第2讲 二次函数与平行四边形

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练习 (2015 年洪山区九上期中)已知抛物线 y=－ax2－2ax+3a 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其 顶点 D 在直线 y=－2x－6 上． (1)求抛物线的解析式． (2)直线 y=－x－5 分别与 x 轴、y 轴交于 E、F 点，将直线 EF 沿 y 轴正方向平移 t(t>0)个单位得直线 l，直线 l 和抛物线相交于点 P、Q，是否存在 t，使四边形 EFQP 为平行四边形?若存在，请求出 t 的值; 若不存在，请说明理由．
y P
Q
EB
OA
x
C DF
解：（1）y=x²+2x－3 （2）存在．解:没 PQ 点的横坐标分別为 x1，x2 由题意可知直线 PQ 解析式为 y=x－5+t 联立抛物线解析式 y=x²+2x－3，得 x²+3x－2－t=0 则 x1+x2=－3 (1)
x1·x2=2－t (2) 文因为 EF=PQ=5 2 所以 x1x2=5 (3) 联立（1）（2）（3）得 t=6
22 O 为顶点的四边形是平行四边形，求直线 MN 的解析式．
y
G
A
O
x
练习 如图，抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 D(-1．-4)，与 y 轴交于点 C(0． -3)，与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)． (1)求抛物线的解析式: (2)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A、B、E、F 为顶点的的四边形为平 行四边形?若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由。
y P
C
A
B
O
x
练习
如图，
一次函数
1 y=
x+2
分别交
y
轴、x
轴于
A、B 两点．抛物线
y=-x2+bx+c 经过 A、B
两点．
2
(1)求抛物线的解析式;
(2 作垂直于 x 轴的直线 x=t，在第一象限内交直线 AB 于 M，交抛物线于 N，求当 t 为何值时， MN
有最大值?最大值为多少?
(3)在(2)的条件下．以 A 、M、 N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标．
易得 D1N 的方程为 y=﹣ 1 x+6，D2M 的方程为 y= 3 x﹣2，
2
2
由两方程联立解得 D 为（4，4）
故所求的 D 点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
题型二 已知两点，求另外两点 知识导航 1．题目特点：已知两点 A、B 坐标，另外两点 C、D 坐标未知(一般在确定的轨迹上运动) 2．解题步骤： (1)判断点序是否确定 (2)对已知坐标两点确定的线段 AB 进行讨论: ①AB 为时角线——中点公式 ②AB 为边——平移公式 例2 如图，抛物线 y=－x2+2x+3 与 x 轴交于 A． B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是 x 轴上一动点，过
作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N'，则 N'（6，3），
由（1）得 D（1，4），B（1，2）∵点 E 在直线 AC 上， 设 E（x，x+1），
①当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 上方， 则 F（x，x+3），
∵F 在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3，
解得，x=0 或 x=1（舍去）
知识目标 模块一 二次函数与平行四边形 模块二 二次函数与矩形 模块三 二次函数与菱形 模块四 二次函数与正方形
中考培优课程 2 二次函数与平行四边形
例 1、例 2、例 3、例 4、例 5 难度： ★★★
例6
难度： ★★★★
练6
难度： ★★★★
例7
难度： ★★★
模块一二次函数与平行四边形 知识导航 1、区别题目的两种说法： ⑴四边形 ABCD 为平行四边形—点序确定； ⑵以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形—点序不确定； 2、题型分类 ⑴已知三点，求第四顶点； ⑵已知两点，求另外两点； 题型一已知三点，求第四顶点 知识导航 如图，已知 A、B、C 三点的坐标，求以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形的顶点 D 的坐 标．
2
2
∴当 t=2 时，MN 有最大值 4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形， 如图 2 所示．
（i）当 D 在 y 轴上时，设 D 的坐标为（0，a） 由 AD=MN，得|a﹣2|=4，解得 a1=6，a2=﹣2 从而 D 为（0，6）或 D（0，﹣2）， （ii）当 D 不在 y 轴上时，由图可知 D3 为 D1N 与 D2M 的交点，
(1)求抛物线的解析式; (2 作垂直于 x 轴的直线 x=t，在第一象限内交直线 AB 于 M，交抛物线于 N，求当 t 为何值时， MN 有最大值?最大值为多少? (3)在(2)的条件下．以 A 、M、 N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标．
y P
y P
N
A O
M B x
A
O 备用图
例4 已知抛物线 y=－x2+2x+3 与直线 y=kx+b 交于 E、F 两点，点 P 是抛物线对称轴上一动点，点 A 为抛 物线与 x 轴负半轴的交点，若四边形 AEPF 为平行四边形，求 k 的值．
点 P 作直线 l∥AC 交抛物线于点 Q，若以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐 标．
y C
A
B
O
x
当 x=0 时，y=3．∴C 点的坐标为（0，3）． 抛物线上有三个这样的点 Q．如图，
①当点 Q 在 Q1 位置时，Q1 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q1 的坐标为（2，3）；
a 1 解得： b 2 ，
c 3
∴y=－x2－2x+3； ∴y=－x2－2x+3=－(x+1)2+4， ∴P（－1，4）， ∵直线 AC 的解析式是：y=x+3， 直线 AP 的解析式是：y=2x+6， 直线 PC 的解析式是：y=－x+3， `当 AC 是平行四边形的一条对角线时： PC∥AM，AP∥CM， ∴利用两直线平行 k 的值相等，即可得出： 直线 MC 的解析式是：y=2x+3， 直线 AM 的解析式是：y=－x－3， ∴M（－2，－1），
y P
y P
N
A O
MB x
A
O 备用图
B x
题型二 已知两点，求另外两点
知识导航 1．题目特点：已知两点 A、B 坐标，另外两点 C、D 坐标未知(一般在确定的轨迹上运动) 2．解题步骤： (1)判断点序是否确定 (2)对已知坐标两点确定的线段 AB 进行讨论: ①AB 为时角线——中点公式 ②AB 为边——平移公式 例2 如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A． B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是 x 轴上一动点，过点 P 作直线 l∥AC 交抛物线于点 Q，若以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标．
y P
Q
EB
OA
x
C DF
例4 已知抛物线 y=-x2+2x+3 与直线 y=kx+b 交于 E、F 两点，点 P 是抛物线对称轴上一动点，点 A 为抛 物线与 x 轴负半轴的交点，若四边形 AEPF 为平行四边形，求 k 的值．
y
A
O
x
例5 已知抛物线 y=-x2+2x+3 与直线 y= 1 x+ 1 交于 A、G 两点，M、N 是抛物线上两点，若以 G、M、N、
y PD
N
C
B
A
O
x
练习 (2015 年洪山区九上期中)已知抛物线 y=-ax2-2ax+3a 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶 点 D 在直线 y=-2x-6 上． (1)求抛物线的解析式． (2)直线 y=-x-5 分别与 x 轴、y 轴交于 E、F 点，将直线 EF 沿 y 轴正方向平移 t(t>0)个单位得直线 l， 直线 l 和抛物线相交于点 P、Q，是否存在 t，使四边形 EFQP 为平行四边形?若存在，请求出 t 的值; 若不存在，请说明理由．
2
（2）如图 1，设 MN 交 x 轴于点 E，
则 E（t，0），BE=4﹣t．
∵tan∠ABO= OA = 2 = 1 ， OB 4 2
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× 1 =2﹣ 1 t． 22
又 N 点在抛物线上，且 xN=t，∴yN=﹣t2+ 7 t+2， 2
∴MN=yN﹣ME=﹣t2+ 7 t+2﹣（2﹣ 1 t）=﹣t2+4t
∴E（0，1）； ②当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F 在点 E 下方， 则 F（x，x﹣1） 由 F 在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得 x= 1 17 或 x= 1 17
2
2
∴E（ 1 17 ， 3 17 ）或（ 1 17 ， 3 17 ）
2
2
2
2
综上，满足条件的点 E 为 E（0，1）、（ 1 17 ， 3 17 ）或（ 1 17 ， 3 17 ）；
y PD
N
C
B
A
O
x
解：（1）由抛物线
y=﹣x2+bx+c
过点
A（﹣1，0）及
C（2，3）得，
1 4
bc 2b
0 c
3
，解
得
b c
2 3
，
故抛物线为 y=﹣x2+2x+3
又设直线为 y=kx+n 过点 A（﹣1，0）及 C（2，3）得
k 2k
nBiblioteka Baidun
0 3
，解得
k n
1 1
故直线 AC 为 y=x+1；
当 PC 是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7）， 当 AP 是平行四边形的一条对角线时：∴M（－4，1）， ∴M（－2，－1）或 M（2，7）或 M（－4，1）．
练习
如图， 一次函数 y=－ 1 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点．抛物线 y=－x2+bx+c 经过 A、B 两点． 2
y
A
OB
x
C DF
例1 己知抛物找 y=ax2+bx+c 过点 A(－3，0)，B(1，0)， C(0， 3)三点，且抛物线的顶点为 p．若以 A、 P、 C、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标．
y P
C
A
B
O
x
9a 3b c 0 解：由题意得： a b c 0 ，
c 3
B x
解：（1）∵y=﹣ 1 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点， 2
∴A、B 点的坐标为：A（0，2），B（4，0）， 将 x=0，y=2 代入 y=﹣x2+bx+c 得 c=2， 将 x=4，y=0 代入 y=﹣x2+bx+c 得 0=﹣16+4b+2，解得 b= 7 ，
2 ∴抛物线解析式为：y=﹣x2+ 7 x+2；
例3 如图，已知抛物线 y=－x2+bx+c 与一直线相交于 A(－1．0)，C(2．3)两点，与 y 轴交于点 N．其顶 点为 D． (1)求抛物线及直线 AC 的函数关系式； (2)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点．过点 E 作 EF∥BD 交抛 物线于点 F，以 B、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点 E 的坐标；若不能，请 说明理由．
D1 B
A
D3
C
D2
分类标准：以 AB、BC、AC 为对角线来讨论： ⑴以 AB 为对角线，则构成平行四边形 ACBD1； ⑵以 AC 为对角线，则构成平行四边形 ABCD3； ⑶以 BC 为对角钱，则构成平行四边形 ACD2B； 计算方法： ⑴按照平移规律来计算；
⑵全等；
例1 己知抛物找 y=ax2+bx+c 过点 A(-3，0)，B(1，0)， C(0， 3)三点，且抛物线的顶点为 p．若以 A、P、 C、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标．
②当点 Q 在点 Q2 位置时，点 Q2 的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点 Q2 坐标为（1+ 7 ，﹣3）； ③当点 Q 在 Q3 位置时，点 Q3 的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点 Q3 的坐标为（1﹣ 7 ， ﹣3）。 综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+ 7 ，﹣3），Q3（1﹣ 7 ，﹣3）．
y C
A
B
O
x
例3 如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 与一直线相交于 A(-1．0)，C(2．3)两点，与 y 轴交于点 N．其顶点为 D． (1)求抛物线及直线 AC 的函数关系式； (2)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点．过点 E 作 EF∥BD 交抛 物线于点 F，以 B、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点 E 的坐标；若不能，请 说明理由．