第五讲波动率

例10.8 假设
2 2 2 n 0.000002 0.13un 0.86 1 n1


每天长期平均方差为0.0002，对应的波动率为1.4% 假设对应于n-1天的日波动率估算值为1.6%，n-1天市场价格降

低1%

则第n天的方差为
0.000002 0.13 0.0001 0.86 0.000256 0.00023336

day
year
252
日波动率大约为年波动率的6%
隐含波动率

期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波 动率

隐含波动率是将市场上的期权价格代入BSM公式后反推计算出 的波动率
c S0N (d1 ) Ke rT N (d 2 ) p Ke rT N ( d 2 ) S0N ( d1 ) d1 d2 ln(S0 / K ) ( r 2 / 2)T

概率为：p(1-p)9 使上式取最大值，观察其最大似然估计：p=0.1

例

估计一个变量服从均值为0的正态分布的方差
Maximize: or: This gives:
1 ui2 exp 2v i 1 2 v
n
ui2 ln( v ) v i 1 1 n 2 v ui n i 1

这和“不确定性随时间长度的平方根增长”这一法则是一致的
交易天数与日历天数

研究表明，交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要大 很多，因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交 易所关闭的天数，计算时通常假定每年有252个交易日

假设连续交易日的收益率是独立的，并有相同的标准差
year day 252
-0.004242
0.009037 0.002687 0.000144
0.00004355
0.00004198 0.00004455 0.00008417
9.6283
8.1329 9.8568 9.3824 22,063.5833
….
2423
1988~1997年日元日波动率
未来波动率的预测

经过一系列的代数过程，可得

ai 1
i 1
m
指数加权移动平均模型 （EWMA）
要避免由于简单移动平均导致的缺陷，最简单的方法是对近期的数据赋予 更高的权重。这是指数加权移动平均法（EWMA）背后的基本思想


在指数加权移动平ห้องสมุดไป่ตู้模型中， u2 的权重αi 随着回望时间加长而按指数速
度递减
2 2 2 n n (1 ) u 1 n 1
n
GARCH（1，1）的应用 选择参数，最大化下式

ui2 ln(vi ) vi i 1
n
日元汇率数据的计算
第 i天 1 2
Si 0.007728 0.007779
ui 0.006599
vi =si2
-lnvi - ui2/vi
3
4 5
0.007746
0.007816 0.007837 0.008495
GARCH（1，1）模型 在GARCH（1，1）中，我们赋予长期平均方差一定的权重
2 2 2 n VL aun 1 n1


因为权重之和为1，故有
a 1

令 w = VL ，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n w a un 1 n 1 w VL 1a

日波动率的最新估计为每天1.53%
GARCH（p，q）
2 2 2 n w a i un j n j i i 1 j 1
p
q
其它模型

许多其它的GARCH模型已被提出 比如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui2 的权重依 赖于 ui 的正负值

方差目标
m 1 2 2 n un i m i 1



加权权重的格式

对等权重进行改进
2 2 n a i un i i 1 m
a
i 1
m
i
1
ARCH（m）模型 在 ARCH（m）模型中，我们也给长期平均方差VL一个权重γ
2 VL ai un i 2 n i 1 m

肥尾分布的随机变量，不能简单的用正态分布去拟合这些数据的分
布，从而做一些统计推断。一般来说，通过实证分析发现，自由度 为5或6的t分布拟合的较好。

认识肥尾分布对于投资而言有着极为重要的意义，菲利普安德森说， 绝大多数事件取决于分布的尾部（极限状态），而不是均值；取决 于例外时间，而不是均值。众多的小概率的大规模事件的存在（如 崩盘）也印证了对投资者的影响更为巨大。

该类指数有三种：VIX 跟踪S&P500；VXN跟踪Nasdaq 100成分股；VXD则跟 踪道琼斯工业指数

GVIX，周昆教授等提出，认为波动率计算的3阶项也不能省略，所以得出结果与
VIX有不同，似更精确——实际上，我们可以有更精确的计算方法去估算波动率
汇率的日变化量是否服从正态分布
标准差的天数 >1 SD >2SD

许多风险管理者在计算日收益波动率时使用λ=0.94，而在计算月波动率时
则使用λ=0.97。JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技术文档中就是把这 两个λ值作为研究成果用于实证检验
EWMA的诱人之处 需要的数据相对较少 仅需记忆对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值 对波动率进行跟踪监测 RiskMetrics 采用λ=0.94来更新每天波动率的估计
2 t 2 E n V ( a ) ( t L n VL )

估计一个期限为T天的期权的波动率，我们必须对即时方差求 从0到T的积分

对于一个期限为T的期权，其年波动率为
1 e aT (T ) 252 VL (V (0) VL ) aT

我们可以回忆VaR值，分布不同对于结果影响很大。
正态分布和肥尾分布
幂律：正态分布的代替

在分析很多市场变量的收益行为时，幂律似乎要比正态分布更 好（Prob(v > x) = Kx-a）

幂律分布在自然界和人类社会中广泛存在，到目前为止仍然是 一个相当神奇的话题，人们似乎可以发现很多符合幂律分布的 事实，但人们却很难解释为什么分布会是这个样子。




CWMA与GARCH

运用EWMA估计的市场波动率并不是常数，这正是广义自回归条件异方差模型 （GARCH模型）族的核心思想。 EWMA属于GARCH模型的一个特例。GARCH模型族假设收益率的条件方差不 是常数，因此在不同的时间段里，资产收益率的波动性可能会更高或者更低（即 波动聚集性）。εi是在时刻i的预测误差，即估计值和实际值之间的差距（因此， 估计条件方差同样要求估计一个条件均值，条件均值是通过自回归模型AR(1)推 导出来的yt+1=α+ρyt+ε式中,yt+1和yt分别代表在t+1和t时刻上的资产收益率；α和ρ
m 1 2 n (un i u ) m 1 i 1 1 m u un i m i 1




这个公式其实就是一个样本方差的计算公式，那么为什么是样 本方差呢？（关于总体和样本的思辨）
简化形式 定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1 假设 ui 期望为0 用 m 代替 m-1

爆发：大数据时代预见未来的新思维 以及如下的文章可以作为参考


http://www.360doc.com/content/10/0811/00/84590_45147637.shtml
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法 定义 n 为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率 定义 Si 为市场变量在第 i 天末的价格 定义 ui= ln(Si/Si-1)
现实世界 (%) 25.04 5.27
正态模型 (%) 31.73 4.55
>3SD
>4SD >5SD >6SD
1.34
0.29 0.08 0.03
0.27
0.01 0.00 0.00
肥尾分布

证券的收益率。 从图形上说，较正态分布图的尾部要厚，峰处要 尖。是大概率的小规模事件与小概率的大规模事件并存的一种状态。
T
ln(S0 / K ) ( r 2 / 2)T
T
d1 T
VIX指数 VIX指数是S&P500指数的波动率指数

VIX指数

VIX 是芝加哥期权期货交易所 使用的市场波动性指数。通过该指数，可以了解 到市场对未来30天市场波动性的预期。

VIX由CBOT（芝加哥期权期货交易所）编制，以S&P500指数期权的隐含波动 率计算得来（1993年从8只成分股为基础计算，现在覆盖了标普500所有成分 股）。若隐含波动率高，则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少 成本去对冲投资风险（用股票期权对冲风险的成本）。因此，VIX广泛用于反映 投资者对后市的恐慌程度，又称“恐慌指数”。指数愈高，意味着投资者对股市 状况感到不安；指数愈低，表示股票指数变动将趋缓。

其中 a ln
1 a
波动率期限结构

GARCH（1，1）模型允许我们预测波动率期限结构的改变 当σ(0)的变化量为Δσ(0)，GARCH（1，1）预测的σ(T)的相应 变化量为

1 e aT (0) (0) aT (T )
作业

10.9 11 21

是需要通过回归进行估计的常数；ε是回归方程的误差项。并且有α>0、
α1,α2,…,αp≥0。从上式可知：显著的预测误差会导致所估计的方差变大；当然， 同时还受到α参数值大小的影响。博勒斯洛夫通过将时刻t的条件方差用t-1，t-2 ，…，t-n时刻的方差来表示，将恩格尔的ARCH模型进行了扩展。

EWMA虽然是GARCH的一个特例，但两者计算的结果其实并不相同。

一种估计GARCH（1，1）参数的很好方法是所谓的方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出的抽样方差 模型只需要估计两个参数


最大似然估计法

选择合适的参数使得数据发生的几率达到最大
例

随机抽取某一天10只股票的价格，我们发现一只股票价格在这 一天价格下降了，而其它9只股票的价格有所增加或至少没有 下跌，将任意股票价格下降的概率计为 p 。那么，一只股票价 格下降的概率的最好估计为多少？
第五讲 波动率
波动率的定义 某个变量的波动率σ定义为这一变量在单位时间内连续复利收 益率的标准差


定义Si 为变量在时间 i 的值，则日波动率为ln(Si /Si-1) 的标准差 如果我们假设，每日收益率相互独立且具有相同的方差，则T

天回报的方差为T乘以每日收益率的积。这意味着，T天收益率
的标准差是日收益率标准差的 T 倍