二次函数图象平移规律

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论述高中数学二次函数的变换规律

论述高中数学二次函数的变换规律一、二次函数的一般形式二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二、平移变换规律1. 水平平移：- 右平移h个单位：y = a(x - h)^2 + bx + c；- 左平移h个单位：y = a(x + h)^2 + bx + c。

2. 垂直平移：- 上平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c + k)；- 下平移k个单位：y = ax^2 + bx + (c - k)。

三、缩放变换规律1. 水平缩放：- 横坐标伸缩为原来的k倍：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中k≠0；- 横坐标收缩为原来的k倍：y = a(kx)^2 + bx + c，其中k≠0。

2. 垂直缩放：- 纵坐标伸缩为原来的k倍：y = (ak)x^2 + bx + c，其中k≠0；- 纵坐标收缩为原来的k倍：y = (a/k)x^2 + bx + c，其中k≠0。

四、翻转变换规律1. 关于x轴翻转：y = a(-x)^2 + bx + c。

2. 关于y轴翻转：y = ax^2 - bx + c。

3. 关于原点翻转：y = a(-x)^2 - bx + c。

五、其他常见变换规律1. 拉伸变换：- 沿x轴拉伸：y = a(x/k)^2 + bx + c，其中a>0，且k>1；- 沿y轴拉伸：y = (ak)x^2 + bx + c，其中a>1。

2. 旋转变换：- 顺时针旋转α角：y = a(xcosα + ysinα)^2 + bxcosα - bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。

- 逆时针旋转α角：y = a(xcosα - ysinα)^2 + bxcosα + bysinα + c，其中a>0，α∈[0,2π)。

六、应用举例例如，对于二次函数y = x^2 + 2x + 1，可以通过平移、缩放和翻转等变换规律进行如下操作：- 右平移1个单位：y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1；- 上平移2个单位：y = x^2 + 2x + 3；- 横坐标伸缩为原来的2倍：y = (1/2)x^2 + 2x + 1；- 纵坐标伸缩为原来的3倍：y = 3x^2 + 2x + 1；- 关于y轴翻转：y = x^2 - 2x + 1；- 关于原点翻转：y = x^2 + 2x + 1。

二次函数图像的变换

二次函数图像的变换第一环节【知识储备】一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．第二环节【新知探究】【问题一】平移变换求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。

二次函数的平移与反转

二次函数的平移与反转二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在二次函数的研究中，平移和反转是两个重要的概念。

一、平移的概念平移是指二次函数在坐标平面上按照一定规律进行的位移操作。

它可以使得函数图像的位置在坐标平面上发生改变，同时保持函数图像的形状不变。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

1. 水平平移水平平移是指二次函数图像在横向方向上的移动。

一般地，我们将向右移动看作是正向的平移，向左移动看作是负向的平移。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向右平移h个单位，则可以通过将x替换为x - h来实现。

具体地，新的函数表达式为f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。

2. 垂直平移垂直平移是指二次函数图像在纵向方向上的移动。

类似于水平平移，向上移动被看作是正向的平移，向下移动被看作是负向的平移。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想使函数图像向上平移k个单位，则可以通过将整个函数表达式加上k来实现。

具体地，新的函数表达式为f(x) + k = ax² + bx + c + k。

二、反转的概念反转是指二次函数图像关于某个轴进行对称操作，使得函数图像在该轴上呈现对称关系。

反转可以分为水平反转和垂直反转两种情况。

1. 水平反转水平反转是指二次函数图像关于y轴进行对称操作。

在水平反转后，原二次函数的图像会呈现关于y轴的对称特点。

设二次函数为f(x) = ax² + bx + c，若想对函数进行水平反转，可以通过将x替换为-x来实现。

具体地，新的函数表达式为f(-x) = a(-x)² +b(-x) + c。

2. 垂直反转垂直反转是指二次函数图像关于x轴进行对称操作。

在垂直反转后，原二次函数的图像会呈现关于x轴的对称特点。

二次函数的平移与伸缩

二次函数的平移与伸缩二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理等领域有广泛的应用。

平移和伸缩是二次函数的重要性质，它们可以改变函数图像的位置和形状。

本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩的概念、性质及其在图像变化中的应用。

一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向上下或左右移动，而不改变函数的形状。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的一般形式可以表示为 f(x - h) + k，其中 (h, k) 表示平移的距离和方向。

1. 水平平移：当 h > 0 时，函数图像向右平移 h 个单位；当 h < 0 时，函数图像向左平移 |h| 个单位。

2. 垂直平移：当 k > 0 时，函数图像向上平移 k 个单位；当 k < 0 时，函数图像向下平移 |k| 个单位。

平移的性质：平移后的函数图像与原函数图像相似，但位置发生了变化。

平移不改变二次函数的对称轴和开口方向。

二、伸缩的概念与性质伸缩是指将函数图像在坐标轴的方向上拉长或压缩，通过改变函数的系数实现。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，伸缩的一般形式可以表示为 f(px) = a(p·x)^2 + b(p·x) + c，其中 p 表示伸缩的比例。

1. 水平伸缩：当 p > 1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < p < 1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉长。

2. 垂直伸缩：当 a > 1 时，函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < a< 1 时，函数图像在 y 轴方向上被压缩。

伸缩的性质：伸缩后的函数图像与原函数图像相似，但形状和大小发生了改变。

伸缩改变了二次函数的开口程度，但不改变二次函数的对称轴。

三、平移与伸缩的应用1. 位置调整：通过平移可以将函数图像移动到坐标系中合适的位置，使得图像与实际问题相符合。

二次函数专题—函数图像的平移

二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。

函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。

1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。

解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。

这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。

反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。

如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。

二次函数像的平移与缩放

二次函数像的平移与缩放二次函数是学习高中数学中重要的一部分，它们具有许多有意义的性质。

其中一个非常有趣的性质是二次函数的平移和缩放。

通过平移和缩放，我们可以改变二次函数的图像位置和大小，使得它们更符合我们的需求。

在本文中，我们将讨论二次函数图像的平移和缩放，并探索如何通过这些变换来改变函数的性质。

一、平移变换平移是指通过对二次函数的自变量（即x）进行加减常数的操作，使得函数的图像在坐标平面上沿x轴或y轴方向移动。

平移变换仅影响函数的图像位置，而不改变其形状。

1. 沿x轴平移当我们对二次函数进行沿x轴平移时，我们将函数的自变量（即x）的值加上或减去一个常数。

具体来说，若要将函数图像向左平移h个单位，则我们可以通过将所有x替换为x-h来实现；若要将函数图像向右平移h个单位，则将所有x替换为x+h即可。

例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向右平移2个单位。

通过将x替换为x-2，我们得到平移后的函数y=(x-2)^2。

这样，原来函数的图像将平移2个单位向右。

同理，当我们希望将函数图像向左平移3个单位时，可以将x替换为x+3，得到新函数y=(x+3)^2。

这样，原来函数的图像将平移3个单位向左。

2. 沿y轴平移与沿x轴平移类似，当我们对二次函数进行沿y轴平移时，我们将函数的值加上或减去一个常数。

具体来说，若要将函数图像向上平移k 个单位，则我们可以通过将所有y替换为y-k来实现；若要将函数图像向下平移k个单位，则将所有y替换为y+k即可。

例如，对于二次函数y=x^2，我们希望将其向上平移3个单位。

通过将y替换为y-3，我们得到平移后的函数y=x^2-3。

这样，原来函数的图像将平移3个单位向上。

同理，当我们希望将函数图像向下平移4个单位时，可以将y替换为y+4，得到新函数y=x^2+4。

这样，原来函数的图像将平移4个单位向下。

二、缩放变换缩放是指通过乘以或除以一个常数来改变二次函数图像的大小。

缩放变换会影响函数图像的形状和大小，但不会改变其位置。

二次函数图象的平移和对称变换

2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。

所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。

利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。

下面由具体的例子进行说明。

一、平移。

例1、把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。

例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。

法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。

22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。

初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置

初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
二次函数的图像的平移变换是通过改变二次函数的参数来实现的，其中包括改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变二次函数的平移方向。

以下是对二次函数图像的平移变换如何影响图像位置的详细解释：
1. 改变顶点的横坐标：将二次函数的顶点从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的横坐标实现。

如果我们将顶点的横坐标加上一个正数a，那么图像会向右平移 a 个单位；如果我们将顶点的横坐标减去一个正数a，那么图像会向左平移 a 个单位。

2. 改变顶点的纵坐标：将二次函数的顶点的纵坐标从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的纵坐标实现。

如果我们将顶点的纵坐标加上一个正数b，那么图像会向上平移b 个单位；如果我们将顶点的纵坐标减去一个正数b，那么图像会向下平移b 个单位。

3. 改变平移方向：除了改变顶点的横坐标和纵坐标，我们还可以通过改变二次函数的平移方向来实现图像的平移变换。

当a 的值为正数时，二次函数图像向右平移；当 a 的值为负数时，二次函数图像向左平移。

同样地，当b 的值为正数时，二次函数图像向上平移；当b 的值为负数时，二次函数图像向下平移。

通过改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变平移方向，我们可以实现二次函数图像的平移变换。

这些变换会影响图像的位置，使图像在坐标平面上移动到新的位置。

理解和运用平移变换的概念和方法，有助于我们分析和解释二次函数图像的位置和变化。

需要注意的是，平移变换只会改变二次函数图像的位置，而不会改变图像的形状。

图像的形状由二次函数的系数决定。

平移变换是一种基本的图像变换，也是了解和应用二次函数图像的重要工具之一。

二次函数的平移与求解析式

二次函数平移平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。

1、平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴ 2y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++ 变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）3、二次函数2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。

这个函【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2bh a=-：例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2例4. 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y22-=，则抛物线C 0的顶点坐标；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为．例5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ．⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．练习一、选择题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（）A. 将抛物线C 向右平移 2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位 6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-21)2+37.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12.若二次函数y=(x-m)2-1，当≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 二、填空题1.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到3.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向平移个单位得到 4.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向平移个单位，再向_____平移_____个单位得到6.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________7.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 8.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为三、解答题1.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式2.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。

高中数学二次函数图像平移分析方法

高中数学二次函数图像平移分析方法二次函数是高中数学中的重要内容，它的图像具有很多特点和性质。

其中，平移是二次函数图像的一种常见变化，也是考试中经常出现的题型。

本文将介绍二次函数图像平移的分析方法，并通过具体的例题来说明。

一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变其形状。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

1. 水平平移：当二次函数图像沿x轴方向平移h个单位时，函数的表达式变为y = a(x - h)^2 + bx + c。

其中，h为平移的距离，当h大于0时表示向右平移，当h小于0时表示向左平移。

2. 垂直平移：当二次函数图像沿y轴方向平移k个单位时，函数的表达式变为y = ax^2 + bx + (c + k)。

其中，k为平移的距离，当k大于0时表示向上平移，当k小于0时表示向下平移。

二、平移的考点与解题技巧平移是二次函数图像的重要性质，考试中经常会涉及到平移的题目。

以下是一些常见的考点和解题技巧。

1. 平移的基本性质：平移不改变二次函数的开口方向和顶点位置，只改变函数图像在坐标平面上的位置。

2. 平移的关键点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，顶点是平移的关键点。

通过观察顶点的横坐标和纵坐标的变化，可以确定平移的方向和距离。

3. 平移的图像分析：在解题过程中，可以通过绘制函数图像来进行分析。

首先，绘制原始的二次函数图像，然后根据平移的要求，将图像进行移动。

三、例题分析下面通过具体的例题来说明二次函数图像平移的分析方法。

例题1：已知二次函数y = x^2 + 2x + 1的图像经过平移得到y = (x - 1)^2 - 2的图像，请分析平移的过程和结果。

解析：首先，观察函数表达式的变化，可以得知平移的距离h为1，表示向左平移1个单位。

其次，通过比较两个函数的顶点，可以发现顶点的纵坐标发生了变化，由1变为-2，说明进行了垂直平移。

二次函数图像上下和左右平移

-10
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
4
y y=-x2+3
2
-5
O
5
x
10
-2 y=-x2
-4
-6
y=-x2-2
图象向上移还是向下移,移多少个单位-8 长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状相同，只是_位__置__不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向上平移 c 个单位得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口下，对称轴是 y轴，顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x= 0 时，取得最大值，这个值等于 5 。
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2+1 …… 5
函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个
单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
20
y
8
12 14

二次函数的平移规律

.
• 分析：把把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，也可以看成把抛物线向下，向左平移2 个单位.
例3.如果要得到 y x2 6x 7 的图像，需
将 y x2 的图像（）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
例1.在平面直角坐标系中，将抛物线 y 2x 2
向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，所得抛物线的解析式是
.
y 2x2向下平移3个单位得 y 2x2 3
y 2x2 3
例2.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动，而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度二次函数一般式直接平移
• 例4.已知抛物线 y x2 2x 1 向右平移
3个单位长度，向下平移2个单位长度得到
的函数解析式是
.
总结：二次函数的平移规律：上下平移后变化，上加下减；左右平移括号里面变化，左加右减. 也可以说成：上下平移函数值y变化，上加下减；左右平移自变量x变化，左加右减
九年级数学上册
二次函数的平移规律
二次函数的平移规律
• 二次函数的解析式一共有5种形式
1 y ax2 2y ax2 k
3y ax h2
4y ax h2 k
5y ax2 bx c
1 y ax2 2y ax2 k 3y ax h2 4y ax h2 k 5y ax2 bx c
由（1）经过上下平移得到（2），即上下平移后变化，上加下减由（1）经过左右平移得到（3）即左右平移括号里面变化，左加右减. 由（1）经过上下平移和左右平移得到（4）（4）式和（5）式可以互相转化.

二次函数一般式平移规律总结

二次函数一般式平移规律总结二次函数是高中数学中常用的一种函数，它包含不同类型的函数，如二次多项式函数、指数函数、对数函数等，二次函数已经成为数学研究实际应用中不可或缺的重要内容。

学习过程中，我们一定会接触到二次函数的平移规律，因此，对此要有良好的了解和掌握，本文将结合实例对二次函数的一般式的平移规律进行总结，以更深层次的理解和掌握这一知识点。

二、二次函数的一般式二次函数的一般式为：y＝ax＋bx＋c。

其中，a、b、c为实数，a≠0：（1）当a＞0时，f（x）为凸函数，图象为上支或右支抛物线；（2）当a＜0时，f（x）为凹函数，图象为下支或左支抛物线。

三、二次函数的平移规律1、平移y轴当y轴上的常数变化时，曲线的位置会发生变化。

由f（x）＝ax＋bx＋c可得，当c变化时，曲线的位置也会发生变化，实际上就是曲线在y轴上向上或向下平移。

假设y轴上常数c变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋bx＋（c＋d），图象就是向上或向下平移d个单位，可以写作：（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）＋d，曲线向上平移d个单位；（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋bx＋（c＋d）＝f（x）－｜d｜，曲线向下平移｜d｜个单位。

2、平移x轴当x轴上的常数b变化d，则函数f（x）＝ax＋bx＋c变化为f （x）＝ax＋（b＋d）x＋c，曲线就是向左或向右平移d个单位，即：（1）当d＞0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x－d），曲线向左平移d个单位；（2）当d＜0时，f（x）＝ax＋（b＋d）x＋c＝f（x＋｜d｜），曲线向右平移｜d｜个单位。

四、实例分析（1）实例一：已知y＝2x＋3x－2，求y＝2x＋3x＋1的图象。

解：在原函数f（x）＝2x＋3x－2的基础上，x轴上的常数b增加1，即b＋d＝3＋1＝4，因此新函数f（x）＝2x＋（3＋1）x－2＝2x＋4x－2，即所求函数f（x）＝2x＋3x＋1，令d＝1；由上可知，原函数向右平移1个单位，即y＝2x＋3x＋1的图象。

二次函数的像平移与翻转

二次函数的像平移与翻转二次函数是数学中一个常见的函数类型，具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的特点。

在二次函数中，像平移与翻转是两个重要的概念，它们可以让我们对二次函数的图像进行变换和调整。

本文将介绍二次函数的像平移和翻转的概念以及相应的计算方法。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是常数。

二、二次函数的像平移1. 横向平移当二次函数的自变量向右平移h个单位时，函数的表达式变为f(x - h)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向平移h个单位后的函数可以表示为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。

2. 纵向平移当二次函数的因变量向上平移k个单位时，函数的表达式变为f(x) + k。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向平移k个单位后的函数可以表示为f(x) + k = a(x - h)^2 + b(x - h) + c + k。

三、二次函数的像翻转1. 横向翻转当二次函数的自变量取相反数时，函数的表达式变为f(-x)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向翻转后的函数可以表示为f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c。

2. 纵向翻转当二次函数的因变量取相反数时，函数的表达式变为-f(x)。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向翻转后的函数可以表示为-f(x) = -ax^2 - bx - c。

四、计算实例举例来说，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。

如果要进行横向平移3个单位，那么平移后的函数为f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1。

如果要进行纵向平移4个单位，那么平移后的函数为f(x) + 4 = x^2+ 2x + 1 + 4。

二次函数的平移与缩放

二次函数的平移与缩放在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，其一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。

通过改变a、b、c的值，可以使二次函数图像在坐标平面上发生平移和缩放的变化。

本文将探讨二次函数的平移与缩放，并给出相关的示例。

一、二次函数的平移平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。

对于二次函数而言，平移主要涉及到x轴和y轴方向的变化。

1. 沿x轴平移在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当x加上一个常数h时，函数变为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。

这个变化使得函数图像沿着x轴的正方向平移了h个单位。

具体来说，如果h>0，则平移向右；若h<0，则平移向左。

举例来说，考虑函数f(x) = x^2，我们将其进行沿x轴平移2个单位。

根据上述公式，得到新的函数为f(x-2) = (x-2)^2。

在坐标平面上画出原函数和新函数的图像，可以发现新函数图像的顶点比原来的向右移动了2个单位。

2. 沿y轴平移在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当f(x)加上一个常数k时，函数变为f(x) + k = ax^2 + bx + c + k。

这个变化使得函数图像沿着y轴的正方向平移了k个单位。

具体来说，如果k>0，则平移向上；若k<0，则平移向下。

举例来说，考虑函数f(x) = x^2，我们将其进行沿y轴平移3个单位。

根据上述公式，得到新的函数为f(x) + 3 = x^2 + 3。

在坐标平面上画出原函数和新函数的图像，可以发现新函数图像的整体位置比原来的向上移动了3个单位。

二、二次函数的缩放缩放是指改变函数图像的形状和尺寸，可以通过改变a、b和c的值来实现。

1. 缩放的尺度在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当a乘以一个正常数k时，函数变为f(x) = kax^2 + kbx + kc。

二次函数的平移与翻折

二次函数的平移与翻折二次函数是高中数学中的一个重要概念。

在学习二次函数的过程中，我们不仅需要掌握二次函数的基本性质和特点，还需要了解二次函数的平移与翻折。

本文将重点讨论二次函数的平移与翻折，并对其进行详细解析。

首先，我们先来回顾一下二次函数的基本概念。

二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，并且a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向由a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

b控制了抛物线图像的位置，c则是抛物线与y轴的交点。

有了对二次函数基本概念的了解，接下来我们将讨论二次函数的平移与翻折。

平移和翻折其实是二次函数图像在平面坐标系中的移动和变化。

首先，我们来看二次函数的平移。

平移是指将函数的图像在坐标平面上沿x轴或y轴方向移动一定的距离。

横向平移是指将函数图像沿x轴左右移动，纵向平移是指将函数图像沿y轴上下移动。

具体来说，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，横向平移的规律是：如果向右平移h个单位，那么函数变为y = a(x - h)^2 + b(x - h) + c；如果向左平移h个单位，那么函数变为y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。

纵向平移的规律则是：如果向上平移k个单位，那么函数变为y = a(x^2 + bx + c + k)；如果向下平移k个单位，那么函数变为y = a(x^2 + bx + c - k)。

平移的操作可以通过改变函数中对应项的系数来实现。

例如，当函数y = ax^2 + bx + c向右平移h个单位时，可以将x替换为x - h，这样原来的函数变为y = a(x - h)^2 + b(x - h) + c，即可实现横向平移。

除了平移，二次函数还可以进行翻折。

翻折是指将函数的图像沿x轴或y轴进行翻转。

形象一点来说，就像是将函数图像左右或上下翻转过来。

具体来说，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，x轴对称的规律是：将函数图像沿x轴翻转后，函数变为y = -ax^2 + bx + c；y轴对称的规律则是：将函数图像沿y轴翻转后，函数变为y = ax^2 - bx + c。

二次函数的平移口诀

二次函数的平移口诀在学习数学函数时，学习二次函数的平移是必不可少的。

在你学会如何求解二次函数的解析解和图象的形状之后，知道如何使用变换矩阵作为技术，来使图像上的点同时发生平移就很重要了。

二次函数的平移可以用口诀来表示：“表的形状不变，移动的位置变更；移动的距离接受控制，改变的是坐标系。

”意思就是说，当二次函数发生平移时，它的形状不会发生改变，但是它在坐标系上的位置会发生变化，变化的幅度取决于你设置的移动距离参数。

为什么要学习二次函数的平移？因为这个技能有实践的价值，在生活中我们经常会遇到这样的问题：当特定的对象，比如一个凸多边形，改变其空间位置时，它会怎么样？了解二次函数的平移有助于解决这个问题。

二次函数的平移有两种方式，一种是按照坐标系统进行移动，这是最常见的；另一种是按照变换矩阵进行移动，这种移动方式比较灵活，可以更好地满足实际应用的要求。

按照坐标系统进行移动的方式比较简单，只要记住每次平移的距离即可。

举个例子，把原函数y=x^2的解析解横坐标向右平移2，纵坐标向上平移3，就可以求出平移后的函数形式y=(x-2)^2+3。

而按照变换矩阵进行移动，就要求你熟悉变换矩阵的概念，以及如何用变换矩阵来描述函数的变换。

变换矩阵可以表示几何，比如缩放、旋转、反射等变换，还可以用来记录平移的变换。

以上就是二次函数的平移口诀。

它是由一个简单的口诀来概括二次函数发生平移时，表示方式和变换距离的变化。

它包括两种发生平移的方式，即按照坐标系统进行移动，以及按照变换矩阵进行移动，两者有别于一般的函数乘法，我们可以利用它们来完成物体空间位置的变换。

学习二次函数的平移，首先要掌握变换矩阵的概念，以及怎样使用变换矩阵来表示函数的变换。

了解口诀中的概念后，可以做几组简单的练习，把它们应用到解二次函数的题目上，特别是那些涉及到平移的题目。

只要不断练习，你就可以轻松地掌握二次函数的平移了。