09集合的基数

定义9.1 设A, B是集合，如果存在着从A到B 的双射函数，就称A和B是等势（same cardinality）的，记作≈A≈B。 如果A不与B等势，则记作A B。
2020/3/17
等势集合的实例(1)
（1）Z≈N。
2x x0 f:Z N, f(x) 2x1 x0 则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
即P(A) 中≈存在元素B，在A中找不到原像。
所以，g不是满射的。
说明所以，根综据合A这前个面定的P理结(A可果)。以，知可道知NN
≈ ≈
P(N)。 {0,1}N 。
2020/3/17 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
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等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开
区间0和闭1 区2 1间。2 1 2
1
23
1 2n

1 2
1 1 1 1
2 2 23 24 25
…
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f(n1)…=0.a1(n≈)a2(n)…
康托定理
• 假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双 射函数。 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B 。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。
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等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数 f:N N N , f( m ,n ) ( m n 1 ) ( m n ) m
2
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等势集合的实例(3)
（3）N≈Q。
把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成 以一0/张1作表为第。一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中
2020/3/17
例9.2
例9.2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明 构造f：P(A)→{0,1}A，
复习
f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。
(2)对于任意的 g∈{0,1}A，
那么有 g：A→{0,1}。令
B={x| x∈A∧g(x)=1}
分析
P(A)。
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N≈ R。 只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。 构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。
或者使用反证法。 2020/3/17
康托定理
若bB，则b 2020/3/17 f (b)，于是由B的定义知，
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如 下构造集合B：
B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。
但是对任意x∈A，都有
x∈B xg(x)
所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g
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若干等势集合
• N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N • R ≈ [0,1] ≈(0,1) • 任何的实数区间（开区间、闭区间以及半
开半闭的区间）都与实数集合R等势。 • 问题：N和R是否等势？
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康托定理
定理9.2 康托定理
（1）N≈ R。
（2）对任意集合A都≈ 有A
（1）首先规定[0,1]中数的表示。
对任意的x∈[0,1]，令x ≤ 9）
=
0.x1x2…
,
（0 ≤ xi
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到 0.24999…，则将x表示为0.25000…。
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的 所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)…
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。
2020/3/17 由等势定义得P(A)≈{0,1}A。
等势的性质
定理9.1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。 （2）若A≈B，则B≈A。 （3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。 （2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。 （3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。
2020/3/17
本章说明
本章的主要内容
–集合的等势及其性质 –重要的等势或不等势的结果 –集合的优势及其性质 –自然数与自然数集合 –集合的基数 –可数集
2020/3/17
本章内容
9.1 集合的等势与优势 9.2 集合的基数
本章小结 习题 作业
2020/3/Leabharlann 79.1 集合的等势与优势
通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
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1/2
2/2
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3/2 …
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-1/3 0/3
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1/3
[9]
2/3 3/3 …
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-1/4 0/4
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1/4
2/4
[13]
3/4 …
等势集合的实例(4)
（4）(0,1)≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。
f:(0,1 ) R , f(x)tan2x1
所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
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[5]
… -3/1 -2/1
[17]
… -3/2 -2/2
… -3/3
[6]
-2/3
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…2020/3/-173/4
-2/4
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[0]
-1/1 0/1
[1]
1/1
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2/1 3/1 …
[3]
-1/2 0/2
1 2n2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(x)

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x
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x0 x 1 x 1/ 2n,n 1,2,... 其它x
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。