2020年高考理科数学专题训练 大题每日一题规范练(第一周)

星期一 (三角) 2020年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)已知a ，b 分别是△ABC 内角A ，B 的对边，且b sin 2A ＝3a cos A sin B ，函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A 2sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求A ；(2)求函数f (x )的值域.解 (1)在△ABC 中，b sin 2A ＝3a cos A sin B ， 由正弦定理得，sin B sin 2A ＝3sin A cos A sin B ， 又A ，B 为△ABC 的内角，故sin A sin B ≠0， ∴tan A ＝sin Acos A ＝3， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)由A ＝π3， ∴函数f (x )＝sin A cos 2x －sin 2A2sin 2x ＝32cos 2x －14sin 2x＝32·1＋cos 2x 2－12·12sin 2x＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＋34＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴3－24≤－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34≤32，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－24，32.星期二 (数列) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知递增数列{a n }，a 1＝2，其前n 项和为S n ，且满足3(S n ＋S n －1)＝a 2n ＋2(n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足log 2b na n＝n ，求其前n 项和T n .解 (1)因为3(S n ＋S n －1)＝a 2n ＋2(n ≥2)，所以3(S n －1＋S n －2)＝a 2n －1＋2(n ≥3).两式相减得3(a n ＋a n －1)＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)， 由递增数列{a n }，a 1＝2， 得a n －a n －1＝3(n ≥3).由题意得3(a 1＋a 2＋a 1)＝a 22＋2，且3(a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2)＝a 23＋2，解之得a 2＝5，a 3＝8. 由等差数列的通项公式 得a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1， 上式对n ＝1，2也成立，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. (2)数列{b n }满足log 2b na n＝n ，可得b n ＝(3n －1)·2n ，前n 项和T n ＝2·2＋5·22＋8·23＋…＋(3n －1)·2n ， 2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋…＋(3n －1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝4＋3(22＋23＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋3·4（1－2n －1）1－2－(3n －1)·2n ＋1，化简可得T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.星期三 (立体几何) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)如图在直角梯形BB 1C 1C 中，∠CC 1B 1＝90°，BB 1∥CC 1，CC 1＝B 1C 1＝2BB 1＝2，D 是CC 1的中点.四边形AA 1C 1C 可以通过直角梯形BB 1C 1C 以CC 1为轴旋转得到，且二面角B 1－CC 1－A 1为120°. (1)若点E 是线段A 1B 1上的动点，求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角B －AC －A 1的余弦值.(1)证明 如图所示，连接B 1D ，DA 1. 由已知可得BB 1綉12CC 1綉CD ， ∴四边形B 1BCD 是平行四边形， ∴B 1D ∥BC .又BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ； ∴B 1D ∥平面ABC .同理可得DA 1∥平面ABC .又A 1D ∩DB 1＝D ， ∴平面B 1DA 1∥平面ABC .且DE ⊂平面B 1DA 1， ∴DE ∥平面ABC .(2)解 作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则C 1(0，0，0)，A 1(3，－1，0)，B (0，2，1)，C (0，0，2)，A (3，－1，1). CA →＝(3，－1，－1)，CB →＝(0，2，－1)，C 1C →＝(0，0，2). 设平面ABC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0，m ·CB →＝0，即⎩⎨⎧3x 1－y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0.取m ＝(3，1，2).设平面A 1ACC 1的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·C 1C →＝0，即⎩⎨⎧3x 2－y 2－z 2＝0，2z 2＝0.取n ＝(1，3，0).∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝238×4＝64.∴二面角B －AC －A 1的余弦值是64.星期四 (概率统计) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A 的概率为p (0<p <1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A ，若化验结果呈阳性则含A ，呈阴性则不含A .若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A 时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.(1)若p ＝13，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率； (2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案： 方案一：均分成两组化验； 方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由.解 (1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为1927.(2)设q ＝1－p ，则0<q <1.方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，P (Y ＝2)＝q 4，P (Y ＝4)＝C 12(1－q 2)q 2，P (Y ＝6)＝(1－q 2)2，E (Y )＝2×q 4＋4×C 12(1－q 2)q 2＋6×(1－q 2)2＝6－4q 2.方案二：设所需化验的次数为Z ，则Z 的所有可能取值为1，5次， P (Z ＝1)＝q 4，P (Z ＝5)＝1－q 4， E (Z )＝1×q 4＋5×(1－q 4)＝5－4q 4.因为E (Y )－E (Z )＝6－4q 2－(5－4q 4)＝(2q 2－1)2≥0，即E (Y )≥E (Z )，所以方案二更适合.星期五 (函数与导数) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)设f (x )＝e x (ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝ 2.71 828…).(1)若y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2e x ＋b ，求a ，b 的值. (2)若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，求实数a 的取值范围.解 (1)因为f ′(x )＝e x (ln x －a )＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －a ，所以由题意，得f ′(1)＝e(1－a )＝2e ， 解得a ＝－1.所以f (1)＝e(ln 1－a )＝e ，由切点(1，e)在切线y ＝2e x ＋b 上，得e ＝2e ＋b ，b ＝－e ，故a ＝－1，b ＝－e. (2)由题意可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立.因为e x>0，所以只需ln x ＋1x －a ≤0，即a ≥ln x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立.令g (x )＝ln x ＋1x .因为g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e ＝e －1，g (e)＝1＋1e ，因为e －1>1＋1e ，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1，所以a ≥e －1.故实数a 的取值范围是[e －1，＋∞).星期六 (解析几何) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，设点F 1，F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B ，P 为椭圆C 上三点，满足OP→＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M ，N 两点，求|MN |. 解 (1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2. 故椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝35OA →＋45OB →，∴OP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2，故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.由于点P 在椭圆C 上，故有18⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 22＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 22＝1，925⎝ ⎛⎭⎪⎫x 218＋y 214＋1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x 228＋y 224＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1， 即925＋1625＋2425⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0.令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.因A ，B 在椭圆C 上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，x 228＋y 224＝1，相加有x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2.故（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2，由于x 1x 28＋y 1y 24＝0，故（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－43， x 3·x 4＝－23.故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝ 1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453.法二 设A (22cos α，2sin α)，B (22cos β，2sin β)， ∵OP→＝35OA →＋45OB →， ∴OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62cos α＋82cos β5，6sin α＋8sin β5， 故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62cos α＋82cos β5，6sin α＋8sin β5. ∵点P 在椭圆上，∴(3cos α＋4cos β)2＋(3sin α＋4sin β)2＝25， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝0，∴cos(α－β)＝0， ∴α－β＝π2，∴B (22sin α，－2cos α)，∴AB 中点Q 的坐标为(2cos α＋2sin α，sin α－cos α)， 设Q 的点坐标为(x ，y )，∴x ＝2cos α＋2sin α，y ＝sin α－cos α，∴x 22＝cos 2α＋2cos αsin α＋sin 2α＝1＋2cos αsin α，y 2＝cos 2α－2cos αsin α＋sin 2α＝1－2cos αsin α， ∴x 22＋y 2＝2，即线段AB 中点Q 的轨迹为E 的方程为x 24＋y 22＝1. 设M ，N 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消y ，整理得3x 2＋4x －2＝0， ∴x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝－23，∴|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝453.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0. (1)求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M (2，0)，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，消去参数，得普通方程y ＝3(x －2).曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直角坐标方程为y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，整理可得3t 2－8t －32＝0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝83，t 1t 2＝－323， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 2t 1t 2＝14. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝|2x ＋3|－|2x －a |，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤－5的解集非空，求实数a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，求实数a 的值.解 (1)||2x ＋3|－|2x －a ||≤|2x ＋3－2x ＋a |＝|3＋a |， ∵不等式f (x )≤－5的解集非空， ∴－|3＋a |≤－5， ∴a ≤－8或a ≥2.故实数a 的取值范围是(－∞，－8]∪[2，＋∞). (2)∵函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －12＝0， ∴|2x ＋2|－|2x －1－a |＋|－2x ＋2|－|－2x －1－a |＝0， 由于对任意x 为实数均成立，∴a ＝1.。