几何图形中的计数问题
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
七年级数学奥数《几何图形的计数问题》教学课件
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
几何图形中的计数问题
几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。
这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。
能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。
下面举例说明。
1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。
二年级专题第四讲：数几何图形的个数
第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。
一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。
分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。
数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。
法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2. 数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数. 【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC 共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
三年级上册数学《几何图形计数问题》竞赛试题-人教版(含答案)
几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。
5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。
6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。
（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法
高考中“立体几何”中的计数问题求解方法在近几年的高考试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
1、直接求解例1：从平面上取6个点，从平面上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？解: 利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有+ + 个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有A.40B. 48C. 56D. 62种解: 满足题设的取法可以分成三类（1）在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有种不同取法；（3）过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。
2、结合“立几”概念求解例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没有任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？解析:3、结合“立几”图形求解例4.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解：分类：以棱柱的底面为棱锥的底面;以棱柱的侧面为棱锥的底面以棱柱的对角面为棱锥的底面以图中(梯形)为棱锥的底面共+ + + =170个4、构造几何模型求解例5.（05年湖北）以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为A. B. C.D. 选A在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
第六讲几何图形的计数问题
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
例谈与几何图形有关的计数问题
例谈与几何图形有关的计数问题山东省郓城第一中学（274700） 李迎春［摘 要］与几何图形有关的计数问题，一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
文章结合几个典型例题，归纳总结这一类问题的求解策略，以帮助学生突破难点，提高学生解决问题的综合能力，发展学生的数学核心素养。
［关键词］几何图形；计数问题；排列；组合［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0028-03在各类数学考试中，与几何图形有关的计数问题频频出现。
这类问题一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
这类问题该如何破解？本文结合具体例题进行分类解析。
一、“位置关系”问题“位置关系”问题是指结合几何图形的某种特征，利用两个计数原理、排列与组合知识加以计数的一类计算问题，通常是计算图形中含有多少对异面直线、含有多少个三角形、含有多少个平面等。
［例1］（1）若把两条异面直线叫作“一双”，则在一个正方体的十二条棱中可以构成异面直线（ ）。
A. 12双B. 24双C. 36双D. 48双（2）从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为。
（3）在如图1所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为。
解析：（1）画出正方体，如图2所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除重复计算的棱，则共有异面直线12×42=24（双），故选B。
（2）从8个顶点中任取4个有C48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C48-12=58个不同的四面体。
（3）求不同的取法种数可分为三类。
第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点，有4C35种取法；第二类，从每个对角面上除点P外的4个点中任取3个点，有2C34种取法；第三类，在过点P的侧棱中，每一条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4C12种取法。
几何计数,数线段,直接利用公式
几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是数学中的一个重要概念，用于计算平面内的几何图形的个数。
在几何计数中，数线段是一个常见的问题。
利用公式可以简单地计算出给定平面内线段的个数。
假设给定平面上有n个点，我们可以用这些点来构造线段。
在这些点中，任选两个点可以确定一条唯一的线段。
因此，我们可以从n个点中选择任意两个点，即C(n, 2)种选择方式。
而C(n, 2)代表从n个元素中选择2个元素的组合数，计算公式为：C(n, 2) = n! / [(2!(n-2)!]其中n!表示n的阶乘，即从1到n的连续乘积。
由于计算阶乘可能会非常复杂，因此我们可以利用简化的公式来计算C(n, 2)。
假设n>=2，我们可以简化上述公式为：C(n, 2) = n * (n-1) / 2这个简化公式表示，从n个点中选择任意两个点构成线段，共有n * (n-1) / 2种可能。
例如，给定一个平面上有5个点，我们可以利用简化公式计算出线段的个数：C(5, 2) = 5 * (5-1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 10因此，给定5个点的平面上有10个线段。
需要注意的是，这个计算的结果包含了所有不同长度的线段，包括长度为0的线段（即两个点重合的情况）。
如果要求线段的长度大于0，则需要做进一步的筛选和排除。
另外，上述公式只适用于计算给定平面上的线段个数。
如果要考虑不同平面之间的连接，或者给定了其他限制条件（例如线段不能相交），则需要另外的计算方法。
综上所述，利用公式可以简单地计算给定平面内线段的个数。
通过选择任意两个点，利用组合数公式可以计算出线段个数。
这对于几何计数问题中的线段数量问题是一个有用的工具。
几何图形的计数
3
直角三角形和勾股定理
三边成立的等式带有平方，需要密切注意各个长度的差别。
结语
几何图形的计数方法看似简单，却隐藏了各种细节和注意事项。希望本演讲能帮助你更好地掌握这些技 巧，从而更轻松地处理图形计数问题。
4
梯形
两边平行且不相等，垂线长度为高，计算略有不同。
三角形和正多Biblioteka 形的计数方法正三角形三边相等，三个角也相等，易于识别。
相似三角形
各边成比例，计算需要考虑比例因素。
正多边形
对于n边形，公式是(n/2)(n-1)。对于正n边形，公 式是n(n-3)/2。
圆的计数方法
直径和半径
直径是通过圆心的线段，半径是圆心到圆上 任意一点的距离。
几何图形的计数
当我们面对几何图形，我们时常需要对图形总数进行计数。在这个演讲中， 我们将介绍各种几何图形的计数方法，从四边形到多面体，再到不规则图形 和椭圆。
四边形的计数方法
1
正方形
四个直角相等，四条边相等，计数方法简单明了。
2
长方形
两对对边相等而且平行，容易混淆，需要注意不计重复。
3
平行四边形
和长方形类似，对边相等且平行，两者有些细微差别。
可以不相等。
3
平行四边形和基本公式
平行四边形有两组平行对边，计算方 法与梯形类似。
菱形和不规则图形
菱形
四边相等，对角线互相垂直，计算需要注意顶点 角度。
不规则图形
没有特定的规律和公式，需要认真观察和分析。
立体图形和平面图形
立方体和长方体
立方体有六个正方形面，长方体由两个正方形面，四个长方形面和顶部底部。
正八面体
有八个三角形面，计算需要对每个面的贡献分别计算。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
几何计数知识点
几何计数知识点几何计数是数学中一个重要的分支，用于解决与几何形状和图形有关的计数问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的几何计数知识点，包括排列组合、排列、组合、二项式定理等。
一、排列组合排列组合是几何计数中最基础的概念之一。
它们是用于计算从一组对象中选取若干个对象进行排列或组合的方法。
1.排列排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排列的方法。
排列的顺序很重要，即选取的对象的顺序不同，排列的结果也不同。
排列的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。
2.组合组合是指从一组对象中选取若干个对象进行组合的方法。
组合的顺序不重要，即选取的对象的顺序不同，组合的结果相同。
组合的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。
二、二项式定理二项式定理是几何计数中一个重要的定理，它用于展开二项式的幂。
二项式定理的公式为(a + b)^n = C(n, 0)a nb^0 + C(n, 1)a(n-1)b^1 + C(n, 2)a(n-2)b^2 + … + C(n, n)a0b^n，其中C(n, r)表示从n个对象中选取r个对象的组合数。
三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明几何计数的应用。
假设有一个班级，其中有10个男生和8个女生。
班主任要从班级中选出一组学生参加一个学术竞赛。
要求选出的学生中至少包括2个男生和1个女生。
首先，我们计算选出的学生中包含2个男生和1个女生的情况。
根据排列组合的知识，男生有10个，我们从中选出2个，有C(10, 2)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。
根据乘法原理，总共有C(10, 2) * C(8, 1)种情况。
其次，我们计算选出的学生中包含3个男生和1个女生的情况。
男生有10个，我们从中选出3个，有C(10, 3)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。
上海奥数精讲 第3讲 几何中的计数问题(一)(教师版)
教具准备1、课件:
2、flash动画。
3、板书。
教学难点图形的计数方法
教学重点图形的计数方法
教学目标
1、认识几何中的计数问题；
2、掌握分类的方法有规律地去计算
几何中的计数问题；
3、帮助学生养成按照一定顺序去观
察、思考问题的良好习惯，逐步学会
通过观察、思考探寻事物规律的能力.
第3讲几何中的计数问题（一）
1、 计算一类对象所含个体的数目叫做计数
问题。
2、 解决计数问题的一般方法是：先分类，然
后逐类分步；综合运用加法原理和乘法原理来求解。
4、注意做到不重复、不遗漏。
内1、 几何中的计数问题包括：数线段、数角、
数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等；
2、 线段计数方法：1）按照线段的端点顺
序去数；2）按照基本线段多少的顺序后分类计算包含1,2,3…个基本角的角
的个数；
4、 三角形的计数方法：先数基本三角形的
个数，然后分类计算包含1,2,3…个基本三角形的三角形的个数。
环节一：
教学目标：由简单的线段数的求解激发学生对几何中的计数问题的学习兴趣。
引入
环节二：
教学目标：学习并掌握
例1
）
例2
【讲解过程】
环节三：
教学目标：学习并掌握例３
环节四：
例5
例6
环节五：
教学目标：整理全课思路，巩固收获
巩固目标：熟练应用规律解决几何中的计数问题。
【练习1】数一数下图中，各有多少条线段？
方法总结体现之处
趣味性体现之处
板书设计
课后总结较为成功之处：有待改进之处：。
几何计数的四种常用方法
几何计数的四种常用方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何计数的四种常用方法。
你看啊，几何计数就像是在一个奇妙的图形世界里数星星，得有窍门才行。
第一种方法呢，就像按图索骥，我们直接去数那些明显的图形。
这多直接呀，就好比你在一堆糖果里找红色的那颗，一眼就能瞧见。
可别小瞧这方法，有时候简单直接最管用呢！再来说说第二种方法，就像是顺藤摸瓜。
我们找到一些规律，顺着这些规律去计数。
比如说一个图形是按规律排列的，那我们就跟着这个规律走，一个一个地数清楚。
这就好像你知道每天上学的路上会经过几个红绿灯，心里有数得很呐！第三种方法呢，有点像拼图游戏。
我们把复杂的图形拆分成几个简单的部分，分别去计数，然后再合起来。
哎呀呀，这就像把一个大拼图分成小块，数完了再拼回去，多有意思！还有第四种方法，像是走迷宫找出口。
我们通过一些巧妙的计算或者推理，找到计数的方法。
这可得动点小脑筋啦，就像你在迷宫里找路，得仔细琢磨琢磨呢！比如说那个三角形，一个大三角形里又有好多小三角形，你要是没点方法，那不得数得眼花缭乱呀！可要是用对了方法，就像找到了打开宝库的钥匙，一下子就清楚啦。
几何计数可不只是在纸上随便画画数数，它就像生活中的小智慧。
你想想，你收拾房间的时候，是不是得知道有多少东西要放呀；或者你去超市买东西，得清楚自己买了几种不同的商品吧。
几何计数也是一样，让我们更清楚地了解图形的奥秘。
所以啊，大家可别小看这几何计数的四种常用方法，它们就像是我们探索图形世界的秘密武器。
只要我们用心去学，去用，就能在这个图形的海洋里畅游无阻。
好好掌握它们吧，朋友们！让我们一起在几何的世界里玩得开心，数得精彩！。
三年级几何计数
几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。
小学奥数家教 计数问题一几何中的计数
计数问题一、数线段第一种：按照线段的端点顺序去数第二种：按照基本线段多少的顺序去数.线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.二、数角数角的方法可以采用数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1三、数三角形1.共顶点只有一个公共底边的三角形数法：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.2.有多条底边的三角形数法：分开看各底边用之前方法进行计数小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.练习1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？四、数长方形一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.五、数正方形一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1六、数复杂图形中三角形尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了. 35练习1.下图中有多少个正方形？2.下图中有多少个长方形？3.下图中有多少个长方形？4.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？5.下图中有多少个三角形？6.下图中有多少个三角形？7.下图中有多少个正方形？解答：1.①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2.①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠AOB 内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3.①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4.①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（个）.1.共有正方形54个.2.共有长方形136个.3.共有长方形133个.4.（1）共有三角形78个.（2）共有三角形58个.5.共有三角形45个.6.共有三角形36个.7.共有正方形24个.。
小学奥数-几何计数-专题
知识框架图7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类教学目标知识要点几何计数数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？（4级）【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级）【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？（4级）【例 3】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?（4级）【例 4】 图中共有多少个长方形？（4级）【例 5】 下面的55⨯和64⨯图中共有【例 6】 在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?（6级）374218125【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．（6级）【例 7】下图中共有____个正方形．（4级）【巩固】图中有______个正方形．（4级）【例 8】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．（6级）【巩固】在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）【例 9】图中含有“※”的长方形总共有________个．（6级）※※【巩固】由20个边长为1的小正方形拼成一个45长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是．(第六届走美决赛试题)（6级）【例 10】如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．（4级）*【例 11】如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?（6级）【例 12】图中共有多少个三角形？（6级）【例 13】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（6级）【例 14】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？（8级）☆【例 15】(第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有个正方形．（8级）【巩固】这幅图中有个三角形．（10级）【例 16】一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8级）【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？（8级）【例 17】在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个等腰三角形．（8级）【例 18】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？（8级）【例 19】圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．（8级）【例 20】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?（10级）。
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几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。
这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。
能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。
下面举例说明。
1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。
评注：分类计数是重要的计数方法，当题目中条件较为复杂，我们可通过适当分类，达到简化问题，快速求解目的。
注意分类的基本原则：不重、不漏。
2 间接剔除例3 (1997年 高考)四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ）)(A 150种 )(B 147种 )(C 144种 )(D 141种解析：本题若直接求解，讨论四点不共面的情况，比较繁琐，不妨换个角度，从问题的反面入手，考虑四点何时共面？应分三类：第一类：共面的四个点位于四面体的某一个面内，不同的取法共有60446=⨯C ； 第二类：共面的四个点位于空间四边形的四边中点，不同的取法共有3种； 第三类：共面的四个点位于四面体的一条棱和对棱的中点，不同的取法共有6种. 故符合题意的取法共有1416360410=---C 种注：正难则反，间接方法是解决这类问题的常用方法。
3 适当合并例4 （2010天津卷 理）如图2，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 （ ）（A ）168种 （B ）240种 （C ）264种 （D ）288种解析：考虑不相邻的顶点可以涂同一种颜色，把图中六个点适当合并，有以下几种情况：（1） 如果用三种颜色涂色，可以把不相邻的顶点合并，有以下两种情况 ① （AF ）,（BD ）,（CE ）；② （AC ）,（BE ）,（DF ）.不同的涂色方法共有342=48A ⨯（种） 注：括号内表示图相同颜色的两个顶点，合并成为一个区域（顶点）。
（2）如果用4种颜色涂色，可以把不相邻的顶点合并两组，共有如下9种方法，即（AF ） , （BD ）, C ， E ； （AC ） , （BE ） ， D ， F ；（AF ） , （CE ）， B ， D ； （BE ） , （DF ） , A, C;(BD) , (CE) , A , F ； (AC) , (DF) , B ， E ；(AC) , (BD) , E, F; (AF) , (BE) , C, D;(CE) , (DF) , A, B ；不同的涂色方法共有449=216A ⨯（种） 所以，不同的涂色方法有 一共有=48+216=264N （种）。
评注：区域（顶点）染色问题，通常采取单元格合并的方法，（将能用一种颜色涂色的不相邻区域看成一个区域对待。
）合并之后，再进行染色。
为了避免涂色过程中的重复与遗漏，要将所有可能的合并情况列举完整。
例5 (2003新课程卷)某城市中心广场建造了花圃,花圃分为6个部分(如图3所示),现要栽种4种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有________种(用数字作答).解析 用4种不同的花栽在六个不同的区域，必定会有某些区域栽种同一种花，我们把栽种同一种花的区域合并成一个区域，不同的合并方法有：（1），（2，4），（3,5），（6）； （1），（2，4），（3,6），（5）；（1），（2，5），（3,6），（4）； （1），（2，5），（4,6），（3）；（1），（3，5），（4,6），（2）；一共有5中合并方法，对于每一种合并方法，栽种4种不同的花，各有44=24A种方法。
一共有445=120A ⨯种方法。
所以，不同的栽种方法一共有120种。
3 构造对应例5 如果把两条异面直线看作“一对”，那么由正方体的8个顶点，可构成异面直线 （ ）)(A 140对 )(B 196对 )(C 174对 )(D 168对解析:本题若直接求解，比较困难，不妨通过构造四面体模型，建立对应关系计数.图3由正方体的8个顶点可构成581248=-C 个四面体，而每个四面体中有3对异面直线，故共有174358=⨯对异面直线.答案选)(C .例6 圆周上共有10个点，任意两点连接的线段中，在圆内的交点个数至多有( ))(A 45个 )(B 90个 )(C 210个 )(D 120个解析: 圆周上共有10个点，任意两点连接的线段（即圆的弦）中，在圆内不一定都有交点，要使得交点个数最多，则任何三条线段（弦）在圆内不共点。
根据任意四边形的对角线交于一点，可构造四边形解决问题，每一个四边形的对角线在其内部有一个交点。
这圆周上的10个点中，在圆内交点个数与这10个点构成的四边形上一一对应关系。
因此，这10个点，任意两点连接的线段中，在圆内的交点个数等于四边形的个数，即至多有410210C =个。
答案选)(C【练习】1.正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）)(A 70个 )(B 64个 )(C 58个 )(D 62个2.（05年全国卷Ⅰ）如果把两条异面直线看作“一对”，过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）)(A 18对 )(B 24对 )(C 30对 )(D 36对3．已知AOB ∠的边OA 上有5个点（不包括O ),边OB 上有6个点（不包括O ),b 则由这些点和O 点一共可构成三角形的个数为 ( ))(A 120个 )(B 145个 )(C 165个 )(D 196个4. （2014·安徽高考理科·Ｔ8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）)(A 24对 )(B 30对 )(C 48对 )(D 60对5.给四棱锥的顶点涂色，每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，有5种不同颜色可用，则不同的涂色方法有（ ）)(A 144种 )(B 240种 )(C 300种 )(D 420种6. 已知直线）都不为0,(1b a by a x =+与圆5022=+y x 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有60︒)(A 48条 )(B 60条 )(C 66条 )(D 78条【参考答案及提示】1．C ；提示：581238=-C 个四面体.2．D ；由三棱柱的6个顶点可以确定四面体12346=-C 个，每个四面体有3对异面直线，故共有36123=⨯对异面直线，选D.3.C; 方法一：直接法，分两类：①含有点O,有116530C C ⋅=个； ②不含有点O ，12216565135C C C C ⋅+⋅=个； 所以，一共有165个三角形；方法二：间接方法求解, 3331267165C C C --=;4. 选C ；正方体的每一个顶点有6对满足条件的对角线，8个顶点共有48对.5.选D ；若用5种颜色，有55120A =种方法；若用4种颜色，地面的4个顶点中，对角线上的顶点合并，有2种方法，一共有有452240A =种涂色方法；若用3种颜色，有3560A =种方法； 一共有有120+240+60=420种涂色方法；6.选B ；212=66C ，剔除过原点的直线（6条）和与坐标轴平行的直线（12条），再加上过整数点的切线12条。