机械振动课件第三章(1)
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{x1 (t )} u11 A cos1t {x2 (t )} u21 A cos1t
u11 A {x(t )} [u ]{ y (t )} [u ] cos1t A cos1t 0 u21
x1 (t ) u11 x2 (t ) u21
分别在ml，m2建立坐标系OlXl，O2X2以描 述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取 m1，m2的静平衡位置。向右为坐标正向。
Ol
OlXl
+
Ol
O2X2
（２）画出隔离图和受力图
设m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2， 其中弹簧k2对m1的作用力为k2(x1 – x2)，方向 与坐标O1X1正向相反。而k2对m1的作用力为 k2(x2 – x1)，方向也与坐标O2X2正向相反。
变wenku.baidu.com矩阵为:
L2 L [u ] 1 L L1 L 1 L
• 在yA和yB下的质量矩阵为
mL2 I c 2 m 0 T L2 [u ] [u ] mL L I 0 Jc 1 2 c L2
[M]
mL1L2 I c 2 L 2 mL1 I c L2
机械振动基础
第三章
机械振动
二自由度系统
单自由度系统
二自由度系统 多自由度系统
2005年秋季
本章主要内容
(1) 二自由度系统运动微分方程的建立 (2) 不同坐标下的运动微分方程及坐标变 换 (3) 二自由度系统的无阻尼自由振动
§3.1 引 言
• 定义：多自由度系统指需要用两个或两个以上 的独立坐标(x1,x2, q等)才能描述其运动的振动 系统。二自由度系统指需要用两个独立坐标才 能描述其运动的振动系统。 • 单自由度系统是多自由度系统（包括二自由度 系统）的基础，多自由度系统是单自由度系统 的深化和拓展。 • 二自由度系统是单自由度系统与多自由度系统 的过渡，由此学好二自由度系统相当重要。
m1 0
0 1 k1 y 0 m2 y2
0 y1 y {0} k2 2
m1 1 k1 y1 0 y m2 2 k2 y2 0 y
2 A x0 ( x0 / n ) 2
在yc ， q下系统的动能和势能为
[M]
1 2 1 2 1 }m 0 yc ET myc I cq { yc , q q 0 Ic 2 2 2 k1 0 y A 1 1 1 2 2 U k1 y A k2 yB { y A , yB } y 2 2 2 0 k2 B k 0 yc 1 T 1 { yc , q }[u ] [u ] q 2 0 k2 1 k1 0 1 L1 yc 1 1 { yc , q } 0 k 1 L q 2 2 2 L1 L2 k2 L2 k1L1 yc [K] k1 k2 1 { yc , q } 2 2 2 k2 L2 k1L1 k1L1 k2 L2 q
3.2.2 能量表达式
系统的动能、势能和能量耗散的表达式都可以使 用系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵表征。 系统的动能为
为质量矩阵的二次型。
系统的势能为
为刚度矩阵的二次型。
系统的能量耗散:
为阻尼矩阵的二次型。
能量表达式特点
动能、势能和能量耗散函数均是非负的 ， 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是 正定或半正定矩阵。
当 mL1L2 I c 0 时，方程存在惯性耦合。 当 mL1L2 I c 0 时，质量矩阵为对角矩阵，方程已经解耦。
不同的坐标下，系统的运动微分方程的 形式有所不同，但都反映了系统的运 动关系．而通过坐标变换(总会存在一 个坐标)，可以使得耦合的微分方程解 耦,从而得到微分方程的解．
m1 [M ] 0 0 c1 c2 [C ] 0 m2
c2 k k [K ] 1 2 c2 c3 k2
k1 k2 [K ] 0 c2 c3 0
k2 k 2 k3
（３）由牛２建立受力平衡方程
根据牛顿第二定律可以得到
将内力项移到方程左端，并按微分阶次由高到低， 变量序号由小到大排列，得
(3.1)
整理并简化：使用矩阵记号
{x} {x1 , x2 }T 设位移向量 ，因而速度向量和加速度向量
分别为{x} {x1 , x2 }T，} {1 , 2 }。激励向量 {F (t )} {F1(t ), F2 (t )}T {x x x T 并设：
建立运动微分方程的一种简单方法
利用这三个能量函数可以分别求出三个矩阵 的各个元素：
先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，再 求出三个矩阵的各个元素，然后求出系统的质 量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。最终求出系统 的运动微分方程。 好处:由于系统的动能、势能和能量耗散函数是 标量，可以不考虑力的方向，免去了许多麻烦。
当 k2 L2 k1L1 0 则刚度矩阵为对角矩阵方程已经解耦。 这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动 独立。
yc和q可用yA和yB表示为：
3. 取广义坐标为yA
， yB
L1 ( yB y A ) L2 y A L1 yB yc y A L L L yB y A y A yB q L L L
从而得到
[ K1 ] [u ] [ K ][u ]
T
同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选 取无关，可以得到两个坐标系{x}和{y}的质量矩阵[M]、 [M1]和阻尼矩阵[C]、[C1]之间的关系： {y} {x}
[ M 1 ] [u ] [ M ][u ]
T
[C1 ] [u ] [C ][u ]
几种常见的二自由度系统
弹簧质量系统 扭振系统
弹簧刚体系统
弹簧摆
几种 常见 的单 自由 度系 统模 型
§3.2
运动微分方程
3.2.1 建立运动微分方程步骤： （１）建立坐标系 （２）画出隔离图和受力图 （３）由牛２建立受力平衡方程，整理 简化
一个典型例子
一个典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统
（１）建立坐标系
分别为系统的质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C]和刚度 矩阵[K] 。 由此方程(3.1)可以写成
二自由度系统运动微分方程特点
2 2 2 n x n x n A cost x
（１）与单自由度系统的运动微分方程非常 相似。如果认为是一阶方阵和一维向量， 二者在形式上就统一了。 （２）系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩 阵为系统的物理参数。质量矩阵、阻尼矩 阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。 （３）多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵 和刚度矩阵一般均是对称矩阵。
求解多自由度系统运动方程过程
• 求解多自由度系统运动微分方程的关键 ： 如何消除方程的耦合，即解耦． • 解耦的过程：就是怎样使系统的质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时 成为对角矩阵，通常方法为使用坐标变换。 • 方程是否存在耦合和存在什么种类的耦合 依赖于所选取的描述系统的广义坐标，并 不是系统本身的性质。
• 运动微分方程为
y m 0 k1 k2 0 I q k L k L c 2 2 1 1
[M] [K]
k2 L2 k1L1 yc {0} 2 2 k1L1 k2 L2 q
当 k2 L2 k1L1 0 时方程将存在弹性耦合。
在特殊的初始条件下 ，方程能够解耦，使变换后系 统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩 阵，从而求得微分方程的解。 此时，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。 同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为 零或 。
k 2 k3 0
求出
的解x
§3.4.1 无阻尼自由振动运动方程的求解过程
多自由振动运动方程：
当
[C ] 0,{F (t )} 0
即为无阻尼自由振动，则 [ M ]{} [ K ]{x} 0 x
m12 1 k11 x k m22 x2 21 k12 x1 x {0} k 22 2
其解为： A cos(nt ) x 如果初始条件为： y1 (0) A,
arctg
x0n
x0
y1 (0) 0,
y2 (0) 0,
y2 (0) 0
k1 y1 A cos1t , 1 则方程的解为： m1 y2 0
由此得到方程的解：
可得系统的自由振动是简谐振动，即：
§3.3 不同坐标系下的运动微分方程
选取不同的广义坐标建立运动微分方程，观察 方程耦合的情况。同时找出不同广义坐标下运 动微分方程之间的关系。
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质 量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。分 别在A点和B点与杆相联的弹性元件k1、k2为汽 车的前，后板簧。
m11 m 21
u11 u12 y1 存在变换矩阵[u]使方程解耦。即当{x}=[u]{y}= u u y 21 22 2
在{y}下的运动微分方程为：
y m1 0 1 k1 0 y1 0 m 0 k y {0} 2 y2 2 2
3.2.3 耦合及解耦
• 多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵中的元素相互影响，由此 可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合． • 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性 耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存 在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称 方程存在弹性耦合。
Ic m
采用能量表达式来建立其运动微分方程
只考虑杆的竖向运动和绕质心的转动。系统 的动能和势能为 :
只需要取定其中 两个坐标，而将其 他两个消去。
1．取广义坐标为yA， q
yC和yB可用yA和q表示为:
[M]
[K]
2．取广义坐标为yc和q
yA，yB用yc和q表示为
为由yc，q到yA，yB的变换矩阵。
§3.4 无阻尼自由振动
不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以方程 解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩 阵[u]，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚 度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解。
c c m 0 [M ] 1 [C ] 1 2 0 m2 c2
T
总结
• 系统的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵的 具体形式/运动微分方程与所选取的描述系 统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标 能够解除方程的耦合。 • 由于不同广义坐标之间存在着线性变换关 系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找 一个合适的线性变换矩阵[u]，使变换后系 统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为 对角矩阵，从而求得微分方程的解x。
坐标变换
如果广义坐标{x}和{y}之间有变换关系：
{x} [u]{ y}
在{x}，{y}下的刚度矩阵分别为[K]和[K1]，则由 于系统势能大小与广义坐标的选取无关，有:
1 T 1 U {x} [ K ]{ x} { y}T [u ]T [ K ][u ]{ y} 2 2 1 { y}T [ K1 ]{ y} 2
u11 A {x(t )} [u ]{ y (t )} [u ] cos1t A cos1t 0 u21
x1 (t ) u11 x2 (t ) u21
分别在ml，m2建立坐标系OlXl，O2X2以描 述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取 m1，m2的静平衡位置。向右为坐标正向。
Ol
OlXl
+
Ol
O2X2
（２）画出隔离图和受力图
设m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2， 其中弹簧k2对m1的作用力为k2(x1 – x2)，方向 与坐标O1X1正向相反。而k2对m1的作用力为 k2(x2 – x1)，方向也与坐标O2X2正向相反。
变wenku.baidu.com矩阵为:
L2 L [u ] 1 L L1 L 1 L
• 在yA和yB下的质量矩阵为
mL2 I c 2 m 0 T L2 [u ] [u ] mL L I 0 Jc 1 2 c L2
[M]
mL1L2 I c 2 L 2 mL1 I c L2
机械振动基础
第三章
机械振动
二自由度系统
单自由度系统
二自由度系统 多自由度系统
2005年秋季
本章主要内容
(1) 二自由度系统运动微分方程的建立 (2) 不同坐标下的运动微分方程及坐标变 换 (3) 二自由度系统的无阻尼自由振动
§3.1 引 言
• 定义：多自由度系统指需要用两个或两个以上 的独立坐标(x1,x2, q等)才能描述其运动的振动 系统。二自由度系统指需要用两个独立坐标才 能描述其运动的振动系统。 • 单自由度系统是多自由度系统（包括二自由度 系统）的基础，多自由度系统是单自由度系统 的深化和拓展。 • 二自由度系统是单自由度系统与多自由度系统 的过渡，由此学好二自由度系统相当重要。
m1 0
0 1 k1 y 0 m2 y2
0 y1 y {0} k2 2
m1 1 k1 y1 0 y m2 2 k2 y2 0 y
2 A x0 ( x0 / n ) 2
在yc ， q下系统的动能和势能为
[M]
1 2 1 2 1 }m 0 yc ET myc I cq { yc , q q 0 Ic 2 2 2 k1 0 y A 1 1 1 2 2 U k1 y A k2 yB { y A , yB } y 2 2 2 0 k2 B k 0 yc 1 T 1 { yc , q }[u ] [u ] q 2 0 k2 1 k1 0 1 L1 yc 1 1 { yc , q } 0 k 1 L q 2 2 2 L1 L2 k2 L2 k1L1 yc [K] k1 k2 1 { yc , q } 2 2 2 k2 L2 k1L1 k1L1 k2 L2 q
3.2.2 能量表达式
系统的动能、势能和能量耗散的表达式都可以使 用系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵表征。 系统的动能为
为质量矩阵的二次型。
系统的势能为
为刚度矩阵的二次型。
系统的能量耗散:
为阻尼矩阵的二次型。
能量表达式特点
动能、势能和能量耗散函数均是非负的 ， 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是 正定或半正定矩阵。
当 mL1L2 I c 0 时，方程存在惯性耦合。 当 mL1L2 I c 0 时，质量矩阵为对角矩阵，方程已经解耦。
不同的坐标下，系统的运动微分方程的 形式有所不同，但都反映了系统的运 动关系．而通过坐标变换(总会存在一 个坐标)，可以使得耦合的微分方程解 耦,从而得到微分方程的解．
m1 [M ] 0 0 c1 c2 [C ] 0 m2
c2 k k [K ] 1 2 c2 c3 k2
k1 k2 [K ] 0 c2 c3 0
k2 k 2 k3
（３）由牛２建立受力平衡方程
根据牛顿第二定律可以得到
将内力项移到方程左端，并按微分阶次由高到低， 变量序号由小到大排列，得
(3.1)
整理并简化：使用矩阵记号
{x} {x1 , x2 }T 设位移向量 ，因而速度向量和加速度向量
分别为{x} {x1 , x2 }T，} {1 , 2 }。激励向量 {F (t )} {F1(t ), F2 (t )}T {x x x T 并设：
建立运动微分方程的一种简单方法
利用这三个能量函数可以分别求出三个矩阵 的各个元素：
先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，再 求出三个矩阵的各个元素，然后求出系统的质 量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。最终求出系统 的运动微分方程。 好处:由于系统的动能、势能和能量耗散函数是 标量，可以不考虑力的方向，免去了许多麻烦。
当 k2 L2 k1L1 0 则刚度矩阵为对角矩阵方程已经解耦。 这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动 独立。
yc和q可用yA和yB表示为：
3. 取广义坐标为yA
， yB
L1 ( yB y A ) L2 y A L1 yB yc y A L L L yB y A y A yB q L L L
从而得到
[ K1 ] [u ] [ K ][u ]
T
同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选 取无关，可以得到两个坐标系{x}和{y}的质量矩阵[M]、 [M1]和阻尼矩阵[C]、[C1]之间的关系： {y} {x}
[ M 1 ] [u ] [ M ][u ]
T
[C1 ] [u ] [C ][u ]
几种常见的二自由度系统
弹簧质量系统 扭振系统
弹簧刚体系统
弹簧摆
几种 常见 的单 自由 度系 统模 型
§3.2
运动微分方程
3.2.1 建立运动微分方程步骤： （１）建立坐标系 （２）画出隔离图和受力图 （３）由牛２建立受力平衡方程，整理 简化
一个典型例子
一个典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统
（１）建立坐标系
分别为系统的质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C]和刚度 矩阵[K] 。 由此方程(3.1)可以写成
二自由度系统运动微分方程特点
2 2 2 n x n x n A cost x
（１）与单自由度系统的运动微分方程非常 相似。如果认为是一阶方阵和一维向量， 二者在形式上就统一了。 （２）系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩 阵为系统的物理参数。质量矩阵、阻尼矩 阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。 （３）多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵 和刚度矩阵一般均是对称矩阵。
求解多自由度系统运动方程过程
• 求解多自由度系统运动微分方程的关键 ： 如何消除方程的耦合，即解耦． • 解耦的过程：就是怎样使系统的质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时 成为对角矩阵，通常方法为使用坐标变换。 • 方程是否存在耦合和存在什么种类的耦合 依赖于所选取的描述系统的广义坐标，并 不是系统本身的性质。
• 运动微分方程为
y m 0 k1 k2 0 I q k L k L c 2 2 1 1
[M] [K]
k2 L2 k1L1 yc {0} 2 2 k1L1 k2 L2 q
当 k2 L2 k1L1 0 时方程将存在弹性耦合。
在特殊的初始条件下 ，方程能够解耦，使变换后系 统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩 阵，从而求得微分方程的解。 此时，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。 同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为 零或 。
k 2 k3 0
求出
的解x
§3.4.1 无阻尼自由振动运动方程的求解过程
多自由振动运动方程：
当
[C ] 0,{F (t )} 0
即为无阻尼自由振动，则 [ M ]{} [ K ]{x} 0 x
m12 1 k11 x k m22 x2 21 k12 x1 x {0} k 22 2
其解为： A cos(nt ) x 如果初始条件为： y1 (0) A,
arctg
x0n
x0
y1 (0) 0,
y2 (0) 0,
y2 (0) 0
k1 y1 A cos1t , 1 则方程的解为： m1 y2 0
由此得到方程的解：
可得系统的自由振动是简谐振动，即：
§3.3 不同坐标系下的运动微分方程
选取不同的广义坐标建立运动微分方程，观察 方程耦合的情况。同时找出不同广义坐标下运 动微分方程之间的关系。
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质 量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。分 别在A点和B点与杆相联的弹性元件k1、k2为汽 车的前，后板簧。
m11 m 21
u11 u12 y1 存在变换矩阵[u]使方程解耦。即当{x}=[u]{y}= u u y 21 22 2
在{y}下的运动微分方程为：
y m1 0 1 k1 0 y1 0 m 0 k y {0} 2 y2 2 2
3.2.3 耦合及解耦
• 多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵中的元素相互影响，由此 可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合． • 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性 耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存 在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称 方程存在弹性耦合。
Ic m
采用能量表达式来建立其运动微分方程
只考虑杆的竖向运动和绕质心的转动。系统 的动能和势能为 :
只需要取定其中 两个坐标，而将其 他两个消去。
1．取广义坐标为yA， q
yC和yB可用yA和q表示为:
[M]
[K]
2．取广义坐标为yc和q
yA，yB用yc和q表示为
为由yc，q到yA，yB的变换矩阵。
§3.4 无阻尼自由振动
不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以方程 解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩 阵[u]，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚 度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解。
c c m 0 [M ] 1 [C ] 1 2 0 m2 c2
T
总结
• 系统的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵的 具体形式/运动微分方程与所选取的描述系 统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标 能够解除方程的耦合。 • 由于不同广义坐标之间存在着线性变换关 系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找 一个合适的线性变换矩阵[u]，使变换后系 统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为 对角矩阵，从而求得微分方程的解x。
坐标变换
如果广义坐标{x}和{y}之间有变换关系：
{x} [u]{ y}
在{x}，{y}下的刚度矩阵分别为[K]和[K1]，则由 于系统势能大小与广义坐标的选取无关，有:
1 T 1 U {x} [ K ]{ x} { y}T [u ]T [ K ][u ]{ y} 2 2 1 { y}T [ K1 ]{ y} 2