第十五章 光学透镜的傅立叶变换
傅里叶变换光学系统
傅里叶变换光学系统傅里叶变换光学系统，简称FT光学系统，是一种通过光学方法对物体进行分析的技术。
其基本原理是利用傅里叶变换的思想，将物体在空间域的信息转换为频域的信息，然后通过相同的方式将频域信息还原为空间域信息。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的技术。
其基本原理是将一个函数按照不同频率分解成一系列正弦波的和。
具体来说，傅里叶变换可以分为以下几个步骤：1. 对原函数在时间域上进行分段，使其转化为一系列长度为Δt 的小区间。
2. 对每一个小区间的函数值进行离散化处理，生成离散的数据序列。
3. 对离散的数据序列进行傅里叶变换，求出在频域上的频率分量。
4. 通过反傅里叶变换，将在频率域的信息还原为在时间域上的信息。
二、傅里叶变换在光学系统中的应用在光学系统中，傅里叶变换可以将一个物体的透射率函数转换为空间域和频域的关系。
通过加入透镜、像差校正等光学器件，可以实现将频域信息转换为对应的光学信号，进而生成一个光学图像。
这种光学图像可以对物体进行解析，便于对物体形状、大小、结构等信息进行研究。
FT光学系统广泛应用于生物医药、材料科学、光学工程等领域中。
三、傅里叶变换光学系统的优点与不足优点：1. 精度高：通过光学技术，可以获取高精度的物体信息，尤其是对于那些复杂的结构物体。
2. 兼容性好：FT光学系统可以与其他光学测量仪器、成像系统等进行互相配合，丰富了光学分析工具的功能。
3. 速度快：由于光子的速度极快，FT光学系统的成像速度也可以达到很高的水平。
不足：1. 设备成本高：由于FT光学系统需要使用高质量、高精度的光学仪器，因而设备成本较高。
2. 实验难度大：FT光学系统需要经过实验测试，对于初学者来说，实验难度比较大。
3. 约束条件多：FT光学系统对光源、光路、光学器件等条件的约束较多，安装过程比较繁琐。
总之，傅里叶变换光学系统在解析复杂物体、研究物体结构等方面有很大优势，并得到了广泛应用。
傅里叶变换光学
傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
光学透镜的变换总结
U 1 (x, y) ? A exp( jkp) exp[
j k (x 2 ? y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
U' ?
?x,y ??
Aexp??
jkq ?exp ???
?
j
k ?q
?x
?
?
y
?
???
?
透镜的复振幅透过率或相位变换因子为
t (x, y) ? U1?(x, y) ? exp[ U1(x, y)
输入平面位于透镜前焦面，由于 d0 ? f，衍射物体的复振幅透过率与衍
射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察 平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光 源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系
???
U (x, y) ? c?
??
t( x0 , y0 ) exp(?
物在透镜之后的变换性质证明（ 2）
这个光场传输到观察平面上造成的场分布为
exp[ ? ? U (x, y) ?
1
j? (q ? d 0 )
t( x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 ) ?0
jk
(x
?
x0)2 ? 2(q ?
(y ? d0 )
y0 )2
]dx0 dy0
经过一系列的代数演算得到：
光学透镜的变换
透镜的位相变换作用
透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的 基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质
透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜 之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用
光学傅里叶变换原理
光学傅里叶变换原理傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（ 或信号）从时间 或空间）域转换到频率域。
在光学中，傅里叶变换也具有重要的应用，尤其是在描述光波传播、光学系统和图像处理等方面。
傅里叶变换原理涉及到以下重要概念和原则：1.（傅里叶级数：傅里叶级数指的是将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它表明任何周期性函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
2.（连续傅里叶变换 Continuous（Fourier（Transform）：对于连续信号，傅里叶变换将信号从时域转换到频域。
它描述了信号在频率空间中的频谱特性，展示了信号由哪些频率分量组成。
3.（离散傅里叶变换 Discrete（Fourier（Transform）：对于离散数据集合，比如数字图像或采样信号，离散傅里叶变换用于将这些离散数据从时域转换到频域。
它在数字信号处理和图像处理中得到广泛应用，用于分析和处理频率特性。
4.（光学中的应用：在光学中，傅里叶变换可以描述光的传播和衍射现象。
例如，傅里叶光学理论表明，光学系统（如透镜、光栅等）可以看作是对光波进行空间域的傅里叶变换。
这种理论有助于理解光的传播特性，并在光学系统设计和成像技术中发挥重要作用。
5.（变换原理：傅里叶变换原理表明，任何一个信号都可以通过傅里叶变换分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
这种变换可以帮助我们理解信号的频率成分，并对信号进行处理、滤波或合成。
总的来说，傅里叶变换原理提供了一种从时域到频域的转换方法，在光学中，它被广泛应用于光波传播、光学系统设计和图像处理等领域，为我们理解和处理光学现象提供了重要的工具。
光学信息处理：2.2 透镜的傅立叶变换性质
P′
透镜将平面波变成球面 波
(x,y)
t1
L
t
Q
r1
x2 y2
t2 L′
Q′
r2
z
导出透镜O 位t相0 变换函数
a(x, y) A2 / A1 1
T~L (x, y) exp[iL (x, y)]
T (x,
y)
eiL ( x, y )
i 2 [QQ ']
e
透镜相位 变换函数
[QQ '] t1 n0t t2 t1 t2 n0 (t0 t1 t2 )
EF'(x ',
y
')
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]
t
( x0 ,
y0 )exp[i2
( x0x 'f 'Fra biblioteky0 y
f
' ' )]dx0dy0
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]F
f 'F d
{t (x0 ,
物在透镜后的傅里叶变 换
y0 )}
接收 屏上 振幅 分布
相干平面波照明物平面--透镜后焦面上光场 的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和 一个二次相位因子的乘积
输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确 傅里叶变换相比--产生了相位弯曲
光学傅立叶变换实验报告
一、实验目的1. 理解光学傅立叶变换的基本原理和过程。
2. 掌握光学傅立叶变换的实验方法及步骤。
3. 分析实验结果，验证光学傅立叶变换的基本规律。
二、实验原理光学傅立叶变换是利用光学系统对光场进行傅立叶变换的一种方法。
当一束光通过一个具有傅立叶变换功能的系统时，其光场分布将发生相应的傅立叶变换。
本实验采用4f系统进行光学傅立叶变换，其中f为透镜的焦距。
实验原理如下：1. 光场分布：设物平面上的光场分布为f(x, y)，则其在傅立叶变换透镜L1的后焦面（频谱面）上的光场分布为F(u, v)。
2. 傅立叶变换：根据傅立叶变换公式，有F(u, v) = ∬f(x, y)e^(-j2πux/v)e^(-j2πuy/v)dxdy。
3. 反傅立叶变换：当光场分布F(u, v)通过另一个焦距为f的傅立叶变换透镜L2时，其在像平面上的光场分布为f'(x', y')，满足f'(x', y') = F(u, v)。
三、实验仪器与材料1. 光源：He-Ne激光器2. 物镜：焦距为f的傅立叶变换透镜3. 成像系统：焦距为f的傅立叶变换透镜4. 物平面：光栅或透明薄膜5. 频谱面：光栅或透明薄膜6. 像平面：光栅或透明薄膜7. 照相机：用于记录实验结果8. 实验台：用于固定实验装置四、实验步骤1. 将光源发出的光束经过扩束镜和半透半反镜后，分成两束光，一束作为参考光，另一束作为实验光。
2. 将实验光束经过物镜L1，投射到物平面上，物平面上的光栅或透明薄膜作为待处理的图像。
3. 实验光束经过物镜L1后，在频谱面上形成待处理图像的傅立叶变换频谱。
4. 将参考光束经过成像系统，成像在频谱面上，与实验光束的傅立叶变换频谱进行叠加。
5. 将叠加后的光束经过物镜L2，投射到像平面上，像平面上的光栅或透明薄膜作为处理后的图像。
6. 使用照相机记录实验结果，比较处理前后的图像差异。
五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，观察并记录了处理前后的图像差异。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
傅里叶变换光学
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统实验人：何杰勇（11343022） 合作人：徐艺灵 组号B13一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析图1 点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ϕ变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'=（1）若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+-（2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =-（3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R =--（5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2kt x y jknD jx y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
大学物理 透镜的傅立叶变换性质
对应的细节-透镜的作用是什么 定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵 面上不同点经过 的光程不同，位 相增量也不同， 因此经过透镜之 后，造成波阵面 弯曲，形成会聚 球面波。 凹透镜的分析类 似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算， 装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题 缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围 窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相 因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确 的傅立叶变换分布。 前焦面 光源的共轭面 准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机 特点一：光学计算机无需对输入信号进行 抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输 入 特点二：可以直接处理二维图像（信号）， 并行输入 特点三：光学计算机按照图像－角谱－空 间谱的方式进行运行，速度为光波从输入 到输出面的传播时间，速度极快 特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简
傅里叶变换光学系统.
傅里叶变换光学系统组号A13 03光信陆林轩033012017合作人：邱若沂、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT性质及常用函数与图形的关学频谱分析力。
图1在该点的厚度。
设原复振幅分布为（,L U x y其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因（,x y ?后变为（,L U x y ':图1 (, (, e x p [(, L L U x y U x y j x y ?'= ( 1) 若对于任意一点( x ，y )透镜的厚度为(, D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(, D x y ，空气空的距离为0D －(, D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(, [(, ](, (1 (, x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- (2)(2)中的k = 2n/,为入射光波波数。
用位相延迟因子(, t x y 来表示即为：0(, exp(exp[(1 (, ]t x y jkD jk n D x y =- ( 3)由此可见只要知道透镜的厚度函数(, D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(, (( 2D x y D x y R R =-+- (4) 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式( 4)对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1( n f R R =-- (5)代入(3)得：220(, exp(exp[(]2k t x y jknD j即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(, L U x y 通过透x y f =-+ (6) 式( 6)镜时，透镜各点都发生位相延迟。
《傅立叶变换光学》课件
光学设计：傅立叶光学在光学设计 领域也有着广泛的应用，如光学系 统设计、光学器件设计等。
傅立叶变换光学的发展历程
1807年，傅立叶提出傅立 叶变换理论
19世纪末，傅立叶变换在 光学领域得到应用
20世纪初，傅立叶光学理 论逐渐成熟
20世纪中叶，傅立叶光学 在成像、通信等领域得到 广泛应用
21世纪初，傅立叶光学在 生物医学、遥感等领域得 到进一步发展
傅立叶变换光学的应用领域
光学成像：傅立叶光学在光学成像 领域有着广泛的应用，如光学显微 镜、光学望远镜等。
光学测量：傅立叶光学在光学测量 领域也有着广泛的应用，如光学干 涉测量、光学衍射测量等。
添加标题
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光学通信：傅立叶光学在光学通信 领域也有着广泛的应用，如光纤通 信、光波导通信等。
傅立叶变换在调制和解调中的应用
傅立叶变换在调制中的应用：将信 号从时域转换为频域，便于传输和 处理
傅立叶变换在信号处理中的应用： 通过傅立叶变换，可以对信号进行 滤波、压缩、加密等处理
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傅立叶变换在解调中的应用：将接 收到的信号从频域转换回时域，恢 复原始信号
傅立叶变换在通信系统中的应用： 傅立叶变换在通信系统中广泛应用， 如数字通信、无线通信、卫星通信 等
频谱分析：分析信 号的频率成分和能 量分布
滤波处理：通过傅 立叶变换进行滤波 处理，去除噪声或 提取特定频率成分
信号重构：将处理 后的频谱通过傅立 叶逆变换重构为时 域信号
图像的频谱分析和处理
傅立叶变换：将 图像从空间域转 换到频域
频谱分析：分析 图像的频率成分 和分布
频谱处理：对图 像的频率成分进 行修改和调整
4.2 透镜的傅立叶变换性质
U ( x, y ) = c ' T ( f x , f y )
fx =
x y , fy= λf λf
T ( f x , f y ) = a sin c(af x )sin c(af y )
菲涅耳衍射 透镜位 相变换
菲涅耳衍射 物像共 1 轭关系： 轭关系： q
1 1 + = p f
1. 物在透镜前
2 2 在傍轴近似下，单色点光源发出的球 在傍轴近似下， x0 + y0 A exp jk 面波在物的前表面上形成的场分布为： 面波在物的前表面上形成的场分布为： 0 2( p − d 0 )
P2 平面(紧靠透镜后)光场复振幅: 平面(紧靠透镜后)光场复振幅:
x′ + y ′ ′ U l ( x ′, y ′) = U l ( x ′, y ′) P( x ′, y ′) exp(− jk ) 2f
2 2
透镜的 光瞳函数
A U l ( x ′, y ′) = 0 jλd 0
4.2 透镜的傅里叶变换性质x′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
P 透镜光瞳函数： 透镜光瞳函数： ( x' , y ' ) = 1 0 透镜孔径内 其它
y0
t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
传 播
光波由一个平面(x 向另一个平面(x,y)传播一段距离 传播一段距离(z). 光波由一个平面 0,y0)向另一个平面 向另一个平面 传播一段距离 x0
(1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面: , 输入平面位于透镜前焦面:
二次位相 因子
F.T.的核 的核
傅里叶变换光学系统(1)
傅里叶变换光学系统组号 4 09光信 王宏磊 09327004（合作人： 刘浩明 杨纯川）一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析力。
图1 在该点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为： 12111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
透镜的傅里叶变换性质ppt课件
d0
)
( x0 2
y02
)
第二步：写出∑0后 表面的光场分布：
U '(x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
f
k
d0
)
( x0 2
y02
)t ( x0
,
y0
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U
' ( x0
,
y0
)
c
exp透j 2镜(xP’f前-1ky||后’Pd20平) (面x02
y
2
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面
P1 | P2
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
∑p
d0
∑0: 输入面
f
z
S’
输出面
第一步：直接写出∑0 前表面的光场分布：
U (x0, y0 )
f
1 d0
exp
j
2(
f
k
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t ( x0 ,
y0 )P
f
,
fy
yf
f
数学表达式：U (x f
,
yf
)
c'T (
fx,
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换是一种将光学信号从时域转换到频域的数学工具。
它通过将光学信号分解为不同的频率成分，可以帮助我们更好地理解和分析光学现象。
傅里叶光学变换基于傅里叶变换的原理，在光学领域广泛应用于光波的传播、衍射和成像等问题。
通过傅里叶光学变换，我们可以把一个光学信号表示为一系列不同频率的正弦波的叠加，这些正弦波的振幅和相位信息可以提供有关原始信号的详细特征。
傅里叶光学变换的数学公式如下：
F(ν) = ∫f(t)e^(-2πiνt)dt
其中，F(ν)表示频率为ν的光学信号的傅里叶变换结果，f(t)表示原始光学信号，e为自然对数的底。
傅里叶光学变换的一个重要应用是光学成像。
通过将光场的复振幅进行傅里叶变换，可以获得物体的光学频谱信息，从而实现对物体的高分辨率成像。
此外，傅里叶光学变换还可以应用于光衍射、光波前传播和信号处理等方面。
通过分析不同频率成分的振幅和相位信息，我们可以了解光场在不同空间位置和时间点的变化规律，从而对光学现象进行更深入的研究。
总之，傅里叶光学变换是光学领域中一种重要的数学工具，它能够帮助我们从频域的角度来理解和分析光学信号的特性和行为，为光学研究和应用提供了有力的支持。
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T(p)=( 1+ sinap) /2
输出平面的光轴衍射出相减了的图像
[ f1(α,β) - f2(α,β)]
例:
(3)模糊图像的恢复
将逆滤波器H (p)置于相干光学处 理器的空间频率平面上
逆滤波器 = 振幅滤波器 + 位相滤波器
光学信息处理系统:
ST LA SF L SLM1 FTL1 SLM2 FTL2
CCD
M
f
f
f
f
CRT
计算机⎯数字图象 处理系统
LA，激光器；ST, 光束升降器；M，反光镜；L1，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜； SF，空间（针孔）滤波器； SLM1~SLM2，电寻址空间光调制器。
(2)图像相减
联合变换相关图象识别系统
ST LA DP1 PBS
CCD
SP
BS1 L1 A
L2 M1 O1 DP2
M3
BS2 DP3 M2
LCL P V FTL 计算机⎯数字图 象处理系统
1
FTL2
BS3
O2
CRT
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板
第十五章 光学透镜的傅立叶变换
（一）傅立叶光学
20世纪30年代以来,光学与电通讯和信息理论 相互结合,逐渐形成了傅立叶光学。 傅立叶光学的数学基础是傅立叶变换,它的物 理基础是光的衍射理论。 傅立叶变换是图像处理中最常用的变换,它是 进行图像处理和分析的有力工具 。
广义傅立叶变换：
⎡ ( x 2 + u2 ) + ( y 2 + v 2 ) ( xu + yv ) ⎤ − i 2π ~ Fα (ψ 0 ) = ∫ ∫ ψ 0 ( x , y ) exp⎢ iπ ~ ⎥ dxdy λf tan α λ f sin α ⎦ ⎣ − ∞− ∞
例1:
在焦平面上的一个水平狭缝消除了网格像 的水平线条
例2:
(a)输入图像
(b)用针孔滤掉高频的输出图像
(四)傅立叶光学信息处理
基本概念与处理系统 图像相减 模糊图像的恢复 图像识别
(1)基本概念与处理系统
光学信息处理的基本概念: 在透镜的后焦面即谱面上设置各种滤波器， 就可以对信号频谱进行改造，滤掉不需要的 信息或噪声，提取或增强我们感兴趣的信 息。滤波后的频谱，还可以再经过一个透镜 还原成为空域中经过修改的图像或信号。
正弦光栅的象及衍射图样
正交光栅的象及衍射图样
用两个黑白光栅互相垂直重叠 成一正交光栅，放在L2的物平 面上，则在上的衍射图样将是 规则排列的许多亮点。 如果在L2的象方焦面上不再放 置屏幕，而是插入一狭缝只让 中间竖直的一列亮点通过，档 住其他亮点，则正交光栅的象 的竖直条纹消失，只剩下象的 水平条纹；如果把狭缝转过 90°，让水平的一行亮点通 过，则正交光栅的象的水平条 纹消失，只剩下象的竖直条 纹。
(2)成象原理
着眼于频谱的转换相干成像过程分两步完成:
第一步是入射光经物平面 发生夫琅和费衍射，在透镜 后焦面上形成一系列衍射斑； 第二步是干涉，即各衍射斑发出的球面次波在像平面 (x’ , y’)上相干迭加，像就是干涉场。
第一步衍射起“分频”作用 第二步干涉起“合成”作用
(3)傅立叶变换在光学成象中的应用
振 幅 滤 波 器
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段 原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并 排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
∞ ∞
又称分数阶傅立叶变换。 当α = π/ 2 时，就变成傅立叶变换。 傅立叶变换：
Fα ( ψ 0 ) =
− ∞− ∞
∫ ∫ψ i 2 π ( xu + yv )]dxdy
实现广义傅立叶变换的方法：
正透镜
负透镜
(二)阿贝成像原理
一百多年前，德国人阿贝(E. Abh， 1874年)在研究如何提高显微镜的分辩 本领时，提出了阿贝成像原理，为现代 变换光学奠定了基础。
两次傅立叶变换的成象过程
(4)阿贝成像原理的意义
阿贝成像原理的真正价值在于它提供了一种 新的频谱语言来描述信息，启发人们用改变 频谱的手段来改造信息（改造图像）。 现代变换光学中的空间滤波技术和光学信息 处理，就概念来说，都起源于阿贝成像原理
(三)空间滤波
空间滤波概念 在第二次衍射的过程中，如物面上所有空间 频谱都能参与综合成象，则象面的复振幅分 布将与物面完全相同，所得到的是与原物几 何上完全相似的放大的象。如在空间频谱面 上插入光阑（如狭缝或圆孔等），则某些频 谱成分将被除去或改变(振幅减小或相位改 变)，所成的象就会发生变化而不完全与原物 相似。这种现象类似于电信号处理过程中的 滤波，因此常称为空间滤波。
几何光学成像： 透镜折射
波动光 学描述
信息光 学描述
S：物
L：透镜
F：频谱
S’：像
(1)实验介绍
1906年，波特用实验证实了阿贝成像原理
物: 以透光率为的模板 (正弦光 栅),置于凸透 镜L2前某处，用单色平 行相干光照射; 象: 在透镜L2后方一定 位置的屏幕E上将得到 模板。 可证: 在透镜L2的象方 焦面上放一屏幕，则在 上将得到由三个亮斑组 成的夫琅禾费衍射图 样。
空间滤波器: 空间滤波器
广义地说，凡是能够直接改变光信息 空间频谱的器件，通称空间滤波器， 或光学滤波器。 空间滤波的具体作法：
物信息的频谱展现在透镜的后焦面(傅氏面)上，可以在 这平面上放置不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频 段的物信息，即可主动地改变频谱，以此来达到改造图 像的目的。用频谱分析的眼光来看，傅氏面上的光阑起 着“选频”的作用。
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。