13简明材料力学习题_答案_第十三章

(b)
上海理工大学 力学教研室
3
解：(a) (1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图
P
A
C
B
D
2
1
(2) 由位移互等定理
fC
21
12
B
a
Pl 2 16EI
a
Pal 2 16EI
方向向上 (b) (1) 将 P 力移到 C 截面处，如下图
P
A
C
B
2
1
(2) 由位移互等定理
fC
21
12
4
/4
7 PL 4E d 2
功能原理
W(a)
1 2
Pl(a)
2P2L E d 2
W(b)
1 2
Pl(b)
7P2L 8E d 2
方法 2: 两杆的内力
U(a)
W(a)
2P2L E d 2
U(b)
W(b)
7P2L 8E d 2
N(a) P N(b) P
变形能
U(a)
N 2L 2EA
P2L 2E d 2
1 4a
x2
dx2
4Pa2 3EI
13.9. 试求图示各梁截面 B 的挠度和转角。EI=常量 q
A
a
C B
l
(a)
解：(1) 在 B 处作用虚加力 Pf 和 Mf，并列出弯矩方程
q
Pf
Mf
C
A
x1 B
x2
M ( x1) Pf x1 M f
M (x2)
1 2
qx 2 2
Pf
(l
a
x2 )
M
f
(2) 上式分别对 Pf 和 Mf 求偏导数
a
bP
A x2
C x3 x1
h
(a)
解：(a) 应用莫尔定理
(1) 刚架各段的弯矩方程
M x1 Px1 M x2 0
(2) 在 A 处垂直方向作用单位集中力
1 A
x2
C x3 x1
M x3 Pb
A 的垂直位移
M1 x1 0 M1 x2 x2 M1 x3 a
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2 2
Px1
M(x2)
2 2
P(1
x2 )
2Px2
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9
(3) 用卡氏定理求 C 点垂直位移
CV
U P
NlBD EA
N P
l1
M (x1) EI
M (x1) x1
dx1
l2
M (x2) EI
M (x2 ) x2
dx2
2P 1 EA
2
1 0
2 2
Px1
(
EI
2 2
x1 )dx1
2P Pf )
2l 1 0
EA
2
EA
(5) 令上式中的 Pf 为零
BD
0
0
(P) l EA
(
2) ( 2
2P) EA
2l 0 ( 2 2) Pl 2.71 Pl
2 EA
EA
方向为 B 向 D 靠近 13.20. 图示简易吊车的撑杆 AC 长为 2 m，截面的惯性矩 I=8.53×106 mm4。拉杆 BD 的 A=600
AP
PB
h
C
a
D
解：(1) 由于结构和载荷对称，取刚架一半分析
AP
x1 x2
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C
7
(2) 弯矩方程
M x1 Px1
M x1
P
x1
M x2 Ph M x2 h
P
(3) 应用卡氏定理
A
l1
M x1
EI
M x1
P
dx1
l2
M x2
EI
M x2
P
dx2
M (x1) Pf
x1
M (x1) 1 M f
M (x2 ) Pf
(l
a
x2 )
M (x2 ) 1 M f
(3) 用卡氏定理求挠度和转角
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5
fB
U Pf
l1
M (x1) EI
M (x1) Pf
dx1
l2
M (x2) EI
M (x2 ) Pf
dx2
l a 0
( Pf
x1 EI
M
f
)
( x1 )dx1
1 qx2
2 a
2
0
Pf (l a EI
x2) M f
[(l
a x2 )]dx2
B
U M f
l1
M ( x1) EI
M (x1) M f
dx1
l2
M (x2) EI
M (x2 ) M f
dx2
l a 0
( Pf
x1 EI
M
f
)
(1)dx1
1 qx2
2 a
AH
l1
M
x1 M2
EI
x1
dx1
l2
M
x2
M2
EI
x2
dx2
l3
M
x3
M2
EI
x3
dx3
h 0
Pb x3 EI
dx3
Pbh2 2EI
(4) 在 C 处作用单位集中力偶
A x2
C1 x3 x1
M3 x1 1 M3 x2 0 M3 x3 1
C 截面的转角
C
B
EI
M/l x1 x2
M/l
(2) 求弯曲变形能
M
(
x1
)
M l
x1
M
(
x2
)
M l
x2
M
U
l 0
/3
M 2 (x1) 2EI
dx1
l l /3
M 2(x2 2EI
)
dx2
M 2l 162EI
8M 2l 162EI
M 2l 18EI
(c) (1) 列出梁的弯矩方程
P
Q()
B
M()
N()
13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆 的变形能。
d l
2d 3l/8
d l/4 2d 3l/8
P
(a)
解：方法 1: 两杆的变形
l(a)
PL EA1
4PL E d 2
外力的功
P
(b)
l(b)
2
P 3L / 8 E 2d 2 / 4
PL/
E d 2
Rθ
O
M (θ ) PRsin θ
(2) 求弯曲变形能
U M 2 ( ) ds /2 (PR sin )2 Rd
l 2EI
0
2EI
P2R3 8EI
13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为 40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变 形能。
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6
AV
l1
M
x1 M1
EI
x1
dx1
l2
M
x2 M1
EI
x2
dx2
l3
M
x3 M1
EI
x3
dx3
h 0
Pb a EI
dx3
Pabh EI
(3) 在 A 处水平方向作用单位集中力
1A
x2
x3
C x1
A 的水平位移
M2 x1 0 M2 x2 0 M2 x3 x3
B
C
P
l
A D
l
解：(1) 在 B 处作用虚加力 Pf，并求出约束反力
B
2
C
P
Pf
1
4
3
XA A
5
D
YA
ND
XA P
2 2
Pf
YA P
ND P
2 2
Pf
(2) 求各杆的轴力
N1
2 2
Pf
N2
2 2
Pf
N4 2P Pf N5 0
(3) 上式分别对 Pf 求偏导数
N3 P
2 2
/
4
2P2L E d 2
U(b)
2
P2 3L / 8 2E 2d 2 / 4
P2 L/
2E d 2
4
/4
7P2L 8E d 2
13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在 P 力作用下，试求桁架的变形能。
P
C
l
XA A
D
B
YA
l
解：(1) 求约束力
l
RB
(2) 分析铰 B (3) 分析铰 D (4) 分析铰 C
Pf
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8
N1 2
Pf
2
N2 2
Pf
2
N3 2
Pf
2
N4 1 Pf
N5 0 Pf
(4) 用卡氏定理求 B 点沿 BD 方向的位移
BD
U Pf
5 Nili i1 EA
N i Pf
2 2
Pf
l
(
2)
2 2
Pf
l
(
2)
EA
2
EA
源自文库
2
(P
2 2
Pf
)
l
(
2) (
1
2 2
P(1
x2 )
0
EI
2 Px2 [
2 2
(1
x2
)]dx2
2P P P 2P P 0.0472 0.553 0.60mm EA 6EI 6EI EA 3EI
方向向下。
13.23. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面 A 的转角。
P
A
B
4l
解：(1) 求各杆的弯矩方程
T 2l 4GI P
0.43
3602 10002
802 0.4
96 210 109 0.044 / 64
4 80 109 0.044 / 32
0.0604 J
13.6. 试用互等定理求跨度中点 C 的挠度，设 EI=常量。
P
A
C
B
D
P
A
C
B
l/2
l/2
a
(a)
l/2
l/2
X 0 P XA 0 XA P
MA 0
RB 2l P l 0
RB
P 2
Y 0
RB YA 0
YA
P 2
NBC NBD
B
RB
NBC
45o
NBD RB
N BD
RB
P 2
N BC
2RB
2P 2
NDA
NDC
D
NDB
N DA
N DB
N BD
P 2
N DC 0
P NCA
C
NCB
NCA NCB P
l1
M
x1 M3
EI
x1
dx1
l2
M
x2 M3
EI
x2
dx2
l3
M
x3 M3
EI
x3
dx3
b 0
Px1 1 EI
dx1
h 0
Pb EI
1
dx3
Pb2 2EI
+
Pbh EI
=
Pbb 2h
2EI
顺时针转向
13.18. 图示刚架各部分的 EI 相等，在一对 P 力作用下，求 A、B 两点间的相对位移。
(3) 变形能
0.2 500x 2
0.2 180x 2
0.2 80 2
U 2
dx 2
dx
dx
0 2EI y
0 2EIz
0 2GIP
1
0.2 500x 2dx
0.2 180x 2dx
802 0.2
EI 0
0
2GI P
210 109
1 0.044
/ 64
5002
0.23 3
C
D
3l
P
A x1
M
A
C
B
EI
l/3
2l/3
(b)
B ds
EI A
dθ θ
R
O
(c)
解：(b)
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1
方法 1： (1) 查表得 C 截面的转角
(2) 由功能原理
C
M 6EIl
l
2
3
4l 2 9
3
l2 9
Ml 9EI
U
W
1 2
MC
M 2l 18EI
方法 2 (1) 列出梁的弯矩方程
M
A
C
1 4
Px2
EI
1 4
x2
dx2
5Pa3 3EI
(4) 在 B 处作用单位集中力偶
A
1
B
C
截面 B 的转角
x2
1/4a
M2 x1 0
x1
1/4a
M2
x2
1 4a
x2
顺时针转向
B
l1
M
x1 M2
EI
x1
dx1
l2
M
x2 M2
EI
x2
dx2
0
4a 0
1 4
Px2
EI
1802
0.23 3
802 0.2
2 80 109 0.044 / 32
0.0604 J
(4) 使用功能原理求解本题
U
W
1 2
Py
fy
1 2
Pz
fz
1 T 2
1 2
Py
Pyl 3 48 EI z
1 2
Pz
Pz l 3 48EI y
1T 2
T l/2 GI P
l3 96EI
Py2 Pz2
NCA NCB N BC
2P 2
(5) 桁架的变形能
U
N
2 i
li
1
2EA 2EA
N
2 BC
lBC
N
2 AC
l
AC
N
2 BD
l
BD
N D2AlDA
1
2
2
2P
2EA 2
2l
2
P 2
2
l
P2l 2EA
2
1 2
0.957
P2l EA
13.3. 计算图示各杆的变形能。 P
2
0.36kN
1kN
0.08kN.m
A
B
C
200
200
解：(1) 传动轴受力
ZA A YA
0.36kN 0.08kN.m
C 1kN
0.08kN.m B
ZB
YB
ZA ZB 0.5 kN YA YB 0.18 kN
(2) 弯矩方程和扭矩方程
M y x ZAx 500x Mz x YAx 180x T x 80
fC
C
l 2
P l / 23
3EI
P l / 22
2EI
l 2
5Pl 3 48EI
方向向下
13.8. 车床主轴可简化成 EI=常量的当量轴，如图所示，试求在载荷 P 作用下，截面 C 的挠
度和前轴承 B 处的截面转角。
P
A
B
C
解：(1) 约束反力 (2) 弯矩方程
RA
x2
4a
RA
1 4
P
M x1 Px1
mm2。P=2.83 kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求 C 点的垂直位移，设 E=200 GPa。
D
C
45o
P
B
45o A 1m
解：(1) 求出约束反力
RD D
45o x2
x1 C
P
B
45o
XA
A
YA
XA
2P 2
YA
2P 2
(2) 求 BD 杆的轴力和 AC 杆的弯矩
RD 2P
N 2P
M (x1)
h 0
Px1 EI
x1 dx1
a/2 0
Ph EI
h
dx2
Ph3 3EI
Pah2 2EI
Ph2 2h 3a
6EI
(4) A、B 间的相对位移
A、B 两点相互靠近。
Ph2 2h 3a
AB 2 A
3EI
13.16. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷 P 作用下，试求节点 B 与 D 间的相 对位移。
(3) 在 C 处作用单位集中力
x1
RB a
RB
5 4
P
M
x2
1 4
Px2
1
A
B
C
截面 C 的挠度
1/4
M1
x2
x1
x1
M52/4
x2
x1
1 4
x2
上海理工大学 力学教研室
4
fC
l1
M
x1 M1
EI
x1
dx1
l2
M
x2 M1
EI
x2
dx2
a 0
Px1
EI
x1
dx1
4a 0
2
0
Pf (l a x2 ) M f EI
(1)dx2
（4）令上两式中的 Pf 和 Mf 为零
fB 0
a 0
1 qx2 22 EI
[(l
a
x2 )]dx2
qa3 24EI
(4l
a)
B 0
a 0
1 qx2 22 EI
(1)dx2
qa3 6EI
挠度和转角的方向与虚加力的方向一致
13.9. 图示刚架各杆的的 EI 相等。试求 A 的位移和截面 C 的转角。