2.4三元一次不定方程
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
三元一次方程组(基础)知识讲解
三元一次方程组（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y xz y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2. (韶关)解方程组275322344y x x y z x z =-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩①②③【思路点拨】方程①是用未知数x 表示y 的式子，将①代入②可得二元一次方程组．【答案与解析】解：将①代入②得：5x+3(2x -7)+2z ＝2，整理得：11x+2z ＝23 ④由此可联立方程组34411223x z x z -=⎧⎨+=⎩③④，③+④×2得：25x ＝50，x ＝2．把x ＝2分别代入①③可知：y ＝-3，12z =．所以方程组的解为2312x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩．【总结升华】解三元一次方程组的思想仍是消元，是用加减消元法，还是用代入消元法，要根据方程组的特征来确定，一定要选择较简便的方法．【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】 解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
二元一次不定方程的解法
二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程; 通解; 解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域． 中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题． 下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)ax by c a b c z ab +=∈≠ 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ．推论若(,)1a b =，则原方程一定有整数解． 定理2 若(,)1a b =，且(,)x y ︒︒为原方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数解( 通解) 都可表成x x bt ︒=- ，,()y y at t z ︒=+∈ 或x x bt ︒=+ ，,()y y at t z ︒=-∈ ． 由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:① x ︒．②判定原方程是否有解: 当|d c时，原方程无整数解;当|d c时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为a b 的情形．(,)1③求特解，写通解．( 注: 通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。
2. 分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵ (37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 先用x ，y 的系数中较小的37 去除方程的两边，并解出x ，得25107x y =- 除以37 ．再把上式右边y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)x y y =-+-+除以37 ．由于x ，y 都是整数，13y -也是整数，则124y-+除以37也一定是整数，则可令3y ︒= ( 由于此时－ 12 + 4 × 3除37 ∈Z) ，则有8x︒=- ． 补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y -+ 除37,43712,(1237)t z y t y t =∈-==+除4)39t =+ 则t 除4z ∈ ，有0t︒= ，从而有3y ︒= ，可推得8x ︒=-．这样得原不定方程的特解为8x ︒=-，3y ︒= ． ∴ 原不定方程的通解为8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ．3. 逐渐减小系数法 此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为± 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解．例： 解不定方程3710725x y += ．解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解． 由37107≤ ，用y 来表示x ，得25107x y =- 37 = 1 － 3y + － 12 + 4y 除37 ．则令124y -+37k z =∈，即43712y k -=由437≤ ，用k 来表示y ，得1237y k =+ 439k k =++ 除4 ．则令4k t z =∈ ，得4k t =将上述结果一一代回，得原方程的通解为 8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ． 4. 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解． 例： 解不定方程3710725x y +=解∵ 10737233,=⨯+3710725x y += ∴ 原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,=⨯+ 3348 1.=⨯+从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791⨯-+⨯= ，∴ 37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯=则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y︒=⨯= 通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ， 22537337(6),()y t t t z =+=++∈ ，或改写为8107,337x t y t =--=+ { ，( t ∈Z) ．5. 欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解． 其实质仍是找出( a ，b) 表为a ，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5 解不定方程3710725x y +=解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．（见抄）∴ 37(26)10791⨯-+⨯= ，37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯= 则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y ︒=⨯=通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ，22537337(6),()=+=++∈y t t t z或改写为8107,337=--=+{ ，( t∈Z) ．x t y t6. 同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725+=x y解∵(37,107)1,1|25=，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40-=，k t即4=，将其代入( 1) ，有337k t=+y t再将上式代入原方程，有8107=--，x t综上得原方程的通解为8107,337=--=+{ ，x t y t( t∈Z) ．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143+=．x y解35143x y-+-=+=+，3(1)5(28)0x y+=，351403x y∵ (3,5)1= ，15,283x t y t ∴-=--= ，∴ 原方程的通解为15x t =- ，283,()y t t z =+∈ ． 定理: 考虑二元一次方程ax by c += ( 1) 其中a 、b 、c 是整数, 且0,(,)1,|,ab a b b c ≠=则方程( 1) 的一切整数解可以表示成,x bt y k at ==-其中t=0、±1, ±2, ⋯, k= c 除b证明:( Ⅰ) 令,,x bt y k at k c ==-=除b, 那么()ax by k at bk c +-== 即( 2) 是( Ⅰ) 的解.( Ⅱ) 设'',x y 是方程( 1) 的任一整数解, 则''ax by c +=则|b c ，可设c bk = , 则 ''(x c by =- 除a ）'(bk by =-除a ）'()b k y =- 除a ）由于',x y 是方程( 1) 的整数解, 故'x 必为整数, 从而 '()b k y -除a 也必为整数。
不定方程
数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。
1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。
近十多年来，这个领域更有重要进展。
虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。
在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。
设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。
称(2)为方程(1)的通解。
（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。
猜想：当A<B时，有解X，Y。
当A>B时，X与Y互换位置。
即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。
是否也有X，Y的共同解。
例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。
即：7×5-17×2=1。
A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。
即：43×2-17×5=1。
目前没有发现反例。
例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。
不定方程
不定方程：定义indeterminate equation不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
历史概述数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax＋by＝c。
其中a，b，c 是整数，ab ≠ 0。
此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。
若a、b互质，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解，则此方程的解可表为｛(x=x0-bt，y=y0+at）｜t为任意整数｝。
S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1＋a2x2＋…＋asxs＝n0a 1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。
此方程有整数解的充分必要条件是a 1，…，as的最大公约数整除n。
埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
後来人们（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
二元一次不定方程
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
例2、求321x 111y 75的一切整数解.
解： (321,111) 3 75, 方程有解，且同解于方程 107x 37 y 25
而方程107x 37 y 1的一解是： x (1) 2 9 9, y (1)3 26 26, 故原方程的一组整数解为：x 9 25, y 26 25,
(a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若(a, b) c, 设c c1 (a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（ 1 ）式有一组整数解x0，y0 .
由例2方程107x 37 y 25的一解是： x 9 25, y 26 25,
故方程37x 107 y 25的一解是： y x 9 25, x y 26 25,
则原方程111x 321y 75的一切整数解是： x 26 25+107t, y 9 25 37t (t 0, 1, 2, )
(6)
25 37 y 25 4 y 同理 x y 33 33
（6）
25 4 y 令 x ， 33 1 x 则y=6 8 x 4
(7)
(8)
1 x 再令 y ，最后得到x 4 y 1 4 则x 1 4t , y t (t 0, 1, 2, )
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。
解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y 解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8.∴ 是原方程组的解.8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z.①×5得 5x+5y+5z=60 ④④-② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x y x解得 2.y ⎨=⎩把x=8,y=2代入①得z=2.∴ 是原方程组的解.8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12 .④①-④得 x=3，②-④得 y=4，③-④得 z=5，∴ 是原方程组的解.3,4,5.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩典型例题举例：解方程组 20,19,21.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ，即x+y+z=30 .④④-①得 z=10，④-②得 y=11，④-③得 x=9，∴ 是原方程组的解.11,10.y z ⎪=⎨⎪=⎩根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组⎩⎨⎧=+-=②①21327:2:1::z y x z y x 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”2,7,2321.y x z x x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩①②③求解。
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法
一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法整理稿方程含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。
则：(1)a+c＝b+c(2)a-c＝b-c等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。
(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系。
解方程的步骤：1.能计算的先计算；2.转化——计算——结果例如：3x=5*63x=30x=30/3x=10移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元一次方程人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是kx+b=0(k，b 为常数，且k≠0）。
一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
可根据乘法分配律。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解。
同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
三元一次方程组(基础) 知识讲解
三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组． 类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】 解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得c=﹣5． 因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤ ④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】 解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a ，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。
人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程 三 多元一次不定方程 名师课件【集体备课】
（a，b，c）︱ b ， （a，b，c）︱ c ， 所以（a，b，c）︱ ax0+by0+cz0=d .
即若有解，则（a，b，c）︱d . 情况二、 设（a，b）=m，
则（m，c）= （a，b，c）︱d 故 mt+cz=d 有整数解 ， 设 t=t0，z=z0 得 ax+by=mt0 由于 （a，b）=m ︱mt0 所以 ax+by=mt0有整数解x=x0，y=y0 所以 x=x0，y=y0，z=z0是不定方程的解.
针对性练习
1、求不定方程的 1 1 1 正整数解.
x y2
解：原式变形为2x+2y=xy，
即（x－2）（y－2）=4
所以 x 2 2或 x 2 4 或 x 2 1
y
2
2
y
2
1
y
2
4
解得 x 4 或 x 6 或 x 3
y
4
y
3
y
6
2、求不定方程9x+24y-5z=1000的一切整数解． 解：因为（9，24）=3，且（3，5）=1
总结
通过上面论证我们得到了三元 一次不定式有解的充要条件.
不定方程（1）有整数解的 充要条件为（a，b，c）︱d .
应用一
例一、求不定方程x 2y 3z = 41 . 解：因为(1,2)=1,(1,2,3)=(1,3)=1︱41 所以 不定方程有解 设 x2y=t,t 3z =41 得 x=t2u，y=u，uZ， t=413v，z=v，vZ， 消去t得x = 41 3v 2u，y = u，z = v，u，vZ. 得正整数解为(x, y, z)=(413v2u, u, v)，u ，v Z.
九、不定方程
二
二元一次不定方程及解法
1 二元一次不定方程的整数解 定理1：二元一次不定方程 ax+by=c (a,b,c为整数,且a,b都不为零) 有整数解的充分必要条件是(a,b)|c. 推论1：如果(a,b)=d,那么ax+by=d一定 有整数解. 推论2：如果(a,b)=1,那么ax+by=c一定 有整数解. 定理2：设方程ax+by=c(a,b,c为整 数,(a,b)=1)有一组整数解(x0,y0),则它的一 切解可表示为x=x0+bt,y=y0-at(叫做通解 公式).
一百马，一百瓦。大马驮三瓦， 中马驮二瓦，两小马驮一瓦，最 后不剩马和瓦，问大马、中马、 小马各几何？
三 其它类型的不定方程(组)的 解法举例
例3 求不定方程3x+7y+16z=40 的整数解. 例4 求不定方程3x2+5y2=345的 正整数解. 例5 求证x3+113=y3无正整数解.
百鸡问题
鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡， 问鸡翁、母、雏各程（组）的概念及分类
不定方程(组)：如果方程(组)中方程的 个数少于未知数的个数，称此方程(组) 为不定方程(组). 对于含有n个未知数的不定方程(组),若 存在n个不全为零的数x1,x2 ,· · · ,xn满足 这个方程(组),那么称(x1,x2 ,· · · ,xn)是这 个方程(组)的一个非零解. 不定方程的类型：按未知数的个数划 分，可分为二元、三元· · · · · ；按未知 数的次数划分，可分为一次、二次、 三次· · · · · · .
(六)不定方程
不定方程一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。
如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。
不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如6x+4y= 36。
解二元一次不定方程一般分为3个步骤：(1) 把方程中的系数约化成最简比；(2) 找出方程的一组特解；(3) 通过一组特解找出方程所有的解。
含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。
例如我们来解：6x+4y= 36先化简系数，得到：3x+2y= 18可以用x来表示出y：1832xy-=经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如：x=4，y=3这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。
通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解：x=0，y=9x=2，y=6x=4，y=3x=6，y=0我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。
这样就可以找到另一组解了：x=6，y=0类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解：x=2，y=6这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：x=4±2k，y=3 3k，其中k可以是任何整数。
类似地，我们可以写出方程3x-2y=18的所有解：x=6±2k，y=9±3k（k为任何数）例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？[分析与解答]设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z个则可以列得不定方程x+2y+5z=100z的取值范围为0～20之间的整数。
当z取20，18，16，…，0时，对应y有1，6，11，…，51种取值，故分别有1，6，11，…，51个解；当z取19，17，15，…，1时，对应y有3，8，13，…，48种取值，故分别有3，8，13，…，48个解。
由（1+6+11+…+51）+（3+8+13+…+48）=541知，共有541种凑法。
[评注]此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。
高中数学_不定方程
不 定 方 程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bkcx x 00（k 为整数）．对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】一 二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 45（k 为整数），所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y kx 421521（k 为整数）．说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y kx 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 53，k 为整数所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ．说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此． （4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y kx 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解． 解：107=2×37+3337=1×33+4 33=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y kx 372591072526，k 为整数．二 多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解． 解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t ty x②的一组解为⎩⎨⎧-==t y tx ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t xk 1为整数．③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k tk 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ②③④ ⑤⑥⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz ky 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5． 所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三 其他不定方程 例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13． 所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113． 由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113． 所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330．这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0． 若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2． 将y 的值代入原方程可解得：⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0． 若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数． 又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16． 解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+2，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+1<0，所以x 6+4x 3+2<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1． ∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1 =（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ） =（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时， （2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解． （2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解． （5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ．说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。
第二章 不定方程
步骤：
① 先求出 (a1 , a2 ) = d 2 , (d 2 , a3 ) = d 3 ,…, ( d n −1 , an ) = d n ;
② 若 d n | N ，则(1)式无解；
③ 若 d n | N ，则(1)式有解，作方程
a1 x1 + a2 x2 = d 2t2 d 2t2 + a3 x3 = d3t3 " " " d n − 2tn − 2 + an −1 xn −1 = d n −1tn −1 d n −1tn −1 + an xn = N
（ 2）
= 0, ±1, ±2,...
由定理1我们知道，当（1）有一整数解时，它的一切解可以 由（2）表示出来。 ② 但是（1）式在什么情况下有解，我们还不知道，现在给 出（1）式有整数解的一个充要条件。
定理 2 （1）式有整数解的充分与必要条件是 (a, b) | c .
③ 对于二元一次不定方程，我们还没有给出求（1）式的 一个整数解的方法。 下面利用辗转相除法解决这个问题。
定理 1
不定方程 x 2 + y 2 = z 2 （1）适合条件
x > 0, y > 0, z > 0, ( x, y) = 1,2 | x
（4） （5）
的一切正整数解可以写成下列公式表出来：
x = 2ab, y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 , a > b > 0, (a, b) = 1, a, b一奇一偶.
（4） （5）
的一切正整数解可以写成下列公式表出来：
x = 2ab, y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 , a > b > 0, (a, b) = 1, a, b一奇一偶.
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x = 12 15 + 2u , y = 4 + 5v u , z = 1 2v.
(u, v为任意整数)
注意
从例2.15的求解可以知道，在用代换法 从例2.15的求解可以知道，在用代换法 2.15的求解可以知道 把三元一次不定方程ax+by+cz ax+by+cz＝ 把三元一次不定方程ax+by+cz＝d 转化 为二元一次不定方程求解过程中， 为二元一次不定方程求解过程中，如果 不互质， (a，b)＝m≠1时 a，b不互质，即(a，b)＝m≠1时，我们 所作的代换是ax+by mt，而不是ax+by ax+by＝ 所作的代换是ax+by＝mt，而不是ax+by ＝t．(这点在定理2.3的充分性的证明 这点在定理2.3的充分性的证明 2.3 中有体现) 中有体现)这一点对以后解多元一次不 定方程也是完全适用的． 定方程也是完全适用的．
三元一次不定方程研究的 三元一次不定方程研究的 两个方面
如何判断三元一次不定方程有无整数解， 如何判断三元一次不定方程有无整数解， 如果整数解存在，还要考虑解的个数， 如果整数解存在，还要考虑解的个数， 这些都是属于三元一次不定方程解 三元一次不定方程解( 这些都是属于三元一次不定方程解(整 数解)的存在问题； 数解)的存在问题； 三元一次不定方程的求解问题，即对于 二． 三元一次不定方程的求解问题 即对于 存在整数解的不定方程， 存在整数解的不定方程，如何把它的解 求出来. 求出来
关于通解公式
三元一次不定方程(2．4)的求解，在某种条 件约束下，可以导出方程的通解公式(见本节最 后一例题即例2．17)，但是由于这个公式比二 元一次不定方程的通解公式复杂，记忆、使用 都不方便． 对多元 (三元以上) 的一次不定方程求解来 说，很难推出通解公式. 因此在这里主要介绍三元一次不定方程求 解的思想方法 思想方法：通过代换 代换，把三元一次不定方 思想方法 代换 程转化为二元一次不定方程进行求解．这种转 化思想对多元一次不定方程的求解也完全适用 的．
因此,所求的三数分别为4,12,7; 10,6,7以及6,3,14
求证：如果不定方程 ax+by＝1 有 例2．17 求证 一个整数解 x = x0，y ＝ y0，那么三元一次不 定方程(2. 4)的通解为
x = x0 d x0 cv + bu , y = y0 d y0 cv au , (u，v为任意整数) …① z = v.
充分性.
设(a，b)＝D1，则由定理1. 11得 (a，b，c)＝(D1，c)， 即 (D1，c)＝D． 裴蜀等式)可以知道，存在 根据定理1. 10(裴蜀等式 裴蜀等式 两个整数m、n，使得 am＋bn＝D1， m n am bn D 同时也存在两个整数m’与n’，使得 D1m＇+ cn＇＝ D， 将D1＝am + bn代入上式，展开得 amm'+ bm'n + cn' ＝D．
把3x+7y＝t代入①，得t＋16z＝40，这个二元一次不 定方程的通解为
y = t 3u
(u为任意整数)
t = 8 + 16v z = 2 v
(v为任意整数)
…③
由②，③可得原不定方程的通解为
x = 16 32v + 7u y = 8 + 16v 3u z = 2 v
(u , v为任意整数)
由上面两个例题还可以看到，在三元一 次不定方程的通解中，有两个取任意整数 值的参数u与v，即通解公式中有u与v两个 自由变数，这种情况与我们对三元一次不 定方程解的考察是一致的，因为在三元一 次不定方程(2．4)中，三个未知数x，y，z 中有两个未知数可自由取值，当这两个未 知数取值确定后，第三个未知数是不能自 由取值的，只能根据这个方程把它求出来。 讨论:只取一个参数 能不能算是通解? 讨论 只取一个参数, 能不d，因此存在整数q，使得d ＝Dq在上面的等式左右两边同时乘以 整数q，则得 amm'q + bm'nq + cn'q ＝ Dq． 即 amm'q + bm'nq + cn'q ＝d． 因此方程(2．4)有整数解 x0 =mm'q， y0=m'nq，z0=n'q． 在方程(2 4)中 如果d (2， 推论 在方程(2，4)中，如果d不能被 (a， c)整除 整除， (a，b，c)整除，那么这个不定方程无整 推论的证明请读者自行完成) 数解 (推论的证明请读者自行完成)．
23 2 3 18 1≤ z ≤ = 7 7
逐次尝试
由上可知 z 的可能取值是1和 2. 当z=1时,原方程化为2x+3y=16,解之得正整 x = 2, x = 5, 数解:
y = 4; y = 2.
当z=2时,原方程化为2x+3y=9 ,解之得正整数解:
x = 3, y = 1.
ax1 + by1 + cz1 = d , 所以ax1 + by1 + cz1 = d cz1 ,
将这式与上式相减， 将这式与上式相减 因为 将这式与上式相减，得
a[ x1 ( x0 d x0 cz1 )] = b [ ( y0 d y0 cz1 ) y1 ] y0 d y0 cz1 y1 …② x1 ( x0 d x0 cz1 ) = b a 由于(a，b) =1，所以(y0d – y0cz1 –y1)能被a整
x = 80 + 32v '+ 7u y = 40 16v ' 3u ( u,v'为任意整数 ) z = v ' …⑤
④与⑤都是原不定方程的通解，它们的 都是原不定方程的通解， 表示式不同，但实质上是一致的． 表示式不同，但实质上是一致的．实际 式中， v’， 上，在④式中，令2－ v＝v’，则④式 可化成⑤ 因此④ 可化成⑤式，因此④，⑤表示了原不定 方程的同样的解集． 方程的同样的解集．
例2. 14 求不定方程6x+14y＋32z＝80的 整数解．
解1 因为(6，14，32)＝2，2 | 80，所以原不定方
程有整数解，将原方程化简，得 3x+7y＋16z＝40． …① 设3x+7y＝t，利用观察法或辗转相除法可知x＝－2， y＝1是不定方程3x＋7y＝1的一个整数解，因此 3x+7y＝t的通解为 …② x = 2t + 7u
三元一次不定方程的正 或非负 或非负)整数解 三元一次不定方程的正(或非负 整数解
先求出三元一次不定方程的通解，再令通解大于零， 先求出三元一次不定方程的通解，再令通解大于零，然后 二元一次不等式组． 解二元一次不等式组．但是由于二元一次不等式组的解法 还未学过，因此这种解题思路较难实现; 还未学过，因此这种解题思路较难实现 运用逐次尝试法 对三元一次不定方程(2. 中的 中的x， ， ， 运用逐次尝试法: 对三元一次不定方程 4)中的 ，y，z， 逐次尝试法 先取其中一个未知数(一般取系数较大的那个未知数 一般取系数较大的那个未知数)的取 先取其中一个未知数 一般取系数较大的那个未知数 的取 值范围进行考察，确定它所能取的正整数(或非负整数 或非负整数)， 值范围进行考察，确定它所能取的正整数 或非负整数 ， 然后把它所取的每一个正整数值，代入方程(2. 中 然后把它所取的每一个正整数值，代入方程 4)中，使 它成为二元一次不定方程， 它成为二元一次不定方程，求二元一次不定方程的正整数 (或非负整数 解，再把每次求出的正整数解合在一起，就 或非负整数)解 再把每次求出的正整数解合在一起， 或非负整数 求出了三元一次不定方程的所有正整数(或非负整数 或非负整数)解 求出了三元一次不定方程的所有正整数 或非负整数 解．
证明 首先证明x，y，z的表达式①是方程 (2．4)的解。显然 表达式①右边的值都为整数， 代入方程(2. 4)的左边，并根据 ax + by＝l ，得 ax + by + cz ＝d， 表达式①中的x，y，z是方程(2．4)的整数解。
其次还要证明 如果x 是方程(2． 的一个整 如果 1，y1，z1是方程 ．4)的一个整 数解，那么一定可以找到二个整数u 数解，那么一定可以找到二个整数 l， v1，当u＝u1，v＝v1时，表达式①的值 表达式① ＝ ＝ 分别为x 分别为 1，y1，z1． 实际上，因为x 实际上，因为 0，y0是ax+by＝1的一 ＝ 的一 个整数解， 个整数解，所以 x0(d–czl)，y0(d –czl) ， 是不定方程ax 的一个整数解， 是不定方程 1+by1= d–cz1的一个整数解， 即 a x0(d – czl) +b y0(d – czl) ＝d – czl．
x = 3t + 2u , (u为任意整数) y = t u.
把2x+4y＝2t代入原方程，得 2x+4y＝2t代入原方程， 代入原方程
2t －5z＝ 3． 解这个不定方程，得 t = 4 5v (v为任意整数) z = 1 2v
将t＝4－5v代入上面x，y的表达式，得原方程 的通解为
一．
解的存在性
定理2．3 三元一次不定方程 ax＋by＋cz＝d (2．4) 有整数解的必要且充分条件是 D | d， 这里D＝(a，b，c)，a,b,c,d都是正整数． 证明 必要性．如果方程(2．4)有整数解 x＝x0， y＝y0， z＝z0， 则 a x0 + by0 +cz0＝d， 因为D＝(a，b，c)，所以D | a，D | b，D | c，因此D | (a x0 +b y0 +cz0)，即 D | d．
比较上面例题的两种解法，解2 比解1简单一些， 但对多元(四元或四元以上)的不定方程来说，解 法1 所体现的思想方法 ——通过代换把三元一次不定方程转化为二元一 次不定方程更为实际一些．