二次函数的意义
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在平平淡淡的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家收集的数学二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家！数学二次函数知识点总结篇1二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f（乘）=a乘^2b乘c（a不为0）。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2；b乘c（a≠0，a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a）；顶点式y=a（乘m）∧2k（a≠0，a、m、k为常数）或y=a（乘-h）∧2k （a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a（乘-乘1）（乘-乘2）[仅限于与乘轴有交点A（乘1，0）和B（乘2，0）的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=（y3（乘-乘1）（乘-乘2））/（（乘3-乘1）（乘3-乘2）（y2（乘-乘1）（乘-乘3））/（（乘2-乘1）（乘2-乘3）（y1（乘-乘2）（乘-乘3））/（（乘1-乘2）（乘1-乘3）。
由此可引导出交点式的系数a=y1/（乘1乘乘2）（y1为截距）求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1，乘2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a（即一元二次方程求根公式）求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数的意义
二次函数的意义二次函数是数学中的一个重要概念，是一种用于描述一些自然现象的数学模型。
在实际应用中，二次函数被广泛应用于物理、经济学、工程学等领域，具有重要的意义和作用。
本文将从二次函数的定义、图像和性质、应用等方面来探讨二次函数的意义。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠0。
二次函数的定义域为所有实数，值域为y≥c（当a>0）或y≤c （当a<0）。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值为c；当a<0时，抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值为c。
二次函数的图像关于直线x=-b/2a 对称。
二、二次函数的图像和性质二次函数的图像具有以下特点：1. 抛物线开口的方向由二次项系数a的正负决定。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c)。
3. 抛物线与x轴相交的点称为根，当抛物线与x轴相切时，根的重合点称为重根，当抛物线不与x轴相交时，称为无实根。
4. 当a>0时，二次函数的最小值为c；当a<0时，二次函数的最大值为c。
5. 二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称中心为顶点。
6. 当a>0时，二次函数的值域为y≥c；当a<0时，二次函数的值域为y≤c。
三、二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用，具体包括以下几个方面： 1. 物理应用二次函数在物理学中有着重要的应用，如自由落体运动、抛体运动等。
自由落体运动可以用二次函数y=1/2gt来描述，其中g为重力加速度，t为时间。
抛体运动可以用二次函数y=-1/2gt+v0t+h来描述，其中v0为初速度，h为初高度。
2. 经济学应用二次函数在经济学中也有着广泛的应用。
例如，成本函数、收益函数等都可以用二次函数来描述。
成本函数可以用二次函数y=ax+bx+c来表示，其中a为边际成本，b为固定成本，c为总成本。
以二次函数为例管窥函数性质及意义论文
以二次函数为例管窥函数的性质及意义函数作为高中数学学习最基础、最核心的内容，对数学和其他学科的许多领域有着指导意义。
虽然我们在初中已经初步学习了函数的定义和基本思想，但在高中阶段我们还要集中学习映射和集合等函数概念，从映射和集合的角度来剖析函数的概念。
二次函数作为最基本的幂函数有着丰富的内涵和外延，因此本文通过剖析二次函数来分析函数的性质和概念，诸如：函数的奇偶性、单调性、区间阈值等问题。
一、掌握映射的角度来理解函数的概念二次函数，顾名思义即指未知数的最高次幂为二次的多项式函数，我们通常表达为：y=ax2+bx+c(a≠0)。
我们可以用集合的概念来描述二次函数：由集合定义域a到集合值域b上的映射，书写为f：a→b，也就是让集合b中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一对应集合a中的元素x，记作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，该式中的ax2+bx+c为对应法则，亦即定义域中的x在值域y中的象。
高一数学课上我们通过这样阐述来衔接初高中函数知识，很容易引导学生对函数的概念产生新的理解和认识，为接下来继续以二次函数为例引导学生从以下问题展开探究奠定基础：1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)由以上概念学习我们可以这样理解：f(x+1)即是自变量为x+1的函数值。
所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+42.进一步探索，反过来研究：设若f(x+1)=x2－2x+3,怎样求f(x)这个问题实际是探讨对应法则，我们可以用可逆思维理解在某对应法则f下，定义域范围内元素x+1的象为x2－4x+1。
于是我们可以悟出两种解答方式：①把反应对应关系的表达式配成x+1的多项式，然后对号入座。
f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，将x 替换x+1得出f(x)=x2－4x+6。
②设置代换：设x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6二、用直观的图像来研究和表达函数性质1、函数的单调性探讨函数单调性时我们必须要求学生参照定义对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性结论展开严格论证，当然我们还可以借助比较直观的函数图象关系，将抽象理论知识转化为学生的形象认识，再辅助科学的练习，大家就不难掌握图解二次函数单调性的技巧。
二次函数几何意义
二次函数几何意义
函数是数学中概念最为重要的概念之一，广泛应用于科学技术、商业运算等领域。
今天，我们将讨论一下二次函数的几何意义。
首先，让我们从数学定义上来谈谈二次函数。
在几何意义上，二次函数是一种多项式函数，它的形式为y=ax2+bx+c，其中a、b、c
是常数，x是变量，y是函数的值。
其次，让我们来看看二次函数的几何意义。
一个二次函数可以用一个抛物线来表示，抛物线被平面内切成两个部分，其中一部分在x 轴的右边，另一部分在x轴的左边。
这条抛物线是一条开口向上的曲线，其图像上形成一个“U”形，其图形有两个交点，即抛物线的凹陷处，而抛物线的凸起处则是它的顶点。
再次，让我们来看看二次函数的特征值。
这类函数的特征值非常重要，它包括函数的顶点、凹陷处的值、单调性、对称性等等。
最后，让我们来讨论一下二次函数的应用。
二次函数广泛应用于工程学、物理学、生物学等领域，其中包括抛物线运动轨迹预测、空气动力学中流体动态计算、热传导计算、医学影像分析等。
此外，它还被用于几何图形分析、椭圆计算、逃逸率计算、圆周率求解等。
总之，二次函数是一个重要的数学概念，具有广泛的应用潜力。
它的几何特征包括顶点、凹陷处的值、单调性和对称性等，在工程学、物理学、生物学等领域都有应用，是很多数学模型的基础。
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二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是．(3)交点式：(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．当a＜0时，抛物线开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1B．﹣1或3C．2D．3【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝ax2+1C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣13．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2B．m＜0C．m＞0D．﹣2≤m＜0【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下B．当x＝1时，y取最大值4C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＞1D．x＞03．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3B．这个函数图象的开口向上C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当y1＞y2时，x1＜x24．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①②B．①③C．①④D．②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞02．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y23．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y23．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y34．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+4）2+3D．y＝（x+4）2﹣33．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．4【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．﹣3＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣B．﹣4C．D．42．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．①B．②C．都对D．都不对3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c ＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＜3或x＞5【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A．B．或C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞34．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②④⑤D．①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B 点左侧），若P A：PB＝1：2，求m的值．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101 2.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【变式训练】1．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．2．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．3．（2021•河西区一模）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．。
二次函数的意义导学提纲
…
难点：会判断一个函数是不是二次函数。
答：
.
装
【学法指导】
… … …
类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【导学流程】
…
一、知识链接：
…
1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定
…
的值与它对应，那么就说 y 是 x 的
，x 叫做
。
… …
2. 形如 y ___________（k 0) 的函数是一次函数，当 ______ 0 时，它是 函
磁县朝阳学校中学学生课堂导学提纲 编号：九年级人教版（2014-8-4）主备人：赵国华 审核：初三数学组
当堂检测
1．观察：① y 6x2 ；② y 3x2 5 ；③y＝200x2＋400x＋200；④ y x3 2x ；
⑤ y x2 1 3 ；⑥ y x 12 x2 ．这六个式子中二次函数有
(4)y=(x+3) 2 －x 2
(5)y=mx 2 +nx+p (m,n,p 为常数） 四、迁移运用：
…
为
…
。①
1、 y (m 3)xm27
…
(1) m 取什么值时,此函数是正比例函数?
… …
2. 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
…
由图可以想出,如果多边形有 n 条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接
）的函数为二次 拾贝/
函数。其中 x 是自变量， a 是__________，b是___________，c是_____________． 反 思
三、深入学习：
纠错
1、二次项系数 a 为什么不等于 0？
二次函数的导数与最佳效果
二次函数的导数与最佳效果在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数。
它是一种常见的函数类型，具有很多重要的应用。
本文将探讨二次函数的导数及其在实际问题中的最佳效果。
一、二次函数及其导数二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
二次函数在坐标系中呈现出抛物线的形状，其开口方向由a的正负值决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的导数表示了函数曲线在不同点的斜率变化情况。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数记为f'(x)，可通过求导公式计算得出。
具体来说，求导公式为f'(x) = 2ax + b。
二、二次函数导数的意义1. 斜率二次函数的导数f'(x)表示了在函数曲线上每个点的切线的斜率。
具体而言，对于给定的x值，f'(x)的值就是曲线在该点的切线的斜率。
这个斜率可以告诉我们在该点附近函数曲线的变化速率，从而帮助我们分析二次函数的性质和行为。
2. 最值通过求导，我们可以找到二次函数的最值点。
当导数f'(x)等于零时，对应的x值就是函数的极值点。
如果f'(x)由正变负，那么函数在该点取得极大值；如果f'(x)由负变正，那么函数在该点取得极小值。
三、二次函数的最佳效果在实际问题中，我们经常需要优化某些目标函数，使其达到最佳效果。
二次函数的导数可以帮助我们找到这样的最佳效果。
1. 最大值问题如果我们希望二次函数的取值尽可能大，即找到使函数达到最大值的点，那么我们只需找到函数的导数等于零的点。
根据二次函数导数的求导公式f'(x) = 2ax + b，我们可以解方程2ax + b = 0，求出对应的x 值。
然后将这个x值代入原函数f(x) = ax^2 + bx + c，就可以求得函数的最大值。
2. 最小值问题同样地，如果我们希望二次函数的取值尽可能小，即找到使函数达到最小值的点，也可以使用导数来辅助解决。
二次函数的育人功能
二次函数的育人功能
1. 几何意义，二次函数的图像是一个抛物线，抛物线是几何中
的重要曲线之一。
通过学习二次函数，学生可以了解抛物线的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等，这有助于培养学生的几何直觉
和空间想象能力。
2. 物理应用，二次函数在描述抛体运动、弹簧振动等物理现象
时有着广泛的应用。
学生通过学习二次函数，可以理解抛体的轨迹、弹簧的变形规律等，从而将数学知识与物理现象相结合，培养跨学
科的综合能力。
3. 经济学意义，在经济学中，二次函数常常用来描述成本、收益、利润等与产量、销量等变量之间的关系。
学生通过学习二次函数，可以理解这些经济学概念之间的数学模型，从而培养他们的经
济分析能力和决策能力。
4. 工程应用，在工程领域，二次函数常常用来描述波动、震动、曲线等变化规律，如声波的传播、机械振动等。
学生通过学习二次
函数，可以理解这些工程现象背后的数学模型，培养他们的工程实
践能力和问题解决能力。
综上所述，二次函数在育人中有着重要的作用，它不仅可以培养学生的数学思维能力，还可以帮助他们理解和应用数学知识于现实生活和各个学科领域。
26.1.1 二次函数的意义-丁博
2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
所求的二次函数是y x 12x 15
2
牛刀小试
5.已知二次函数
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
2
(o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x² +100x+60000, 总产量最多？
4. 已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x 2 px q, 得：
二次函数的定义与性质
二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。
本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。
一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。
二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。
根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。
对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。
2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。
而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。
当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。
3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。
顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。
5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
二次函数的实际应用总结
二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。
它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。
本文将总结几个二次函数的实际应用。
一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。
当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。
设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。
其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。
通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。
例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。
这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。
二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。
比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。
同样，开口向下的抛物线也有实际应用。
例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。
通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。
例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。
企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。
同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。
在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。
通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。
这有助于企业决策和经济政策的制定。
四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。
剖析二次函数的实际意义
剖析二次函数的实际意义二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学、物理等诸多领域中都具有广泛的应用。
本文将从几个具体实例出发，深入剖析二次函数的实际意义。
一、二次函数在物理世界中的应用1. 抛物线的轨迹：抛体在自由落体运动中的轨迹是一个抛物线，而可以用二次函数来描述其运动规律。
例如，将一个物体从地面上抛出，并忽略空气阻力，其高度与时间的关系可用二次函数表示。
这样，我们可以通过二次函数提供的数学模型，预测抛体的高度随时间变化的规律。
2. 自然界的现象：二次函数也可以用来描述自然界中的一些现象。
例如，落叶下落的轨迹可以用二次函数进行近似；喷泉的水柱高度随时间变化也可以用二次函数表示。
这些现象通常在物理学或工程学的研究中得到广泛应用。
二、二次函数在经济学中的应用1. 成本函数：在经济学中，二次函数经常被用来描述成本函数。
例如，生产某种商品的成本可能与生产的数量成二次关系。
通过分析二次函数的相关特性，我们可以确定最优生产数量，帮助企业实现成本最小化。
2. 物价变动：二次函数还可以用来描述物价的变动。
例如，某种商品的需求量或供给量与价格的关系可能是二次函数。
通过研究二次函数的顶点、开口方向等特性，我们可以对市场供求关系进行准确的分析和预测。
三、二次函数在工程学中的应用1. 经典力学：在机械工程学中，二次函数经常用于描述物体的运动轨迹。
例如，弹簧振子的运动可以由二次函数进行模拟；摆锤的摆动规律也可以用二次函数表示。
通过分析二次函数的参数，我们可以了解物体的运动特性，从而进行工程设计与优化。
2. 信号处理：二次函数在信号处理中也有广泛应用。
例如，音频和视频信号的压缩算法中，使用了二次函数进行信号的逼近。
此外，滤波器的设计与实现也常涉及到二次函数模型的使用。
总结起来，二次函数在物理学、经济学和工程学等领域中有着广泛的应用。
通过研究二次函数的实际意义，我们可以更好地理解和应用数学知识，从而推动科学和技术的发展。
二次函数
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax&^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结
二次函数是高中数学的重要知识，了解其基本概念和运用，对学习下一步的数学知识、理解数学更深入内容，以及提高数学综合能力都具有重要的意义。
那么，什么是二次函数呢？它的定义和性质有哪些？再有，它有什么应用？
首先，什么是二次函数？一般而言，任何一种以x为自变量，以ax2+bx+c（a≠0）为因变量的函数即称为二次函数，它是一种特殊的函数，也是多项式函数的一种。
下面我们来说说二次函数的性质。
一般而言，二次函数的性质可归类为极值点性质和单调性质两类，其中极值点性质是指函数的极大值和极小值，它和函数的二次项系数a的取值有关，当a>0时，函数有一个极小值，当a<0时，函数有一个极大值。
单调性质则指函数在x处取得单调性，具体而言，当a>0时，函数以x为自变量递减；当a<0时，函数以x为自变量递增。
二次函数在实际应用中有多种用途。
其中，将一次函数的物理解释转变为二次函数的物理解释占据着重要的位置，由此可知，求解一次函数的问题也可以用二次函数的解法进行求解。
另外，二次函数的形式它也可以用来求解各种物理或者经济学问题，其中最常见的就是将二次函数用来求解前一章节提到的单变量极值问题，求解它可以利用二次函数的极值点性质，让我们更好地解决实际问题。
总之，二次函数是高中数学中一个极为重要的知识，其定义和性质，以及它的应用，都是我们需要牢记、深刻理解和灵活运用的，让我们更好地运用数学的知识和能力来解决实际问题，提升我们的数学
综合能力。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理
二次函数（quadratic function）是数学中比较常见的函数，它
对于进行多项式函数和实际问题的求解有很重要的意义。
二次函数的
函数表达式一般写成如下形式：y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c
和x分别表达式的系数及其未知量。
二次函数的三个特征：1）拉格朗日分解定理：函数y经过两点
P1（x1，y1）和P2（x2，y2），而且改函数的图形经过原点，恒成等差，那么，这个函数是二次函数；2）当二次函数有两个零点，那么这
条曲线是一条U型曲线；3）二次函数的极值与系数a的正负关系有关。
当a>0时，则二次函数有一个极大值，当a<0时，则二次函数有一个
极小值。
二次函数的图形以及其求解方法广泛应用于各种实际工程和科学
研究中，被用于解决三次方程、其他可积函数的积分问题、一元二次
不等式以及椭圆圆的几何分析等。
二次函数一次项系数的意义
二次函数一次项系数的意义《二次函数一次项系数的意义》是表达一类数学表达式的一种重要方式。
它是一类数学表达式的一种精确描述，一类数学表达式的一次项系数的意义也十分重要。
首先，二次函数一次项系数的意义是数学表达式的精确描述。
例如，对于二次函数 y=ax2+bx+c，a是一次项系数，它表示函数的弯曲程度，即曲线与直线的关系。
如果a<0，函数绕着一个极小值点连续凹陷；如果a>0，则曲线依着一个极大值点继续凸起；如果a=0，曲线就是一条直线。
因此，可以看出，a是一次项系数，它表示二次函数弯曲程度的重要系数。
此外，二次函数一次项系数的意义还包括确定函数一般性质的重要指标。
例如，对于函数 y=ax2+bx+c，可以计算其一次项系数a和二次项系数c的乘积b24ac，即可以确定函数有几个根，也可以确定它是凸函数还是凹函数。
如果b24ac<0，则函数有两个不同的实根，且是凹函数；如果b24ac=0，则函数有一个实根，且是凸函数；如果b24ac>0，则函数有两个相同的实根，且是凸函数。
因此，二次函数一次项系数的意义还包括确定函数一般性质的重要指标。
最后，二次函数一次项系数的意义也对函数在多维空间中描述特定对象有重要意义。
一次项系数a等于0时，函数就是一元一次函数，这就是二维空间中函数描述特定对象的情况；而一次项系数a不等于0时，函数就不再是一元一次函数，它可以在多维空间中描述特定对象。
换句话说，一次项系数a就是一个重要的参数，用来协助函数描述特定对象，无论是在二维空间中，还是多维空间中。
因此，可以看出，二次函数一次项系数的意义也是有重大意义的。
综上所述，可以看出，一次项系数在二次函数中具有重要的意义。
它不仅是表达函数的精确描述，还可以确定函数的一般性质，它还可以帮助函数在多维空间中描述特定对象。
而且，它还可以作为解决问题的重要参照，从而帮助我们更加深入了解二次函数的重要性。
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22.1 二次函数的定义教学设计1教学目标知识目标：1．探索并归纳二次函数的定义；2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．情感目标：1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．数学思考：1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2学情分析二次函数的教学对象是九年级学生，在此之前他们学习了正比例函数，一次函数和反比例函数。
二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基础的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数，体会函数的思想奠定基础和积累经验。
为高中阶段继续学习函数做好铺垫.3重点难点教学重点：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．4教学过程 4.1 第一学时教学活动活动1【活动】温故知新，引出课题师：对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?生：学过正比例函数，一次函数，反比例函数．师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?生：记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．师：能把学过的函数回忆一下吗?生：可以。
一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）反比例函数y= （k是不为0的常数）师：学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?生：定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。
师：很好，活动2【活动】创设情境,探究新知问题1．设圆的半径长为 x ，面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为是什么？2．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x 之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_____________件，再经过一年后的产量是________件，即两年后的产量为__________。
3.一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设矩形一条边长为 x (m), 种植面积(阴影)为 y(m2)。
观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
教师重点关注：1．强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。
活动3【活动】例题学习,内化新知例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1) y=3(x-1)²+1 (2) y=x+(3) s=3-2t² (4) y=(x+3)²-x²(5)y= -x (6) v=10Л r²例2函数y=(m+1)xm2-m（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？师生行为：教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。
教师重点关注：（1）探究中各小组是否积极展开活动；（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。
活动4【练习】练习反馈,巩固新知1、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
2.写出y与x的关系式，并说明y是x的什么函数（1）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米。
（2）某种产品价格是2元，准备进行两次降价，若每次降价率都为x，两次降价后的价格为y（元）。
写出y与x的关系式．活动5【活动】自主小结，深化提高请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。
设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
活动6【作业】分层作业，发展个性22.1 二次函数的图象和性质课时设计课堂实录22.1 二次函数的图象和性质1第一学时教学活动活动1【活动】温故知新，引出课题师：对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?生：学过正比例函数，一次函数，反比例函数．师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?生：记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．师：能把学过的函数回忆一下吗?生：可以。
一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）反比例函数y= （k是不为0的常数）师：学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?生：定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。
师：很好，活动2【活动】创设情境,探究新知问题1．设圆的半径长为 x ，面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为是什么？2．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x 之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_____________件，再经过一年后的产量是________件，即两年后的产量为__________。
3.一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设矩形一条边长为 x (m), 种植面积(阴影)为 y(m2)。
观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
教师重点关注：1．强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。
活动3【活动】例题学习,内化新知例1下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1) y=3(x-1)²+1 (2) y=x+(3) s=3-2t² (4) y=(x+3)²-x²(5)y= -x (6) v=10Л r²例2函数y=(m+1)xm2-m（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？师生行为：教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。
教师重点关注：（1）探究中各小组是否积极展开活动；（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。
活动4【练习】练习反馈,巩固新知1、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。
2.写出y与x的关系式，并说明y是x的什么函数（1）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米。
（2）某种产品价格是2元，准备进行两次降价，若每次降价率都为x，两次降价后的价格为y（元）。
写出y与x的关系式．活动5【活动】自主小结，深化提高请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。
设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
活动6【作业】分层作业，发展个性。