保险费用厘定

a N x N xn
x:n
Dx
m
ax

N xm Dx
ax

N x1 Dx
a N x1 N xn1
x:n
Dx
m
ax

N xm1 Dx
m
a x:n

N xm
Nxmn Dx
m
a x:n

N xm1 N xmn1 Dx
例4.4
实例测算国寿松鹤养老金保险的趸缴净保
E[ zk
]

1 Ax d
2)
Var[a K
1
]

Var
1

v d
K
1


1 d2
Var[zk ]
2 Ax d2
Ax2
已知 i = 0.05
例4.3
x 90 91 92 93
lx
100 72
39
0
dx
28
33
39
－
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： a90
均衡净保费厘定 毛保费厘定
多生命保险保费厘定
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
生存年金与确定性年金的区别
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为 条件）
趸缴纯保费递推公式
公式一：
Ax vqx vpx Ax1
理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等
于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生 存满一年的情况下净趸缴保费 。 Ax1
趸缴纯保费递推公式
公式二：
lx (1 i) Ax lx Ax1 dx (1 Ax1)

vt

P
(
Ax
)a t
(2)E(L)

0
Ax

P ( Ax )ax

0
P ( Ax )

0
vt

t
pxdt
相关公式及理解
（1）ax：n

E(Y )

E(1 zt

)

1

(1
Ax：n )
1 ax Ax：n
（2）V
ar(Y
)

Var(1


zt
)

1
2
V
ar(
zt
)
Var(a T
)

1
2
[2A x:n
(A )2] x:n
险种
延期连续年金精算现值
延期m年 终身生存年金
x:n
x:n
i
m ax
ax
a x:m

m Ex axm
1(A i x:m
Hale Waihona Puke BaiduAx )
1
m n ax
a x:mn
a x:m

(A i x:m
A ) x:mn
等额年金计算基数公式
险种
初付
延付
终身 生存年金
定期 生存年金 延期终身 生存年金
延期定期 生存年金
ax

Nx Dx
费
课程结构
保费 厘定
趸缴净保费厘定 生存年金净保费厘定
均衡净保费厘定 毛保费厘定
多生命保险保费厘定
完全连续年缴净均衡保费的厘定 （以终身人寿保险为例）
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人
寿保险，被保险人从保单生效起按年连续 交付保费。（给付连续，缴费也连续）
厘定过程：
（1）L

l(T
)
zt bt vt
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
k Ex


vk 1
k 0
k
px

1 lx

vk 1 lxk
k 0
综合支付技巧


ax

E[a K 1
]

a Pr(K k) k 1
a k 1

k
qx
k 0
k 0
相关公式
1)
ax

E[a K 1
]

E
1 vK 1

d


1 d
保费厘定
课程结构
保费 厘定
趸缴净保费厘定 生存年金净保费厘定
均衡净保费厘定 毛保费厘定
多生命保险保费厘定
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保障标的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保单签约日和保障期
期始日是否同时进行
非延期保险
延期保险

n vt
0
t
px xt dt

en t
0
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e 2t
fT
(t )dt

E ( zt
)2

记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）

ax
E(a ) T
0
a T
fT (t)dt
相关公式
（1）ax

E(a T
)


a
0T
fT (t)dt
1 vt
0
t
px xt dt
（2）ax

E(a T
)

E(1 vt

)

E(1 zt

)

1

(1
Ax )
1 ax Ax
（3）Var(a T
例4.6答案
a90 5vp90 10v2 2 p90 5 72 10 39
1.05 100 1.052 100 6.97
常见险种的延付生存年金
险种
终身 生存年金 n年定期 生存年金
m年延期 终身生存年金
m年延期 n年定期 生存年金
延付年金精算现值
ax

1 Ax i
1 A
a
)

Var(1 vt

)

Var (1

zt
)

1
2
Var ( zt
)

Var(a T
)

1
2
[2Ax

(
Ax
)2
]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——当期支付技巧
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现
值
vT
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支
付的时间积分，得到期望年金现值
ax E(vT )
延期m年 n年定期生存年金
精算现 值估计
m
ax

ax
a x:m
m Ex axm

1

(A x:m

Ax )
m n ax
a x:m n
a x:m

m Ex
a x m:n
1 (A A )
x:m
x:mn
当期支付技巧
初付终身生存年金
ax

k 0
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
纯保费厘定的基本假定
三个基本假定条件:
同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余 寿命是独立同分布的。
被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进 行拟合。
保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预 定利率）。
净保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正 好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
(x) —— 投保年龄。
基本符号
——人的极限年龄
bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现时值
zk bkvk 0 , k n
,n 1

符号： A1 x:n
趸缴净保费的厘定
厘定：
n1
A1 x:n

E(zk )
vk 1 k px qxk
k 0
n1

lx
A1 x:n

vk 1 dxk
k 0
n1
n1

A1 x:n

vxk 1 dxk
假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函(数x)关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n

zt
btvt
0
,
tn
趸缴净保费的厘定

符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
k 0
vxlx

Cxk
k 0
Dx

Mx
M xn Dx
常用计算基数
计算基数引进的目的：简化计算 常用基数：
Cx vx1dx
Dx vxlx

M x Cxk k 0

Nx Dxk k 0


Rx M xk (k 1)Cxk
k 0
A1
j x: j
k 1
j0
n
n1
(DA)1 x:n
(n k 1)vk k1 px qxk
A1 x:n j
k 1
j0
用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费
A1 M x M xn
x:n
Dx
A M x M xn Dxn
x:n
Dx
(IA)1 Rx Rxn nM xn
记
n1
2 A1 x:n
v2k k px qxk
k 0
等价方差为
Var(zk )

2 A1 x:n
( A1 )2 x:n
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期两全保险 延期m年的n年期两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险

Ax
vk 1 k px qxk
k 0
A1
m x:n
A1 x:mn
A1 x:m
m
Ax

Ax

A1 x:m
A x:n
A1 x:n

A1 x:n
A m x:n

m
A1 x:n

m
A1 x:n

A1 x:m

A xm:n

1
(IA)x kvk k1 px qxk
(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成 本的现时值之和。
生存年金
生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、 半年、季、月）支付一次保险金的保险类型
分类
初付年金/延付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
课程结构
保费 厘定
趸缴净保费厘定 生存年金净保费厘定
k 0
例4.1
测算国寿祥运定期寿险的趸缴净保费
30岁的购买20年的定期寿险
30岁的人购买25年的定期寿险
30岁的人购买30年的定期寿险
现值随机变量的方差
公式
n1
Var(zk ) E(zk2 ) E(zk )2 v2k k px qxk E(zk )2 k 0
x:n
Dx
m
A1 x:n
Dxn Dx
Ax
A1 M xm M xmn
x:n
Dx

Mx Dx
A m x:n
M xm M xmn Dxmn Dx
(DA)1 nM x (Rx1 Rxn1)
x:n
Dx
例4.2
实例分析国寿祥瑞终身寿险的趸缴净保费 实例分析泰康福寿两全保险的趸缴净保费
解释：
lx 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过 一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提 供次年的净趸缴保费 Ax1 ，还可以为所有在当 年去世的被保险人提供额外的 1 Ax1 。
公式三：
趸缴纯保费递推公式

Ay
v
q x y1 x
(1
Ax 1 )
x y
解释
x:n
在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的
精算现值
n Ex Ax:1n vn n px
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付
的年金的现值之和
a 1 vT
T

步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的
年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，
所以方差等价为
Var(
zt
)2A1 x:n
(A1 )2 x:n
定期寿险死亡年末赔付场合
基本函数关系
记k为被保险人整值剩余寿命，则
vk vk1 , k 0,1, , n 1 1 , k 0,1, , n 1
bk 0 , k n vk1 , k 0,1,
主要险种的趸缴净保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任 范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
定义
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以
在第n年末获得生存赔付的保险。
也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保
险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保 费为 A 1