圆锥曲线知识点(秒杀压轴题)

圆锥曲线总结和推论

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴

上）。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，

2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，

2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2

2

2

2222||||||OF B F OB =-，即222

c a b =-；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=

叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时

椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2

2

2

x y a +=。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 （2）双曲线的性质

①范围：从标准方程122

22=-b

y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。即

22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线122

22=-b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

是双曲线122

22=-b

y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122

22=-b y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所

以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122

22=-b

y a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，椭圆有四个顶点，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

图上看，双曲线122

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2

2

≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

⑥注意191622=-y x 与22

1916

y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.

2 标准方程

(1) )0(22

>=p px y ，焦点为)0,2(

p ，准线方程为2p

x -=，抛物线张口向右. (2) )0(22

>-=p px y ，焦点为)0,2

(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.

(3) )0(22

>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.

(4) )0(22

>-=p py x ，焦点为)2

,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.

其中p 表示焦点到准线的距离.

3 几何性质

抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22

>=p px y 或)0(22

>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22

>=p py x 或)0(22

>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22

>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.

4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理