离散数学 31集合概念表示法

A B (x)( x A x B) (x)( x B x A)
四、特殊的集合
1、空集
定义3-1.3：不含任何元素的集合称为空集，记作。 ={x|p(x)p(x)} 例如：X={x|x2+1=0，xR}是空集。 注意：{}，{} 定理3-1.2：对于任意一个集合A，A。 证明：反证法，假设存在一个集合A，使得A为假。 则存在x且xA，这与空集的定义矛盾，所以A， 空集是任意集合的子集。
理发师悖论（罗素悖论）
20世纪英国著名哲学家、数学 家罗素提出一个著名的悖论 ——“理发师难题”，其内容如 下： 西班牙的塞维利亚有一个理发 师，这位理发师有一条极为 特殊的规定：他只给那些“不 给自己刮胡子”的人刮胡子。
罗素悖论
罗素构造了一个集合S：S由一 G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论 切不是自身元素的集合所组 的信后伤心地说： “一个科学家所遇 成。 到的最不合心意的事莫过于是在他 罗素问：S是否属于S呢？ 的工作即将结束时，其基础崩溃了 。罗素先生的一封信正好把我置于 如果S属于S，根据S的定义，S 这个境地。 ” S；反之，如果S不 就不属于 属于S，同样根据定义，S就 属于S。无论如何都是矛盾的 可以说，这一悖论就象在平静的 。 数学水面上投下了一块巨石，而
4、对称差 定义3-2.5：设A、B是任意两个集合，集合A和B
的对称差，其元素或属于A，或属于B，但不能既 属于A又属于B，记作AB。
集合的分类
•空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集 （finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。 •有限集合中元素的个数称为集合的基数 （cardinality）。集合A的基数表示为 A。
二、集合的三种表示方式：
（l）列举法 将集合的元素列举出来。 （2）描述法 利用一项规则（一个谓词公式），描述集合 中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否 属于该集合。 （3）归纳法 用递归方法定义集合。
2、并集 定义3-2.2：设任意两个集合A和B，所有属于A 或属于B的元素组成的集合，称为A和B的并集， 记作AB。 AB={x|x Ax B} 文氏图
举例
例1：A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，AB={1，
2，3，4，5}
例2：设A是奇数集合，B是偶数集合，AB是整
1、列举法：将集合的元素列举出来 例：A={a，b，c，d}，A1={1，3，5，7， 9，……} 使用列举法，须列出足够多的元素以反映集合中 成员的特征。如：B={2，4，8，……} 若x=2n，则 B={2，4，8，16，32，……} 若x=2+n(n-1)，则 B={2，4，8，14，22，……} 2、描述法：A={x|P(x)}或A={x：P(x)} 例： C={x|1x5，xR}， D={(x，y)|x2+y21，x，yR} F={x|x是中国的一个省}
说明： 1、描述法中C={x|1x5，xR}与 C={y|1y5，xR}表示同一个集合。 2、集合中元素是无序的。{a，b，c}，{b， c，a}，{c，a，b}表示同一个集合。 3、集合中的元素可能也是集合，例：A={1， 2，{1}，{1，2，3}}，1A，{1}A。
三、集合的关系
推论：空集是唯一的。 证明：设1，2是两个空集，则12， 21，得1=2，所以空集是唯一的。
2、全集 定义3-1.4：在一定范围内，如果所有集合均是 某一集合的子集，则称该集合为全集。记作E。 E={x|p(x)p(x)} 3、幂集 定义3-1.5：给定集合A，由A的所有子集为元素 组成的集合称为A的幂集，记作(A)或2A。 (A)={u|uA} 例：设A={1，2，3}，写出A的幂集(A)。 解：(A)={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
数集合，AB=。
性质：
a)AA=A b)AE=E c)A=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)AAB，BAB
举例
例题3：设AB，CD，求证ACBD。
证明：对任一x AC，则x A或x C， （1）若x A，则x B，故x B D ； （2）若x C，则x D，故x BD。 因此ACBD。
设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A A 包含关系具有传递性：若A B且B C，则A C。
注：可能AB或BA ，也可能两者均不成立，不 是两者必居其一。
例：A={1，2，3}，B={1，2}，C={1，3}， D={3}，F={1，4}，
则BA， CA， DC， FA
证明：若AB，对任意xA必有x B， （1）对任意x AB，则x A或x B，即x B， 所以AB B。 （2）又B AB ，因此得到AB=B 。 反之，若AB=B，因为A AB ，所以A B 。 同理可证得AB=A
3、差集、补集
定义3-2.3：设A、B是任意两个集合，所有属于 A而不属于B的元素组成的集合称为B对A的补集， 或相对补，(或A和B差集)记作A-B。 A-B={x|xA∧xB} 文氏图
一般地如果|A|=n，则： A的0元子集有Cn0=1个，即空集， 1元子集有Cn1个， 2元子集有Cn2个， …， n-1元子集有Cnn-1个， n元子集有Cnn个。 所以A的子集个数为：Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n。 有： 定理3-1.3：如果有限集A有n个元素，其幂集 (A)有2n个元素。
3-1 集合的概念和表示法
一、集合的基本概念
集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的 对象的总体。 组成集合的对象称为集合的成员（member）或元素 （element）。 一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。 例如A表示一个集合，a表示元素，如果a是A的元素， 记为：aA，读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A 的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。 如果a不是A的元素，记为： aA ，读作“a不属于 A ”。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
集合论
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的 集合论，在集合论刚产生时，曾遭到 许多人的猛烈攻击。但不久这一开创 性成果就为广大数学家所接受了，并 且获得广泛而高度的赞誉。 数学家们发现，从自然数与康托尔集合 论出发可建立起整个数学大厦。因而 集合论成为现代数学的基石。
性质：
a)AA=A b)A= c)AE=A d)AB=BA e)(AB)C=A(BC) f)ABA，ABB
举例
例题4：设AB，求证ACBC。 证明：对任一个x AC，则x A且x C， 因为有AB，若x A，则x B， 所以x B且x C，故x BC。 因此ACBC。
它所引起的巨大反响则导致了第 三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的 解决方案：
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过 对集合定义加以限制来排除悖论证排除一 切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合 论中一切有价值的内容得以保存下来。” 1908年，策梅罗在这一原则基础上提出第一个公理 化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF 系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托 尔朴素集合论的缺陷。 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的 悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
定义3-2.4：设E为全集，任一集合A关于E的补， 称为A的绝对补，记作A。 A=E-A={x|xE∧xA} 文氏图
性质：
a)(A)=A b)E= c)=E d)AA=E e)AA=
定理3-2.4 设A，B为任意两个集合，则下列关系 式成立。 a)(AB)=AB b)(AB)=AB 定理3-2.5 设A，B为任意两个集合，则下列关系 式成立。 a)A-B=AB b)A-B=A-(AB) 定理3-2.6 设A，B，C为三个集合，则 A(B-C)=(AB)-(AC) 定理3-2.7 设A，B为任意两个集合，若AB，则 a)BA b)(B-A)A=B
例：A={a, }，判断下列结论是否正确。 （1） A，（2） A，（3）{}A （4）{}A，（5）aA， （6） aA， （7）{a}A， （8）{a}A， 结论（1）、（2）、（3）、（5）、（8）正确。
3-2 集合的运算及其性质
一、集合的运算
1、交 定义3-2.1：设任意两个集合A和B，由A和B的所 有共同元素组成的集合，称为A和B的交集，记为 AB。 AB={x|xAxB}
文氏图
举例
例1：A={0，2，4，6，8，10，12}，B={1，2， 3，4，5，6}，AB={2，4，6} 例2：设A是平面上所有矩形的集合，B是平面上 所有菱形的集合，AB是所有正方形的集合。 例3：设A是所有能被K整除的整数的集合，B是 所有能被L整除的整数的集合，AB是所有能被K 与L最小公倍数整除的整数的集合。
定理3-2.2 设A，B为任意两个集合，则下 列吸收律成立。 a)A(AB)=A b)A(AB)=A
证明： a)A(AB)=(AE)(AB) =A(EB)=AE=A b)A(AB)=(AA)(AB) =A(AB)=A
定理3-2.3 AB，当且仅当AB=B或 AB=A。
集合论
第3章 集合和关系 第4章 函数
第三章 集合与关系
本章主要讲授集合论的基本知识，包括集合 运算、包含排斥原理、笛卡尔积、关系及其性质、 关系的运算、特殊关系(包括等价关系、相容关 系、序关系)等。 重点是集合的运算、关系及其表示、关系 的性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系。 难点是关系的性质、等价关系、偏序关系的证明。
定理3-2.1 设A，B，C为三个集合，则下列分配律成立。 a)A(BC)=(AB)(AC) b)A(BC)=(AB)(AC)
证明： a)设S= A(BC)，T= (AB)(AC)，若x S，则x A且x BC，即x A且 x B或 x A且 x C， x AB或x AC即x T，所以S T。 反之，若x T，则x AB或x AC， x A且 x B或 x A且 x C，即x A且x BC，于是x S，所以TS。 因此，S=T。 b)证明完全与a)类似。