实正定矩阵的判定及其重要结论

摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.

关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件

Decision of Real Positive Definite Matrix

and Its Important Conclusion

Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .

Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition

禄 鹏

（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000）

摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.

关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件

1 引言

矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.

2 实正定矩阵的等价定理

定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数

n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>.

定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定.

引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于

n .

引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.

引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得

()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4

[]

7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的

主对角元均为正.

定理1 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10⨯∈≠n R X ，使0>AX X T .

证明 由定义1和定义2可证.

定理2 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子式大于0.

证明[]5 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型 ()n x x x f ,,,21 ∑∑===n

i n

j j i ij x x a 11

是正定的.

对于每个k ,,1n k ≤≤令

()k k x x f ,,1 ∑∑===k

i k

j j i ij x x a 11.

我们来证明k f 是一个k 元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数,,,1k c c 有

()k k c c f ,,1 ∑∑===k

i k

j j i ij c c a 11=()0,,0,,,1 k c c f .0>

因此()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知，k f 的行列式

,01111>kk k k

a a a a

n k ,,1 =. 这就证明了矩阵A 的一切顺序主子式大于0.

充分性, 对n 作数学归纳法. 当1=n 时, ().21111x a x f = 由条件011>a ，显然有()1x f 是正定的.

假设充分性的论断对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元的情形.

令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=α⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 ,

于是矩阵A 可以分块写成

A ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡=nn T a A αα1. 既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假定, 1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 阶矩阵G 使 11-=n T E G A G ,

这里1-n E 代表1-n 阶单位矩阵. 令

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=1001G C , 于是 =11AC C T ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡10

0T G ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡10

0G ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=-nn T T n a G G E αα1. 再令 ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=-10

1

2αT n G E C , 有 211

2

C AC C C T T ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=-101G E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a G G E αα1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--10

1αT n G E ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-=-ααT T nn n GG a E 00

1

. 令 21C C C =, ,ααT T nn GG a a -=

就有 ⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边取行列式, a A C =2

. 由条件,0>A ,因此0>a . 显然

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡a 11

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，所以A 是正定矩阵.

定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.

证明 由定理2可证.

定理4 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全大于0.

证明 必要性,A 为正定矩阵,若A 的全部特征值为n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设

01≤λ.

由引理3存在正交矩阵T 使得()1式成立.