概率论多维随机变量及其分布函数

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多维随机变量及其概率分布

x y 0 x y 0
令：x1 1, x2 1, y1 1, y2 1,
F x2, y2 F x2, y1 F x1, y2 F x1, y1
P1 X 1, 1 Y 1 F 1,1 F 1, 1 F 1,1 F 1, 1
111 0 1 0
F
x,
y
0, 1,
f
x,
ydy
x2 0
0,
3dy
3y x2 3 x2 02 0
3x2, 0 x 1 其他
fY y
Ⅰ
0
x<0, y<0 o
Ⅲ
e -(x+y) x
x>0, y<0
Ⅳ
0
0
Fx, y x y f u, vdudv
x y f u, vdudv 00
x 0, y 0
x y uvdudv x y u vdudv
00
00
x udu y vdv x u d u y v d v
＋( x2 , y2 )
Fx2, y2 Fx2, y1
D
Fx1, y2 Fx1, y1
－( x2 , y1 )
x
x2
y
－( x1 , y2 ) y2
D＝＋( x2 , y2 )
F x2, y2
(2)
(1)
D
Fx2, y1 Fx1, y2
y1 ＋( x1 , y1 )
(4)
(3)
x1
y
X与Y 的联合分布函数或
( X , Y )的分布函数
FY y PY y PX ,Y y lim Fx, y
x
二维随机变量( X , Y ) 关于X 的

概率论第三章多维随机变量及其分布

1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R

多维随机变量与分布

多维随机变量与分布一、引言在概率论与数理统计中，我们经常会遇到多维随机变量及其分布的问题。

多维随机变量是指具有多个分量的随机变量，它们之间可能存在某种关联或者相互依赖的关系。

多维随机变量的分布可以描述每个分量和它们之间的关系，从而帮助我们更好地理解和分析随机现象。

二、多维随机变量的定义与性质1. 多维随机变量的定义多维随机变量由多个分量组成，每个分量都是一个随机变量。

设有n个分量的多维随机变量为(X1, X2, ..., Xn)，其中Xi表示第i个分量的随机变量。

2. 多维随机变量的联合分布函数与概率密度函数对于多维随机变量(X1, X2, ..., Xn)，我们可以用联合分布函数或联合概率密度函数来描述其分布。

联合分布函数F(x1, x2, ..., xn)定义为：F(x1, x2, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn)，其中x1, x2, ..., xn 为任意实数。

如果多维随机变量(X1, X2, ..., Xn)具有联合概率密度函数f(x1, x2, ..., xn)，则有：F(x1, x2, ..., x n) = ∫∫...∫f(u1, u2, ..., un)dudv...dw，其中积分区域为u1 ≤ x1, u2 ≤ x2, ..., un ≤ xn。

3. 多维随机变量的边缘分布函数与概率密度函数多维随机变量的边缘分布函数是指将多维随机变量的联合分布函数对除了某个分量之外的所有其他分量积分得到的函数。

边缘分布函数的定义如下：F1(x1) = P(X1 ≤ x1)，F2(x2) = P(X2 ≤ x2)，..., Fn(xn) = P(Xn ≤ xn)。

同样地，边缘概率密度函数是指将多维随机变量的联合概率密度函数对除了某个分量之外的所有其他分量积分得到的函数。

4. 多维随机变量的独立性与相关性多维随机变量的独立性指的是其中的分量之间没有任何相互依赖的关系。

第四章多维随机变量及其分布

20

二维离散型随机变量分布列具有下面的性质： (ⅰ) pij ≥0，i,j= 1,2,…；
(ⅱ)
P
i j
ij
1;

(ⅲ)
P( X xi ) pij pi , i 1,2,;
j 1
P(Y y j ) pij p j , j 1,2,.
概率论与数理统计
第四章多维随机变量及其分布
1
第四章

多维随机变量及其分布
4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数
在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量. 例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述.

显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量.
下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推.
4

类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：定义4.2 设(X,Y)为二维随机变量，x、y为任意实数，则二元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数. 如果将二维随机变量(X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y)落在以 (x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图 4.1).
1 1 3 P X 1, Y 1 C 2 2 8 P X 1, Y 3 0
1 3 2
3
1 1 3 P X 2, Y 1 C 2 2 8

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1）当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2）一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布：二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ）条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

概率论第三章

8 July 2010
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) ≥ 0. (非负性) (2) (正则性)
注意: P{(X,Y) ∈D} = ∫∫ p(x, y)dxdy
D
8 July 2010
3.1.5
一,多项分布
常用多维分布常用多维分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
2x
+∞
1 2x +∞ 1 3y +∞ = A e × e 2 0 3 0
=A/6 所以, A=6
8 July 2010
例3.1.4
6e(2x+3y) , x ≥ 0, y ≥ 0 若 (X, Y) ～ p( x, y) = 其它 0,
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
8 July 2010
注意点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) N ( ), 则 XN( ), YN( ).
二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.
8 July 2010
例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布,求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得
e y , 0 < x < y p( x, y) = 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1x x
y=x
x+y=1
= ∫ dx∫

考研概率统计--多维随机变量及其分布笔记

Note：若G为非非矩形，推nothing
若G为矩形，服从均匀；推：X服从均匀，Y服从均匀，X，Y独立立
2）二二维正态分布（the special one）
1.定义；
Note：1.淡化公式，强调性质
2.规律律：e的-x2，e的-y2，e的-xy
2.性质：
（1）联合可以推边缘；边缘不不能推联合
（2）（aX+bY，cX+dY）服从二二维正态分布（利利用用卷积公式证明）（只要求 5个参数即可）（联合的线性仍然正态）
（3）aX+bY服从正态（只要求2个参数）（二二维推一一维线性依然是正态的）
（4）X和Y相互独立立互推p=0（独立立性仅有数字特征决定）
四二二维随机变量量函数的分布
1.二二维离散型：已知联合概率分布律律，求Z=g（X，Y）
第三章多维随机变量量及其分布
知识点：一一二二维随机变量量及其分布函数二二二二维离散型随机变量量三二二维连续型随机变量量四二二维随机变量量函数的分布
一一 ห้องสมุดไป่ตู้二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个（X，Y）向量量
2.二二维随机变量量的联合分布函数
1）X，Y取积；
2）在离散型上的体现（1.出现0，一一定不不独立立；2.行行行或列列成比比例例）
三二二维连续型随机变量量（积分积出来的就是连续的）
1.定义：概率密度积分（二二重积分）
2.联合概率密度
1）性质：1.非非负性；2.规范性
2）应用用：求P，就是求二二重积分
在f（x，y）的连续点上，分布求二二阶倒数就是概率密度
方方法：枚举，合并（相同量量合并）
Note：当然还有二二维

概率论-2-2多维随机变量及其分布(2),边缘分布-PPT课件

由于
( y μ ) ( x μ )( 2 2 2 y μ x μ ( x μ ) 2 2 1 1 ρ ρ , 2 σ σ σ 2 1 1
pij P {Y y j },
i 1
分别称 p i ( i 1, 2 , ) 和 p j ( j 1, 2 , ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y y 1 y 2 y j
X
x x 1 x 2 i
p p 11 p 21 i 1
x
p( x, y)d y]d x,
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度 .
同理可得 Y 的边缘分布函数
F ( y ) F ( , y ) [ p ( x , y ) d x ] d y , Y

y
p ( y ) ( x ,y ) d x . Y p

Y 的边缘概率密度.
X 和Y 具有联合概率密度例3 设随机变量 6, x2 y x, p(x, y) . 0, 其它求边缘概率密度 pX (x), pY ( y).
解
p ( x ) ( x ,y ) d y X p
第二章
第二节多维随机变量及其分布(2)
一、边缘分布函数
二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布四、内容小结
一、边缘分布函数
问题 : 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分 ?
F ( x ) P { X x }, F ( x , y ) P { X x , Y y } ,

概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布
首页返回退出2
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如，炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
首页返回退出
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2

p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
首页返回退出
例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第三章多维随机变量及其概率分布

Pi = P ( X = xi ) = ∑ Pij
j
P j = P (Y = yi ) = ∑ Pij
i
例１
设 ( X , Y) 的分布律为
求（1） a = ? （2） P ( X = 0) （3） P (Y ≤ 2) （4） P ( X < 1, Y ≤ 2) （5） P ( X = Y) 解：（1）由
x→∞
x→ −∞
F (+∞, y)
lim F ( x, y) = 0 = lim F ( x, y)
y→ −∞
2．离散型 ( X , Y) 的分布律 Pij
Pij = P ( X = xi , Y = yi ) ≥ 0 ∑∑ Pij = 1 i j
（与
PK ≥ 0 PK = 1 比较） ∑ K
2
µ1 , DX = σ 1 2
Y 的边缘密度
f 2 ( y) =
2π σ 2
e − ( y− µ
2)
/ 2σ 2 2
，即 Y～ N ( µ 2 , σ 2 ) ，故 EY =
2
M 2 ， DY = σ 2 2
P 为 X，Y 的相关系数，可知当 P = 0 时， f ( x, y) = 在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知 Cov( X , Y) =ρ
− ∞ < x < +∞, − ∞ < y < +∞, σ 1 > 0, σ 2 > 0, P < 1, − ∞ < µ i < +∞, i = 1,2
此时 X 的边缘密度
f1 ( x) =
1
1 2π σ 1
e − ( x− µ )

概率论与数理统计(叶慈南刘锡平科学出版社)第4章多维随机变量(r.v.)及其分布

fY
(
y
)
=
π2
1− y2, 0,
− 1 ≤ y ≤ 1. 其它
28
2. 二维正态分布 p97
(X,Y)的概率密度为
f (x, y) =
1
e 2(
−1 1− ρ
2
)

(
x
− µ1 σ2
1
)2
−2
ρ
(
x
−
µ1 )( σ 1σ
y
2
−
µ2
)
+
(
y
− µ2 σ2
2
)2

2πσ σ 1 − ρ 2 12
f ( x, y)dy
−∞
称为(X,Y)关于X的边缘概率密度。
∫ fY ( y) =
+∞
f ( x, y)dx
−∞
称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。
20
例p102 设 ( X ,Y )的概率密度是
f
(
x,
y)
=
cy(2 −

0,
x
),
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x ,
其它
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度; (3) P{X<1/2}.
…
pi j
…
p.j
… … … … ….. … …
∑
p1 . p2 .
…
pi . …
1
18
3
例将一枚硬币掷 3 次, 以X表示前 2 次中出现 H的次数, 以Y表示 3 次中出现H的次数. 求X,Y 的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.
19
三、连续型(X,Y)的边缘概率密度

概率论与数理统计讲义第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i, j=1,2,…——(3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij ≥ 0，i, j=1,2,… (2) ∑ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij (3.4) 同理可得 p .j =i∑p ij(3.5)例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。

《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，

概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布

比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故得： (X,Y) 的联合分布律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:

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(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
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所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
j取不大于i的正整数.
由乘法公式得
P{ X
i,Y

j}
P{Y

j
X
i}P{X
i}

1 i

1 4
,
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
i 1,2,3,4, j i.
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P{ X

i,Y

j}

1 i

1 4
,
Y X
1
1
1
4
1
2
8
3
1
12
1
4
16
i 1,2,3,4, j i.
对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
2o 0 F( x, y) 1, 且有
F (,) lim F ( x, y) 0, x y
F (,) lim F ( x, y) 1. x y
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x
实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).
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3. 二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y,则
F(x, y) P{X x,Y y} P{( X x)(Y y)} 是二元函数.称为二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.
F x1， x2，， xn PX1 x1， X2 x2，， Xn xn
我们称此函数为n维随机变量X1， X2，， Xn
为联合分布函数.
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二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量( X ,Y ), X 的取值为
x1， x2，， xi， Y 的取值为 y1， y2，， y j，
i, j 1, 2,,
记 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律,
0.45
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说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
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三、二维连续型随机变量
1.定义对于二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数 F( x, y),
第三章多维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的相互独立性 §3.4 二维随机变量函数的分布
§3.1 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布
一、二维随机变量及其分布函数
1. 定义
若 E 是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e}，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 Ω 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。
,
P{
X

2,Y

1}

2 3

1 2

1 3
,
故 ( X , Y ) 的分布律为
XY
1
2
1
0 13
P{
X

2,Y

2}

2 3

1 2

1 3
.
2
p11 0,
p12

p21

p22

1 3
,
13 13
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下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
2 34
00 0
1
8
00
1
1
12
12 0
1
11
16
16 16
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例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), (2,0).
或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
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二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律也可表示为
Y
X
x1 x2
xi
y1
y2
p11 p12
p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j

pij
3. 联合分布律的性质
(1). pij PX xi， Y y j 0;
一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球
被取到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二
次取到的球上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律与
分布函数.
122
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), (2,1), (2,2).
P{
X

1,Y

2}

1 3

2 2

1 3

C30C22C30 C82

1 28
,
P{X 1,Y 0}

C
31C
20C
1 3
C82

9 28
,
P{X 2,Y 0}

C8
,
综合之所求分布律为
Y X
0 1 2
0 3 28
9 28
3 28
12
3 14 1 28
3 14 0
0
0
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4. 二维离散型随机变量的联合分布函数
对于任意固定的 x, F( x,) lim F( x, y) 0, y 上页下页返回
3o F ( x, y) F ( x 0, y),F ( x, y) F ( x, y 0), 即 F ( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续. 4o 对于任意 ( x1, y1),( x2, y2 ), x1 x2, y1 y2, 有 F( x2, y2 ) F( x2, y1) F( x1, y1) F( x1, y2 ) 0. 证 P{x1 X x2, y1 Y y2}
P{X x2, y1 Y y2} P{X x1, y1 Y y2}
P{X x2,Y y2} P{X x2,Y y1}
P{X x1,Y y2} P{X x1,Y y1} 0, 故 F( x2, y2 ) F( x2, y1) F( x1, y1) F( x1, y2 ) 0. 可以证明
F
(
x,
y)

1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
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练习设( X ,Y )联合分布律为
Y
X
1.5 2.5 3.5
1
0.1 0.05 0.1
2
0 0.15 0.2
3 0.05 0.05 0.05
4 0.15 0

(2). pij 1. i1 j1
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例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一整数值. 试求 ( X ,Y )的分布律.
解 {X i,Y j}的取值情况是: i 1,2,3,4,
图示
e

X (e) Y (e)
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注意事项
(1) 向量 (X, Y)是一个整体, 其性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. (2) 向量 (X, Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点.
2.实例
实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.
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2.性质按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
(1) f ( x, y) 0.
(2)

f
(
x,
y)
d
x
d
y

F
(,)

1.
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在G 内的概率为
P{( X ,Y )G} f ( x, y) d xd y. G
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时, 1 (1,1)
F ( x, y) p11 0;
o1
(2,2)
(2,1)
2x