现代通信原理(罗新民)指导书 第六章 角度调制系统 习题详解

第六章 角度调制系统6-1设角度调制信号()()0cos 200cos m S t A t t ωω=+ ①若()S t 为FM 波，且4F K =，试求调制信号()f t ； ②若()S t 为PM 波，且4P K =，试求调制信号()f t ； ③ 试求最大频偏max |FM ω∆及最大相位移max ()|PM t ϕ。

解：①FM 已调信号瞬时相位为0()200cos m t t t θωω=+，对其取导数得到瞬时角频率为00()()(200)sin ()m m F d t t t K f t dtθωωωωω==+-=+ 因此调制信号为()50sin m m f t t ωω=-② PM 已调信号瞬时相位为00()200cos ()m P t t t t K f t θωωω=+=+因此调制信号为()50cos m f t t ω=③ 由FM 信号瞬时频率0()(200)sin m m t t ωωωω=+-，可得最大频偏为m FM ωω200|max =∆由PM 信号瞬时相位t t m ωϕcos 200)(=，可得最大相偏为200|)(max =PM t ϕ6-2用频率为10kHz ，振幅为1V 的正弦基带信号，对频率为100MHz 的载波进行频率调制，若已调信号的最大频偏为1MHz ，试确定此调频信号的近似带宽。

如果基带信号的振幅加倍，此时调频信号的带宽为多少？若基带信号的频率加倍，调频信号的带宽又为多少？解：①由题目可知6110f Hz ∆=⨯ ，4110m f Hz =⨯ 。

根据卡森带宽公式可以得到调频信号的带宽近似为Hz f f B m FM 61002.2)(2⨯=+∆≈② 以单音调制为例：m F A K =∆ω。

当A m 加倍时，ω∆加倍，故此时调频信号最大频偏为Hz f 6102'⨯=∆其带宽近似为Hz f f B m FM 61002.4)'(2⨯=+∆≈③m f 加倍，Hz f f m m 310202'⨯==，则调频信号带宽近似为Hz f f B m FM 61004.2)'(2⨯=+∆≈6-3将正弦信号m(t)=cos2πf m t 进行角度调制，若载频f c =100 Hz ，f m =f c /4。

①调相灵敏度K P =π rad/s ，画出m(t)和对应PM 信号； ②调频灵敏度K F =π rad/s ·V ，画出m(t)和对应FM 信号。

解：① m(t)=cos2πf m t ，对应PM 信号为0()cos(cos 2t)PM m S t A t f ωππ=+其瞬时角频率为2()(cos 2)'2sin(2)m m m t f t f f t ωππππ∆==-，作图如下：② m(t)=cos2πf m t ，对应FM 信号为01()cos(sin 2t)2FM m mS t A t f f ωπ=+其瞬时角频率为()()cos 2m t m t f t ωπππ∆==，作图如下：6-4已知某FM 调制器的频移常数V Hz K F /10=，载波幅度为1V ，载波频率为1000Hz ，调制信号)2cos()(t f A t f m m π=。

试画出以下几种情况下已调信号的幅度谱。

①Hz f V A m m 200,2==； ②Hz f V A m m 20,2==； ③Hz f V A m m 4,2==； ④Hz f V A m m 20,10==。

解：①由于Hz f V A m m 200,2==，因此调频指数为1020.1200F m FM m K A f β⨯=== 已调信号频谱为00()J ()[()()]J(0.1)[(210002200)(210002200)]FM n FM m m n nn S A n n n n ωπβδωωωδωωωπδωππδωππ+∞=-∞+∞=-∞=--+++ =-⨯-⨯⨯++⨯+⨯⨯∑∑ 作图如下：②Hz f V A m m 20,2==，因此调频指数为102120F m FM m K A f β⨯=== 已调信号频谱为00()J ()[()()]J(1)[(21000220)(21000220)]FM n FM m m n nn S A n n n n ωπβδωωωδωωωπδωππδωππ+∞=-∞+∞=-∞=--+++ =-⨯-⨯⨯++⨯+⨯⨯∑∑作图如下：③Hz f V A m m 4,2==，因此调频指数为10254F m FM m K A f β⨯=== 已调信号频谱为00()J ()[()()]J(5)[(2100024)(2100024)]FM n FM m m n nn S A n n n n ωπβδωωωδωωωπδωππδωππ+∞=-∞+∞=-∞=--+++ =-⨯-⨯⨯++⨯+⨯⨯∑∑作图如下：④Hz f V A m m 20,10==，因此调频指数为1010520F m FM m K A f β⨯=== 已调信号频谱为00()J ()[()()]J(5)[(21000220)(21000220)]FM n FM m m n nn S A n n n n ωπβδωωωδωωωπδωππδωππ+∞=-∞+∞=-∞=--+++ =-⨯-⨯⨯++⨯+⨯⨯∑∑作图如下：6-5若某角度调制信号由下式描述：38210()10cos[10cos(210)]t s t t ππ⨯⨯=+⨯ 确定以下各值：①已调信号的功率； ②最大相位偏移； ③最大频率偏移。

解：①已调信号的功率为2210()502P s t W =≈=②瞬时相位偏移为310cos(210)t π⨯最大相位偏移为max ()|10t rad ϕ=③瞬时频率偏移为33()10210sin(210)t t ωππ∆=-⨯⨯⨯最大频率偏移4max ()|210/t rad s ωπ ∆=⨯6-6设某角度调制信号为()()510cos 21010cos 2000S t t t ππ=⨯+，试确定： ① 已调信号的平均功率；② 最大频率偏移； ③ 最大相位偏移；④ 已调信号的近似带宽；⑤ 判断该已调信号是FM 波还是PM 波。

解：①已调信号的平均功率为2210()502S S t W =≈=②信号瞬时频率为5()210102000sin 2000t t ωπππ=⨯-⨯因此信号最大频偏为4max 210/rad s ωπ∆=⨯③瞬时相位偏移为10cos2000t π因此信号最大相位偏移为max ()|10t rad ϕ=④根据卡森带宽，43max 2()2(2102000)22210/22FM m FM W rad s B kHzωωπππ=∆+=⨯⨯+=⨯⨯=⑤ 根据已调信号表达式判断是FM 波还是PM 波，主要依据是瞬时相偏与调制信号成正比还是瞬时频偏与调制信号成正比。

根据题目所给，在未知调制信号是正弦波还是余弦波的情况下，该已调信号既可能是正弦波作FM 调制，也可能是余弦波作PM 调制。

因此，不能判断是FM 波还是PM 波。

6-7在50Ω的负载上有一个角度调制信号，其时间函数为)]102sin(310cos[10)(38t t t s ⨯+=ππ V 求信号的总平均功率、最大频率偏移和最大相位偏移。

解：信号的总平均功率为2210()502P s t W =≈=信号瞬时频偏为33()3210cos(210)t t ωππ∆=⨯⨯⨯因此最大频率偏移为3max ()|32106000/t rad s ωππ∆=⨯⨯=信号瞬时相位偏移为3()3sin(210)t t ϕπ∆=⨯因此最大相位偏移为3 rad 。

6-8 用频率为1kHz 的正弦信号对频率为200kHz 的载波进行调频，设峰值频偏为150Hz ，试求：① 调频信号的带宽；② 上述调频信号经16倍频后的带宽；③ 在经过16倍频后，调频信号中的有效边频数目。

解：①已知Hz f Hz f Hz f m 150,10200,100030=∆⨯==，由卡森带宽公式得到调频信号带宽为kHz f f B m FM 3.2)(2=∆+=②倍频后，载频0f 和峰值频偏f ∆均为原来的16倍，因此这时调频信号带宽为kHz f f B m FM 8.6)16(2=∆+=③倍频后，调频指数16'mf f β∆=增为原来的16倍，而倍频前的调频指数15.0=∆=m f fβ，所以倍频后有效边频数'116 3.4n β>+=。

取为4。

6-9将幅度为4V 、频率为1kHz 的正弦调制波形输入调频灵敏度为50 Hz/V 的FM 调制器中，试问：①峰值频率偏移是多少？ ②调制指数是多少？解：①正弦调制波形可表示为()4cos(21000)m t t π=⨯已知50/100/()F K Hz V rad s V π= = ⋅。

因此，瞬时频率偏移为()()400cos(21000)F t K m t t ωππ∆==⨯峰值频率偏移（即最大频率偏移）为max ()|400/t rad s ωπ∆=②调制指数为10040.221000F mFM mK A πβωπ⨯===⨯。

6-10已知调频信号()()6310cos 108cos10FM S t t t ππ=+，调制器的频率偏移常数2FM K =，试求：① 载波频率0f ；② 调频指数；③ 最大频率偏移； ④调制信号()f t 。

解：①由)(t S FM 的表达式知：载频60100.52f MHz ππ== ②瞬时相位偏移t t πϕ310cos 8)(=，故8|)(max ==t FM ϕβ ③瞬时频率偏移)10sin(108)()(33t dtt d t ππϕω⨯-==∆， 故最大频偏33max max 810/,410rad s f Hz ωπ∆=⨯ ∆=⨯ 。

④瞬时频率为6330()()10810sin(10)()F d t t t K f t dtθωπππω==-⨯=+ 已知2FM K =，因此调制信号为33()410sin(10)f t t ππ=-⨯6-11用幅度为1V 、频率为500Hz 的正弦信号，对幅度为3V 、频率为1MHz 的载波信号进行调频时，最大频偏为1kHz 。

若调制信号的幅度增加为5V ，且频率增至2kHz ，试写出此时调频信号的表达式。

解：调制信号可表示为()cos(2500)f t t π=⨯，载波信号可表示为6()3cos(210)c t t π=⨯。

要求最大频偏为1kHz ，因此频移常数为3max 210002101FM m K A ωππ∆⨯===⨯ 当调制信号的幅度增加为5 V ，且频率增至2 kHz 时，可表示为)20002cos(5)(t t f ⨯=π这时调频信号表达式为0366'()3cos(sin ')'21053cos[210sin(22000)]220003cos[210 2.5sin(22000)]F m FM m m K A S t t t t t t t ωωωππππππ=+⨯⨯ =⨯+⨯⨯ =⨯+⨯6-12已知调频信号为为01122()cos[2sin(2)sin(2)]FM S t A f t f t f t πβπβπ=++，其中088f MHz =，15f kHz =，23f kHz =，122ββ==，试：①画出调频波的频谱结构图（考虑大于未调载波幅度1%的边频分量）； ②计算各频谱分量的总功率，并与调频波总功率相比。