2020年高考理科数学专题训练 大题每日一题规范练(第一周)

星期一 (三角) 2020年____月____日

【题目1】 (本小题满分12分)已知a ，b 分别是△ABC 内角A ，B 的对边，且b sin 2A ＝3a cos A sin B ，函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A 2sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2.

(1)求A ；

(2)求函数f (x )的值域.

解 (1)在△ABC 中，b sin 2A ＝3a cos A sin B ， 由正弦定理得，sin B sin 2A ＝3sin A cos A sin B ， 又A ，B 为△ABC 的内角，故sin A sin B ≠0， ∴tan A ＝sin A

cos A ＝3， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π

3. (2)由A ＝

π3

， ∴函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A

2sin 2x ＝32cos 2x －1

4sin 2x

＝32·1＋cos 2x 2－12·12sin 2x

＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －3

2cos 2x ＋34

＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3

4，

∵x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，

∴－π3≤2x －π3≤2π

3， ∴－32≤sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x －π3≤1，

∴3－24≤－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34≤32，

所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

3－24，32.

星期二 (数列) 2018年____月____日

【题目2】 (本小题满分12分)已知递增数列{a n }，a 1＝2，其前n 项和为S n ，且满足3(S n ＋S n －1)＝a 2n ＋2(n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足log 2b n

a n

＝n ，求其前n 项和T n .

解 (1)因为3(S n ＋S n －1)＝a 2

n ＋2(n ≥2)，

所以3(S n －1＋S n －2)＝a 2n －1＋2(n ≥3).

两式相减得3(a n ＋a n －1)＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)， 由递增数列{a n }，a 1＝2， 得a n －a n －1＝3(n ≥3).

由题意得3(a 1＋a 2＋a 1)＝a 22＋2，

且3(a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2)＝a 23＋2，

解之得a 2＝5，a 3＝8. 由等差数列的通项公式 得a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1， 上式对n ＝1，2也成立，

故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. (2)数列{b n }满足log 2b n

a n

＝n ，

可得b n ＝(3n －1)·2n ，

前n 项和T n ＝2·2＋5·22＋8·23＋…＋(3n －1)·2n ， 2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n －1)·2n ＋1，

两式相减得，－T n ＝4＋3(22＋23＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1

＝4＋3·4（1－2n －1

）1－2

－

(3n －1)·2n ＋1，

化简可得T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.

星期三 (立体几何) 2018年____月____日

【题目3】 (本小题满分12分)如图在直角梯形BB 1C 1C 中，∠CC 1B 1＝90°，BB 1∥CC 1，CC 1＝B 1C 1＝2BB 1＝2，D 是CC 1的中点.四边形AA 1C 1C 可以通过直角梯形BB 1C 1C 以CC 1为轴旋转得到，且二面角B 1－CC 1－A 1为120°. (1)若点E 是线段A 1B 1上的动点，求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角B －AC －A 1的余弦值.

(1)证明 如图所示，连接B 1D ，DA 1. 由已知可得BB 1綉1

2CC 1綉CD ， ∴四边形B 1BCD 是平行四边形， ∴B 1D ∥BC .

又BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ； ∴B 1D ∥平面ABC .

同理可得DA 1∥平面ABC .又A 1D ∩DB 1＝D ， ∴平面B 1DA 1∥平面ABC .且DE ⊂平面B 1DA 1， ∴DE ∥平面ABC .

(2)解 作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则C 1(0，0，0)，A 1(3，－1，0)，B (0，2，1)，C (0，0，2)，A (3，－1，1). CA →＝(3，－1，－1)，CB →＝(0，2，－1)，C 1C →＝(0，0，2). 设平面ABC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，

则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0，m ·

CB →＝0，即⎩⎨⎧3x 1－y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0.取m ＝(3，1，2).

设平面A 1ACC 1的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·

C 1C →＝0，即⎩⎨⎧3x 2－y 2－z 2＝0，2z 2＝0.取n ＝(1，3，0).

∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝238×4＝64.

∴二面角B －AC －A 1的余弦值是6

4.

星期四 (概率统计) 2018年____月____日

【题目4】 (本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为p (0

(1)若p ＝1

3，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率； (2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案： 方案一：均分成两组化验； 方案二：混在一起化验；

请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由.

解 (1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－133＝1927，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为1927.

(2)设q ＝1－p ，则0

方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，

P (Y ＝2)＝q 4，P (Y ＝4)＝C 12(1－q 2)q 2，P (Y ＝6)＝(1－q 2)2

，