§8-1一元稳定流动基本方程16011

工程流体力学多媒体课件第七章 非牛顿流体运动规律 与应用石油与化学工程系 孟士杰引例大家知道，空气和水是我们生活中最为常见的流体。

然而同属于流体的空气和水它们在运动时有何差异？具 体而言，气体的运动与液体相比有何不同？其遵循的规 律是什么？搞清这些问题有助于解决天然气在生产、加 工、储存与输送过程中所遇到的各种实际问题。

对气体而言，具有明显的可压缩性，即气体在流动 时密度为变量。

也就是说，气体运动是在考虑压缩性的 条件下，研究气体流动的基本规律以及气流与物体之间 相互作用的问题。

正是由于气体本身具有这些性质，从 而使气体流动的规律与流体力学给出的不可压缩流动的 理论存在明显的差异。

主要内容第八章 气体动力学基础与应用§8-1一元稳定流动基本方程 §8-2滞止参数、声速、马赫数 §8-3气体流动的计算§8-1一元稳定流动基本方程主要内容动量 气体状态 能量方程 连续性 方程式 方程式 方程§8-1一元稳定流动基本方程一元稳定流动：是指垂直 于流动方向的各截面上， 流动参数（如速度、压力 、密度和温度等）都均匀 一致且不随时间变化的流 动，也就是说流动参数只 是一个空间坐标的函数。

气体在实际管道中的流动，由 于气体与固体壁面间的摩擦和 传热作用，气体的诸流动参数 在每个截面上都是不均匀的， 不是真正的一元流动。

但在工 程上，对于缓变流问题，可假 定用各截面物理参数的平均值 来代替各截面的参数，近似地 当作一元流动问题来处理。

一、气体状态方程式理想 气体状态方程 微分方程dp d  dT   p ＝  RT p  T式中： 上式表明理想气体在任一平衡 R——气体常数，J/（kg· K）。

对空气 状态时，压力、密度、温度三者之 R＝287.06J/(kg· K)； 间的变化关系。

若已知其中任意两 p——压力，Pa； 个参数，便可求得第三个参数。

对实际气体的状态式为： T—— 绝对温度，K。

p =ZRT式中：Z——实际气体的压缩系数。

二、连续性方程等截面管流 微分方程式变为： 律，流束任意有效断面处的质量流量在等截面管流中dA=0，则上式 在一元稳定管流中，根据质量守恒定du  0 为常数，即M1 = M2，则  ud1u1A1 =2u2A2由上式可以看出，对于可压缩 其微分方程式为： 一元稳定管流，气流速度的变化必 d du dA   0 然引起流体密度的变化；反之亦然。

u A三、能量方程能量方程是热力学第一定律应用于流 动气体所得到的数学表达式，它表 达了气体在流动过程中能量转换的 关系。

在理想气体一元稳定流时，任取一微 段ds管流，如图所示。

两端面上的 p 压力分别为p和 p  s ds ，单位质 量力在s轴上的分量为S。

不考虑阻 力，列出诸力的平衡方程：  p p  dA  ( p  ds )dA   dAds  S  s dv   dAds dt 上式称为一元欧拉平衡方程。

对于稳定流动：  p  dp  s dsds p dAp p  s dsdASdv dv ds dv    v dt ds dt ds 对于可压缩的流体－气体，重量轻， 流动的高差范围小，压力和流速的 变化占主导地位，因此可以忽略重 力的作用，S=0，上式变为：1 dp dv 1 v  0  dp  vdv  0  ds ds  积分： 1 dp  vdv  常量   对这个方程进行积分，要看压力与密 度之间的变化关系，这就和气流的 热力学过程有关。

二、连续性方程1 p pC  为单位质量流体的内能， p  i  C  T  对一元流任意两断面： 绝热过程有 ： p C  等温过程中：  RT 等温流动中，任意两断面间参  k p1 k C  (C  C ) p1 2 ． 气 体 元 流 等 绝 温 热 过 流 程 动p V 2  p1  v12 p2 v2 k 其证明如下： k 数变化关系，服从等温流动的 1      p dp C p p1 p g k 1 1g p k   1 g  2 g k1 1 代入 将 kC 中积分： p  1  2 k 2 RT    k C 1p k   伯努利方程式为：  ( C  C )    k  1 k  1 p V 气体绝热指数k＝1.4 C （干饱和蒸 dp pk pd2 2 ＝ C  C ln p 1 C  T  e k 1.135 ；过热蒸汽 kV ＝ v vC p p 汽  用 i 代替 ，伯努利方程为：  ( C  )  T  式中， k = C /C ，为定压比热与 1 2 p V 内 pk  v ln p1    1 ln p  Cp  C 2V  g 2 g2  g 2g  1.33）。

于是对空气来说， 定容比热之比，称为绝热指 1 v2 dp C 将上式代入式 2 v dV v  常量  v 常量   绝热流动伯努利方程为： p1 i  v  p数。

则 ： 2 1  ln  22  中  12 v g p2 pv 2 g 1 k 绝热流动伯努利方程式的能量意 任意两断面上的等式又可写作  ： d p p    k k常量  C ln3.5 p  常量  C p d p   2 2  义是：理想气体稳定流动，  2  1  v2 v2 1 i1  2  i2  k  p 气流流束单位质量所具有的 p v 2 2 绝热流动的能量方程为：  C 代入： 再将 3.5   常量    gv 2 2 g 机械能与内能之和为一常数。

 上 为压力能与内能之和： k式中 pi 2    常量 或 p 1  p v k p i(J/kg) 1 p 为参 气体动力学又常以焓 绝热流动的伯努利方程，不仅用 k lni p  2  常量      2 k  1  k 1  数，分析流动。

从热力学中 于无摩擦的绝热流动，而且 2 k pp v    常量 等式两边同除以 g： 知： i=C 也适用于有粘性的实际气流 式中， 为单位质量流体的压力 pT，R=Cp-Cv，则 ： k 1  g  22 gp 能； 中。

v  常量 ln p  g 2g四、水头损失hL的计算【例8－1】如图所示，空 气自喷嘴高速喷出，使 周围煤气很好地与空气 混合。

在1—1断面上测 得：p1=1200kPa， v1=100m/s，T1=300K。

求 2—2断面上v2为多少? 因为空气R=287J/（kg· K），k=1.4，同一 断面上可应用气体状态方程求得1p1 1200 103 1    14(kg / m3 ) RT1 287  300不同断面可用绝热过程方程  kp  C求得2：3 1 p2 1 1000  10  2  1 ( ) k  14  ( )1.4 3 p1 1200 10解：因为气流速度较高喷嘴较短，来不 及与外界进行热交换，故可视为绝 热流动，忽略阻力损失。

则根据理 想气体绝热流动伯努利方程式： p1 v12 p2 v2 2 3.5   3.5  则 1 2 2 2v2  7( p1 14  0.08330.714  12.2(kg / m3 )则：120 0 103 1000 103 v2  7  (  )  1002 14 12.2  7  0.4 104  100 2  195 ( m/ s)12p2)  v12对流束而言，根据动量定律作用于流束的冲量等于其动量的变化：式中：P ——作用在质量m 上的合外力；u ——速度；d t ——力P 作用的时间。

根据上式动量方程，在流场中任取一流束，选取1—1、2—2两个断面，在流束中任取一质点A ，其质量为m ，速度为u ，现建立作用在x 轴线上的投影与动量在同一轴线上的投影之间的关系。

根据上式，在dt 时间内，作用在1—2块流体上一切力的冲量在x 轴方向上的投影之和必等于动量之和在该轴线上的变化：P x d t = d ∑mu x()Pdt d mu =0zA xy u xu yu z x yz在dt时间内，流体由1—2的位置移动到1'—2'，当流体运动为稳定流时，1'—2中的动量由开始到终止时，其动量总和并没有变化，动量总和的变化只等于2—2'与1—1'两部分的动量差，所以d∑mux = (ux2－ux1)dm式中dm是1—1'或2—2'段中的流束质量，ux2和ux1为2—2，1—1两断面处流速在x轴上的投影。

这段流束质量dm等于每秒流过的流体质量m 乘以时间间隔dt，即dm = mdt所以d∑mux= (u x2－u x1)mdt把上式代入式Pxdt = d∑mu x得：P x dt = (u x2－u x1)m dtzAx yu xu yu zxyz同理对y 、z 轴有：P x dt = (u x2－u x1)m dt P y dt = (u y2－u y1)m dt P z dt = (u z2－u z1)m dt上式就是流体动力学中的动量方程。

其重要意义在于：用动量方程求解作用力时，只需已知所取定的两个控制面上的流动参数，无需知道两控制面之间的实际过程。

zA xyu xu yu z xyz。