正 交 变 换

正 交 变 换1．研究对象：空间中物体的位置变化。

观察空间中的物体，当我们把一个物体从一个地点搬到另一个地点时，物体有什么性质保持不变，有什么东西会起变化。

2． 正交变换的建立搬动物体，除了物体的位置发生变化外，物体的本身属性都保持不变。

用数学的相关知识进行描述之即长度、面积、角度、体积等保持不变。

从测量、计算的角度而言，物体的度量性质不变。

由于长度是各种计算的基础，长度不变将导致角度、面积、体积等不变，即长度不变是本质性的。

用数学语言——变换——描述上述现象，即搬动物体的过程是一个保持长度不变的变换。

定义：保持任两点间距离不变的变换称为正交变换。

3． 正交变换的不变系统直线、线段、单位向量、垂直性、平行性，······。

4． 笛卡尔直角坐标系为了用代数的方法来研究正交变换，我们应该建立一种在正交变换下保持不变的坐标系5． 特例物体位置的变动不外乎移动、转动和翻动（以及它们的组合），它们的数学表示为 （1） 平移 ⎩⎨⎧+='+='00y y y x x x（2） 旋转⎩⎨⎧+='-='θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x 或 X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='θθθθc o s s i n s i n c o s。

（3） 反射⎩⎨⎧-='='yy xx 或 X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1001 。

问题探索：绕点),(000y x P 6． 正交变换的代数表示M O O O M O ''+'='，另一方面， 21e y e x M O'+'='所以 M O O O e y e x ''+'='+'21（*） 又 2010e y e x O O+='，21e y e x OM+=，根据正交变换的性质知 21e y e x M O '+'=''由向量代数知识可知 22211222211111,e a e a e e a e a e+='+=' 将它们代入（*）可得202221101211222112221111201021)()()()(e y y a x a e x y a a e a e a y e a e a x e y e x e y e x+++++=+++++='+'所以 ⎩⎨⎧++='++='0222101211y y a x a y x y a x a x所以正交变换的代数表示为⎩⎨⎧++='++='232221131211a y a x a y a y a x a x ，其中 0,122211211222212221211=+=+=+a a a a a a a a 。

关于正交变换的代数表示，也可通过向量、矩阵的语言推演如下： M O O O M O ''+'=' （*） A e e e e X e e M O X e e O O ),(),(,),(,),(212121021=''''=''=' 代入（*）得0212121),(),(),(X e e AX e e X e e+=' 即 0X AX X +=' 再由 ,),)(,(2121Te e e e E=TT T e e AA e e e e e e E ),(),(),)(,(21212121=''''=所以Ee e e e e e E e e AAT T T===----})],{[(),(})],{[(),(121121121121所以正交变换的代数表示为0X AX X +='， 其中 E AA T =。

7． 正交变换的分解 （正交变换的结构问题） （I ）由0:X AX X +='ϕ知变换是由两个变换AX X →和平移“0X ”合成的，记 021:,:X X X AX X +→→ϕϕ，则 0:X AX X +→ϕ，即12ϕϕϕ =。

（II ）AX X →:1ϕ的分解因为0,122211211222212221211=+=+=+a a a a a a a a令 θc o s 11=a ，则 θεsin =21a ；令 ϕcos 12=a ，则 ϕηsin 22=a ，其中1,±=ηε。

那么 0s i n s i n c o s c o s=±αθαθ 即 0)c o s (=±αθ 所以 2παθ±=±，从而 θθθθc o s ,s i n ,s i n ,c o s 22211211±=±=±==a a a a 根据正负号的选取可知A 有两种情况：(a) ⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，即0c o s s i n s i n c o sX X X +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθ （*） 这时变换是一个绕原点的旋转和一个平移的积。

(b)⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A即 0101c o s s i n s i n c o sX X X +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθ （**） 这时变换是一个反射、一个绕原点的旋转和一个平移的积。

评注：（*）、（**）中的处理问题的“技巧”是数学中常用的分解与组合的思想。

以上的论证过程充分地说明了一个问题：平移、旋转和反射是零件，通过它们的组合可构造出各色各样的机器——正交变换，我们只要掌握这些零件的性能和工作原理，那么我们就能把握由它们的组合而产生的各种机器的功能。

定理：任一个正交变换（2维）都可以分解为一个旋转和一个平移的积或分解为一个 旋转、一个反射和一个平移的积。

（结构定理）总结：数学研究思想： 素材−−−→−归纳总结概念−−−→−综合应用表示−−→−研究结构 。

问题探索：求以直线)0(022≠+=++ba c by ax 为轴的轴反射变换公式。

阅读材料——二次曲线的标准形1．用不变量化二次曲线为标准形二次曲线的一般形式：Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 （1） 正交变换： ⎩⎨⎧+'+'-=+'+'=2313cos sin sin cos a y x y a y x x θθθθ （2）为计算方便起见，将（1），（2）改写成 ()011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x F E D E C B D B A y x )1(' ⎪⎪⎭⎫⎝⎛''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1100c o ss i n s i n c o s 12313y x a a y x θθθθ )2(' 在变换)2('下，)1('变为022222='+''+''+''+'''+''F y E x D y C y x B x A )3( 且)4(100c o s s i n s i n c o s10c o s s i n 0s i n c o s23132313⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''a a F E D E C B D B A a a F E D E C B D B A θθθθθθθθ根据矩阵的乘法规则可得)5(c o s s i n s i n c o sc o s s i n s i n c o s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛''''θθθθθθθθC B B A C B B Aθθθθθθθθθ2s i n c o s s i n 2c o s c o ss i n )(2s i n s i n c o s 2222B C A C B C A B B C A A ++='+-='-+=' 所以FE D E C B DB A F E D EC BD B A CB BA CB B AC A C A ='''''''''=''''+='+',,这说明FE D E C B DB A I I I CB BA II C A I ==+=,,（6）是二次曲线在正交变换下的不变量。

对于中心型二次曲线，我们可适当选择变换（2），使 0,0,0='='='E D B由 III F C A II C A I C A ='⋅'⋅'='⋅'='+',,解出F C A ''',,，可得0'22='+''+'F y C x A （7） 对于非中心型二次曲线，我们可适当选择变换（2），使 0,0='='='='F E B A由III D C I C ='⋅'-='2,解出D C '',，可得022=''±''x D y C （8）2．综合应用知识 化二次曲线为标准形 例1 选择适当的正交变换把二次曲线11x 2 – 24xy + 4y 2– 26x + 32y + 20 = 0 化为标准形。

解 因为11×4–122≠ 0，所以曲线是中心型曲线。

F 1（x ，y ）=11x –12y –13，F 2（x ，y ）= –12x + 4y +16247241142c o t =--=θ因为 θθθt a n 2t a n 12c o t 2-=所以 01t a n 2c o t 2t a n 2=-+θθθ 由 01tan 127tan 2=-+θθ 解得43t a n ,34t a n 21-=-=-θθ （对称轴斜率）所以对称轴的方程为)16412(431312110)16412(34131211=++----=++-+--y x y x y x y x即5340543=--=-+y x y x （对称轴）作坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧++-='-+='55345543y x y y x x设20322642411)5534()5543(2222++-+-=+++-+-+y x y xy x C y x B y x A （待定系数法） 比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++⨯=+⨯=+20252525254259161125169C B A B A B A解得 A =–5，B =20，C = 5， 所以 0520522=+'+'-y x即 14122='-'y x （标准形）。