典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
傅立叶变换(FT)
t
（a）FS项数越多，合成波形误 差越小； （b）低频分量组成方波的主体，高频分 量主要影响脉冲前沿； （c）不论n为多大，在间断点总有9% 的 偏差，称为吉布斯现象。
n=5 n=3
9% E
0
/2
t
§2-3 非周期信号频谱分析— 傅里叶变换（FT）
2.3-1 FT 定义 周期信号的频谱谱线的间隔为 周期信号的频谱谱线的长度为
(4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号 带宽定义为=0～2/ 这段范围，即 B=2/ 或 f B=1/
(5) 时域参数对频谱的影响
f(t)
E
2E 5
傅里叶频谱
cn
T1=5
- /2 0 /2
T1
2 T1
t
E 5
0
2/
4/
6/
- /2 0 /2
f (t )e jn t dt
1
F (ω) lim F (nω1 )T1 lim
T1
F (ω) f (t )e jt dt
T 1 2 T1 2
f (t )e jn t dt
FT变换
f(t)
F(n1)
傅立叶变换FT
F(0)
…
-T1 - /2 0 /2 T1
1 jn 1t f (t )e dt T1
2
Ee jn 1t dt
2
Eτ T1
sin(
nτ ) T1 nω1τ Eτ Sa ( ) nτ T1 2 T1
1
所以
nω1 jn t Eτ j f (t ) Sa( )e | Fn | e e jn t T 2 n 1 n
tf(t)傅里叶变换
tf(t)傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform，下文简称FT）是一种经典的信号处理方法，它可以将一个时间信号转换为频域中的频率分量表示。
FT的应用非常广泛，包括声音信号处理、图像处理、通信系统设计等等领域。
在介绍FT的具体内容之前，我们需要先解决一个问题：为什么要考虑时间信号的频域表示呢？设连续信号$f(t)$是包含许多不同频率分量的信号，那么它的频域表示$f(\omega)$可以描述这些不同频率分量的信息。
因此，当我们需要对信号进行滤波、降噪等处理时，频域表示可以提供非常有用的信息，例如哪些频率需要保留、哪些频率需要消除等等。
另外，FT还可以用于分析信号的周期性，例如音频信号中的基音频率就是一种典型的周期分量。
下面，我们来介绍FT的基本定义和性质。
一、傅里叶变换的定义设连续信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则有：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$其中，$j=\sqrt{-1}$。
在这个公式中，$e^{-j\omega t}$是一个复指数函数，它在时间轴上是一个旋转的单位圆，频率$\omega$表示每秒旋转的圈数。
将$f(t)$乘以$e^{-j\omega t}$，相当于对$f(t)$进行一个预处理，使得这个信号在频率轴上的值变成了$f(\omega)$。
因此，$F(\omega)$可以看做是$f(t)$在频域上的值，也称为$f(t)$的频谱。
注意，为了避免数学上的复杂性，我们在这里讨论的都是连续信号的傅里叶变换。
对于离散信号的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，下文简称DFT），定义和性质与连续信号的傅里叶变换并不完全一致，但本质相同。
1. 线性性质傅里叶变换具有线性性，即：$$\begin{aligned} &\text{若}\quadf_1(t)\xrightarrow{\text{FT}}F_1(\omega),\quadf_2(t)\xrightarrow{\text{FT}}F_2(\omega)\\ &\text{则}\quadaf_1(t)+bf_2(t)\xrightarrow{\text{FT}}aF_1(\omega)+bF_2(\omega) \end{aligned}$$其中，$a$和$b$为常数。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种常用的信号分析工具，通过将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性。
以下是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：由单一频率的正弦波组成，傅里叶变换为两个脉冲，分别在正弦频率和负正弦频率处。
2. 方波信号：由多个正弦波组成，傅里叶变换为一系列频率为
奇数倍基频的正弦波。
3. 三角波信号：同样由多个正弦波组成，但相比于方波信号，
频率成倍数递增。
傅里叶变换为一系列频率为奇数倍基频的正弦波，且振幅递减。
4. 噪声信号：由多个随机频率的波形组成，傅里叶变换为连续
分布的频率成分。
通过傅里叶变换，我们可以将信号在频域上展开，进而进行滤波、频率分析等操作，为信号处理和通信系统的设计提供了有力的工具。
- 1 -。
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
34典型非周期信号的傅里叶变换
X ( j)
0
()
2
0
2
0
1 1 j j
j2 2 2
x(t)
1
0
t
1
X ( j)
1
0
2
四、单位阶跃信号
因为单位阶跃信号不满足绝对可积的条件，不能直接 由正变换的公式求得其傅里叶变换。
u(t) lim etu(t) 0
ℱ u(t)ℱ lim etu(t) 0
lim ℱ etu(t) 0
1 lim
x(t)
1
0
t
0
X ( j) x(t)e jt dt ete jt dt ete jt dt
0
0
e( j)t dt
1
j
ℱ x(t)
2
1
11 j j
2 2 2
0
2、奇对称 x(t) etu(t) etu(t)
X ( j) x(t)e jt dt
0
ete jt dt ete jt dt
二、单边指数信号 x(t) etu(t) 0
x(t)
X ( j) ℱ etu(t) ete jtdt
1
0
0
t
e( j)t dt
e( j)t |0 ( j)
0
1 j
1
jarctg ( )
e
2 2
X ( j)
1
1 2
0
2
三、对称单边指数信号 1、偶对称
x(t) e t etu(t) etu(t)
0 j
lim[
0
2
2
j
2
2 ]
u(t)
1
0
t
当Ω≠0， α→0，上式前一项 于是
傅里叶变换在信号处理中的实例
傅里叶变换在信号处理中的实例引言：傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理中被广泛应用。
通过将信号从时域转换到频域，傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而实现滤波、去噪、信号合成等一系列信号处理任务。
本文将通过几个实例来介绍傅里叶变换在信号处理中的应用。
1. 语音信号处理语音信号是一种典型的时变信号，其中包含了丰富的频谱信息。
通过对语音信号进行傅里叶变换，我们可以将其转换成频域信号，从而实现对语音信号的分析与处理。
例如，可以通过傅里叶变换来提取语音信号中的共振峰信息，用于语音识别、语音合成等应用。
2. 图像处理图像可以看作是一个二维的离散信号，通过对图像进行傅里叶变换，可以将其转换成频域图像。
频域图像可以帮助我们分析图像中的频谱特性，例如图像的纹理、边缘等信息。
在图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强、图像压缩等领域。
例如，可以通过傅里叶变换来实现图像的低通滤波，去除图像中的高频噪声，从而实现图像的平滑处理。
3. 信号压缩信号压缩是一种重要的信号处理任务，可以将信号的冗余信息去除，从而实现信号的高效存储与传输。
傅里叶变换在信号压缩中起到了关键作用。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，然后通过量化和编码等技术对频域信号进行压缩。
例如，JPEG图像压缩算法就是基于傅里叶变换的频域压缩算法。
4. 信号滤波信号滤波是信号处理中常见的任务之一，可以通过滤波技术去除信号中的噪声或无用信息，从而提取出感兴趣的信号成分。
傅里叶变换在信号滤波中具有重要的作用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以很方便地设计各种滤波器来实现不同的滤波效果。
例如，可以通过傅里叶变换来设计一个低通滤波器，去除信号中的高频成分，从而实现信号的平滑处理。
5. 音频信号处理音频信号处理是一种常见的信号处理任务，可以应用于音乐、语音、声音等领域。
傅里叶变换在音频信号处理中具有重要的应用价值。
通过将音频信号从时域转换到频域，我们可以分析音频信号中的频谱特性，例如音调、音色、音量等信息。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。
但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。
然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。
本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。
离散傅里叶变换的应用DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
傅里叶变换的典型案例介绍
傅里叶变换的典型案例介绍
傅里叶变换是一种将一个时域函数转换成频域函数的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
下面介绍几个傅里叶变换的典型案例：
1. 音频处理：傅里叶变换在音频处理中扮演着重要的角色。
通过对音频信号进行傅里叶变换，可以将其分解成不同频率的复杂振动的叠加。
这样可以实现音频频谱分析、降噪和滤波等处理。
2. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频域表示。
这对于图像压缩、去噪和边缘检测等处理非常有帮助。
例如，在JPEG图
像压缩算法中，傅里叶变换用于将图像转换成频域表示，并进行量化和编码。
3. 信号处理：傅里叶变换在信号处理中也有重要作用。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率的复杂波的叠加。
这对于信号分析、滤波和频谱估计等具有重要意义。
例如，在通信系统中，傅里叶变换被广泛应用于频谱分析和信道估计。
4. 数学分析：傅里叶变换在数学分析中也有广泛应用。
例如，在解微分方程和积分方程时，傅里叶变换可以将问题转换成频域上的简单运算，使得问题的求解更加方便和有效。
此外，傅里叶变换还在概率论、统计学和量子力学等领域中有重要的应用。
总之，傅里叶变换是一种强大的工具，它能够将时域信号转换成频域信号，从而提供了信号的频谱信息。
这使得它在音频处理、图像处理、信号处理和数学分析等领域中得到了广泛应用。
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
2
或B f
1
四、钟形脉冲信号
t
2
f (t) Ee
其傅里叶变换为：
F ()
e E
,
2
2
F
()
() 0
（正实函数）
e E
2
2
e f (t) E
t
2
E
e e j 2
j 2
.
2 2 j
E
sin
2
2
E Sa
2
幅度频谱： F E Sa 2
相位频谱：
0
4n
22n
22n 1
1 22n
2
j
符号函数的频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F
2 2
2
F 是偶函数
tg 1
2
0
/ 2, / 2,
0 0
F ( )
2
OFra bibliotek 2
O
2
是奇函数
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱： tg1
0,
0
,
2
第三章3典型信号傅里叶变换 性质1
f (t) 1 F ()e jtd
2
1 F () e d j[t ()]
2
1
F () cos[ t ()]d
2
j
F () sin[ t ()]d
2
f (t) 1
F () cos[ t ()]d
2
1
F() cos[ t ()]d
0
F () d
0 cos[ t ()]
2 , f 1 , B f 1
2
（4）符号函数
sgn(t)
1 (t 0) f (t) sgn(t) 0 (t 0)
实奇函数 1 (t 0)
1
0
t
1
符号函数信号不满足绝对可积条件，但它却存在 傅里叶变换。可以利用它和奇双边指数的关系:
f
(t
)
sgn(t
)
lim
a0
eat ea
1.信号在时间轴上的平移对应频域中的相移 （相位谱产生附加相移）
2.信号在时间轴上的平移不会影响信号的幅频 特性
例题：写出下列信号的傅里叶变换
f1(t)
2
0
4 6t
f3 (t )
2 1
0 1 2 3t
f 2 (t )
24
0
t
2
课本例题131页： 例题3-2 3-3
主要内容
典型信号的傅里叶变换 信号频谱的概念：幅度谱和相位谱 信号频谱带宽的概念：信号幅度谱的带宽，
0
t
F()
2a
a2
2,
F ()
2a
a2 2
() 0
正实偶函数
1
e f (t) a t
(a 0)
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识1•傅里叶级数展幵最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。
1.1周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号双/）只要满足狄利克雷（dmclilet）条件，都可以展开成傅里叶级数。
1・1・1狄利克雷（duichlet）条件狄利克雷（duichlet）条件为：（1）信号双/）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2 ）信号/ （t）在一周期内只有有限个极人值和极小值；（3 ）信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。
1.1.2间断点在非连续函数y二f{・x）中某点处心处有中断现彖，那么，兀就称为函数的不连续点。
（1）第一类间断点（有限型间断点）：a.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（兀令分母为零时等情况）；b.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = lxl/x°在点x = 0处等情况）。
（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。
1.13傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为X X0=仇+乞（①cos“q/ +加• • •J1-1式中：心为信号的常值分量；色为信号的余弦信号幅值：你为信号的正弦信号幅值。
％、心、》分别表示为：==J ：） cosncootdtx{ t ）sinncootdt式中：7；为信号的周期；。
为信号的基频，即角频率，$=2龙/7；「=1,2,3...。
合并同频项也可表示为X （t）二％ + 艺 A cos （gf + q）H-l式中：信号的幅值人和初相位q分别为人=虫+丐2 =arcnm （・b” /心）1.1.4频谱的相矢概念（1） 信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化矢系，即信号的结构，是（或&・/）和q 厂3 （或2・/）的统称；（2） 信号的幅频谱：周期信号幅值人随e （或/）的变化尖系，用（或A ・/>表示； （3） 信号的相频谱：周期信号相位仇随e （或f ）的变化矢系，用0,弋。
典型函数傅里叶变换推导
典型函数傅里叶变换推导一、傅里叶级数的引入任何一个周期函数都可以用一组正弦函数或余弦函数的线性组合来表示，这就是傅里叶级数的基本思想。
假设有一个周期为T的函数f(t)，它可以表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中an和bn是系数，n是正整数，ω是角频率，a0是直流分量。
这就是傅里叶级数展开式。
二、傅里叶变换的定义傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(ω)，表示函数在不同频率下的成分。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt，其中e^(-jωt)是欧拉公式，表示角频率ωt的复指数。
傅里叶变换将函数f(t)在时域的信息转换为频域的信息。
三、傅里叶变换的推导为了推导傅里叶变换，我们先考虑一个非周期函数f(t)，它可以表示为一个周期为T的函数的展开式的极限形式：f(t) = lim[T->∞]{Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]}，其中An和Bn是系数，n是正整数，ω是角频率。
将上式代入傅里叶变换的定义中，得到：F(ω) = ∫[lim[T->∞]{Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]}*e^(-jωt)]dt。
由于f(t)是非周期函数，所以对于不同的角频率ω，展开式中每一项的系数An和Bn都可能不同。
为了简化计算，我们引入复指数形式的傅里叶级数展开式：f(t) = Σ[Cn*e^(jωnt)]，其中Cn是系数，n是整数。
将上式代入傅里叶变换的定义中，得到：F(ω) = ∫[Σ[Cn*e^(jωnt)]*e^(-jωt)]dt。
利用欧拉公式，将上式展开为实部和虚部的形式：F(ω) = ∫[Σ[Cn*(cos(nωt) + jsin(nωt))]*e^(-jωt)]dt。
对上式中的每一项进行积分，得到：F(ω) = Σ[Cn*∫[e^(-jωt + jnωt)]dt]。
傅里叶变换 - 维基百科,自由的百科全书
代表狄拉克δ函数分布.这 个变换展示了狄拉克δ函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶 变换
变换23的频域对应
由变换3和24得到.
由变换1和25得到，应用了欧拉 公式:
由变换1和25得到
这里, 是一个自然数. 是狄拉克δ函数分布的
阶微分。这个变换是根据变换7 和24得到的。将此变换与1结合 使用，我们可以变换所有多项 式。
7/8
三元函数
时域信号
角频率表示 的
傅里叶变换
参见
正交变换 傅里叶级数 连续傅里叶变换 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 傅里叶分析 拉普拉斯变换 小波变换
参考资料
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
此球有单位半径；fr是频率矢量的量值 {fx,fy,fz}.
1. ^ 林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974
时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确 定性原理的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连 续则意味着在对应域的信号的非周期性.
来自“/w/index.php?title=傅里叶变换&oldid=24462958”
其中an和bn是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广 过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
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t0
j j
三．单位阶跃函数
ut 1 1 sgnt
22
1 2
O
t
1 π
2
1 sgnt
2
1
2
t
O 1
2
1 sgnt 1
2
j
第
16
页
ut
1
O
t
u(t) π 1
j
F
π
O
O
π
O
C 周期信号的傅里叶变换
第
18
页
周期信号：
f t 傅里叶级数 F n1 离散谱
§附： 典型信号的傅里叶变换 A 非周期信号
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
一．矩形脉冲信号
第
2
页
f t
F
2
Ee j
t
dt
2
E
j
e j t
2
2
E t
2O 2
j
j
E e 2 e 2
. 2j
sin
E
2
2
2
E Sa
幅度频谱： F E Sa
sin0t 频谱图:
F
π
π
0 o
0
2
0
0
o
2
二．一般周期信号的傅里叶变换
第
21
页
设信号周期: T1
2π
1
由傅里叶级数的指数形式出发：
fT t
F n1 e jn1t
n
其傅氏变换(用定义)
FT F fTt
F
F
n1
e
jn1t
F
n1 F ejn1t
F n1 2π n1
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos
0t
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
同理
sin0t jπ 0 jπ 0
频谱图
第
20
页
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
π 2
,
,
是奇函数
0 0
F ( )
2
O
π 2 O π 2
第
9
页
五．升余弦脉冲信号
第
10
页
f
t
E 2
1
cos
πt
0 t
f t
E
E
2
F f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos
π
t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
,
π
2
第
5
页
F
E
O
π2
O π 2
三．直流信号
f (t) E, t
E 2π E
f t
E
第
6
页
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
O
t
f1 t
E
O
t
推导
lim F
Ee j t d t
e j t
E
lim
j
lim E
e j e j
1 T1
T
f 2
T T 2
t e jn1t d t
(2)
第
24
页
T
F0
2 T
f0
t
ejt d t
(1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
1 T1
T
2 T
fT
t
e jn1t d t
2
(2)
比较式(1),(2)
f0 t
n1
fT t
在
T 2
d
t
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
频谱图
第
11
页
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
B 冲激函数和阶跃函数
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
一．冲激函数
第
13
页
F ( ) t ej t d t 1
f
t
Ee
t
t0
0
0 t 0
F F f (t)
Ee t u t ej tdt
Ee j t d t 0
E
j
f t
E
O
第
4
页
t
频谱图
幅度频谱：F E
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱： arctan
0,
0
,
π
2
频率范围无限小,幅度为。
三．如何由F0 求F n1
第
23
页
即单个脉冲的F0 与周期信号fT t 的谱系数F n1 的关系
f0 t
fT t
T o
T
t T
o
2
2
T
t
T
设 f0 t F0
F0
2 T
f0
t
ejt d t
(1)
2
fT
t
F n1 ejn1t
n
F n1
2π F n1 n1
几点认识
第
22
页
FT 2π F n1 n1
1 fT t 的频谱由冲激序列组成;
位置 : n1 谐波频率
强度 : 2π F n1 与F (n1 )成正比 , 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为F 表示的是频谱密度。
周期信号的F 只存在于 n1处,
2
2
相位频谱：
0 π
4nπ 22n 1π
22n 1π 22n
2π
n 0,1,2,
频谱图
F
E
2π
幅度频谱
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π 0
2π 4π
π
第
3
页
F E Sa
2
频宽：
B
2π
或B f
1
二．单边指数信号
j
E
lim
2
sin
2π
E lim
π
sin
2π E
第
7
页
F
2π E
O
E 2π E
时域无限宽，频带无限窄
lim
π
Sa
(
)
四．符号函数 不满足绝对
第
8
f
(t
)
sgnt
1, 1,
t 0 可积条件 t0
sgn( t )
1
e t
页
处理方法：做一个双边函数
f1t sgnt e t ，求F1 ，
e t O 1
t
求极限得到F 。
F1
0 e tej t d t
e t e j t d t
0
1
j
1
j
j2 2 2
F
lim 0
F1
lim 0
j2 2 2
2
j
频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F
2 2
2
F 是偶函数
2
arctan
0
π 2
非周期信号：
f t 傅里叶变换 F 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非周周期期
统一的分析方法：傅里叶变换
一．正弦信号的傅里叶变换
第
19
页
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
比较
(t) 1
( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
第
14
页
F
1
O
1 f t
2π
O
t
二．冲激偶的傅里叶变换
第
15
页
f
t
td t
f
0
F t t ej t d t