北师大八下 2.3 运用公式法 第二课时
2.3运用公式法2
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把
1 4
x
2
3 x y 9 y 分解因式得
2
（
2
B
2
）
1 A、 4 x 3 y
B、
2
1 x 3y 2
6、把 A、
分解因式得 x y xy （ ） A 9 3
4
2
4
2 x y 3
2 2
是
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
2 2 2 2
5x2 x1 Nhomakorabea是
6
a2
4 2 a b 4b 2 否
请补上一项，使下列多项 式成为完全平方式
1 x 3 x 4a
2
2 __ _ _ _x y _ _ y
因式分解——运用公式法
2、完全平方公式因式分解
上节课的回顾 练习:
(1) 3 x 4 y x 2 y
2 2
2 5 a
3
x 5a y
2 3
2
1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ） A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2
a 2ab b a 2ab b 我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2
2
2
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x
2
2 xy y
2
2
是
2
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法(二)教案
数学初二下北师大版2.3.2运用公式法（二）教案●课题§2.3.2运用公式法〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.〔二〕能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观看、归纳和逆向思维的能力.〔三〕情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观看和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观看多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观看—发明—运用法●教具预备投影片两张第一张〔记作§2.3.2A〕第二张〔记作§2.3.2B〕●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们明白，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大伙自然会想，还有哪些乘法公式能够用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2而且还学习了完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大伙能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］能够.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=〔a+b〕2;a2－2ab+b2=〔a－b〕2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］特别好.那么什么样的多项式才能够用那个公式分解因式呢？请大伙互相交流，找出那个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边基本上三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，确实是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有〔1〕多项式是三项式；〔2〕其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；〔3〕另一项为哪一项这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和〔差〕的平方.用语言表达为：两个数的平方和，加上〔或减去〕这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系能够看出，假如把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影〔§2.3.2A〕［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项为哪一项这两数或式乘积的2倍.［生］〔1〕是.〔2〕不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；〔3〕是；〔4〕不是.ab不是a与b乘积的2倍.〔5〕不是，x2与－9的符号不统一.〔6〕是.2.例题讲解［例1］把以下完全平方式分解因式：〔1〕x2+14x+49;〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9.［师］分析：大伙先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再依照公式分解因式.公式中的a,b能够是单项式，也能够是多项式.解：〔1〕x2+14x+49=x2+2×7x+72=〔x+7〕2〔2〕〔m+n〕2－6〔m+n〕+9=〔m+n〕2－2·〔m+n〕×3+32=［〔m+n〕－3］2=〔m+n－3〕2.［例2］把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2;〔2〕－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，假如发明它不能直截了当用完全平方公式分解时，要认真观看它是否有公因式，假设有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.假如三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，能够先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：〔1〕3ax 2+6axy +3ay 2=3a 〔x 2+2xy +y 2〕=3a 〔x +y 〕2〔2〕－x 2－4y 2+4xy=－〔x 2－4xy +4y 2〕=－［x 2－2·x ·2y +〔2y 〕2］=－〔x －2y 〕2Ⅲ.课堂练习a .随堂练习1.解：〔1〕是完全平方式x 2－x +41=x 2－2·x ·21+〔21〕2=〔x －21〕2〔2〕不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.〔3〕是完全平方式41m 2+3mn +9n 2 =〔21m 〕2＋2×21m ×3n +〔3n 〕2=〔21m +3n 〕2 〔4〕不是完全平方式2.解：〔1〕x 2－12xy +36y 2=x 2－2·x ·6y +〔6y 〕2=〔x －6y 〕2;〔2〕16a 4+24a 2b 2+9b 4=〔4a 2〕2+2·4a 2·3b 2+〔3b 2〕2=〔4a 2+3b 2〕2〔3〕－2xy －x 2－y 2=－〔x 2+2xy +y 2〕=－〔x +y 〕2;〔4〕4－12〔x －y 〕+9〔x －y 〕2=22－2×2×3〔x －y 〕+［3〔x －y 〕］2=［2－3〔x －y 〕］2=〔2－3x +3y 〕2b .补充练习投影片〔§2.3.2B 〕这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：〔1〕要求多项式有三项.〔2〕其中两项同号，且都能够写成某数或式的平方，另一项那么是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了假设一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题2.51.解：〔1〕x2y2－2xy+1=〔xy－1〕2;〔2〕9－12t+4t2=〔3－2t〕2;〔3〕y 2+y +41=〔y +21〕2; 〔4〕25m 2－80m +64=〔5m －8〕2;〔5〕42x +xy +y 2=〔2x +y 〕2;〔6〕a 2b 2－4ab +4=〔ab －2〕22.解：〔1〕〔x +y 〕2+6〔x +y 〕+9=［〔x +y 〕+3］2=〔x +y +3〕2;〔2〕a 2－2a 〔b +c 〕+〔b +c 〕2=［a －〔b +c 〕］2=〔a －b －c 〕2;〔3〕4xy 2－4x 2y －y 3=y 〔4xy －4x 2－y 2〕=－y 〔4x 2－4xy +y 2〕=－y 〔2x －y 〕2;〔4〕－a +2a 2－a 3=－〔a －2a 2+a 3〕=－a 〔1－2a +a 2〕=－a 〔1－a 〕2.3.解：设两个奇数分别为x 、x －2,得x 2－〔x －2〕2=［x +〔x －2〕］［x －〔x －2〕］=〔x +x －2〕〔x －x +2〕=2〔2x －2〕=4〔x －1〕因为x 为奇数，因此x －1为偶数，因此4〔x －1〕能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式〔要求三项式含有字母a 和b ，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：此题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a 和b ；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a 3b －4a 2b 2+ab 3=ab 〔4a 2－4ab +b 2〕=ab 〔2a －b 〕2●备课资料参考练习把以下各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－〔4x2+4xy+y2〕=－〔2x+y〕2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a〔b2+2ab+a2〕=3a〔a+b〕2;3.〔s+t〕2－10〔s+t〕+25=［〔s+t〕－5］2=〔s+t－5〕2;4.0.25a2b2－abc+c2=〔0.5ab－c〕2;5.x2y－6xy+9y=y〔x2－6x+9〕=y〔x－3〕2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x〔x2y2－8xy+16〕=2x〔xy－4〕2;7.16x5+8x3y2+xy4=x〔16x4+8x2y2+y4〕=x〔4x2+y2〕2.。
初中数学八年级下第二章分解因式23运用公式法2教案
北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式2.3运用公式法（2）教案一、学情分析：认知基础：学生的知识储备中对于乘法公式的运用还是比较熟练的，但在能力上，对于公式的变形问题可能会处理不当。
二、教材处理中的问题与思考：1、教材采用直接将乘法公式逆过来应用，这种呈现新知方式，不适于学习基础较为困难的学生，如何让学生更好地理解整式乘法与因式分解之间的关系？2、对于形式上与完全平方公式相近的式子与完全平方公式的区别，进一步牢记公式有什么特点？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：会用完全平方公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
2、过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生的整体意识，以及逆向应用公式的能力。
（二）教学重点：掌握公式的形式和特点并能正确运用。
（三）教学难点：将多项式适当变形后运用公式分解因式。
（四）教学过程：创设问题情境，导入新课：某小区规划在边长为a米的正方形场地上，修建两条宽为b米的通路，其余组织学生观察并思考：（1）先求出甬道面积，ab+ab-b2，然后不难求出草地的面积为a2-2ab+b2（2）将两条甬道运用平移法，移到边沿，不难求出种草的面积为(a-b)2。
● 2、尝试发现、探索新知：探索：由上面的问题，可以求出a 2-2ab+b 2=(a-b)2即：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2实际上，这也是乘法公式中的完全平方公式的逆变形所得到的分解因式的方法。
组织学生观察，讨论这类式子的共同特点：x 2+14x+49 216364x x -+ a 4+2a 2b 2+b 4 (m+n)2-6(m+n)+9 总结这类式子的共同特点：（1）公式的左边是一个三项式；（2）在这个三项式中前后两项是两数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数的积的2倍，符号可正可负。
公式法第2课时课件北师大版八年级数学下册
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式 把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
活动2：把下列完全平方式因式分解：
（1）x2+14x+49；
（2）（m+n）2-6（m+n）+9.
解：（1）x2+14x+49； =x2+2×7x+72 =（x+7）2;
（2）（m+n）2-6（m+n）+9 =（m+n）2-2×3（m+n）+32 =（m+n-3）2.
练一练
1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4；（2）1+4a²；（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.
（1）（5）是，（2）（3）（4）不是.
分析：（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
第四章 因式分解
4.3 公式法 第2课时
1.会用完全平方公式进行因式分解 2.会灵活运用各种方法分解因式
任务一：会用完全平方公式进行因式分解
活 动 1 ： 能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的 面积吗？
a a² a
ab a ab a b² bbbb=
a²+2ab+b²
a
+
b
a+b
(a+b)2
任务二：会灵活运用各种方法分解因式
活动3：把下列各式因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2；
2013初中八年级数学下册教学课件2.3《运用公式法》(2)(北师大版)
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。 解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1)
(2 y 1) 2
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
是
a表示2y， (2 y 3x)2
b表示3x
是
a表示(a+b)， (a b 1) 2
b表示1
填一填
多项式
x2 x 1 4
是否是完全 a、b各表 表示（a+b）2
平方式
示什么 或（a－b）2
是
a表示x， b表示1/2
从符号看： 平方项符号相同
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
填一填
多项式
x2 6x 9
4y2 4y 1
1 4a2
x2 1 x 1 24
x2 4x 4y2
是否是完全 平方式
是
是
a、b各表 示什么
a表示x， b表示3 a表示2y， b表示1
表示（a+b）2 或（a－b）2
(x 3)2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
(8)9(a b)2 12(a2 b2 ) 4(a b)2
3(a b) 2(a b)2
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(2)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1． 会用完全平方公式分解因式2． 综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1．熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1．什么是分解因式? 我们已经学习了哪些因式分解的方法?2．把下列各式分解因式：① x a ax 222- ② 42-a③ a a -34 ④ x x 335-【师生探究合作交流】1．请你写出完全平方公式．这个公式倒过来可以写成: 222b ab a ++= 222b ab a +-=2．观察()2222b ab a b a ++=+与()2222b a b ab a +=++的不同点是什么？ 发现：①第一个等式的左边()2b a +表示相乘关系； 第二个等式的左边222b ab a ++表示一个多项式。
②第一个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
3．完全平方式的特点：形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子都称为完全平方式。
其特点是：（1）公式中的字母a,b 可以用单项式或多项式代替.（2）能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式,其中首末两项是两个数的完全平方,且这两项符号相同,而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4．把下列各式分解因式：（1） 962++x x （2） ()()25102+---n m n m 解：（1）962++x x =22332+⨯+x x =（ 2)（2）()()25102+---n m n m =(52)(2⨯--n m )+( 2) =（ 2)（3） a ax ax 412+- （4） 2422-+-y y5．把下列各式分解因式：（注意方法，观察结果是否不能再分解了）（1） 1224+-x x （2） 222121y x xy ---【议一议】1．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1．随堂练习【课堂小结】1． 用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处：【今日作业】1． 课后习题2.5第1，2【拓展与延伸】1．课本复习题写P63．第11。
北师大版八年级下数学2.3运用公式法(教案)
2.3运用公式法教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点：重点：发展学生的逆向思维和推理能力难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.快速反应：1.分解因式：①x 2-y 2= ; x 2-4= ;②a 2b 2-2ab+1= ;412+-a a = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．16a 2-25b 3 B ．-16a 2-25b 2 C ．16a 2+25b 2 D ．-(16a 2-25b 2)3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2+y 2+2xyB ．-x 2+y 2+2xyC ．-x 2-y 2-2xyD ．-x 2-y 2+2xy4. 把下列各式分解因式：(1)9a2m2-16b2n2; (2)22144425b a -; (3)9(a+b )2-12(a+b )+4 (4)2241ay axy ax +- 自主学习：1. (1)观察多项式x 2-25.9x-y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y 2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25= x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).2. 把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a-b )2=a 2-2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2-2ab+b 2=(a-b )2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
2.3.2 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
新知探究
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都 相等. 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都 相同.
图1
图2
路的宽不可能为 12 m，因而它不是实
际问题的解，应舍去. 而小路宽 2 m 符合这个实际问题，所以 小路的宽是 2 m . （2）你能帮小亮求出图2中的 x 吗？
第二章 一元二次方程
3. 用公式法求解一元二次方程（第2课时）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情境引入
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一 个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计 方案吗？
的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道
路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米
20
(32-x)(20-x)=540
x
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
4 个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，
根据题意，得πx2 1 1216 . 解得 x 2
96 π
5.5
.
所以图
中的 x约为 5.5.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.（答案不唯一）
随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图3 所示，你能帮她求出图中的 x 吗？
数学北师大版八年级下册公式法2
4.3、 运用公式法（二）班别：________姓名________【学习目标】（1）理解完全平方式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）清楚优先提取公因式，然后考虑用公式【学习重难点】用完全平方公式进行因式分解一、 回顾完全平方公式（1）（a+b ）2= ；（2）（a –b ）2 = ；二、 自学P101：1、形如222a ab b ++ 或222a ab b -+ 的式子称为 . 完全平方式特点：首 2 ±2×首×尾 +尾22.判断下列各式是不是完全平方式？（1）a 2+b 2 （ ） （2）x 2–2xy + y 2 （ ）(3) a 2–6a+9 （ ） （4） a 2+2ab +4b 2( ）(5) x 2+ x + 41 （ ）二、探究案：填空：（1）a 2–2ab +b 2= ；（2）a 2+2ab +b 2= ； 这个过程就是_________.这种因式分解的方法叫______. 三、交流案练习：把下列因式分解：(1)x 2+12x +36 （2）9a 2-6ab+b 2（3）9)(6)(2++-+n m n m四、交流案注：优先提取公因式，然后考虑用公式再来试试：把下列因式分解.（1）ax3y 2-2ax 2y+ax （2）-a 3b+2a 2b 2-ab 3五、训练案(每小题10分，共100分)：1.下列各式不是完全平方式的是（ ）A ．142++x xB ．222y xy x +-C ．1222+-xy y xD ．2241n mn m +- 2.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22n mn m +-B ．a 2+b 2-2abC ．4122+-x x 4122+-x xD ．122-+x x 3.若x 2-kxy+y 2是一个完全平方式，则k 的值为( )A.2B.±2C.-2D.±44.分解因式：=+-442x x ____________________.5.分解因式：3632+-a a ＝_____ ________.6.把下列各式因式分解(1) y 2-6y+9 (2)a 2+10ab+25b 2(3)9+6(a+b)+(a+b)2（4） 9)1(6)1(2++-+x x7.先因式分解，再求值。
《运用公式法》第二课时上课课件
a 2ab b a b
2
2
运用公式法分解因式：
由分解因式与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做运用公式法。
a b (a b)(a b)
2 2
a 2ab b (a b)
2 2
2
练一练
填空：
（ 1 ） a 2+
2ab
+b2=(a+b)2 b2 =(a-b) 2
2 2
[x 2 x (2y) (2y) ]
2 2
( x 2 y)
2
(5) 4a 12ab 9b
2
2
2
原式 (2a) 2 (2a) (3b) (3b) 解：
2
(2a 3b)
（6） 16x4-8x2＋1
2 2
2
解： 原式 (4x ) 2 (4x ) 1 1 2 2 (4x 1)
（2）a2-2ab+
（3）m2+2m+
（4）n2-2n+
1
=( m+1 ) 2
=( n-1 ) 2
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2
（6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
例题解析
(1) x2＋14x＋49
解： 原式 x 2 x 7 7
2
2
(x 7)
解:原式=(x2+4)(x2-4)
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
《公式法 第2课时》 示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
4.3《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1．经历通过整式乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 理解完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式。
二、教学重点及难点重点：能较熟练地运用完全平方公式分解因式．难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，并且能正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【复习导入】问题1：计算下列各式：（1）(x－3y)2；（2）(x＋3y)2；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．答案：（1）x2－6xy＋9y2；（2）x2＋6xy＋9y2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．问题2：分解因式：（1）4x2－9y2；（2）xm2－xn2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．答案：（1）(2x＋3y)(2x－3y)；（2）x(m＋n)(m－n)；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．设计意图：通过问题1，让学生复习完全平方公式在整式乘法中的应用，为引入利用完全平方公式进行因式分解打下基础，埋下伏笔；问题2让学生首先复习前面学过的因式分解的方法，而后通过（3）和（4）两个小题让学生在交流和感悟中体会逆向思维所引申出的新的知识应用．【探究新知】1．探讨完全平方公式的结构特征．问题1：如果我们将整式乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2反过来，就得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．你能谈谈完全平方公式在反过来前后各有什么不同的用途吗？答案：问题2：我们将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．你能谈谈一个完全平方式的结构具有什么样的特征吗？答案：完全平方式是一个三项式；三项中有两项的和是两数的平方和，另一项是加上(或者减去)这两数的积的2倍．公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2本身可以用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．问题3：16x 2＋24x ＋9是完全平方式吗？请说说你的理由．答案：是完全平方式．因为原式可以写成(4x )2＋2·4x ·3＋32，其满足完全平方式的结构特征．问题4：在横线上填上适当的单项式，使x 2＋__________＋14y 2是一个完全平方式． 答案：±xy在教学时教师可以放手让学生独立解答这些问题，相信学生完全可以解答出来的，问题3和问题4是让学生复习巩固完全平方式而准备的，教师在这里可以多增加这样的问题让学生来练习．2．归纳总结，引入概念由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．设计意图：进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系；明确运用公式法应具备的特征．【典型例题】例1 把下列完全平方式分解因式：（1）x 2＋14x ＋49；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9．分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式．用完全平方公式分解因式时，要根据第二项的符号来正确选择运用完全平方公式．解：（1）x 2＋14x ＋49＝x 2＋2×7x ＋72＝(x ＋7)2；（2）(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9＝(m ＋n )2－2(m ＋n )×3＋32＝[(m ＋n )－3]2＝(m ＋n －3)2．例2把下列各式分解因式：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ．分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．解：（1）3ax 2＋6axy ＋3ay 2＝3a (x 2＋2xy ＋y 2)＝3a (x ＋y )2；（2）－x 2－4y 2＋4xy ＝－(x 2－4xy ＋4y 2)＝－[x 2－2·x ·2y ＋(2y )2]＝－(x －2y )2．在问题1的处理上可采用直观的对照操作法．比如：x 2＋14x ＋49＝这样便于引导学生对照完全平方公式，进而确定公式中的a 、b 在此题中分别是什么．对于问题2可以安排学生分小组进行交流学习，自主解决，教师只进行引导，而后让一些学生谈一谈解题思想．设计意图：引导学生对照完全平方公式确定公式中的 ab 在题中分别是什么；进一步体会若有公因式要先提公因式，再进一步分解；引导学生注意，当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数．【课堂练习】1．下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2－x ＋14； （2）9a 2b 2－3ab ＋1；（3）14m 2＋3mn ＋9n 2；（4）x 6－10x 3－25． 2．把下列各式分解因式：（1）x 2－12xy ＋36y 2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4；（3）－2xy －x 2－y 2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2．答案：1．（1）是完全平方式．x 2－x ＋14＝x 2－2·x ·12＋(12)2＝(x －12)2． （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求．（3）是完全平方式．14m 2＋3mn ＋9n 2＝(12m )2＋2×12m ×3n ＋(3n )2＝(12m ＋3n )2． （4）不是完全平方式．2．解：（1）x 2－12xy ＋36y 2＝x 2－2·x ·6y ＋(6y )2＝(x －6y )2；（2）16a 4＋24a 2b 2＋9b 4＝(4a 2)2＋2·4a 2·3b 2＋(3b 2)2＝(4a 2＋3b 2)2；（3）－2xy －x 2－y 2＝－(x 2＋2xy ＋y 2)＝－(x ＋y )2；（4）4－12(x －y )＋9(x －y )2＝22－2×2×3(x －y )＋[3(x －y )]2＝[2－3(x －y )]2＝(2－3x ＋3y )2．【课堂小结】1．本节课学习的因式分解公式是什么？它有什么特征？在运用时应如何把握？本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍．在具体应用时要特别关注第二项的符号．2．把一个多项式进行因式分解的一般思路是怎样的？你能归纳吗？将一个多项式分解因式时，先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止．3．在应用平方差公式和完全平方公式时，你怎样做到不混淆？在运用公式法分解因式的过程中，什么时候运用什么样的公式完全取决于对多项式结构特征的把握能力，一般的二项式要考虑平方差公式，而三项式要考虑完全平方公式．用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处在于：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．【板书设计】完全平方式的结构特征：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．。
数学初二下北师大版2.3运用公式法(2)学案
数学初二下北师大版2.3运用公式法（2）学案课型：新授主编：张玮审核：周明艳学生姓名：_________[目标导航]1.学习目标〔1〕经历通过整式乘法的完全平方公式等逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，进展逆向思维能力和推理能力。
〔2〕会用公式法分解因式。
〔3〕在逆用乘法公式的过程中，了解换元的思想方法2.学习重点：会逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
3.学习难点：熟练逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
[课前导学]1.课前预习：阅读课本P57—P58并完成课前检测。
2.课前检测(1)分解因式：①24224916.0n m b a -②224)32(x y x --③)()(3x y y x -+-(2)①222(________)2520(______)=++q pq ；②22)(________________94=+-x x ；③________________)2)(3(=++x x ；④_________________)2)(1(=--x x ；(3)默写平方差公式：__________________________________________________； =++))((b x a x ___________________________________________________________；3.课前学记〔课前学习疑难点、教学要求建议〕[课堂研讨]1.新知探究(1)新课引入：①填空：〔a+b 〕〔a-b 〕=；a 2–b 2=；〔a+b 〕2=；(a-b)2=；a 2+2ab+b 2=；a 2-2ab+b 2=、②结论：形如：______________________和____________________的式子称为完全平方式。
③填空：〔x+a 〕〔x+b 〕=；〔a x+b 〕〔c x+d 〕=；x 2+(a+b)x+ab =；ac x 2+(ad+bc)x+bd=；〔x-a 〕〔x-b 〕=；〔a x-b 〕〔c x-d 〕=；x 2-(a+b)x+ab =；ac x 2-(ad+bc)x+bd=；通过上面的填空谈谈你的收获：_______________________________________________________；④结论：由分解因式与整式乘法的关系能够看出，假如把乘法公式反过来，那么就能够用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做______________________；(2)新课讲解①例1把以下完全平方式分解因式：49142++x 9)(6)(2++-+n m n m②例2逆用乘法公式分解因式：232++x x 122--x x③例3把以下各式分解因式22363ay axy ax ++xy y x 4422+--a ax ax -+-3222.学习过关〔1〕以下多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式： ①412+-x x ()②13922+-ab b a () ③229341n mn m ++()④251036--x x () 〔2〕把以下各式分解因式： ①223612y xy x +-②422492416bb a a ++ ③222y x xy ---④2)(9)(124y x y x -+--〔3〕运用“十字相乘法”把以下各式分解因式：①322--x x ②2522++x x ③2)(3)(2++++b a b a 、[课外拓展]1.课后记〔收获、体会、困惑〕2.分层作业〔班级：_____________，学生姓名：____________〕A 必做题〔限时10分钟，实际完成时间：_______分钟〕〔1〕把以下各式分解因式①1222+-xy y x ②24129t t +-③412++y y ④6480252+-m m ⑤2241y xy x ++⑥4422+-ab b a 〔2〕把以下各式分解因式 ①9)(6)(2++++y x y x ②22)()(2c b c b a a +++-③32244y y x xy --④322a a a -+-⑤4524+-x x ⑥22252y xy x +-B 选做题〔1〕多项式12+x 与一个单项式和一个整式的完全平方，请你找出一个满足条件的单项式、 〔2〕把以下式子分解因式：①ax+bx+2a+2b.②a 2－ab －4b+4a.③ab －5a+3b －15.C 思考题〔1〕假设(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k是完全平方式，求K的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(a b) 2(a b) 1
2
是
填一填
多项式
1 x x 4
2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是
否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
9a 2b 2 3ab 1
1 2 m 3mn 9n 2 4
是
a表示1 m ， 1 2
=
3 2(a b)
2
2
=(3-2a+2b)
（1）x -12xy+36y
4 2 2
2
2
=(x-6y)
4
2
(2)16a +24a b +9b =(4a +3b ) (3)-2xy-x -y =-(x+y)2
2 2
2
2 2
(4)4-12(x-y)+9(x-y) =(2-3x+3y)
2
2
1:整式乘法的完全平方公式是：
2 2 2 2 2 2
1 ∴x =(-2) = 2
-y -1
3.
ax 2a x a
2 2
3
=a(x+a)
2
4.把下列各式因式分解
(1)9 x 4 y (3x 2 y)(3x 2 y)
2 2
(2) 9x 4 y (2 y 3x)(2 y 3x)
2 2
(3)9 x 12xy 4 y (3x 2 y)
2 2
2 2
2
2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
2 2 2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解：原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1) （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 2 解:原式=3 -2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
( 2 x) 1 2 (2x 1)(2x 1) 2 2 (2x 1) (2x 1)
2
2 2
判断因式分解正误。
(1）
-x2-2xy-y2=
2
-(x-y)
2
2
错。应为： -x -2xy-y =-（x+y)
2
2 2
=-（ x +2xy+y ）
2+2ab-b2 (a b) 2 （2）a
课前复习：
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 2 a a2 ± b + b2 = （ a ± b ）2 从项数看： 都是有 3 项
2 2 2 2
=(y+x) (y-x) 简便计算：
2
2
2
56 68 56 34
2
2
解：原式=（56+34） =90 =8100
2
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全
平式，则k=
2.已知 的值。
2 2 2 2
±12
a2+b2 +ab 求 2
a(a+1)-(a2-b)=-2,
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
a b
2
a 2ab b
2
2
2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
Байду номын сангаас
3:完全平方公式特点：
a 2ab b a b
2 2
2
含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
1. x 8x 16 =-(x+4)
2
2
2. 4 x 2 x y 2 4 x x y =(3x+y)2
2 2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
(8)9(a b) 12(a b ) 4(a b) 2 3(a b) 2(a b)
2 2 2 2
(5a b)
2
因式分解：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
解 : 原式 ( y x 2 xy)( y x 2 xy)
a b a b 2ab (a b) (2) ab 2 2 2 2 2
2 2
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
2
(4) 9x 12xy 4 y (3x 2 y)2
2 2
把下列各式因式分解
(5)9a 4b(3a b) 9a 12ab 4b (3a 2b)
2
2 2
2
(6)3ax 6axy 3ay 3a( x 2 2xy y 2 ) 3a( x y)2
错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1
解:原式=（5x) +2×5x×1+1
2 2
(2)9a 6ab b
2
2
=(5x+1)
2
2
2
解:原式=（3a) -2×3a×b+b
=(3a-b)
2
练一练 因式分解：
解:原式=（7a) +2×7a×b+b
=(7a+b)
2
(3)49a b 14ab
(m n 3)2
例题 (3 3ax2＋6axy＋3ay2 ) 2 2 原式 3a( x 2xy y ) 解：
3a(x y)2
(4 -x2-4y2＋4xy ) 原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 ) 解：
[x 2 2 x (2y) (2y) 2 ]
( x 2 y) 2
2 2 (5 4a 12ab 9b ) 2 2 解： 原式 (2a) 2 (2a) (3b) (3b)
(2a 3b) 2
（6）
16x4-8x2＋1
2 2 2 2
解： 原式 (4x ) 2 (4x ) 1 1
(4x 2 1)2
2.3运用公式法
第二课时
课前复习：1、分解因式学了哪些方法
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
①
4
把下列各式分解因式
2
ax ax
2 2
② x4-16 解:原式=(x2+4)(x2-4)
解:原式=ax (x2-1)
=ax (x+1)(x-1) =(x2 +4)(x+2)(x-2) （有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。）
b表示3n
( m 3n) 2 2
x 10x 25
6 3
否
2ab
b2
1
m+1
n-1 x-0.5
1
y
2x+y
例题 (1 x2＋14x＋49 ) 2 2 解：原式 x 2 x 7 7
(x 7)
2
2
(m n) 6(m n) 9 (2 ) 原式 (m n)2 2 (m n) 3 32 解：
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式 )的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， (2 y 1) 2 b表示1
1 4a 2
1 1 x x 2 4
2
否
否
x2 4x 4 y 2
4 y 12xy 9x
2 2
否
是
a表示2y， (2 y 3x) 2 b表示3x a表示(a+b)， (a b 1) 2 b表示1