柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立） 当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式 若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
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1. 排序不等式 设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 证明： （先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证） 设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序 由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ： 记为○ 2 式（为顺序） 恒成立 .
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
不等式选讲――柯西不等式与排序不等式(全)
不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）例1 已知12,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，求证：21212111()()n na a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ 证1：()i a R i N +∈∈12n a a a ∴++⋅⋅⋅+≥，12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 证2：构造两个数组：利用柯西不等式有22211`1([][]nn ni i i ===≤⋅∑∑即 21111(1)()()nn nii i i ia a===≤∑∑∑21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥例2 设(1,2,,)i a R i n ∈=⋅⋅⋅，且22111()1nnii i i A a a n ==+<-∑∑，证明：122A a a <证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)n ni n ni i i a a a a a a a n a a a ===++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+∑∑221211(1)(2)1ni i i A a n a a a n =∴+<⋅-+-∑∑122A a a ∴<例3. 设12,,,,k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，有2111nnk k k a k k==≥∑∑证明：22211()[nnn n k a k k a =≤⋅∑∑∑∑不妨设12k a a a <<⋅⋅⋅<，则k a k ≥，故11k a k≤ 1111nn k k k a k==∴≤∑∑2211111()()n n n k k k k a k k k ===∴≤∑∑∑，即2111nn kk k a k k ==≤∑∑例4.已知,0a b >，4422222(1)1(1)(1)a b f b a b a b+=+++++，求证：16f ≥ 证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]a b a b f b a a b a b b a b b a++=+++++=+++++ 222222222(1)(1)[(1)][][]a b a b a b b a b a++=+++≥+令22(1)a b g b a+=+22222()](1)a b g b a ∴+=++≥++221()2()11()()24a b a b a b g a b a b a b a b++++++∴≥==+++≥+++即4f ≥例5.证明：22221212()n na a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤证明：221212()(111)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅222221212()(111)()n n a a a n a a a ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 22221212()n n a a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+∴≤若上述不等式中12,,,0n a a a ⋅⋅⋅>，两边开平方，得12n a a a n ++⋅⋅⋅+≤这就是著名的不等式：n 个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值.例6 .求证：对于任意实数12,a a 和12,b b ，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式，得： 2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+又 2222222212112)()(()b a a b b b =++++ 222222121211221122()()2()()()a a b b a b a b a b a b ≥+++++=+++两边开平方即得证. 例7 .证明：对于任意实数,,x y z ，不等式222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立.证明：由柯西不等式，得 222222()()()()x y y z x yy z y x z++≥+=+ 22222()()()y z z x z y x ++≥+，222222()()()z x x y x y z ++≥+2222222222222()()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++ 222222,,0x y y z z x +++≥222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++例8. 若u =,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值.解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立.max u ∴=练习：1.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：2设,,,,21+∈R x x x n 求证：n nn x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211232213.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，试求a 的最值.4.设a 、b 、c>0且acos2θ+bsin2θ<c ，求证c b a <+θθ22sin cos.5.设a ﹐b 为不相等的正数﹐试证：(a ＋b)(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2﹒6.设a ﹑b 均为正数，则(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ .﹒ 7.(a 2＋b 2＋c 2)((21a )＋(21b)＋(21c ))最小值为 .8.设16)1z (9)1y (4x 222++++=1，求2x+y+z-16之最大值 ，最小值 . 9.设x ，y ，z ∈R ，若x 2+y 2+z 2=5，求x-y+2z 的最大值 .，且此时(x ，y ，z)= . 10.设x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值 .且此是(x ，y ，z)= . 11.x , y , z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5﹐求(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值 . 12.设a 、b 为实数，求a 2+b 2+(2a-3b+4)2的最小值为 . 13.设x ，y ，z ∈R ，求222zy 2x z y x 2++-+的最大值 .14.设 a , b , c > 0，证明 １）．a 2a b 2b c 2c ≥ a b+c b c+a c a+b . ２）．a a b b c c ≥ 3)(cb a abc ++.３）．ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++. ４）．333888111c b a c b a c b a ++≤++. 5). cb a b a ac c b ++++222222 ≥ abc.15.设 x 1 , x 2 , … , x n (n ≥ 2) 全是正整数，并有以下性质：x 1 + x 2 + … + x n = x 1x 2 … x n证明：1 < nx x x n+++...21 ≤ 2.16.设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：cb a ac c b b a ++>+++++922217.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.18.若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411.19.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a .20. 设 a , b , c ≥ 0，證明 23≥+++++b a c a c b c b a .21.已知a 、b 、c ∈R +且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.22.求)cos 11)(sin 11(a a y ++=的最小值)20(π<<a .23.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++24.比较大小：1010⨯1111⨯1212⨯1313 与 1013⨯1112⨯1211⨯1310.。
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
最小，因而其乘积和是反序的)
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即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义含解析新人教A选修4_5_
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等式
i 1 i 1 i 1 n n n
3.会用向量递归方法讨论排序不等式. 4.能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.
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怎 么 考 从近几年高考试题来看，柯西不等式与排序不等式 在高考中没有考查．但在复习中要注意柯西不等式在证
解析：由排序不等式 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以 ab＋ bc＋ca≤3.
答案：3
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4．表达式 x 1－y2＋y 1－x2的最大的值是________．
解析：因为 x 1－y2＋y 1－x2≤ x2＋1－x21－y2＋y2 ＝1.
答案：1
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1 1 5．已知不等式(x＋y)x＋ y ≥a
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又由 0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A (b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． aA＋bB＋cC π 得 ＜2.② a＋b＋c 由①②得原不等式成立．
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[冲关锦囊] 利用柯西不等式求最值的一般结构为： 1 1 2 2 2 1 (a1＋a2＋…＋an) a2＋a2＋…＋a2 ≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在 1 2 n 使用柯西不等式时， 要注意右边为常数， 且应注意等号成立 的条件．
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[精析考题] [例 3] π aA＋bB＋cC π 在△ABC 中，试证：3≤ ＜2. a＋b＋c
1．(2011· 南通调研)若正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1， 1 1 1 求 ＋ ＋ 的最小值． 3a＋2 3b＋2 3c＋2
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
几个经典不等式的关系一 几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a > 是实数1212111+n na a a nn a a a +++≤≤≤++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立.（2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则()()()222222212121122n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.（3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.（4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++⎛⎫⎛⎫≥≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.二 相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔+++≥++++++而()()1212112212231132421425311221211n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++即得11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭同理，根据“乱序和≥反序和”，可得12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n -+++++++++⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭综合即证（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12na a a n+++≤证明：构造两个数列：12112122,,1n n n a a a a a ax x x c c c==== 2121121212111,,1nn n nc c c y y y x a x a a x a a a =======其中c =.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1122n n x y x y x y ++总是两数组的反序和．．．．．．．．．.于是由“乱序和≥反序和”，总有 12111122n n n n n x y x y x y x y x y x y -++≥++于是12111n a a a c c c+++≥+++ 即12na a a n c+++≥即证12na a a c n+++≥= （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：12n a a a n +++≤证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，12n a a a n +++≤ 222121212n n na a a a a a a a a n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫⇔≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”1212+nna a a n na a a +++≤++证明：1212111+nna a a n na a a +++≤++12121212111111+1n n n na a a a a a a a a a a a n n n ⎛⎫++⋅+⋅++⋅ ⎪+++⎛⎫ ⎪⇔≥= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.不妨设12n a a a ≥≥≥ ，则11111n n a a a -≥≥≥ ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≤≤≤ 由切比晓夫不等式，有11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由均值不等式，有1212n n a a a n b b b n +++≤+++≤所以1122n na b a b a b n+++≤两边平方，即得()222222211221212n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++ .即证.（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明证明12n a a a n +++≤ 中的i a 换成1i a12111n a a a n +++≤ .两边取倒数，即得12111+nna a a ≤++。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式讲义含解析新人教A版选修4_5
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-5 不等式选讲 第3讲 柯西不等式与排序不等式 Word版含答案
第3讲柯西不等式与排序不等式)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当点C位于线段BA上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 将2x －y －2z ＝6代入其中， 得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b . 2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.1．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.2．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．3．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值． 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2， 即(x ＋2y ＋3z )2≤14， 因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14， 所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.5．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2， 所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.6．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.。
第三讲.柯西不等式与排序不等式
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
, Bn .选取某个点Ai i 1,2, n 与
O
A 1 A 2 Ai An
A
得到n个三角形.显然, 搭配的方法
图3.3 1
不同, 得到的Ai OB j 不同,因而三角形面积也可能不同. 问 : OA边上的点与OB边上的点如何一一搭配 才能使 , 得到的n个三角形面积之和最大? 如何一一搭配, 才能 使得到的n个三角形的面积之和最小?
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a证明：
a b c d >ab+bc+cd+da.
2 2 2 2
例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。
x y z
2 2
2
例4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc 1 1 1 证明： 2(a b c)( ) ab bc ca 1 1 1 [(a b) (b c) (c a)]( ) ab bc ca
柯西不等式 排序不等式及
所以 330 x 2 y 330 .
6
6
解析：
当
2x 1 2
3y 4 3
2x2 3y2
，即解得 x
5
y
330 22 2 330 33
时，
Amax
330 ， 6
解得
x
330 22
时，Amin
y
2
330 33
330 . 6
解析： 2 x y z 2 ( 2x 1 3y 1 z)2
2.若2x 3y 1，则4x2 9y2的最小值为
，
且最小值点为
.
解析： 由柯西不等式，所以
4x2 9 y2 12 12 2x 3y2 1，
所以4x2 9 y2 1 .当且仅当2x 1 3y 1， 2
即2x
3
y时取等号．由22xx
3y 3y
，得 1
x
y
1 4， 1 6
4.已知x，y，z R,且x 2y 2z 5， 求x2 y2 z2的最小值．
解析： 根据柯西不等式有，x2 Nhomakorabea2 z2
12
2 2
22
x
2 y
2 z 2
，
当且仅当 x y z ， 1 2 2
即x 5，y 10，z 10时等号成立．
9
9
9
因为x 2 y 2z 5，
求A x 2 y的最值；
2设x y z 1，
求A 2x2 3y2 z2的最小值．
解析： 1 x 2 y2 ( 2x 1 3y 2 )2
2
3
2x2 3y2 (1 4) 2x2 3y2 11.
23
6
因为2x2 3y2 5，所以 x 2 y 2 55，
排序、均值、柯西不等式及其应用(不等式 (拓展5)
排序、均值、柯西不等式及其应用（不等式 (拓展5)排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：(i)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n ni j i j in bn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序） 其中12,,,n i i i 与12,,,n j j j 是1，2， n 的任意两个排列，当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(ii) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则 112121121212i i i nn n n bb b b b b bbb nn n a a a a a a a a a -≤≤当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(iii)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足:120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(iv)设120,n a a a <≤≤≤ 12,n b b b <≤≤≤ 0则≤≤当且仅当12n a a a === ,且12n b b b === 时取等号.②平均值不等式：设12,,n a a a 是n 个正实数，则有12n a a a n+++≥ 当且仅当12n a a a === 时取等号.幂平均值不等式:设0αβ<≤，n N +∈，12,,,n a a a R +∈，则121211n n a a a a a a n n αααβββαβ⎛⎫⎛⎫++++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 时取等号. 加权幂平均值不等式 设12,,,n p p p R +∈，0αβ<≤，n N +∈，12,,,n a a a R +∈，则12121112121212n nn n n n p a p a p a p a p a p a p p p p p p αααβββαβ⎛⎫⎛⎫++++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 时取等号.③柯西不等式：222222211221212)()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ （当且仅当(1,2,,)i i a kb i n == 时取等号. 推论1设12,,,n a a a R +∈，则21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ . 推论2设12,,,n a a a R +∈，则12222212nn a a a a a a n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭. 1、设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
最经典上海-高三一轮数学(理)复习第76讲柯西不等式、排序不等式及应用
【拓展演练 3】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c.求证： π3≤aAa＋＋bbB＋＋ccC<π2.
证明：不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C，由排序不等式： a·A＋b·B＋c·C≥aA＋bB＋cC； a·A＋b·B＋c·C≥bA＋cB＋aC； a·A＋b·B＋c·C≥cA＋aB＋bC. 三式相加得：3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)， 得aAa＋＋bbB＋＋ccC≥π3.
即aa212＋aa232＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an＝5， 故所求最小值为 5.
二 利用柯西不等式证明不等式
【例 2】(2012·福建省泉州市 3 月质量检查)已知函数 f(x) ＝|x－2|＋|x－4|的最小值为 m，实数 a，b，c，n，p，q 满足 a2＋b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m.
2.(2013·湖北卷)设 x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，
x＋2y＋3z＝ 14，则 x＋y＋z＝
.
解析：根据柯西不等式有
(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，
当1x＝2y＝3z时“＝”成立． 不妨令 x＝k，y＝2k，z＝3k，则由 x2＋y2＋z2＝1，
≥ [x－x－1]2＋[y－y－1]2＝ 2， 当且仅当 x＝1－x，y＝1－y， 即 x＝12，y＝12时，等号成立． 故 f(x)的最小值为 2.
4．已知 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的
最小值是
.
解
析
：
因
为
(a
＋
b＋
1 c)( a
＋
1 b
高二 数学 选修 不等式 第十讲 柯西不等式与排序不等式
知识要点
知 识 要 点
知 识 要 点
典题剖析
例
1．已知
a1
， a2
，…，
an
都是实数，求证
1 n
(a1
a2
...
an
)2
a12
a22
... Βιβλιοθήκη an2．【解析】
根据柯西不等式有 ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1，
所以 x2 y2 z2 1 ，当且仅当 x y z ，
14
1 23
【分析】由 x 2 y 3z 1 以及 x2 y2 z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造
(12 22 32 ) 作为一个因式而解决问题．
即 x 1 ， y 1 ， z 3 时， x2 y2 z2 取最小值 1 ．
...
an n2
b1
b2 22
b3 32
由..此. 可nbn2以联1想1到 2用排212序不3等31式2 证..明. 的n 思n12路．1
1 2
1 3
...
1 n
．
排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要不等式可以借 助排序不等式得到证明．
技巧传播
陷阱规避
• 陷阱：利用排序不等式解题时，不能正确
陷阱一 找出有序实数组．
• 克服方法：认真审题，勤加练习．
陷阱二
【易错典例】已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1， 求 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1的最大值．
【正解】 ∵(12＋12＋12)[( 3a＋1)2＋( 3b＋1)2＋( 3c＋1)2]
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讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义含解析新人教A版选修
三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. ∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n. 由排序原理得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a ，b ，c 三个数的大小顺序，且a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．[证明] 由对称性，不妨设 a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .4．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 证明：不妨设 a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( ) A ．100,85 B ．100,80 C ．95,80D ．95,85解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：选A 因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，所以由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大． 3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定 解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为 a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为________．解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ， 则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________． 解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30]8．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )， 故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ， 且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．已知0<a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明：因为0<a ≤b ≤c ，所以0<a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c>0， 又0<a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．。
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经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数
的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不
等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。
解析：法一：∵且，
∴函数的定义域为，且，
当且仅当时，等号成立，
即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，
∴函数的定义域为
由，
得
即，解得∴时函数取最大值，最大值
为.
总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．
举一反三：
【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
【答案】
(Ⅰ)
当时，．
所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
当时，的解集为空集；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
综上，不等式的解集为．……10分
【变式2】已知，，求的最值.
【答案】法一：
由柯西不等式
于
是的最大值为，最小值为.
法二：
由柯西不等式
于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
【答案】
根据柯西不等式
，
故。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，
此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．
类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。
如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。
（1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证：
思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：
而，又，故可利用柯西不等式证明之。
证明：
又、、各不相等，故等号不能成立
∴。
（2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证：
思路点拨：不等号左边为两个二项式积，
，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。
证明：∵+=1
∴
即（3）改变结构：4、若>>，求证：
思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。
，，∴，∴所证结论改为证。
证明：∴（4）添项：5．，求证：
思路点拨：左端变形
，∴只需证此式即可。
证明：
举一反三：
【变式1】设a,b,c为正数，求证：．【答案】
由柯西不等式：
，即。
同理，．
将上面三个同向不等式相加得
，
于是．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：。
【答案】
由柯西不等式
于是
即
【变式3】已知正数满足证明。
【答案】
利用柯西不等式
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边=
故。
【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。
【答案】
且4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。
类型四：排序不等式的简单应用7．对，比较与的大小。
思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．解析：∵，不妨设，则
由排序原理，乱序和≤顺序和，得：举一反三：
【变式1】比较1010×1111×1212×1313与1013×1112×1211×1310的大小。
【答案】
因10 ≤11 ≤12 ≤13及lg10 ≤lg11 ≤lg12 ≤lg13，
由排序不等式得：
10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13
lg(1010×1111×1212×1313) ≥lg(1013×1112×1211×1310)
即1010×1111×1212×1313≥1013×1112×1211×1310。
【变式2】已知，求证：证明：
由对称性，不妨设，于是，，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：
①
又因为，．
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得：
②
由①②得．
8、设,求证：
证明：
不妨设,则，
由排序不等式有：
，
两式相加得：
又因为：，
故
两式相加得：
即：举一反三：
【变式】，求证：【答案】证明：不妨设则，
从而，
，
两式相加得：。