人教A版高中数学必修5：一元二次不等式及其解法 课时练习

课时作业16 一元二次不等式及其解法

[基础巩固](25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B 等于( )

A ．(－∞，－1) B.⎝

⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 解析：因为3x ＋2>0，所以x >－23

. 所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－23. 又因为(x ＋1)(x －3)>0，所以x >3或x <－1.

所以B ＝{x |x <－1或x >3}．

所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

x >－23∩{x |x <－1或x >3}＝{x |x >3} 答案：D 2．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )

A ．[－7,1]

B ．(－7,1)

C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)

解析：由7－6x －x 2>0，得x 2

＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7

3．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析：由(x －1)2<3x ＋7，得x 2－5x －6<0，解不等式得－1

∴集合A ＝{x |－1

∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5，共6个．

答案：C

4．若函数f (x )＝1

kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则常数k 的取值范围是( )

A ．(0,4)

B ．[0,4]

C ．[0,4)

D ．(0,4]

解析：∵函数f (x )＝

1kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，∴kx 2＋kx ＋1>0对x ∈R 恒成立．当k >0时，Δ＝k 2－4k <0，解得00恒成立；当k <0时，不符合条件．故0≤k ＜4.选C.

答案：C

5．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，应有( )

A ．f (5)

B ．f (2)

C ．f (－1)

D ．f (2)

解析：由不等式的解集为{x |x <－2或x >4}，得x ＝－2和x ＝4是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c

的图象与x 轴交点的横坐标，故f (x )的图象的对称轴为x ＝－2＋42

＝1，且其图象开口向上结合图象可得f (5)>f (－1)>f (2)．

答案：D

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．

解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1.

答案：{－1}

7．不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0的解集为________．

解析：由题得[x －(a ＋1)](x －a )<0，

所以a

答案：(a ，a ＋1)

8．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.

①当x ≥0时，不等式即为

⎩⎪⎨⎪⎧ x 2

－4x ＋6>3，x ≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <1，x ≥0，

即x >3或0≤x <1；

②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋6>3，x <0，

解得－3

综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．

答案：(－3,1)∪(3，＋∞)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．

(1)求a ，b 的值；

(2)解不等式ax 2－(a ＋b )x ＋b <0.

解析：(1)由题意得x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，且a >0，则

⎩⎪⎨⎪⎧

1＋b ＝3a ，1·b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. (2)由a ＝1，b ＝2得不等式为x 2

－3x ＋2<0， 即(x －1)(x －2)<0，∴1

＋(1－a )x －a ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝a . ∵函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象是开口向上的抛物线，

∴当a <－1时，原不等式的解集为{x |a

当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；

当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1

11．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2

>0的解集是( )

A ．{x |x <5a 或x >－a }

B ．{x |x >5a 或x <－a }

C ．{x |－a

D ．{x |5a

解析：方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a,5a .∵2a ＋1<0，∴a <－12，∴－a >5a .结合函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }．故选A.