2.4三元一次不定方程

x = 80 + 32v '+ 7u y = 40 16v ' 3u ( u,v'为任意整数 ) z = v ' …⑤
④与⑤都是原不定方程的通解，它们的 都是原不定方程的通解， 表示式不同，但实质上是一致的． 表示式不同，但实质上是一致的．实际 式中， v’， 上，在④式中，令2－ v＝v’，则④式 可化成⑤ 因此④ 可化成⑤式，因此④，⑤表示了原不定 方程的同样的解集． 方程的同样的解集．
23 2 3 18 1≤ z ≤ = 7 7
逐次尝试
由上可知 z 的可能取值是1和 2. 当z=1时,原方程化为2x+3y=16,解之得正整 x = 2, x = 5, 数解:
y = 4; y = 2.
当z=2时,原方程化为2x+3y=9 ,解之得正整数解:
x = 3, y = 1.
有三个自然数， 例2．16 有三个自然数，其中一数是 ． 2的倍数，一数为 的倍数，一数为 的倍 的倍数， 的倍数， 的倍数 一数为3的倍数 一数为7的倍 它们的和为23，试求这三个数． 数，它们的和为 ，试求这三个数．
解 设三个自然数分别为2x，3y与7Z，由题意， 得 2x+3y+7z＝23， 根据题目要求，应该求这个三元一次不定方程的 正整数解。在x，y，z的三个系数中，z的系数最 大．因为x，y至少取1，所以z的取值范围是
证明 首先证明x，y，z的表达式①是方程 (2．4)的解。显然 表达式①右边的值都为整数， 代入方程(2. 4)的左边，并根据 ax + by＝l ，得 ax + by + cz ＝d， 表达式①中的x，y，z是方程(2．4)的整数解。
其次还要证明 如果x 是方程(2． 的一个整 如果 1，y1，z1是方程 ．4)的一个整 数解，那么一定可以找到二个整数u 数解，那么一定可以找到二个整数 l， v1，当u＝u1，v＝v1时，表达式①的值 表达式① ＝ ＝ 分别为x 分别为 1，y1，z1． 实际上，因为x 实际上，因为 0，y0是ax+by＝1的一 ＝ 的一 个整数解， 个整数解，所以 x0(d–czl)，y0(d –czl) ， 是不定方程ax 的一个整数解， 是不定方程 1+by1= d–cz1的一个整数解， 即 a x0(d – czl) +b y0(d – czl) ＝d – czl．
由于D | d，因此存在整数q，使得d ＝Dq在上面的等式左右两边同时乘以 整数q，则得 amm'q + bm'nq + cn'q ＝ Dq． 即 amm'q + bm'nq + cn'q ＝d． 因此方程(2．4)有整数解 x0 =mm'q， y0=m'nq，z0=n'q． 在方程(2 4)中 如果d (2， 推论 在方程(2，4)中，如果d不能被 (a， c)整除 整除， (a，b，c)整除，那么这个不定方程无整 推论的证明请读者自行完成) 数解 (推论的证明请读者自行完成)．
x = 12 15 + 2u , y = 4 + 5v u , z = 1 2v.
(u, v为任意整数)
注意
从例2.15的求解可以知道，在用代换法 从例2.15的求解可以知道，在用代换法 2.15的求解可以知道 把三元一次不定方程ax+by+cz ax+by+cz＝ 把三元一次不定方程ax+by+cz＝d 转化 为二元一次不定方程求解过程中， 为二元一次不定方程求解过程中，如果 不互质， (a，b)＝m≠1时 a，b不互质，即(a，b)＝m≠1时，我们 所作的代换是ax+by mt，而不是ax+by ax+by＝ 所作的代换是ax+by＝mt，而不是ax+by ＝t．(这点在定理2.3的充分性的证明 这点在定理2.3的充分性的证明 2.3 中有体现) 中有体现)这一点对以后解多元一次不 定方程也是完全适用的． 定方程也是完全适用的．
ax1 + by1 + cz1 = d , 所以ax1 + by1 + cz1 = d cz1 ,
将这式与上式相减， 将这式与上式相减 因为 将这式与上式相减，得
a[ x1 ( x0 d x0 cz1 )] = b [ ( y0 d y0 cz1 ) y1 ] y0 d y0 cz1 y1 …② x1 ( x0 d x0 cz1 ) = b a 由于(a，b) =1，所以(y0d – y0cz1 –y1)能被a整
充分性.
设(a，b)＝D1，则由定理1. 11得 (a，b，c)＝(D1，c)， 即 (D1，c)＝D． 裴蜀等式)可以知道，存在 根据定理1. 10(裴蜀等式 裴蜀等式 两个整数m、n，使得 am＋bn＝D1， m n am bn D 同时也存在两个整数m’与n’，使得 D1m＇+ cn＇＝ D， 将D1＝am + bn代入上式，展开得 amm'+ bm'n + cn' ＝D．
第二部分 多元一次不定方程
这里我们着重讨论三元一次 不定方程，并且主要介绍具 体的解法.而对三元以上的多 元一次不定方程仅作简略的 介绍,因为它们和三元的情况 解题的思想是相类的.
§2.4 三元一次不定方程
整系数方程 ax＋by＋cz＝d 叫做三元一次不定方程，这里a，b，c， d都是整数，其中a，b，c都不为零. 由于三元一次不定方程的x，y，z可 以取正整数或负整数，因此在研究三元 一次不定方程时，我们只须讨论a，b， c，d都是正整数的情况．
把3x+7y＝t代入①，得t＋16z＝40，这个二元一次不 定方程的通解为
y = t 3u
(u为任意整数)
t = 8 + 16v z = 2 v
(v为任意整数)
…③
由②，③可得原不定方程的通解为
x = 16 32v + 7u y = 8 + 16v 3u z = 2 v
(u , v为任意整数)
由上面两个例题还可以看到，在三元一 次不定方程的通解中，有两个取任意整数 值的参数u与v，即通解公式中有u与v两个 自由变数，这种情况与我们对三元一次不 定方程解的考察是一致的，因为在三元一 次不定方程(2．4)中，三个未知数x，y，z 中有两个未知数可自由取值，当这两个未 知数取值确定后，第三个未知数是不能自 由取值的，只能根据这个方程把它求出来。 讨论:只取一个参数 能不能算是通解? 讨论 只取一个参数, 能不能算是通解 只取一个参数
三元一次不定方程的正 或非负 或非负)整数解 三元一次不定方程的正(或非负 整数解
先求出三元一次不定方程的通解，再令通解大于零， 先求出三元一次不定方程的通解，再令通解大于零，然后 二元一次不等式组． 解二元一次不等式组．但是由于二元一次不等式组的解法 还未学过，因此这种解题思路较难实现; 还未学过，因此这种解题思路较难实现 运用逐次尝试法 对三元一次不定方程(2. 中的 中的x， ， ， 运用逐次尝试法: 对三元一次不定方程 4)中的 ，y，z， 逐次尝试法 先取其中一个未知数(一般取系数较大的那个未知数 一般取系数较大的那个未知数)的取 先取其中一个未知数 一般取系数较大的那个未知数 的取 值范围进行考察，确定它所能取的正整数(或非负整数 或非负整数)， 值范围进行考察，确定它所能取的正整数 或非负整数 ， 然后把它所取的每一个正整数值，代入方程(2. 中 然后把它所取的每一个正整数值，代入方程 4)中，使 它成为二元一次不定方程， 它成为二元一次不定方程，求二元一次不定方程的正整数 (或非负整数 解，再把每次求出的正整数解合在一起，就 或非负整数)解 再把每次求出的正整数解合在一起， 或非负整数 求出了三元一次不定方程的所有正整数(或非负整数 或非负整数)解 求出了三元一次不定方程的所有正整数 或非负整数 解．
例2.13 若k为整数 且10≤k≤30，试问 取 为整数,且 为整数 ，试问k取 何值时， 何值时，下列不定方程无整数解 kx ＋ ky ＋ 91z＝100． ＝ ．
解 (k，k，91)＝(k，91)，由于91＝13×7， 100不能被7或13整除，所以当是＝14，21， 28时，(k，91) ＝7，这时方程无整数解； 同理，当k＝13或26时，(k，91) ＝13，这 时方程也无整数解； 因此，当k＝13，14，2l，26，28时，原 不定方程无整数解．
例2. 14 求不定方程6x+14y＋32z＝80的 整数解．
解1 因为(6，14，32)＝2，2 | 80，所以原不定方
程有整数解，将原方程化简，得 3x+7y＋16z＝40． …① 设3x+7y＝t，利用观察法或辗转相除法可知x＝－2， y＝1是不定方程3x＋7y＝1的一个整数解，因此 3x+7y＝t的通解为 …② x = 2t + 7u
x = 3t + 2u , (u为任意整数) y = t u.
把2x+4y＝2t代入原方程，得 2x+4y＝2t代入原方程， 代入原方程
2t －5z＝ 3． 解这个不定方程，得 t = 4 5v (v为任意整数) z = 1 2v
将t＝4－5v代入上面x，y的表达式，得原方程 的通解为
一．
解的存在性
定理2．3 三元一次不定方程 ax＋by＋cz＝d (2．4) 有整数解的必要且充分条件是 D | d， 这里D＝(a，b，c)，a,b,c,d都是正整数． 证明 必要性．如果方程(2．4)有整数解 x＝x0， y＝y0， z＝z0， 则 a x0 + by0 +cz0＝d， 因为D＝(a，b，c)，所以D | a，D | b，D | c，因此D | (a x0 +b y0 +cz0)，即 D | d．
因此,所求的三数分别为4,12,7; 10,6,7以及6,3,14
求证：如果不定方程 ax+by＝1 有 例2．17 求证 一个整数解 x = x0，y ＝ y0，那么三元一次不 定方程(2. 4)的通解为
x = x0 d x0 cv + bu , y = y0 d y0 cv au , (u，v为任意整数) …① z = v.
这里的求解过程是有定理2.3的充分性 作理论基础的.
解2 同解1，得出②为3x＋7y＝t的通解，将 同解1 得出② 3x＋7y＝ 的通解， 3x +7y ＝ t
代入①，得t＝40－16z，再代入②，得 x = 80 + 32 z + 7u y = 40源自文库 16 z 3u
因为z也可以独立地任意取整数, 设z＝v’, 所以原方程的通解为
关于通解公式
三元一次不定方程(2．4)的求解，在某种条 件约束下，可以导出方程的通解公式(见本节最 后一例题即例2．17)，但是由于这个公式比二 元一次不定方程的通解公式复杂，记忆、使用 都不方便． 对多元 (三元以上) 的一次不定方程求解来 说，很难推出通解公式. 因此在这里主要介绍三元一次不定方程求 解的思想方法 思想方法：通过代换 代换，把三元一次不定方 思想方法 代换 程转化为二元一次不定方程进行求解．这种转 化思想对多元一次不定方程的求解也完全适用 的．
三元一次不定方程研究的 三元一次不定方程研究的 两个方面
如何判断三元一次不定方程有无整数解， 如何判断三元一次不定方程有无整数解， 如果整数解存在，还要考虑解的个数， 如果整数解存在，还要考虑解的个数， 这些都是属于三元一次不定方程解 三元一次不定方程解( 这些都是属于三元一次不定方程解(整 数解)的存在问题； 数解)的存在问题； 三元一次不定方程的求解问题，即对于 二． 三元一次不定方程的求解问题 即对于 存在整数解的不定方程， 存在整数解的不定方程，如何把它的解 求出来. 求出来
比较上面例题的两种解法，解2 比解1简单一些， 但对多元(四元或四元以上)的不定方程来说，解 法1 所体现的思想方法 ——通过代换把三元一次不定方程转化为二元一 次不定方程更为实际一些．
例2. 15 求不定方程2x+4y－5z＝3 求不定方程 － ＝ 的整数解． 的整数解．
解 由于 (2，4，5) | 3，因此原方程有整 数解．如果仿照例2．14去设2x+4y＝t，那 么由二元一次不定方程整数解存在性的判别 可知，这个方程无整数解，考虑到原方程中 x，y的系数的最大公约数(2，4)＝2，因此 应该令2x+4y＝2t，即x+2y＝t，这个不定方 程的通解为