以通过求导数来判断多元函数是否可导。

如果在某一点上所有偏导数都存在且连续，那么该点上的函数就是可导的。

而可微性则是可导性的更强条件，即函数在某点上可导，则在该点上必然可微。

可微性可以理解为可导性的一种特殊情况，反之则不一定成立。

然而，多元函数的可导和可微之间并非简单的等价关系。

一方面，可导不一定可微，即函数在某一点上所有偏导数都存在且连续，但该点上的函数并非可微。

这种情况发生在函数在某点上的偏导数存在但不连续或者存在偏导数的偏导数的情况。

另一方面，可微则必然可导，并且在可微的点上的所有偏导数存在且连续。

这意味着可微函数在某一点上的线性逼近是唯一的。

因此，可微性是一种更强的性质。

为了更深入地理解多元函数的可导和可微关系，我们可以从几何和物理两个角度来分析。

从几何角度看，函数的可导性意味着函数在某点上有切平面，而可微性则意味着函数在某点上有切平面，并且该平面是函数在该点上的最佳线性逼近。

从物理角度看，可导性可以理解为函数在某点上的瞬时变化率存在，而可微性则表示函数在某点上的瞬时变化率可以用线性函数来近似。

在实际问题中，多元函数的可导和可微性质往往与问题的解的存在性和唯一性有密切关系。

例如，在优化问题中，可导函数的驻点往往对应于函数的极值点。

在微分方程中，可微性意味着解的存在性和唯一性。

因此，研究多元函数的可导和可微性质对于求解实际问题具有重要意义。

总之，多元函数的可导和可微是数学中常用的概念，它们描述了函数在某点上的变化和逼近性质。

高等数学第17章第1节可微性

第十七章多元函数微分学§1可微性一可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆= □二偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微，则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A ．同样，由上一段已知，若二元函数f 在点),(00y x 可微，则f 在点),(00y x 处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此，在（4）式中令()00≠∆=∆x y ，这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆，且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ，由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出，（5）式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数．类似地，令()00≠∆=∆y x ，由（4）式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数．二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但又有差别．注意2 在上述定义中，f 在点),(00y x 关于x （或y ）的偏导数，f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义．若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y 的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或，也可简单地写作x f ，x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。

多元函数可微性的判定

李小斌
( 陕西工学院基础课部, 陕西汉中 723003)
摘要多元函数的可微性一般情况下是通过讨论偏导数的连续性来进行判断
的, 本文改进了这种方法, 将多元函数连续性的讨论弱化为一元函数连续性的讨论,
从而使得多元函数可微性的判定变的较为简便。
关键词全微分; 偏导数; 多元函数
中图分类号 O172
和
z y
都存在, 且
z y
在 ( x , y ) 关于 x 连续( 或
z x
在
(
x,
y)
关于
y
连续) ,
则
z
=
f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微分。
证明因为
收稿日期: 1999- 03- 16 作者简介: 李小斌( 1972 ) , 男 , 陕西洋县人, 陕西工学院助教。
第2期
f ( x + x , y + y) - f ( x + x , y ) = f y( x + x, y) y + 2 y,
其中 lim x0
1=
0, lim y0
2=
0.
又因为 f y ( x , y ) 在( x , y ) 关于 x 连续, 所以
f y ( x + x , y ) = f y( x, y) + 3,
这两条推论的证明只要利用定理的结论即可得到。
下面我们具体看一个例子。
例试讨论函数
z = f ( x,y) =
x 2y x2 +
y2,
x 2+ y2
0,
0,
x 2+ y2 = 0
在点( 0, 0) 的可微性。

多元函数可微可导连续之间的关系

多元函数可微可导连续之间的关系在微积分学中，函数的连续性、可导性和可微性是非常重要的概念。

对于一个多元函数来说，如果它在某个点处连续，则该点必须存在，且在该点处取值等于该点左右极限的平均值。

如果在某个点处可导，则该点处存在切平面，并且该点沿着任何方向的方向导数相同。

而可微性则强化了可导性的概念，要求函数在该点附近有一个唯一的线性逼近。

总的来说，可微性是比可导性更加严格的概念，而连续性则是更基本的概念。

对于一个多元函数来说，如果它在某个点处可微，则该点处必定存在连续性和可导性。

然而，反过来就不一定成立，即使一个函数在某个点处连续且可导，也不一定在该点处可微。

这是因为，除连续和可导外，可微性还需要满足一个更强的条件，即极限存在且唯一，因此连续性和可导性仅能保证在该点的某个邻域内存在函数值和导数的一阶逼近，但不能保证在该点处存在一个唯一的线性逼近。

在实际应用中，我们对于一个多元函数的连续性、可导性和可微性都需要进行研究和掌握，以便能更准确、完整地描述和分析这个函数的特性。

在具体问题中，我们需要根据实际需要选择不同的概念和方法，以便更好地解决问题。

除了上述的关系，我们还可以从另一角度来理解它们之间的关系。

对于一个多元函数，如果它在某个点处连续，则说明该点及其周围的点与该点的距离很小，函数值之间的差别也很小。

如果在该点处可导，则说明该点沿着任何方向的变化率相同，函数的变化率也比较平缓，更加光滑。

而可微性则说明该点附近存在一个线性逼近，函数的变化趋势是比较稳定的。

因此，我们可以认为连续性、可导性和可微性是函数光滑程度的不同描述方法。

连续性可以看作是函数在空间上的“连通性”或“完整性”，可导性则可以看作是函数的“斜率”或“变化率”，而可微性则是函数的“切线”或“局部逼近”。

这三种概念都是描述函数光滑程度的有效手段，能够帮助我们更加深入、全面地理解函数的特性。

需要注意的是，在实际应用中，连续性、可导性和可微性并不总是同时满足的，因此我们需要根据具体问题选择不同的分析方法，并特别留意函数在可能出现奇点、断点或不可导点的位置、特性和影响。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系多元函数文章针对的是一种常见的数学对象，也就是拥有多个变量的数学表达式或者函数，它可以将多维的信息投影在一个二维或者更高的空间坐标系上，并且将多个变量的取值变化抽象出一种关系，使之可以更加清楚明了地表示出来。

在分析函数时，连续性、可导性和可微性是三个非常重要的概念，因此本文将对它们之间的关系进行简要分析。

首先，要谈连续性时，我们需要搞明白什么叫连续函数。

简单地说，连续函数是指它的图形是连续的，也就是说它的图像中不存在断点，也不会在某一处消失或者断裂，只会在不同的值处取得局部最小值或者最大值。

多元函数的连续性可以用不等式的形式来表示，这样就可以描述函数的连续性在某一值处的情况，以此来分析这个函数的变化趋势。

此外，连续性也可以结合另外两种概念来分析，而形成连续可导函数和连续可微函数，从而来讨论这种函数的性质及其概念。

可导性是另一个重要的概念，它是指函数在点处可以取到一个导数或梯度，而这个导数表示了这个点处函数变化的程度。

因此这是一个描述函数在变化过程中变化速率的概念，而且也是求解函数最大值、最小值和极值点的基础。

因此，要求多元函数的可导性，需要满足一定的不等式条件，以及符合多元函数的导数定义，如此才能得到可导的结论。

最后，可微性是综合连续性、可导性以及多变量函数的概念，它是指函数拥有可微多变量函数的性质，即在某个区域内可以由定积分表示，而在此区域外可以由不定积分表示，这种性质极为重要。

在数学上，可微函数的积分往往用来计算多变量函数的总体变化，这是一种数值上的计算方法，可以从一定的积分求出某一值，从而推导出某个函数的总体变化趋势。

综上所述，多元函数连续性、可导性、可微性是三者之间的关系，它们都是描述一个函数性质的重要概念，它们会极大地影响函数的变化特征。

只有当满足三者之间的条件时，函数才会取得更加满足要求的结果，从而使其变化更加清楚明了。

多元函数的性质在数学上也有着重要的作用，它可以用来分析多个变量之间的关系，从而得出宝贵的结论。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系“多元函数连续,可导,可微之间的关系”是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨这三者之间的关系，以及它们在实际工作中的应用。

首先，在讨论多元函数连续，可导，可微之间的关系之前，我们需要先了解这些概念。

什么是多元函数连续？它是指在一定区间上，函数的值从左至右的变化是连续的。

在函数的定义域上，函数的值从左至右的变化是连续的。

这就是连续性。

可导指的是函数的函数导数是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可导性。

可微是指在某一点上，函数的变化率是存在的，而且可以求出来的。

这就是函数的可微性。

多元函数连续，可导，可微之间存在着一定的联系。

首先，连续性是可导性和可微性的前提，也就是说，函数必须具有连续性，才能说明函数具有可导性和可微性。

可导性是可微性的充分必要条件，也就是说，函数只有在可导的情况下，才可以说明函数具有可微性。

在实际工作中，这三者之间的关系也具有重要的意义。

首先，多元函数连续，可导，可微之间的关系，可以为我们提供一定的参考标准，以便我们能够更好地理解函数的特性。

另外，这些关系还可以为我们提供有用的信息，例如，我们可以通过可导性来推断函数的可微性，而通过可微性来推断函数的可导性。

此外，这些关系也可以帮助我们更好地解决实际问题。

例如，我们可以利用可导性来判断函数在某一点上是否存在极值；我们也可以利用可微性来判断函数的变化率，进而判断函数的极值是否存在。

综上所述，我们可以看出，多元函数连续，可导，可微之间的关系在实际工作中具有重要的意义，在数学中也有着重要的应用。

因此，我们要特别关注它们之间的关系，以便能够更好地理解数学中的知识，从而更好地解决实际问题。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系在数学中，多元函数的连续与可导、可微性是相关的重要概念，它们之间的关系也非常密切。

在本文中，我们将对这一关系进行详细讨论，以期更好地理解多元函数的连续、可导、可微性之间的联系。

首先，让我们来了解多元函数的连续与可导之间的联系。

在数学中，多元函数是连续的，只要它在某一点、多个点上具有连续性，就能定义在一定的空间内，在这个空间内，这个函数的取值也是一致的。

如果该函数具有可导的性质，那么就可以说它点的连续性决定它在某处的变化率，从而确定函数的可导性。

可以说，多元函数的连续性与可导性是密切相关的，一个不能成立就不可能存在另一个。

其次，多元函数的可微与可导之间的关系也是不可忽视的。

在数学中，多变量函数的可微性是讨论多变量函数的重要概念，它指的是某一函数在变化后存在可微分的性质，即当某一函数在某一点变化时，其在该点处的微分方向可以进行求解。

可微性决定多元函数有多大的变化率，而多元函数的可微性也正是由可导性决定的。

可以看出，可微性与可导性之间也是密不可分的，一个不存在就不可能存在另一个。

最后，多元函数的连续与可微之间的联系也是一个重要的话题。

在数学中，多元函数的连续性是一个重要的概念，它指的是某一函数的取值在整个空间内是一致的。

当多元函数具有连续性时，它就具有可微性，也就是说，当某一函数在某一点发生变化时，其在该点处的微分方向可以进行求解。

可以看出，多元函数的连续性与可微性也是密不可分的，一个不能存在就不可能存在另一个。

综上所述，多元函数的连续、可导、可微性之间的关系密切而不可忽视。

多元函数的连续性决定函数的可导性，而可导性又决定函数的可微性，它们之间的关系是相互依赖的，一个不能成立就不可能存在另一个，所以在学习多元函数时，我们应该特别注意它们之间的联系，有助于更好地理解这一概念。

总之，多元函数的连续、可导、可微性之间的关系是密切相关，它们之间的关联是相互依赖的，一个不能成立就不可能存在另一个。

多元函数的连续、可导及可微的关系

多元函数的连续、可导及可微的关系
可微，偏导数一定存在可微，函数一定连续可导，不一定连续。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

扩展资料：
多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。

这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。

一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。

也可以是多个元素，即多值的。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。

要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

多元函数可导与可微与连续的关系

多元函数可导与可微与连续的关系首先，我们来定义这些概念。

对于一个多元函数f(某1,某2,...,某n)，如果存在所有的偏导数，也就是f的每一个变量的导数都存在，那么我们称函数f是可导的。

具体而言，对于每个变量某i，如果它的偏导数∂f/∂某i存在，那么我们称f是可导的。

另一方面，如果多元函数f(某1, 某2, ..., 某n)在某个点(某1,某2, ..., 某n)处的所有偏导数都存在，那么我们说函数f是可微的。

可微性的一个等价条件是存在一个n维向量(a1, a2, ..., an)，使得对于任意的(i=1,2,...,n)，都有f(某1, 某2, ..., 某n) - f(a1,a2, ..., an) = ∂f/∂某i ，(某1, 某2, ..., 某n) - (a1, a2, ..., an)，其中，.，表示向量的模。

换句话说，函数f在这一点附近可以被一个线性函数逼近。

可导和可微的概念相似，它们都涉及偏导数的存在。

不过，可导性与可微性的区别在于逼近的方式。

对于可导性，我们可以用一个线性逼近去刻画，而对于可微性，我们则可以使用一个更一般的线性逼近去刻画。

那么多元函数的可导性和可微性是否意味着它的连续性呢？答案是肯定的。

如果函数f在某个点处可导或可微，那么它在这一点处也是连续的。

这可以通过函数逼近的概念来证明。

对于可导性，我们可以利用线性逼近的特性来证明f在这一点的连续性。

对于可微性，由于我们可以通过一个更一般的线性逼近来刻画函数f，所以它也会自然地导致函数f在这一点处的连续性。

然而需要注意的是，连续性并不意味着可导性或可微性。

即使函数f在某个点处连续，也不能保证它在这一点可导或可微。

这一点可以通过一个经典的反例来说明。

考虑函数f(某)=，某，在某=0处是连续的，但它在这一点却不可导或可微。

综上所述，多元函数的可导与可微与连续之间存在一定的关系。

可导与可微性意味着连续性，但连续性并不意味着可导或可微性。

17.1可微性

第十七章多元函数的微分学§1 可微性教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性）设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B是仅与点0P 有关的常数，()ρρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二、偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三、可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且 ==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

多元函数的可微性

摘要对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处.关键词连续性偏导存在性可微性AbstractFor continuous multivariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be partial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential calculus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to see their similarities, pay attention to different points again.KeywordsContinuity the existence of partial derivation differentiability内蒙古财经学院本科毕业论文多元函数的可微性作者姚淑艳系别统计与数学学院专业数学与应用数学年级 09 级学号 902091125指导教师王君导师职称一、绪论在这里我们讨论多元函数的可微性，多元函数是一元函数的推广，所以它保留着一元函数的一些性质，由于自变量有一个增加多个，就有了某些新的内容.以前学习的时候，我们主要学习了一元函数，对于函数()0y f x =在x 极限存在、连续、可微，以及这三个概念之间的关系.例如它们之间有一些性质：可微必连续，但连续不一定可微，连续必有极限，但有极限不一定连续.多元函数微分学是我们在大学时学习中的一个重点和难点，它涉及的内容是微积分学在多元函数中的体现，有关多元函数的连续性，可微性及偏导数存在之间的关系是我们在学习中容易发生模糊和不易把握的一个知识点. 在学习的时候容易混淆它们之间的关系。

多元函数可微

多元函数可微1.，与单变量函数可微性相类似，多元函数可微也有两种基本情况：(1)若各个变量的偏导数存在，则为多元函数的可微; (2)若各个变量的偏导数均不存在，即为多元函数的不可微。

因此，两者有着密切的关系，可以通过两者判断其它条件是否满足。

2. 第一种情况：对于实际意义上的多元函数来说，单个变量的偏导数存在，仅仅表示出了该函数在这些变量取值范围内的局部可微性。

当然，这只是就解析表达式或极限形式来看，但这种局部可微性是不能用于讨论函数在整个复平面上的局部性质的。

例如，如果x的偏导数全部为零，那么函数也在整个复平面内局部可微。

3. 对于实际意义上的多元函数来说，各个变量的偏导数均不存在，而且没有自变量，那么该函数就无法求得一个具体的值。

这种情况，称为该函数在复平面内不可微。

对于有自变量的多元函数来说，只要把自变量加到每一个偏导数中去，即得出一个含有许多个自变量的函数。

根据复平面上的可微条件，利用多元函数的求导法则，就可求出该函数在复平面内的全部自变量值。

4. 如果说，在复平面内不可微的多元函数，只是在某些特定的局部范围内不可微，那么我们就说，对于这样的多元函数来说，只要选择合适的方法，就可以得到在任何范围内的可微性。

5. 多元函数可微性的主要特征是：如果多元函数有一个局部可微分量，则在整个多元函数的定义域内的任何地方都有一个与该点邻近的局部可微分量，并且其值均可微。

总之，多元函数可微性包含了两方面的内容：(1)对于实际意义上的多元函数来说，只要知道该函数在这些变量的局部取值范围内的可微性，也就确定了该函数在整个复平面上的可微性; (2)对于实际意义上的多元函数来说，只要知道该函数在某些特定的局部范围内的可微性，也就确定了该函数在整个复平面上的可微性。

多元函数可微性的概念，是建立在函数可微的概念基础上的，由于实际意义上的多元函数可微性是多元函数性质中最重要的性质，也是应用最广泛的性质，所以作为一种思想方法和工作方法被引入初等函数论中来。

数学分析第十七章多元函数微分学

1.04
2.02
f (1.04,2.02)
f (1,2) f x (1,2)x f0 0.02 1.08.
课堂练习: P116, 12
小结
1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；
这个例子说明: 函数即使在一点偏导数存在, 也不一定在该点可微 (但一元函数在一点可微与导数存在等价 ).
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2). 作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
定理 1 7.2(可微的充分条件) 若函数f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数, 且f x与f y在点( x0 , y0 )处连续, 则函数f在该点可微.
因此, f在( x0 , y0 )的全微分(2)可唯一地表示为 df |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y.
因 dx x, dy y, 故全微分可写为 dz |( x , y ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
下面证明过P0的平面 Z z0 f x ( x0 , y0 )( X x0 ) f y ( x0 , y0 )( Y y0 ) 就是z f ( x, y )在P0的切平面。事实上，
h z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 1 f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 )
它是关于x的一元函数z f ( x, y0 )在x x0处的导数.

多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点一、向量值函数向量值函数是指函数的取值为向量的函数，常用符号表示为r(t)或F(t)。

向量值函数的微分即为向量的微分。

二、多元函数的连续性与可微性多元函数在点(x0,y0)连续的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)连续；多元函数在点(x0,y0)可微的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)可微。

三、多元函数的偏导数多元函数f(x,y)对x的偏导数记为∂f/∂x，对y的偏导数记为∂f/∂y。

偏导数可以通过限制一个变量，将多元函数转化为一元函数进行求导。

四、多元函数的微分与高阶导数对于多元函数f(x, y)，其微分为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。

高阶偏导数的计算可以通过多次对一个变量进行偏导来得到。

五、多元函数的极值与最值多元函数的极值包括极大值与极小值，可以通过偏导数的方法求得。

为了确定是极大值或极小值，还需要进行二阶偏导数的判别。

六、多元函数的不定积分多元函数的不定积分即求解原函数，其中一个变量看作常数即可。

不定积分具有可加性，也可以用变量代换等方法来简化计算。

七、多元函数的定积分多元函数的定积分是指对多元函数在一个区域上的积分。

定积分的计算需要根据具体的区域进行定积分化简。

八、偏导数的几何意义与方向导数偏导数的几何意义是函数在其中一点上沿各个坐标轴方向的切线的斜率。

方向导数是函数在其中一点沿其中一方向的变化率。

九、梯度与梯度的性质多元函数的梯度是一个向量，表示的是函数在其中一点上沿着变化最快的方向。

梯度具有线性和方向导数的性质。

十、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的极值问题的方法。

通过引入拉格朗日乘子，将问题转化为无约束条件的极值问题。

综上所述，多元函数微积分是研究多变量函数的微积分学科，其知识点包括向量值函数、多元函数的连续性与可微性、多元函数的偏导数、多元函数的微分与高阶导数、多元函数的极值与最值、多元函数的不定积分、多元函数的定积分等。

多元函数可微、可导、连续之间的关系

多元函数可微、可导、连续之间的关系首先，我们来讨论可微和可导的关系。

一个函数在某一点可微意味着它在该点附近有一个线性的近似。

具体来说，如果一个函数在点(a,b)可微，那么它在该点附近有一个线性逼近f(某,y)≈f(a,b)+f_某(a,b)(某-a)+f_y(a,b)(y-b)。

其中f_某(a,b)和f_y(a,b)分别表示函数在点(a,b)处对某和y的偏导数。

这里的近似对于(某,y)离(a,b)很近的点都成立。

而一个函数在某一点可导表示当自变量的某一个分量变化时，函数的变化率存在且唯一、具体来说，如果一个函数在点(a,b)可导，那么它在该点沿着任一方向的偏导数都存在。

这里的偏导数可以看作点(a,b)处的切线斜率，反映了函数在该点附近的变化趋势。

因此，可微性不仅说明了函数在点附近的近似性质，而且还说明了它在该点附近的变化趋势。

可微性是可导性的充分条件，而可导性是连续性的充分条件。

也就是说，如果一个函数在某一点可微，那么它在该点必定可导；如果一个函数在某一点可导，那么它在该点必定连续。

这是因为可微性和可导性都要求函数在该点附近存在一个线性的近似，而连续性则不要求函数在整个定义域内的变化趋势一致。

因此，可微性和可导性的要求更加严格，包含了连续性的要求。

总结起来，多元函数可微、可导和连续之间的关系可以用下面的图示表示：连续性→可导性→可微性。

也就是说，连续性是最基本的性质，可导性是在连续性的基础上要求函数在其定义域内的变化趋势唯一，可微性是在可导性的基础上要求函数在某一点附近存在一个线性的近似。

这些概念之间的关系在数学分析中有着重要的应用，可以用来研究函数的性质和进行函数的近似计算。

多元可微的定义与理解

多元可微的定义与理解
多元可微是指一个多元函数在某个点上的所有偏导数都存在且连续。

具体来说，设函数 f(x1, x2, ..., xn) 是定义在 n 维欧几里得空间上的函数，如果对于该函数的任意一个点 P(x1, x2, ..., xn)，其各个偏导数∂f/∂xi 都存在且连续，那么我们称函数 f 是在点 P 处可微的。

从几何的角度来理解，多元可微意味着函数在某个点上的图像具有光滑的切平面。

这个切平面可以近似地描述函数在该点附近的局部行为。

而偏导数则表示了函数在每个坐标轴方向上的变化率，因此多元可微也可以解释为函数在该点处沿着每个坐标轴方向上的变化率都存在且连续。

多元可微的定义是基于偏导数的存在和连续性，因此函数在某个点上的可微性与函数的光滑性和连续性密切相关。

如果一个函数在某个点上不可微，那么该点可能存在一个或多个方向上的变化率不连续或不存在。

总结来说，多元可微的定义与理解可以从代数和几何两个角度出发。

代数上，多元可微指函数在某个点上的所有偏导数都存在且
连续；几何上，多元可微表示函数在该点附近的图像具有光滑的切平面，函数沿着每个坐标轴方向上的变化率都存在且连续。

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系证明

多元函数可微,连续,偏导数存在的关系证明多元函数的可微性、连续性和偏导数存在性是研究多元函数的三个重要的性质。

它们之间存在着一定的联系和关系。

本文将证明多元函数的可微性、连续性和偏导数存在性的相关性。

一、多元函数的可微性多元函数的可微性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处的偏导数存在，且它在这一点处有连续的增量（即对任意小的增量Δ x1, Δ x2, …, Δ xn，都存在有限的增量Δ f 与它们的乘积之比趋于常数），则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处可微。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处连续，即对于任意的以 P0 为中心、半径为ε 的球面区域，都存在一个正数δ，使得当 |x1–x10|, |x2–x20|, …, |xn–xn0| 均小于δ 时，有|f(x1,x2,…,xn)–f(x10,x20,…,xn0)|<ε，则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处连续。

三、多元函数的偏导数存在性多元函数的偏导数存在性是指，若函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处的偏导数均存在，则f(x1,x2,…,xn) 在 P0 处的偏导数存在。

四、证明多元函数可微性和连续性的关系假设多元函数f(x1,x2,…,xn) 在点P0(x10,x20,…,xn0) 处显然是可微的，则其在 P0 处的偏导数存在，即：∂f/∂x1 = lim(Δf/Δx1)∂f/∂x2 = lim(Δf/Δx2)…∂f/∂xn = lim(Δf/Δxn)其中Δf 为函数值在 P0 和P1(x1,x2,…,xn) 处的差，Δx1,Δx2, …, Δxn 为x1, x2, …, xn 在 P0 和 P1 处的差。

对于可微的f(x1,x2,…,xn)，由定义可知：Δf = ∂f/∂x1 Δx1 + ∂f/∂x2 Δx2 + … + ∂f/∂xn Δxn +ε1(Δx1)^2 + ε2(Δx2)^2 + … + εn(Δxn)^2其中ε1, ε2, …, εn 为小量，且当Δx1, Δx2, …, Δxn 无限趋近于 0 时，它们趋近于 0。

多元函数的可微性

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关于多元函数可微性充分条件的说明

多元函数的可导和可微关系

高等数学第17章第1节可微性

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多元函数可微可导连续之间的关系

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17.1可微性

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数学分析第十七章 多元函数微分学

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