典型信号的傅里叶变换

1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos
0t
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
同理
sin0t jπ 0 jπ 0
频谱图
第
20
页
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
§附： 典型信号的傅里叶变换 A 非周期信号
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
一．矩形脉冲信号
第
2
页
f t
F
2
Ee j
t
dt
2
E
j
e j t
2
2
E t
2O 2
j
j
E e 2 e 2
. 2j
sin
E
2
2
2
E Sa
幅度频谱： F E Sa
sin0t 频谱图:
F
π
π
0 o
0
2
0
0
o
2
二．一般周期信号的傅里叶变换
第
21
页
设信号周期: T1
2π
1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fT t
F n1 e jn1t
n
其傅氏变换(用定义)
FT F fTt
F
F
n1
e
jn1t
F
n1 F ejn1t
F n1 2π n1
j
E
lim
2
sin
2π
E lim
π
sin
2π E
第
7
页
F
2π E
O
E 2π E
时域无限宽，频带无限窄
lim
π
Sa
(
)
四．符号函数 不满足绝对
第
8
f
(t
)
sgnt
1, 1,
t 0 可积条件 t0
sgn( t )
1
e t
页
处理方法：做一个双边函数
f1t sgnt e t ，求F1 ，
频率范围无限小,幅度为。
三．如何由F0 求F n1
第
23
页
即单个脉冲的F0 与周期信号fT t 的谱系数F n1 的关系
f0 t
fT t
T o
T
t T
o
2
2
T
t
T
设 f0 t F0
F0
2 T
f0
t
ejt d t
(1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
e t O 1
t
求极限得到F 。
F1
0 e tej t d t
e t e j t d t
0
1
j
1
j
j2 2 2
F
lim 0
F1
lim 0
j2 2 2
2
j
频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F
2 2
2
F 是偶函数
2
arctan
0
π 2
非周期信号：
f t 傅里叶变换 F 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非周周期期
统一的分析方法：傅里叶变换
一．正弦信号的傅里叶变换
第
19
页
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
2π F n1 n1
几点认识
第
22
页
FT 2π F n1 n1
1 fT t 的频谱由冲激序列组成;
位置 : n1 谐波频率
强度 : 2π F n1 与F (n1 )成正比 , 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为F 表示的是频谱密度。
周期信号的F 只存在于 n1处,
2
2
相位频谱：
0 π
4nπ 22n 1π
22n 1π 22n
2π
n 0,1,2,
频谱图
F
E
2π
幅度频谱
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π 0
2π 4π
π
第
3
页
F E Sa
2
频宽：
B
2π
或B f
1
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二．单边指数信号
d
t
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
频谱图
第
11
页
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
一．冲激函数
第
13
页
F ( ) t ej t d t 1
ej t
t0
j j
三．单位阶跃函数
ut 1 1 sgnt
22
1 2
O
t
1 π
2
1 sgnt
2
1
2
t
O 1
2
1 sgnt 1
2
j
第
16
页
ut
1
O
t
u(t) π 1
j
F
π
O
O
π
O
C 周期信号的傅里叶变换
第
18
页
周期信号：
f t 傅里叶级数 F n1 离散谱
,
π
2
第
5
页
F
E
O
π2
O π 2
三．直流信号
f (t) E, t
E 2π E
f t
E
第
6
页
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
t
推导
lim F
Ee j t d t
e j t
E
lim
j
lim E
e j e j
π 2
,
,
是奇函数
0 0
F ( )
2
O
π 2 O π 2
第
9
页
五．升余弦脉冲信号
第
10
页
f
t
E 2
1
cos
πt
0 t
f t
E
E
2
F f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos
π
t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
f
t
Ee
t
t0
0
0 t 0
F F f (t)
Ee t u t ej tdt
Ee j t d t 0
E
j
f t
E
O
第
4
页
t
频谱图
幅度频谱：F E
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱： arctan
0,
0
,
π
2
1 T1
T
f 2
T T 2
t e jn1t d t
(2)
第
24
页
T
F0
2 T
f0
t
ejt d t
(1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
T
2 T
fT
t
e jn1t d t
2
(2)
比较式(1),(2)
f0 t
n1
fT t
在
T 2
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
比较
(t) 1
( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
第
14
页
F
1
O
1 f t
2π
O
t
二．冲激偶的傅里叶变换
第
15
页
f
t
td t
f
0
F t t ej t d t