多元函数的可微性

多元函数的可微性

摘要：多元函数微分学是一元函数微分学的推广，也保留了一些一元函数微分学的许多性质。但是由于自变量的增加使之产生了某些本质上是新的内容。

关键词：可微、多元函数、偏导

在一元函数中,可微性与可导性是等价的,但在多元函数中可微可以保证各偏导数都存在,而各偏导数都存在并不能保证可微,即偏导数都存在只是可微的必要条件而非充分条件。本文总结了一些可微的必要条件而非充分条件和充要条件。

一、全微分的定义：

函数(,)u f x y =在点(,)x y 全微分的定义为：若函数(,)u f x y =的全改变量u ∆可以

表示为(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+且其中A 、B 与x ∆，y ∆无关而仅与,x y 有关，则称函数(,)f x y 在点(,)x y 可微，并称A x B y ∆+∆为(,)f x y 在点(,)x y 的全微分，记为du 或(,)df x y 。

可微的判别方式：0()lim 0ρορρρ→==(,)f x y 在点(,)x y 可微。

二、可微的必要条件而非充分条件：

定理1：若(,)f x y 在点P (,)x y 可微，则(,)f x y 在点(,)x y 的偏导存在，且(,)x f x y A =、(,)y f x y B =。

证明：(,)(,)u f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+且

0(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x

∆→+∆-=∆

0lim x A x A x

ο∆→∆+==∆ 同理：(,)y f x y B =

定理2：若(,)u f x y =在点P (,)x y 可微，则必在该点连续。

证明：因为(,)u f x y =在点(,)x y 可微，所以有

(,)(,)u f x x y y f x y ∆=+∆+∆-

(),A x B y ορρ=∆+∆+其中

由此立即可得

00lim 0x y u ∆→∆→∆=

所以(,)u f x y =在点P (,)x y 连续。

定理3：若(,)f x y 在点P (,)x y 可微,则(,)f x y 在点P (,)x y 沿着任何方向l （如图）的方向导数存在，并且

(,)cos (,)cos x y f f x y f x y l

αβ∂''=+∂ y l x αβ其中、分别是方向与轴、轴所成的角。

证明：因为(,)f x y 在点P (,)x y 可微，所以

(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ορ''+∆+∆-=∆+∆+（），

于是 (,)(,)(,)(,)x y x y f x x y y f x y f x y f x y ορρρρρ

∆∆''+∆+∆-=++（）（） 因为 cos ,cos ,x y ραρβ∆=∆=（如图所示），

所以当P '趋于P 时，即当0ρ→时，由上式取得极限，即得

lim(((,)(,)))f f x x y y f x y l ρρ→∂=+∆+∆-∂ (,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ''=+。

三、可微的充要条件：

定理4：若(,)x f x y '及(,)y f x y '在点P (,)x y 及其某一领域内存在，且在这一点它们都连续，则函数(,)u f x y =在该点可微。

证明：我们把u ∆写成如下形式，

(,)(,)u f x x y y f x y ∆=+∆+∆-

[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆-

由于假设(,)x f x y '及(,)y f x y '都存在，所以当,x y ∆∆充分小时，可以把中值定理分别应用于每一个差，就有

12(,)(,)y x u f x x y y y f x x y x θθ∆=+∆+∆∆++∆∆

12(01,01)θθ<<<<

又由于假设(,)x f x y '及(,)y f x y '都在点P (,)x y 连续，因而有

12(,)(,),

(,)(,),

y y x x f x x y y f x y f x x y f x y θαθβ+∆+∆=++∆=+

且0,0x y ∆→∆→时，,αβ都趋于零。于是 (,)(,)x y u f x y x f x y y x y βα∆=∆+∆+∆+∆

当0,0x y ∆→∆→时， 220x y

x y

βα∆+∆→∆+∆

所以函数(,)u f x y =在该点可微。 定理5：若(,)x f x y '及(,)y f x y '在点P (,)x y 及其某一领域内存在，且(,)f x y 在点P (,)x y 沿着任何方向l （如图）的方向导数存在，并且

(,)cos (,)cos x y f f x y f x y l

αβ∂''=+∂ y l x αβ其中、分别是方向与轴、轴所成的角。则函数(,)u f x y =在该点可微。

证明：把(,)u f x y =看成只以x 有关的函数()p x ，即y 看成常数，所以有(,)f x y 在点

P (,)x y 沿着任何方向l （如图）的方向导数就是()p x 关于x 的导数，且cos 1α=，2()()(,)(,)(00),x x p x x p x f x x y f x y x δθδδ''+∆=+=+∆=+→→当时，所以有()(,)x p x f x y '=在有界区域内连续，即(,)u f x y =关于x 的偏导连续，同理(,)u f x y =关于y 的偏导连续。在由定理4可得函数(,)u f x y =在该点可微。

参考文献：

[1]、赵宝《多元函数可微分的充分必要条件》论文、万方数据库1993年第23卷第4期

[2]、复旦大学数学系陈传章等编. 数学分析下册. 第三版. 北京:高等教育出版社，2007.4

[3]、郭潇《关于多元函数的几个问题》论文、万方数据库1997 年12 月第18 卷第4 期