3.2.3两角和与差的正切函数-----导学案
北师大版数学必修四课件：3.2.3两角和与差的正切函数
(2)出现了tanα+tanβ和tanαtanβ的形式，因此选用变
形形式求值.
【规范解答】(1)原式
1 tan75 tan45 tan75 1 tan75 1 tan45tan75 tan 45 75 tan120 3.
(2)∵ tan120 tan(70 50) tan70 tan50 3,
【例】已知△ABC中， tanB tanC 3tanBtanC 3， 且
3tanA 3tanB tanAtanB 1.
试判断△ABC的形状.
【审题指导】由已知可得A+B+C=π，且已知条件与
tan(A+B),tan(B+C)有关，可先由公式tan(A+B)及条件先
求出A+B,再求出C,最后求A、B，再判断其形状.
利用公式化简、求值 利用公式Tα ±β 化简求值的几点说明： (1)分析式子结构，正确选用公式形式 Tα ±β 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因 此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、
(2)tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
1 tan tan 且 tan 1 知 0＜＜ , 又 由 （ , ） , （ 0, ） 2 4 3 2 0＜2＜ ， ＜ ＜ , 2 2 3 ＜2 ＜0, 2 . 4 tan tan 1,
公式的综合应用
公式Tα +β 与一元二次方程的联系： 在两角和的正切公式Tα +β 中，有tanα +tanβ 和 tanα tanβ 这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关 系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点.因 此tanα 、tanβ 可以看作一元二次方程的根，这样 tanα +tanβ 、tanα tanβ 、tanα -tanβ 就可以互相表示，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=55，α∈(0,2π)，cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=? ，能否推导出tan(α-β)=?的结构特征如何？ 教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsincos)2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πcosα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号. 解：由sinα=32,α∈(2π,π),得 cosα=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tanα=552-. 又由cosβ=31-,β∈(π,23π). sinβ=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tanβ=7.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB =α，则sinα=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tanα. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sinα=6730,α∈(0,2π),∴cosα≈6760,tanα≈21.11+55又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-知能训练课本本节练习1—4.1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β;(3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.（2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). -. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x -θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=kπ(k∈Z ).∴θ=kπ-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsi nα)asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。
14-15版：3.2.3两角和与差的正切函数(创新设计)
课堂讲义
课堂讲义
要点二 利用和(差)角的正切公式求角
第三章
三角恒等变换
例 2 若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 tan α＋tan β ∴ ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. 1－tan αtan β
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第三章
三角恒等变换
[预习导引] 1．两角和与差的正切公式 tan α＋tan β (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β tan α－tan β (2)T(α－β)：tan(α－β)＝ . 1＋tan αtan β
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2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形：
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第三章
三角恒等变换
再见
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第三章
三角恒等变换
要点一 利用和(差)角的正切公式求值 例 1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° .
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课堂讲义
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第三章
三角恒等变换
tan 60° ＋tan 15° 解 (1)原式＝ ＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15° tan 30° ＋tan 45° ＝tan 75° ＝tan(30° ＋45° )＝ 1－tan 30° tan 45° 3 3 ＋1 ＝ ＝2＋ 3； 3 1－ 3 tan 15° ＋tan 30° (2)∵tan 45° ＝ ＝1， 1－tan 15° tan 30° ∴tan 15° ＋tan 30° ＝1－tan 15° tan 30° ∴原式＝(1－tan 15° tan 30° )＋tan 15° tan 30° ＝1.
高二数学 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案
第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。
《两角和与差的三角函数》导学案
《两角和与差的三角函数》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑公式的正用、逆用.2﹑公式的变形应用.3﹑利用公式化简、求值、证明等综合利用.【重点难点】▲重点：公式的应用.▲难点：公式的逆用与变形应用.【知识链接】()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=【学习过程】类型1:两角和与差基本公式的应用（公式的正用）例1﹑ ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值？②已知αβ，为锐角，1cos 7α=，11cos 14αβ+=-（），cos β求的值提示：公式的正用包括求值型、凑角型、求角型.问题1﹑在①中，sin sin cos cos sin 333πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，要求sin()3πθ+值，需求sin θ与cos θ的值，请尝试解答①.问题2﹑先尝试直接解出第②问.问题3﹑你是否是按这样的思路完成的第②问？由cos()αβ+展开得11cos cos sin sin 14αβαβ-=-，再根据1cos 7α=得到sin α的值，再根据1cos sin 22=+αα得到cos β的值.这个过程很繁琐，我们一般不采纳，你有没有其他的方法呢？（提示：将已知角()αβ-尽量不拆开，尝试一下，利用已知角()αβ-与α配凑出角β，你会有更多的收获哦！）尝试写出本题的完整过程类型2: 两角和与差公式的应用（公式的逆用）例2﹑①求sin 7cos37sin83cos53︒∙︒-︒∙︒的值？②求1cot151tan 75+︒-︒的值。
问题1﹑在①中应尽量的先统一角再观察所求式，请尝试解答本问.问题2﹑第②问考察了正切公式的逆用，要注意特殊角以及“1”的转化，请尝试解答本问.类型3:和差公式的技巧运用例3﹑已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-求sin 2α的值. 提示：可以用配凑的方法来达成角的统一，尽量将所求角转化为已知角来表示，例如：()()ααββββα=+-=--问题1﹑将cos()αβ-，sin()αβ+直接展开，方便求解吗？尝试一下.问题3﹑要求s i n2α的值需求出sin()αβ-与cos()αβ+的值，根据22sin ()cos ()1αβαβ-+-=可得225sin ()169αβ-=，同理也可得216cos ()25αβ+=，尝试求出sin()αβ-与cos()αβ+的值（注意取正负的问题哦！）？写出本题完整的解答过程例4﹑在三角形ABC 中， tan B+tan C = A.问题1﹑本题可整理为tan tan tan tan )B C B C +-,易得tan A 的值.问题2﹑本题也可使用tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-代入已知式进行求解，尝试一下.【基础达标】A1﹑已知123cos ,(,)132θθππ=-∈，求cos()4πθ+的值.B2﹑已知cos()sin 6παα-+=，求7sin()6πα+的值.C3﹑化简sin(2)2cos()sin αβαβα+-+. 【小结】【当堂检测】B1﹑已知23sin ,(,)32ααππ=-∈，3cos 4β=，3(,2)2βππ∈，求cos()αβ-的值.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是。
《两角和与差的正切公式》教案新人教A版
数学：3.1.2《两角和与差的正切公式》教案（新人教A版必修4）§3.1.2 两角和与差的正切公式（一）、教学目标1、知识目标：掌握公式的结构特点及其推导过程，理解公式成立的条件；运用公式求值；2、能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论）；自学能力；3、情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质；（二）教学重点、难点重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件；运用公式求值；难点：公式的逆向及变形运用；（三）学法与教学用具学法：研讨式教学（四）教学设计：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式、首先回顾一下两角和与差的正、余弦公式：以旧引新，让学生明确学习内容公式推导及理解公式推导这是两角和与差的正、余弦公式，下面大家思考一下两角和与差正切公式是怎样的呢？提示：我们学习过正弦、余弦与正切的关系，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．注：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注：引导学生运用学过的公式探究新公式公式的深化对公式的扩展（1）联想：推导还有哪些办法？（2）扩想：、条件？（3）猜想：为下节课做准备公式应用例1、求下列各式的精确值.都有哪些解法？你还能怎样解？解：（1）====（2）===例1是直接正用、逆用公式；例2、已知，，求的值解：===1例2是典型例题，与课后习题结合例3、已知，求，，分析：公式、和本题的已知条件，要计算，，应先计算；解：例3是对本节的综合复习练习1、课本P140练习A组 1、2、32、已知求的值．（）※学生独立完成，教师巡视，全班讲评练习考虑分层分类指导带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作小结本节我们学习了两角和与差的正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用已学知识解决问题；反馈课本P141练习B组要求学生在5分钟内独立完成及时反馈，有助于教师教学中及时改进作业课本P141习题3-1A组5；课本P142习题3-1B组4、5课本P142习题3-1B组6、7※分层分类教学带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作教学反思。
34722_《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》学案1
3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式（导学案）1、知识目标：两角和与差的正弦，余弦和正切公式2、能力目标：会用两角和与差的正弦，余弦和正切公式解决一些简单的一、复习准备：1.三角函数的定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么： y =， x =，tan α= 2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：c o s (2)k πα+=，cos(90) o α-=，cos() α-=，sin() α-=3.向量的数量积：a b =;(模长形式) a b =（坐标形式）二、问题设置：我们在初中的时候，就已经知道tan 451=，3tan 303=，由此，我们能否得出tan15tan 4530=-（）=？大家可以猜想，是不是等于3tan 45tan 3013-=-呢？ 三、知识探究：1、差角的余弦公式推导：如图所示，任意角α的终边OP 与单位圆相交于点P ，根据三角函数的定义可知，点P 的坐标是（用α表示），同样的，任意角β的终边OQ 与单位圆相交于点Q ，根据三角函数的定义，点Q 的坐标是（用β表示），故向量OP =， OQ =（填坐标），,OP OQ 的夹角为，|| ,OP =|| OQ =，由向量的数量积可知：OP OQ ==①（模长形式）OP OQ =②（坐标形式） 由①②可得cos POQ ∠=③ 又∵2k POQ αβπ-=+∠（思考：为什么有这个等式）∴cos()cos(2) k POQ αβπ-=+∠=④ 由③④可得：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角α，β的正弦，余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系。
称之为差角的余弦公式。
简记为()C αβ-显然，有了公式()C αβ-以后，我们只要知道的值，就可以求得cos()αβ-的值。
若令θαβ=-，则有：即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。
高中数学第五章三角函数两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课程标准(1)能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式，了解它们的内在联系．(2)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一 两角和的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的余弦公式C(α＋β)cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R要点二 两角和与差的正弦公式❶名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin (α＋β)＝____________________α，β∈R 两角差的正弦S(α－β)sin (α－β)＝____________________α，β∈R 要点三 两角和与差的正切公式助学批注批注❶ 理顺公式间的联系：批注❷ 公式T (α±β)的符号规律：基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意的α，β角，都有sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)存在α，β角，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( )(3)存在α，β角，使得cos (α＋β)＝cos α－cos β.( )(4)对任意的α，β角，都有tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.( )2．已知sin α＝√55，且α∈(0，π2)，则sin (α＋π4)＝( )A．－√1010B．√1010C．－3√1010D．3√10103．已知tanα＝2，则tan (α－π4)＝( )A．－3 B．3C．－13 D．134．cos105°＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 给角求值例1 求下列各式的值：(1)sin47°−sin17°cos30°cos17°；(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°；(3)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°.方法归纳给角求值问题的解题策略巩固训练1 (1)cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝________.(2)1−tan 27°tan 33°tan27°+tan33°＝________．题型 2 给值求值例2 (1)已知cos α＝45，0＜α＜π2，则sin (α＋π4)＝( )A ．√210B ．7√210C ．－√210D ．－7√210(2)已知sin (3π4＋α)＝513，cos (π4－β)＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos (α＋β)．方法归纳给值求值的解题策略巩固训练2 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则tan (π4－α)＝( )A ．－7B ．－17C ．17D ．7(2)已知α∈(0，π2)，sin (α－π6)＝13，则sin α的值为________________．题型 3 给值求角例3 已知sinα＝√55，sinβ＝√1010，且α，β∈(0，π2)，求角α＋β的大小．方法归纳给值求角的方法一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cosθ，若θ∈(－π2，π2)，则通常求sinθ，否则容易导致增解．巩固训练3 若α，β均为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则α＋β等于( )A．π4B．3π4C．5π4D．7π4第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式新知初探·课前预习[教材要点]要点二sinαcosβ＋cosαsinβ sinαcosβ－cosαsinβ[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．解析：因为α∈(0，π2)，sinα＝√55，所以cosα＝√1−sin2α＝√1−(√55)2＝2√5 5，因此sin (α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝√55×√22+2√55×√22＝3√1010.答案：D3．解析：∵tanα＝2，∴tan (α－π4)＝tanα−tanπ41+tanαtanπ4＝2−11+2＝13.答案：D4．解析：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝1 2×√22−√32×√22＝√2−√64.答案：√2−√64题型探究·课堂解透例1 解析：(1)∵sin47°＝sin (30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.(2)sin17°cos13°＋sin73°cos77°＝sin17°cos13°＋cos17°sin13°＝sin (17°＋13°)＝1 2 .(3)∵tan12°+tan33°1−tan12°tan33°＝tan (12°＋33°)＝tan45°＝1.∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1.巩固训练1 解析：(1)由诱导公式可得：cos75°sin135°＋sin45°cos15°＝sin15°cos45°＋sin45°cos15°＝sin (15°＋45°)＝sin60°＝√3 2.(2)1−tan27°tan33°tan27°+tan33°＝1tan27°+tan33°1−tan27°tan33°＝1tan(27°+33°)＝1tan60°＝√33.答案：(1)√32 (2)√33例2 解析：(1)由cosα＝45，0＜α＜π2，得sinα＝35，所以sin (α＋π4)＝√22sinα＋√22cosα＝√22×35+√22×45＝7√210.(2)∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0.又∵sin (3π4＋α)＝513，cos (π4－β)＝35，∴cos (3π4＋α)＝－1213，sin (π4－β)＝－45.∴cos (α＋β)＝sin [π2＋(α＋β)]＝sin [(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin (3π4＋α)cos (π4－β)－cos (3π4＋α)sin (π4－β)＝513×35－(－1213)×(－45)＝－3365.答案：(1)B (2)见解析巩固训练2 解析：(1)由于sinα＝35，α∈(π2，π)，所以cosα＝－√1−sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，tan (π4－α)＝1−tanα1+tanα＝1+341−34＝7.(2)由题意可知，因为α∈(0，π2)，所以α－π6∈(－π6，π3)，所以cos (α－π6)＝√1−sin2(α−π6)＝2√23，则sinα＝sin(α－π6+π6)＝sin(α－π6)cosπ6＋cos(α－π6)sinπ6＝1 3×√32+2√23×12＝√3+2√26.答案：(1)D (2)√3+2√26例3 解析：∵sinα＝√55，sinβ＝√1010，且α，β∈(0，π2)，∴cosα＝√1−sin2α＝2√55，cosβ＝√1−sin2β＝3√1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2√55×3√1010−√55×√1010＝5√5050＝5√210＝√22，又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.巩固训练3 解析：tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ＝2+31−2×3＝－1.因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，则α＋β∈(0，π)，故α＋β＝3π4.答案：B。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
三维教学目标
1.知识与技能
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题.
2.过程与方法
通过层层探究体会数学思维的形成特点.
3.情感目标与价值观
通过公式变形体会转化与化归的思想方法.
教学重点:推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能区别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵活运用．
突破措施：学生在前面诱导公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出
两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．
学情分析：三角函数是高考的重点内容，本节主要是公式的推导和应用，难度不大，要让学生加强记忆，且熟练应用．
教学设计：
=
cos15_____
情景导入
有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有
限，因此自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的
72cos 42cos72sin 42
-20cos70sin 20sin 70-；（3）．1tan15
1tan15
+-
练习：求下列各式的值：
72
cos18cos72sin18
tan12tan 33tan12tan 33
++
34sin 26cos34cos 2620cos 40cos 20cos50
-+
)
131cos sin 22
x x - (2)cos x -
板书设计：。
2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：3.2.3两角和与差的正切函数
两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机 四、教学过程 【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时分子分母同时除以cos αcos β得：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+以-β代β得： 2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。
北师大版数学必修四：《两角和与差的正切》导学案(含解析)
第3课时两角和与差的正切1.能够根据两角和与差的正弦公式和余弦公式导出两角和与差的正切公式,了解各个公式之间的内在联系.2.能够利用和差角的三角函数公式进行简单的三角恒等变换.同学们好,上节课我们学习了两角差的余弦公式,并知道将公式进行适当的变形或变换后,可得到两角和与差的正弦、余弦公式.这节课我们将继续学习这种技巧,并由此推导出两角和与差的正切公式,以及正切公式的变形和有关的角度变换.问题1:在下列空白处填写适当的式子:cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β,①sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β.②当时,得tan(α+β)==,当时,分子分母同时除以,得:tan(α+β)=;在上式中,以代换得:tan(α-β)=.问题2:在公式tan(α+β)=中,α、β、α+β均不等于;在公式tan(α-β)=中,α、β、α-β均不等于.问题3:你能写出两角和与差的三角函数的6个公式的逻辑联系框图吗?问题4:由公式tan(α-β)=、tan(α+β)=可得下列变形公式:(1)tan α+tan β=tan(α+β)·;(2)tan α-tan β=tan(α-β)·;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.1.不查表,求的值为().A.1B.C.D.2.tan θ=2,则tan(θ-)的值是().A.B.8-5C.5-8 D.3.若tan(α+)=,则tan α=.4.求tan 15°,tan 75°的值.直接利用两角和与差的正切公式进行化简或求值求tan(-θ)+tan(+θ)+tan(-θ)tan(+θ)的值.已知角的某种三角函数值求角已知tan(+α)=2,tan β=.(1)求tan α的值;(2)求的值.两角和与差的正切公式的综合运用方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为tan A,tan B,且A,B∈(-,),则A+B=.求值:(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)…(1+tan 45°).已知0<α<<β<π,tan α=,cos(β-α)=.(1)求sin α的值;(2)求β的值.已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则tan(A+)等于().A.-B.C.-D.1.已知sin x=,x∈(,),则tan(x-)的值为().A.0B.C.-3D.-2.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=().A.B.-C.D.-3.已知tan(α+β)=,tan(β-)=,那么tan(α+)=.4.求下列各式的值:(1);(2)tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°.(2010年·新课标全国Ⅰ卷)已知α为第三象限的角,cos 2α=-,则tan(+2α)=.考题变式(我来改编):答案第3课时两角和与差的正切知识体系梳理问题1:cos(α+β)≠0cos αcos β≠0cos αcos β-ββ问题2:kπ+,k∈Z kπ+,k∈Z问题3:-ββ诱导公式-ββ诱导公式相除-ββ相除问题4:(1-tan αtan β)(1+tan αtan β)tan(α+β)tan αtan β-tan(α-β)tan αtan β基础学习交流1.A==tan(60°-15°)=tan 45°=1.2.C∵tan θ=2,∴tan(θ-)===5-8,故选C.3.-tan(α+)==,∴5tan α+5=2-2tan α,∴7tan α=-3,∴tan α=-.4.解:tan 15°=tan(45°-30°)====2-.tan 75°=tan(45°+30°)====2+.重点难点探究探究一:【解析】原式=tan[(-θ)+(+θ)][1-tan(-θ)·tan(+θ)]+tan(-θ)tan(+θ)=.【小结】在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角尽量转化为特殊角或可计算的角,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足则直接使用,如果不满足则需转化一下角或转换一下名称.探究二:【解析】(1)由tan(+α)=2,得=2,即1+tan α=2-2tan α,∴tan α=.(2)====-tan(α-β)=-=-=.【小结】对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有确定,则应分类讨论.注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,学会拆角、拼角等技巧.探究三:【解析】由题意知tan A+tan B=-3a,tan A·tan B=3a+1,∴tan(A+B)===1,∵A,B∈(-,),∴A+B∈(-π,π),∴A+B=或-.[问题]A+B=成立吗?[结论]∵tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,∴tan A<0,tan B<0,又∵A,B∈(-,),∴A,B∈(-,0),∴A+B∈(-π,0).于是,正确解答如下:由题意知tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,∴tan A<0,tanB<0,∵A,B∈(-,),∴A,B∈(-,0),∴A+B∈(-π,0),tan(A+B)===1.∵A+B∈(-π,0),∴A+B=-.【答案】-【小结】涉及三角函数值是二次方程的根,除了要考虑二次方程有根的条件,还要注意根据根的符号和三角函数的意义确定角的范围.思维拓展应用应用一:若α+β=45°,则1=tan 45°=tan(α+β)=,∴tan α+tan β+tan α·tan β=1,即(1+tan α)(1+tan β)=2,∴(1+tan 1°)(1+tan 44°)=(1+tan 2°)(1+tan 43°)=…=(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,∴原式=222(1+tan 45°)=222×2=223.应用二:(1)∵0<α<,tan α=,∴sin α=.(2)∵0<α<,sin α=,∴cos α=.又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.由cos(β-α)=,得sin(β-α)=.∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×==.由<β<π,得β=π(或求cos β=-或tan β=-1,得β=π).应用三:A由得或(舍去),∴tan A=-,∴tan(A+)===-,故选A.基础智能检测1.C∵sin x=,x∈(,),∴cos x=-=-,∴tan x=-.∴tan(x-)===-3,故选C.2.A由已知,得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=,则有cos αcos β=,sin αsin β=,所以=,即tan αtan β=.3.tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]==.4.解:(1)原式==tan(45°+75°)=tan 120°=-.(2)∵tan(17°+28°)=,∴tan 17°+tan 28°=tan(17°+28°)(1-tan 17°tan 28°)=1-tan 17°tan 28°,∴原式=1-tan 17°tan 28°+tan 17°tan 28°=1.全新视角拓展-∵cos 2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α=-,又cos2α+sin2α=1且α为第三象限的角,∴cos α=-,tan α=2,tan 2α=tan(α+α)==-,∴tan(2α+)==-.思维导图构建tan(α+β)tan(α-β)。
三角函数、解三角形 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案
第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．2.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．3．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 4.已知tan =37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= .【活动单】例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= .（3） 若α，β均为钝角，且sin α=5，cos β=-10，则α+β= .例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+-x)+tan(12°+x)]=.练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+tan A 的值.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-3.函数f (x )=cos x-sin -sin 在[0,π]的值域为( )A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为( )A. B.1 C.-1 D.-5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-37.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14 D ．与a 0有关的一个值8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC.D.cos 215°9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．10.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=.12.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.13.已知tan α=3tan ,则= .14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值.【反思单】第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式. 【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . [三角函数公式的变形]（1）公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α·tan β). （2）辅助角公式:a sin x+b cos x=sin(x+φ)(a 2+b 2≠0),其中sin φ=,cos φ=.2．三角函数公式关系【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.答案：－72102.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案：223．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，所以原式＝3－3tan 20°tan40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 3 4.已知tan π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 1[易错纠偏](1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式． 【活动单】考点一：利用两角和(差)公式进行化简、求值 例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= . 2-（3） 若α，β均为钝角，且sin cos β=，则α+β= .7π4考点二：目标角与已知角之间的变换例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以0<α－π6<π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－19＝223，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12＝3＋226， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 考点三：公式的逆用及变形 例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=.1练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+3，求tan A 的值.tan A=1或tan A=2+3.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.解析:∵在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),∴sinα==-,cos α==-,则sin =-sin =-sin αcos -cos αsin .故选D .2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-解析cos=cos=cos cos+sin sin.∵0<α<,则+α<,∴sin.又-<β<0,则,∴sin.故cos.故选C.3.函数f(x)=cos x-sin-sin在[0,π]的值域为()A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.解：f(x)=cos x-sin x-cos x-sin x+cos x=cos x-sin x=2cos∵0≤x≤π,x+,则当x+=π时,函数取得最小值2cos π=-2,当x+时,函数取得最大值2cos=2=1,即函数的值域为[-2,1].故选B.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为()A. B.1C.-1D.-解析:∵α+β=,∴tan(α+β)==tanπ-=-,可得tan α+tan β=-(1-tan αtan β),∴tan α·tan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)=tan αtan β+tan αtan β=.故选A .5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-3解：4sin 80°-====-故选B .7.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14D ．与a 0有关的一个值解析：选A.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32（sin 2a 0＋cos 2a 0）3＝12. 8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC. D.cos 215°解析: (1)对于A,cos 36°·cos 72°=,故A 正确;对于B,sin sin =sin cos 2sin cos sin ,故B 正确;对于C,原式==4,故C 错误; 对于D,cos 2 15°=-(2cos 2 15°-1)=-cos 30°=-,故D 错误.故选AB . 9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：1710.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= . 22 11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°= .312.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：513.已知tan α=3tan ,则= .解：tan α=3tan ,则14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.-1. 16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值. 所以α+β+γ=3π4.【反思单】。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计与反思
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计与反思教材分析本节教材在高中三角函数中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的两角差的余弦公式有着密切的联系，是在两角差的余弦公式的基础上推导出来的结果，而且与更早之前学习的诱导公式、同角三角函数关系有着密切的联系；同时又是后面将要学习二倍角公式的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。
教学目标（1）知识与技能使学生能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦，并进而推得两角和与差的正弦公式、正切公式；使学生能进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
（2）过程与方法通过教学活动，使学生理解两角和与差正弦、余弦、正切公式的形成过程；探究推导两角和与差正弦、余弦、正切公式的方法。
（3）情感态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
教学重点、难点：重点：两角和与差正弦、余弦、正切公式的推导及记忆；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简及证明。
教学方法本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、讲练结合法。
采用这种方法的原因是本校高一学生的领会思想的能力比较差，回顾旧知的能力不足，通过师生的配合，共同进行探究活动，使其理解并掌握本节知识。
教学过程（一）课堂引入首先引导学生回顾一下两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ问题1：计算：（1）cos105。
cos15。
+ sin105。
sin15。
（2）-cos(θ+21。
)cos（θ-24。
）-sin(θ+21。
)sin（θ-24。
）思考：如果此处是求"cosαcosβ-sinαsinβ"的值呢？如何处理(引导学生去猜想可能就是"cos(α+β)")？教师指出这便是本节所要探讨的内容之一，由此引入新课。
北师大版数学必修四：《两角和与差的三角函数的应用》导学案(含解析)
第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(α-β)cos(α+β)sin α·cos β+cos α·sin βsin α·cos β-cos α·sin β问题2:(1)tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α-β)(1+tan αtan β)(2)(3)tan(α+β)tan αtan β(4)-tan(α-β)tan αtan β问题3:(α+β)(β-α)(α-β)(β-α)(α-β)基础学习交流1.C原式=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=.2.C cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),∴sin(+α)=,sin(-)=,∴cos(α+)=×+×=.3.∵α∈(0,),∴α+∈(,),∴sin(α+)=,∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin=×+×=.4.解:3sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),又∵φ∈(-π,π),∴φ=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式===tan 15°=tan(60°-45°)===2-.(2)原式=(2sin 50°+sin 10°×)·sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°×)×cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,∴⇒⇒==2,∴tan A=2tan B.(2)∵<A+B<π,sin(A+B)=,∴ tan(A+B)=-,即=-,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=,舍去负值,得tan B=,∴ tan A=2tan B=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=,由AB=3,得CD=2+,∴AB边上的高等于2+.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,又∵0<α+β<π,∴α+β=或.[问题]α+β会等于吗?[结论]通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.α+β≠,∵α、β都是锐角,sin α=<,sin β=<,∴0<α<,0<β<,0<α+β<.于是,正确解答如下:∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.又∵在0~π之间,余弦值为的角只有,∴α+β=.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43°-13°)=sin 30°=,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-,tan A tan B=-,则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=2.应用三:∵A、B均为钝角且sin A=,sin B=,∴cos A=-=-=-,cos B=-=-=-.∴cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B=-×(-)-×=.①又∵<A<π,<B<π,∴π<A+B<2π.②由①②,知A+B=.基础智能检测1.A原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°]=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.2.C cos x+cos(x-)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=(cos x+sin x)=cos(x-)=-1.3.sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A⇒sin B cos A=sin(C+A)=sin B,又sin B≠0,所以cos A=.4.解:∵0<β<<α<,∴<+α<π,<+β<π.又cos(-α)=sin(+α)=,∴cos(+α)=-=-,cos(+β)=-=-.∴sin[π+(α+β)]=sin[(+α)+(+β)]=sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)=×(-)-×=-.∴sin(α+β)=.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos α=,cos β=.由于α,β为锐角,所以sin α==,sin β==.从而tan α=7,tan β=,所以tan(α+β)===-3.(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===-1,又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,从而α+2β=.思维导图构建sin(x+φ)cos(x-θ)。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
两角和与差的余弦、正弦、正切教学目标知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式能力目标：掌握T (α＋β)，T （α－β）的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点两角和与差的正切公式的推导及特征教学难点灵活应用公式进行化简、求值。
教学过程Ⅰ。
复习回顾首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.（学生作答，老师板书）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S （α＋β）)sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S (α－β））cos(α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C （α＋β）)cos(α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β(C （α－β））要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课一、推导公式［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式,我们不难得出:当cos （α＋β）≠0时tan （α＋β)＝βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(a -+=++ 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0，我们可以将分子、分母都除以cos αcos β，从而得到：tan （α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+ 不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系。
同理可得：tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +- 或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系。
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式,简记为T （α＋β），T (α－β）。
但要注意：运用公式T （α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于2π＋k π（k ∈Z )。
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案 北师大版必修4【学习目标】1．能根据两角和与差的正弦、余弦公式得出两角和与差的正切公式，提升转化能力与分析问题的能力．2．能熟练应用公式解决简单的三角函数式的化简、求值问题.【重点难点】重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．难点：公式的变形及“1”的灵活使用．【使用说明】认真阅读课本P118～120，尝试利用两角和与差的正弦及余弦公式推导两角和与差的正切公式，并注意公式成立的条件，勾画出有疑惑的地方与同学交流探讨，最后结合课本基础知识和例题，完成导学案．【自主学习】1．知识链接（1）在同角三角函数基本关系中，tan _______,α=其中角α的范围是 ．（2）两角和与差的正弦、余弦公式（其中α，β为任意角）：①=+)cos(βα_________________； ②=-)cos(βα__________________；③=+)sin(βα ； ④=-)sin(βα___________________；2．公式推导当cos()0αβαβαβ+++≠时，将S 与C 两边分别相除，就有sin cos cos sin ().()a βαβαβ++===tan (T αβ+) 在上式中,以-β替换β,就得到 (-)αβ=tan .(T αβ-) 其中,αβ应该满足条件：___________________________________________.3．公式变形：【合作探究】1．已知.2,20,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-== （1）求tan()αβ-； （2）求βα+的值．2．求下列各式的值：（1） 75tan 175tan 1+-； （2）︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .3．已知tan()2,tan()3,αβαβ+=--=-求tan 2,tan 2.αβ的值【课堂检测】1．求值：（1）17tan 43tan 117tan 43tan -+ ； （2）.50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++2．已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值； （2）求sin()2sin cos .2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值【课后训练】。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式_(导学案)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第1课时)班级姓名一、学习目标：1.在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。
2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。
3.应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“asin bcos ”型化简问题。
学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程(一)教材核心知识及推导过程cos( )=cos( )=si n( )sin( )=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：1、cos cos sin2、计算下列各式的值(1) sin 72 cos42 cos72 sin 42(2) cos20 cos70 sin 20 sin 70(三)自主探究---三角函数的求值正切公式,sin例1、已知sin彳，是第四象限角，求sin--,，os- 的值.分析解答3总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知sin分析3,cos 5—，且为第一象限角，13为第二象限角。
求sin （)和 sin(解答变式2、已知cos （4 ( ,cos()4,3 2 ，—,求cos2的值。
5 5 22总结自主发展2---公式asin bcosa 2b 2 sin的应用例3、计算.、3sin cos 的值12 12分析解答变式3、教材练习 总结公式 （当堂检测放于后）3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第 2课时）班级姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两 角和与差的正弦、余弦公式 学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用 学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式如何以上公式推导tan （ ）和tan （ ） ？变式1、若cos,2 ,则 sincos( sin()= )cos( )= sin()=（二）两角和与差的正切公式tan( tan(自我总结以上6个公式的特点（三）预习自测: 1、计算下列各式的值/八 tan95 -tan 35(1)-1 tan 95（四）自主探究 1---三角函数求值分析解答总结 自主探究2---配凑角求值例1、已知sinI’是第四象限角，求tan和tan4的值。
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两角和与差的正切函数
使用说明： 1、请同学认真阅读课本119-120页，划出重要知识，规范完成预习案内容并记熟基础知识，用红笔做好 疑难标记。
2、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论
结果，准备展示、点评。
3、及时整理展示、点评结果，规范完成训练案内容，改正完善并落实好学案所有内容。
4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上， 多复习记忆。
【学习目标】
1．掌握两角和与差的正切公式，并会加以应用； 2．独立思考，合作学习公式的正用、逆用、变形用；
3．激情投入，积极主动地发现问题和提出问题，形成严谨的数学思维习惯。
学习重点：两角和与差的正切公式。
教学难点：公式的正用、逆用、变形用公式，角的演变。
【预习案】
一、相关知识
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦函数，公式分别是
在这基础上，你推导出两角和与差的正切函数的公式吗？ 二、教材助读
=-=+)tan()tan(βαβα
两角和与差的正切公式T αβ±: 注意问题：角的取值范围
预习自测
1、求下列各式的值：
（1）tan75° = （2）tan15° = （3）tan105°= 2、已知2tan ,3
1tan -==βα则
=-)tan(βα =+)tan(βα 。
3、︒︒+︒+︒88tan 58tan 192tan 58tan = 3tan15 _________13tan15-︒
=+︒
4、已知βαtan tan ，
是方程0652=-+x x 的两根，求)tan(βα+的值。
【探究案】
基础知识探究：应用T αβ±求值
已知tan α = 12 ,tan β = 13 ，0＜α＜π2 , π＜β＜3π
2 , 求α＋β的值。
综合应用探究： T αβ±的逆用、变形用 求值：o o o o 50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++
当堂检测：
1、若tan α= 32 ,tan β= 1
3 ,则tan （α－β）=
A ．
113 B ．79 C ．119 D ．73
2、若tan α= 2, ,tan （β－α）=3，则tan （β－2α）=
A ．－1
B ．－15
C ．57
D ．1
7
3．已知3)tan(,2)tan(-=--=+βαβα，则==βα2tan ,2tan 。
4. 3-4
π
α+β=
αβ已知，求（1tan ）(1-tan )的值。
我的收获：。