一类混沌系统动力学行为的突变分析

第３期屈双惠等：一类混沌系统动力学行为的突变分析２２５

２突变行为分析

２．１发生突变行为的条件

系统（１）之所以会在口∈［３．５，３．８６Ｊ出现２个吸引子，是因为在此区域系统出现２个稳定不动点，围绕这２个稳定不动点形成了２个混沌吸引子．为了分析系统产生稳定不动点的情况，图３给出了当Ｃｏ＝１７．０时，随口变化，Ｆ（ｘ。）与分角线相交的情况．

——一凡ｈ）；——一ｙ２ｚ

图３Ｃ。＝１７．０时，系统（１）的＿Ｆ（ｚ。）曲线

口较小时，系统与分角线只有一个交点Ｃ，为稳定不动点，此时系统只有围绕该稳定不动点Ｃ的吸引子；当肛增大到３．５时，系统与分角线相切，另一稳定不动点Ｄ（与切点Ｂ重合）开始出现，此时Ｘｔｒ－。＝ｚ。，系统斜率Ｆ７（ｚ。）一１；随着肚的继续增大，系统与分角线出现３个交点，交点Ｅ为不稳定不动点，Ｄ点和Ｃ点为稳定不动点，在此区域可出现围绕稳定不动点Ｃ，Ｄ的２混沌吸引子；当口增大到３．８６时，系统再次与分角线相切，交点Ｃ减小到与切点Ａ重合；当∥超越此值时，在Ｃ点处系统与分角线分离，交点Ｃ消失，系统与分角线只有一个交点Ｄ，此时系统只有围绕稳定不动点Ｄ的吸引子［４］．２．２突变行为走向分析

在系统发生突变过程的区域。交点Ｅ为不稳定不动点，其系统值ｚＥ与系统状态参数Ｃ。及系统参数／．ｔ有关，即

ｚＥ一号ＣＯＳｑ－－［－ｐｓｉｎｇ＋号，

式中：ｐ２√一３（一÷＋吉），９２３．５时，由稳定不动点Ｃ决定的吸引子处于混沌状态；当系统参数口增大超过临界值３．５时，系统与分角线交点由１个增至３个，出现另一稳定不动点Ｄ及不稳定不动点Ｅ，由于吸引子不能跨越不稳定不动点（虚线）同时占据２吸引子空间，因此卢＝３．５时，系统从由原稳定不动点Ｃ决定的吸引子（混沌状态）突变到另一稳定不动点Ｄ决定的吸引子上；随着岸的继续增大，不动点Ｄ决定的吸引子进入混沌状态，其吸引域不断逼近不稳定不动点，在口＝３．７８时将超越不稳定不动点，由于同一吸引子不能跨越不稳定不动点同时占据２吸引子空间，此时其吸引子将突变回由不动点Ｃ决定的吸引子上；当“增大到另一临界值３．８６时，不稳定不动点Ｃ消失，吸引子突变到Ｄ决定的吸引子上．麒减小时的情况与此类似，系统也发生３次突变．

系统状态参数Ｃ。略有变动时，系统的动力学行为会略有不同，但仍会在特定区域出现突变．图４，５分别给出了Ｃ。＝１６．０，系统参数肛∈Ｅ３．４。３．９５３时，混沌系统（１）随系统参数增大或减小时的分岔情况．可以看出：随着口的增大，原稳定不动点Ｃ决定的吸引子始终未超越不稳定不动点（虚线），直到口越过临界值３．７３时，交点Ｃ消失，系统值才突变到另一稳定不动点Ｄ决定的吸引子上；随着肛的减小，当其越过另一临界值３．４７时。原不动点Ｄ消失，系统突变到稳定不动点Ｃ决定的吸引子上．

图４Ｃｏ一１６．０，卢增大时系统（１）的分ｆ岔ｌｔｔ

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２２６宁夏大学学报（自然科学版）第３１卷

给出了Ｃｏ＝１７．０时。随肛的增大，系统在突变区域的吸引子．可以看出：Ｃｏ＝１７．０时，随着系统参数的增大，突变区域出现２吸引子，吸引子以不稳定不动点（虚线）为界线，除个别误差点外不会逾越不稳定不动点而同时占据２吸引子空间．

图６Ｃｏ＝１７．０时的吸引子

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图７Ｃｏ＝１６．０时的吸引子

图７给出了Ｃ。一１６．０时，随且的增大，系统在突变区域的吸引子．可以看出：随着口的增大，突变区域只出现一围绕稳定不动点Ｃ的吸引子，即在此区域，该吸引子不会突变到另一吸引子上，只在临界点才发生突变．

对于高阶次突变系统，由于系统与分角线的交点可更多，在突变区域可出现多个由稳定不动点决定的吸引子，当某一吸引子的吸引域逾越不稳定不动点界限或临界点时，也会发生突变【５卅］．ｚＥ＝０．７４３，迭代将围绕不动点Ｄ进行，系统为混沌状态；若选定的初始值大于不稳定不动点，迭代将围绕不动点Ｃ进行，系统为二周期轨道．如图９所示，口一３．７３时，取迭代次数玎＝３００，当初始值选定为０．４时，系统处于混沌状态；当初始值选定为０．８时，系统处于二周期轨道［８］．

Ⅳ

图８Ｃｏ一１７．０时。由初值决定的２吸引子图９砧－－－－－３．７３。迭代次数挖３００时系统的状态

３初始值对系统动力学行为的影响

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‘士；口ｐ口

对于系统（１），由于在突变区域，以不稳定不动点（虚线）为界线，不动点把迭代数值分为了２个混沌区域，如图８所示．

当口一定时，以不稳定不动点为界限，如果初始值大于不稳定不动点，迭代将围绕稳定不动点Ｃ进行，如果初始值小于不稳定不动点，迭代将围绕稳定不动点Ｄ进行．因此，通过对初始值的调节，可以实现对系统动力学行为迭代范围的控制．在图８中，当卢＝３．７３时，若选定的初始值小于不稳定不动点

通过对突变系统突变行为的分析发现，在系统突变区域可出现２个由稳定不动点决定的混沌吸引子，随着系统参数的变化，当某个吸引子的吸引域逾越不稳定不动点界限或临界状态时。系统将突变到另一吸引子上．并且在此区域，随着系统参数变化趋势的不同，系统的动力学行为要发生变化．据此，在突变区域，通过适当调节系统的初始值，可对系统的动力学行为走向加以控制，这对分析和调节复杂混沌系统的非线性动力学行为具有重要的理论意义．