势箱中的粒子的薛定谔方程及其解

长,宽,高分别为a,b,c 的三维势箱,Sch.方程为
2 2 2 [ 2 ( 2 + 2 + 2 ) + V ( x, y, z )]ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) y 8π m x z h2
设
Ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) E = E x + Ey + E z 8π 2 m 代入Sch.方程,并以X(x)Y(y)Z(z)除之,两边乘 2 h
1 2 X (x) 1 2Y ( y) 1 2 Z (z) 8π 2 m + + = 2 (Ex + Ey + Ez ) 2 2 2 X (x) x Y ( y) y Z (z) z h
因为x,y,z是三个变数,要满足上式,必须下列三式同时成立
d 2 X ( x) 8π 2 mE x + X ( x) = 0 2 2 dx h 2 8π 2 mE y d Y ( y) + Y ( y) = 0 2 2 dy h
Ψ(x,y,z)需要三个量子数nx, ny,nz来同时描述.
对于a = b = c 的三维势箱,上式变为
h2 2 2 E= (n x + n y + n z2 ) 8ma 2
量子数nx, ny,nz不同的状态可能具有相同的能量数值, 例如量子数分别为2,2,3和1,0,4的两个状态,平方和 均为17,即这两个状态属于简并状态.
i 8π 2 mE i 8π 2 mE ψ ( x) = A exp( x) + B exp( x) h h
特解
(e±iθ=cosθ ± isinθ)
8π 2 mE 8π 2 mE x + c 2 sin ψ ( x) = c1 cos x h h
利用波函数的连续性
limψ ( x ) = 0
x →0
8π 2 mE sin l=0 h
正弦函数只有在0,±π, ±2π, ±3π… 时才会为零,
8π 2 mE l = nπ h
能级公式
n2h2 E= 8ml 2
n=1,2,3,
将 得
8π mE l = nπ h
2
8π 2 mE x 代入 ψ ( x) = c 2 sin h
nπ x l
ψ ( x) = c 2 sin
d 2 Z ( z ) 8π 2 mE z + Z ( z) = 0 2 2 dz h
三个Sch.方程解的方法同一维势箱类似,其解的结果为
X ( x) =
n x πx 2 sin a a
nx h 2 Ex = 8ma 2
2
nx=1, 2, 3, ny=1, 2, 3, nz=1, 2, 3,
n y πy 2 sin Y ( y) = b b
由Ψ可以了解体系的其他性质.
⑴ 粒子在箱中的平均位置
坐标位置的算符[x] = x,因为[x]Ψ= xΨ≠ cΨ,[x]无本 征值.
l 2 * 2 nπx dx = < x >= ∫ψ n xψ n dx = ∫ x sin l 0 l 2 0
l l
⑵ 粒子的动量沿x方向的分量
[ px ] =
h 2πi x h d h d 2 nπx h nπ ψ ( x) = [ p x ]ψ = sin = 2πi dx 2πi dx l l 2πi l
通式 R2N-(CH=CH-)rCH=NR2+
E h[(r + 3) 2 (r + 2) 2 ] h(2r + 5) = = ν= 2 h 8ml 8ml 2
8ml 2 c 3.30l 2 3.30(248r + 565) 2 = = λ = c/ν = pm h(2r + 5) 2r + 5 2r + 5
三.量子力学处理问题的一般方法
1. 2. 3. 写出体系的哈密顿算符[H](主要是势能算符); 写出Sch.方程; 解Sch.方程.解Sch.方程和通常解微分方程差不 多,解Sch.方程时,把 Ψ 当作未知函数E 作为参 数看待. 4. 由所得Ψi就可知道体系的几率分布以及体系的其 它物理性质.
1 4
Z ( z) = n z πz 2 sin c c
Ey =
ny h2 8mb 2
2
2
nz h 2 Ez = 8mc 2
Ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)=
2
n y πy n x πx n z πz 8 sin sin sin abc a b c
2 2 n x n y n z2 h ( 2 + 2 + 2) E = Ex+Ey+Ez= 8m a b b
2. 求解结果的讨论
⑴ 能量量子化
相邻两能级的间隔
E = En+1-En (n + 1) 2 h 2 n2h2 = - 2 8ml 8ml 2 h2 = (2n + 1) 2 8ml
⑵零点能效应 ⑶波函数与几率密度
能量量子化,零点能效应和粒子没有运动轨道只有几 率分布,称为"量子效应".
3. 一维势箱体系的各种物理量
n=1, 2, 3,
综上所述,一维势箱的波函数和能级公式如下:
ψ ( x) =
2 nπx sin l l
0＜x＞l x≤0, x≥l n=1, 2, 3,
Ψ(x)= 0
n2h2 E= 8ml 2
这里得到许多Ψ和许多E,我们用量子数n来标志它, 每个Ψn代表可能存在的一种状态,En 代表Ψn状态下的能 量.
2 nπx cos l l
[px]Ψ≠ cΨ ,表明Ψ不是[px]的本征函数,Ψ对 于[px]无本征 值.
ψ dx = 2 l sin nπx hi d sin nπx dx px = ∫ ψ P n ∫0 l 2π dx l 0 l l nπx ih nπx 2 nπx l = [(sin ) 0 ∫ sin( )d sin( )] 0 πl l l l 2 nπx sin ( ) ih l l = [0 0] πl 2 =0
c2由归一化条件得出,即∫|Ψ(x)|2dx=1
ψ ( x ) 2 dx = ∫
0 nπ
l
2 c 2 sin ∫ 0
l
2
nπx dx l
=
∫c
0
2 2
l nπ
nπ
sin
2
y dy
2 c2 = l
1 2 l 2 l = c2 ∫ 2[1 cos(2 y)]dy = c2 2 = 1 nπ 0 归一化的波函数为 nπ 2 ψ ( x) = sin x l l
这表明箱中粒子的px2有确定的值
2 1 2 px n2h2 E = mv x = = 2 2m 8ml 2
n2h2 4l 2
例1.丁二烯的离域效应
2 × 2h 2 = 4 E1 Ea = 2 8ml
E( b )
2h 2 + 2 × 2 2 × h 2 10 = = E1 2 8m(3l ) 9
例2. 花菁染料Байду номын сангаас吸收光谱
(烯基发色团(-CH=CH)的平均长度为248 pm,实验测出两段 共外延伸的长度为565pm, 故箱总长 l = 248r + 565 pm) r 1 2 3 λ max(计算值)/pm 311.6 412.8 514.0 λ max (实验值)/pm 309.0 409.0 511.0
二. 三维势箱
l * n x
⑶粒子的动量平方px2值
px2的算符
d2 2 [ px ] = 2 2 4π dx h
d2
2 2 nπx nπx sin cos d h2 h2 l l l l nπ 2 [ p x ]ψ n = 2 = 2 2 dx l 4π 4π dx h 2 n 2π 2 2 nπx n 2 h 2 = = sin ψn 2 2 2 l l 4π l 4l
1-3 势箱中的粒子的薛定谔方程及其解
一. 一维势箱
V=∞
V=0 V=∞
1. 一维势箱Sch.方程及其解
位能函数: V(x)=0, 0<x<l 箱外 V ( x ) = ∞, x ≥ l , x ≤ 0 箱内
h2
Ψ(x)≡0
哈密顿算符[H] 薛氏方程
d2 8π 2 m dx 2 h2 d 2 2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2 8π m dx
8π 2 mE 8π 2 mE limψ ( x) = lim{c1 cos x + c2 sin x} x →0 x →0 h h = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
即c1=0
8π 2 mE ψ ( x) = c 2 sin x h
limψ ( x ) = 0
x →l
8π 2 mE 8π 2 mE x = c 2 sin limψ ( x) = lim c 2 sin l=0 x →l x →l h h
第一章习题 6 7 9 11 12 18 21
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