第十五章 光学透镜的傅立叶变换
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∞ ∞
又称分数阶傅立叶变换。 当α = π/ 2 时，就变成傅立叶变换。 傅立叶变换：
Fα ( ψ 0 ) =
− ∞− ∞
∫ ∫ψБайду номын сангаас
∞ ∞
0
( x , y ) exp[ − i 2 π ( xu + yv )]dxdy
实现广义傅立叶变换的方法：
正透镜
负透镜
(二)阿贝成像原理
一百多年前，德国人阿贝(E. Abh， 1874年)在研究如何提高显微镜的分辩 本领时，提出了阿贝成像原理，为现代 变换光学奠定了基础。
两次傅立叶变换的成象过程
(4)阿贝成像原理的意义
阿贝成像原理的真正价值在于它提供了一种 新的频谱语言来描述信息，启发人们用改变 频谱的手段来改造信息（改造图像）。 现代变换光学中的空间滤波技术和光学信息 处理，就概念来说，都起源于阿贝成像原理
(三)空间滤波
空间滤波概念 在第二次衍射的过程中，如物面上所有空间 频谱都能参与综合成象，则象面的复振幅分 布将与物面完全相同，所得到的是与原物几 何上完全相似的放大的象。如在空间频谱面 上插入光阑（如狭缝或圆孔等），则某些频 谱成分将被除去或改变(振幅减小或相位改 变)，所成的象就会发生变化而不完全与原物 相似。这种现象类似于电信号处理过程中的 滤波，因此常称为空间滤波。
第十五章 光学透镜的傅立叶变换
（一）傅立叶光学
20世纪30年代以来,光学与电通讯和信息理论 相互结合,逐渐形成了傅立叶光学。 傅立叶光学的数学基础是傅立叶变换,它的物 理基础是光的衍射理论。 傅立叶变换是图像处理中最常用的变换,它是 进行图像处理和分析的有力工具 。
广义傅立叶变换：
⎡ ( x 2 + u2 ) + ( y 2 + v 2 ) ( xu + yv ) ⎤ − i 2π ~ Fα (ψ 0 ) = ∫ ∫ ψ 0 ( x , y ) exp⎢ iπ ~ ⎥ dxdy λf tan α λ f sin α ⎦ ⎣ − ∞− ∞
振 幅 滤 波 器
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段 原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并 排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
(2)成象原理
着眼于频谱的转换相干成像过程分两步完成:
第一步是入射光经物平面 发生夫琅和费衍射，在透镜 后焦面上形成一系列衍射斑； 第二步是干涉，即各衍射斑发出的球面次波在像平面 (x’ , y’)上相干迭加，像就是干涉场。
第一步衍射起“分频”作用 第二步干涉起“合成”作用
(3)傅立叶变换在光学成象中的应用
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。
空间滤波器: 空间滤波器
广义地说，凡是能够直接改变光信息 空间频谱的器件，通称空间滤波器， 或光学滤波器。 空间滤波的具体作法：
物信息的频谱展现在透镜的后焦面(傅氏面)上，可以在 这平面上放置不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频 段的物信息，即可主动地改变频谱，以此来达到改造图 像的目的。用频谱分析的眼光来看，傅氏面上的光阑起 着“选频”的作用。
将两个图像透明片置于相干光学处理器 中，并在空间频率平面放一正弦光栅
T(p)=( 1+ sinap) /2
输出平面的光轴衍射出相减了的图像
[ f1(α,β) - f2(α,β)]
例:
(3)模糊图像的恢复
将逆滤波器H (p)置于相干光学处 理器的空间频率平面上
逆滤波器 = 振幅滤波器 + 位相滤波器
正弦光栅的象及衍射图样
正交光栅的象及衍射图样
用两个黑白光栅互相垂直重叠 成一正交光栅，放在L2的物平 面上，则在上的衍射图样将是 规则排列的许多亮点。 如果在L2的象方焦面上不再放 置屏幕，而是插入一狭缝只让 中间竖直的一列亮点通过，档 住其他亮点，则正交光栅的象 的竖直条纹消失，只剩下象的 水平条纹；如果把狭缝转过 90°，让水平的一行亮点通 过，则正交光栅的象的水平条 纹消失，只剩下象的竖直条 纹。
例1:
在焦平面上的一个水平狭缝消除了网格像 的水平线条
例2:
(a)输入图像
(b)用针孔滤掉高频的输出图像
(四)傅立叶光学信息处理
基本概念与处理系统 图像相减 模糊图像的恢复 图像识别
(1)基本概念与处理系统
光学信息处理的基本概念: 在透镜的后焦面即谱面上设置各种滤波器， 就可以对信号频谱进行改造，滤掉不需要的 信息或噪声，提取或增强我们感兴趣的信 息。滤波后的频谱，还可以再经过一个透镜 还原成为空域中经过修改的图像或信号。
光学信息处理系统:
ST LA SF L SLM1 FTL1 SLM2 FTL2
CCD
M
f
f
f
f
CRT
计算机⎯数字图象 处理系统
LA，激光器；ST, 光束升降器；M，反光镜；L1，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜； SF，空间（针孔）滤波器； SLM1~SLM2，电寻址空间光调制器。
(2)图像相减
几何光学成像： 透镜折射
波动光 学描述
信息光 学描述
S：物
L：透镜
F：频谱
S’：像
(1)实验介绍
1906年，波特用实验证实了阿贝成像原理
物: 以透光率为的模板 (正弦光 栅),置于凸透 镜L2前某处，用单色平 行相干光照射; 象: 在透镜L2后方一定 位置的屏幕E上将得到 模板。 可证: 在透镜L2的象方 焦面上放一屏幕，则在 上将得到由三个亮斑组 成的夫琅禾费衍射图 样。
联合变换相关图象识别系统
ST LA DP1 PBS
CCD
SP
BS1 L1 A
L2 M1 O1 DP2
M3
BS2 DP3 M2
LCL P V FTL 计算机⎯数字图 象处理系统
1
FTL2
BS3
O2
CRT
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板
又称分数阶傅立叶变换。 当α = π/ 2 时，就变成傅立叶变换。 傅立叶变换：
Fα ( ψ 0 ) =
− ∞− ∞
∫ ∫ψБайду номын сангаас
∞ ∞
0
( x , y ) exp[ − i 2 π ( xu + yv )]dxdy
实现广义傅立叶变换的方法：
正透镜
负透镜
(二)阿贝成像原理
一百多年前，德国人阿贝(E. Abh， 1874年)在研究如何提高显微镜的分辩 本领时，提出了阿贝成像原理，为现代 变换光学奠定了基础。
两次傅立叶变换的成象过程
(4)阿贝成像原理的意义
阿贝成像原理的真正价值在于它提供了一种 新的频谱语言来描述信息，启发人们用改变 频谱的手段来改造信息（改造图像）。 现代变换光学中的空间滤波技术和光学信息 处理，就概念来说，都起源于阿贝成像原理
(三)空间滤波
空间滤波概念 在第二次衍射的过程中，如物面上所有空间 频谱都能参与综合成象，则象面的复振幅分 布将与物面完全相同，所得到的是与原物几 何上完全相似的放大的象。如在空间频谱面 上插入光阑（如狭缝或圆孔等），则某些频 谱成分将被除去或改变(振幅减小或相位改 变)，所成的象就会发生变化而不完全与原物 相似。这种现象类似于电信号处理过程中的 滤波，因此常称为空间滤波。
第十五章 光学透镜的傅立叶变换
（一）傅立叶光学
20世纪30年代以来,光学与电通讯和信息理论 相互结合,逐渐形成了傅立叶光学。 傅立叶光学的数学基础是傅立叶变换,它的物 理基础是光的衍射理论。 傅立叶变换是图像处理中最常用的变换,它是 进行图像处理和分析的有力工具 。
广义傅立叶变换：
⎡ ( x 2 + u2 ) + ( y 2 + v 2 ) ( xu + yv ) ⎤ − i 2π ~ Fα (ψ 0 ) = ∫ ∫ ψ 0 ( x , y ) exp⎢ iπ ~ ⎥ dxdy λf tan α λ f sin α ⎦ ⎣ − ∞− ∞
振 幅 滤 波 器
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段 原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并 排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
(2)成象原理
着眼于频谱的转换相干成像过程分两步完成:
第一步是入射光经物平面 发生夫琅和费衍射，在透镜 后焦面上形成一系列衍射斑； 第二步是干涉，即各衍射斑发出的球面次波在像平面 (x’ , y’)上相干迭加，像就是干涉场。
第一步衍射起“分频”作用 第二步干涉起“合成”作用
(3)傅立叶变换在光学成象中的应用
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。
空间滤波器: 空间滤波器
广义地说，凡是能够直接改变光信息 空间频谱的器件，通称空间滤波器， 或光学滤波器。 空间滤波的具体作法：
物信息的频谱展现在透镜的后焦面(傅氏面)上，可以在 这平面上放置不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频 段的物信息，即可主动地改变频谱，以此来达到改造图 像的目的。用频谱分析的眼光来看，傅氏面上的光阑起 着“选频”的作用。
将两个图像透明片置于相干光学处理器 中，并在空间频率平面放一正弦光栅
T(p)=( 1+ sinap) /2
输出平面的光轴衍射出相减了的图像
[ f1(α,β) - f2(α,β)]
例:
(3)模糊图像的恢复
将逆滤波器H (p)置于相干光学处 理器的空间频率平面上
逆滤波器 = 振幅滤波器 + 位相滤波器
正弦光栅的象及衍射图样
正交光栅的象及衍射图样
用两个黑白光栅互相垂直重叠 成一正交光栅，放在L2的物平 面上，则在上的衍射图样将是 规则排列的许多亮点。 如果在L2的象方焦面上不再放 置屏幕，而是插入一狭缝只让 中间竖直的一列亮点通过，档 住其他亮点，则正交光栅的象 的竖直条纹消失，只剩下象的 水平条纹；如果把狭缝转过 90°，让水平的一行亮点通 过，则正交光栅的象的水平条 纹消失，只剩下象的竖直条 纹。
例1:
在焦平面上的一个水平狭缝消除了网格像 的水平线条
例2:
(a)输入图像
(b)用针孔滤掉高频的输出图像
(四)傅立叶光学信息处理
基本概念与处理系统 图像相减 模糊图像的恢复 图像识别
(1)基本概念与处理系统
光学信息处理的基本概念: 在透镜的后焦面即谱面上设置各种滤波器， 就可以对信号频谱进行改造，滤掉不需要的 信息或噪声，提取或增强我们感兴趣的信 息。滤波后的频谱，还可以再经过一个透镜 还原成为空域中经过修改的图像或信号。
光学信息处理系统:
ST LA SF L SLM1 FTL1 SLM2 FTL2
CCD
M
f
f
f
f
CRT
计算机⎯数字图象 处理系统
LA，激光器；ST, 光束升降器；M，反光镜；L1，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜； SF，空间（针孔）滤波器； SLM1~SLM2，电寻址空间光调制器。
(2)图像相减
几何光学成像： 透镜折射
波动光 学描述
信息光 学描述
S：物
L：透镜
F：频谱
S’：像
(1)实验介绍
1906年，波特用实验证实了阿贝成像原理
物: 以透光率为的模板 (正弦光 栅),置于凸透 镜L2前某处，用单色平 行相干光照射; 象: 在透镜L2后方一定 位置的屏幕E上将得到 模板。 可证: 在透镜L2的象方 焦面上放一屏幕，则在 上将得到由三个亮斑组 成的夫琅禾费衍射图 样。
联合变换相关图象识别系统
ST LA DP1 PBS
CCD
SP
BS1 L1 A
L2 M1 O1 DP2
M3
BS2 DP3 M2
LCL P V FTL 计算机⎯数字图 象处理系统
1
FTL2
BS3
O2
CRT
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板