高数第一章深刻复习资料

第一章 预备知识

一、定义域

1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。答案：(0,1)

2. 求32233

()6

x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。

答案：()()(),33,22,-∞--+∞

二、判断两个函数是否相同？

1. 2

()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同

()2ln 1

(1) (),()1

1

(2) (),()sin arcsin (3) (),()x

x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性

1. 判断()2

x x

e e

f x --= 的奇偶性。答案：奇函数

四、有界性

, 0∀∈∃>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。

有界函数既有上界，又有下界。

1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界？答案：无界

2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2

2

11<+x x

五、周期性

1. 下列哪个不是周期函数（C ）。

A ．sin , 0y x λλ=>

B ．2y =

C ．tan y x x =

D ．sin cos y x x =+

注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。

六、复合函数

1. 已知[]()f

x ϕ ，求()f x

例：已知10)f x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭

，求()f x 解1：

(111111

()1f x x x

f x x

⎛⎛⎛⎫

==+ ⎪ ⎝⎭⎝⎝= 解2： 令

1y x = ，1x y =

，1()f y y =

，(11()1f x x x =+=

2. 设2

211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝

⎭ ，求()f x 提示：2

22112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭

3. 设(sin )cos 21f x x =+ ，求(cos )f x 提示：先求出()f x

4. 设2

2

(sin )cos 2tan f x x x =+ ，求()f x 提示：222

2

sin (sin )12sin 1sin x

f x x x

=-+- 七、函数图形

熟记arcsin ,arccos ,arctan ,cot ====y x y x y x y arc x 的函数图形。

第二章 极限与连续

八、重要概念

1. 收敛数列必有界。

2. 有界数列不一定收敛。

3. 无界数列必发散。

4. 单调有界数列极限一定存在。

5. 极限存在的充要条件是左、右极限存在并且相等。

九、无穷小的比较

1. 0→x 时，下列哪个与x 是等价无穷小（A ）。 A ．tan x B ．sin -x x C ．sin +x x

D ．2

3x

十、求极限

1. 无穷小与有界量的乘积仍是无穷小。

arctan lim

0x x x →∞= ，cos lim 1x x x x →∞-= ，1lim sin 0x x x →∞= ，201

lim sin 0x x x

→=

，2lim 01x x x →+∞=+

2. 自变量趋于无穷大，分子、分母为多项式

例如：22

323

lim 4354

→∞-=++x x x x 提示：分子、分母同除未知量的最高次幂。 3. 出现根号，首先想到有理化

lim

lim

0x x →+∞

==

123

2

1113

12x x x x x →→++==

- 补充练习： （1

）

lim

n →∞

（2

）1

x →（3）

)lim x x →+∞

（4）)

lim x x

x →+∞

（5

）0

x →

4. 出现三角函数、反三角函数，首先想到第一个重要极限

例：2211

sin

sin

1lim lim 121(21)2

x x x x x x x x x x

→∞→∞=⨯=++

作业：P49

7 （1）~（3）

5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数，首先想到第二个重要极限

例：22

2

212221

22212lim lim 111x x x x x x x e x x +--

⨯+-→∞→∞

⎛⎫--⎛

⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

作业：P49 7 （4）~（6）

6.

00 、∞∞

、0∞ 、∞-∞ 、00 、1∞ 、0

∞ ，可以使用洛必达法则 作业：P99

5 （1）~（8）

7. 分子或分母出现变上限函数

提示：洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数

例：22

3

2 0001sin 1

lim sin lim 33

x

x x x t dt x

x →→==⎰ 补充练习： （1）sin 0

arcsin lim

sin x

x tdt

x x

→⎰

（2）2

lim

x

t x e dt x

→⎰

（3）

()2

2

23

sin lim

sin x x

x t dt t t dt

→⎰⎰

（4）1

1

1

lim

1

x

t

x e dt

x →-⎰