矢量运算法则
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
运动矢量的计算方法
矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+（-B）。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
矢量运算法则
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3、矢量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量
标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。
矢量的表示方法
1)、几何表示：有指向的线段
2)、解析表示：大小
3)、张量表示：按照一阶张量的变换规律变换
两个矢量相等必须是大小相等，方向一致
长度为一个单位的矢量称为单位矢量。
矢量结合法则
1) 矢量加法：遵从平行四边形定则(请点击小方块查看演示过程)
（flash 一）
交换律：
结合律：
2) 矢量的数乘
结合律：
分配律：
3) 矢量的分解
在一个平面内，若存在两个不共线的矢量0000则平面内的任一矢量可以分解为：
常用称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量．
4) 标量积（点积、内积）
两个矢量的点积为一标量。
交换律：
分配律：
5) 矢量积（叉积、外积）
是一个轴矢量
大小：平行四边形面积方向：右手螺旋
（图一）
右手螺旋定则(移动鼠标到flash上查看效果)
（flash 二）
矢积的性质：
矢量的混合积结果为平行六面体的体积
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矢量点乘矢量
矢量点乘矢量
矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。
矢量点乘和叉乘运算法则：点乘，也叫向量的内积、数量积。
运算法则为向量a乘向量
b=allbcos。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
运算法则为向量c=向量a 乘向量b=absin。
1、点乘，也叫向量的内积、数量积。
顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a乘向量b=abcos。
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
2、叉乘，也叫向量的外积、向量积。
顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
向量c=向量a乘向量b=absin，向量c的方向与ab所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。
因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a乘向量b=向量b乘向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，良即叉乘。
矢量乘法运算法则
1.2矢量的乘法运算1. 标量与矢量的乘积2. 矢量与矢量乘积(1) 标量积（点积）(2) 矢量积（叉积）3. 矢量三重积1. 标量与矢量的乘积0ˆ||00k kA k A ak k >⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪<⎩⎭方向不变，大小为|k |倍方向相反，大小为|k |倍A(0)kA k >(0)kA k <图示：计算：ˆˆˆx x y y z zkA kA a kA a kA a =++2. 矢量与矢量乘积(1) 标量积（点积）：||||cos A B A B θ⋅=⋅θBA两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。
推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
A B B A⋅=⋅()A B C A B A C⋅+=⋅+⋅•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即ˆˆˆˆˆˆ1,1,1ˆˆˆˆˆˆ0,0,0x x y y z z x y x z y z aa aa aa aa aa aa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=有两矢量点积：ˆˆˆˆˆˆ()()x x y y z z x x y y z z A B A aA a A aB a B a B a ⋅=++⋅++zz y y x x B A B A B A ++=•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
(2) 矢量积（叉积）：ˆ||||sin n A B A B aθ⨯=⋅BAˆn aθ含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律,A B B A A B B A⨯≠⨯⨯=-⨯()A B C A B A C⨯+=⨯+⨯推论2：服从分配律推论3：不服从结合律()()A B C A B C⨯⨯≠⨯⨯推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：ˆˆˆx y z xy z x y zaa a A B A A A B B B ⨯=ˆˆˆˆˆˆ()()x x y y z z x x y y z z A B A aA a A aB a B a B a ⨯=++⨯++ˆˆˆ()()()y z z y x z x x z y x y y x z A B A B aA B A B a A B A B a =-+-+-两矢量的叉积又可表示为：xyz o例21234ˆˆˆˆˆˆ2,32ˆˆˆˆˆˆ23,325x y z x y z x y z x y z r aa a r a a a r aa a r a a a =-+=+-=-+-=++求：4123r ar br cr =++中的标量a 、b 、c 。
矢量的概念与运算法则
矢量的概念与运算法则矢量是物理学中一个重要的概念，它不仅在物理学中有着广泛的应用，也在其他学科中扮演着重要的角色。
矢量是指既有大小又有方向的物理量，它可以用箭头来表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
在本文中，我们将介绍矢量的概念以及它的运算法则。
首先，让我们来了解一下矢量的概念。
矢量可以分为位移矢量、速度矢量、加速度矢量等等。
位移矢量表示物体从一个位置到另一个位置的位移，速度矢量表示物体在单位时间内所走过的位移，加速度矢量表示物体在单位时间内速度的变化。
矢量的大小可以通过数值来表示，比如位移矢量的大小可以用米来表示，速度矢量的大小可以用米每秒来表示。
矢量的方向可以用角度或者方向余弦来表示，比如位移矢量的方向可以用角度来表示，速度矢量的方向可以用方向余弦来表示。
接下来，我们将介绍矢量的运算法则。
矢量的运算包括矢量的加法、减法、乘法和除法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
矢量的乘法是指将一个矢量与一个标量相乘得到一个新的矢量。
矢量的除法是指将一个矢量除以一个标量得到一个新的矢量。
在进行矢量的加法和减法时，我们需要考虑矢量的大小和方向。
如果两个矢量的方向相同，那么它们的大小相加或相减即可得到新的矢量的大小。
如果两个矢量的方向相反，那么它们的大小相加或相减后再取相反数即可得到新的矢量的大小。
如果两个矢量的方向不同，那么我们可以将它们分解为水平和垂直方向上的分量，然后分别进行相加或相减，最后再合成为一个新的矢量。
矢量的乘法可以分为数量积和矢量积两种。
数量积是指将两个矢量相乘得到一个标量。
数量积的结果是两个矢量的大小相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
矢量积是指将两个矢量相乘得到一个新的矢量。
矢量积的结果是两个矢量的大小相乘再乘以它们的夹角的正弦值，并且新的矢量垂直于原来的两个矢量所在的平面。
最后，让我们来看一个具体的例子来理解矢量的概念和运算法则。
矢量叉乘运算法则
矢量叉乘运算法则矢量叉乘运算是向量运算中的一种重要操作，它在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
矢量叉乘运算法则是描述矢量叉乘运算规律的数学原理，它能够帮助我们理解和应用矢量叉乘运算，从而解决实际问题。
1. 矢量叉乘的定义。
矢量叉乘是指两个向量之间进行的一种运算，其结果是一个新的向量。
设有两个三维向量a和b，它们的叉乘结果记作a×b，其计算公式为：a×b = |a| |b| sinθ n。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
这个公式表明，矢量叉乘的结果是一个垂直于a和b所在平面的新向量，其大小由|a|、|b|和夹角θ共同决定。
2. 矢量叉乘的性质。
矢量叉乘具有一些重要的性质，这些性质对于理解和应用矢量叉乘运算法则非常重要。
（1）反交换律。
矢量叉乘满足反交换律，即a×b = -b×a。
这意味着矢量叉乘的结果与操作顺序无关，只与操作的两个向量有关。
（2）线性性质。
矢量叉乘具有线性性质，即对于任意实数k，有(a + b)×c = a×c + b×c和(k a)×b = k (a×b)。
这意味着矢量叉乘可以按照线性运算进行组合。
（3）零叉乘。
当两个向量a和b共线时，它们的叉乘结果为零向量，即a×b = 0。
这表明共线的向量之间不存在叉乘关系。
3. 矢量叉乘的几何意义。
矢量叉乘的几何意义是非常重要的，它能够帮助我们直观地理解矢量叉乘的运算规律。
（1）方向。
矢量叉乘的结果是一个垂直于a和b所在平面的新向量，其方向由右手定则确定。
即将右手的四指指向向量a，然后由a转向向量b，那么大拇指的方向就是叉乘结果的方向。
（2）大小。
矢量叉乘的大小由|a|、|b|和夹角θ共同决定，它的大小等于以|a|和|b|为两条边的平行四边形的面积。
三个向量连续叉乘如何计算,大学物理矢量叉乘运算公式二
三个向量连续叉乘如何计算，大学物理矢量叉乘运算公式二矢量叉乘法则？矢量当中的运算要遵守特殊的法则。
矢量加法大多数情况下可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
a-b=a+(-b)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可以构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积1、矢量的叉乘是向量积；2、矢量的叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直；3、叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。
向量叉乘公式是什么？向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不一样，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
其应用也十分广泛，一般应用于物理学光学和电脑图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b。
模长：（在这里θ表示两向量当中的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
）方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵循右手定则。
（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方式是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不能超出180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。
）向量积|c|=|a×b|=|a||b|sina，b即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。
这是因为在不一样的坐标系中c 可能不一样。
期望我能帮你解疑释惑。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
关于矢量的总结
关于矢量的总结矢量，即向量，是物理学与数学中常用的概念。
它具有方向和大小，并可以用箭头来表示。
矢量在各个学科中都有广泛的应用，例如力学、物理学、工程学、计算机图形学等。
下面将对矢量的定义、性质、运算法则以及应用进行详细的总结。
一、矢量的定义与性质1. 定义：矢量是一个有向线段，它具有大小和方向。
用加粗的小写字母表示，例如 a、b。
2. 大小：矢量的大小是指矢量的长度，用绝对值表示，例如|a|。
3. 方向：矢量的方向由与其平行的无数直线所组成的集合表示。
4. 自由矢量与固定矢量：自由矢量表示一个具有大小和方向的箭头，可以平行移动而不改变其性质；固定矢量表示一个固定在空间中的点，它具有大小和方向，但不能平行移动。
5. 等于矢量：如果两个矢量的大小及方向都相等，则称它们是等于矢量，用等号表示，例如 a = b。
6. 相反矢量：如果两个矢量的大小相等，方向相反，则称它们是相反矢量，用负号表示，例如 -a。
7. 单位矢量：大小为1的矢量称为单位矢量，用小写的带一个“^”的字母表示，例如 a^。
二、矢量的运算法则1. 矢量的加法：矢量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以看作是加上相反矢量，即 a - b = a + (-b)。
3. 数量积（点积）：数量积是指两个矢量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，记作a·b，其结果是一个标量。
4. 向量积（叉积）：向量积是指两个矢量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，记作a×b，其结果是一个矢量。
5. 数量积和向量积的运算法则：数量积满足分配律和交换律，a·(b + c) = a·b + a·c，a·b = b·a；向量积不满足交换律，a×b = -b×a。
6. 混合积：混合积是指三个矢量的乘积的结果，记作(a×b)·c，其结果是一个标量，它表示一个平行六面体的体积。
矢量的三角形法则
矢量的三角形法则矢量是物理学中重要的概念，它是有大小和方向的量。
在矢量的运算中，三角形法则是一种常用的方法。
本文将详细介绍矢量的三角形法则及其应用。
一、矢量的概念矢量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。
矢量的大小用模表示，方向用箭头的指向表示。
在二维空间中，矢量可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
二、矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在三角形法则中，我们可以通过将两个矢量首尾相连构成一个三角形，然后用一条从三角形的起点指向终点的矢量表示它们的和。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接两个矢量的终点，构成一个三角形；3. 从两个矢量的起点引出一条线段，指向这个三角形的终点，这条线段就表示它们的和。
三、矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在三角形法则中，我们可以通过将两个矢量的起点放在同一点上，然后用一条从被减矢量的终点指向减矢量的终点的矢量表示它们的差。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接减矢量的终点和被减矢量的终点，构成一个三角形；3. 从被减矢量的起点引出一条线段，指向这个三角形的终点，这条线段就表示它们的差。
四、矢量的平行四边形法则除了三角形法则，矢量的加法还有一种常用的方法，即平行四边形法则。
在平行四边形法则中，我们可以通过将两个矢量的起点放在同一点上，然后将它们的终点连线构成一个平行四边形，用对角线表示它们的和。
具体操作如下：1. 将两个矢量的起点放在同一点上；2. 用一条直线连接两个矢量的终点，构成一个平行四边形；3. 从这个平行四边形的起点引出一条线段，指向对角线的交点，这条线段就表示它们的和。
五、矢量的三角函数在矢量的运算中，三角函数经常用于求解矢量的分量。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在三角形法则中，我们可以通过求解三角形的边长和角度来求解矢量的分量。
矢量运算公式大全
矢量运算公式大全一、矢量加法。
1. 平行四边形法则。
- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。
- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。
2. 三角形法则。
- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。
即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。
- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。
二、矢量减法。
1. 定义。
- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。
2. 三角形法则。
- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。
把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。
- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。
三、矢量的数乘。
1. 定义。
- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。
- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。
2. 在直角坐标系中的表示。
- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。
四、矢量的点积（数量积）1. 定义。
- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。
一维物理矢量运算的符号法则
一维物理矢量运算的符号法则
矢量运算遵循平行四边形法则，矢量既有数值大小，又要由方向才能完全确定。
它的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则，比如平行四边形法则。
矢量之间的运算要遵循特殊的法则：
1、矢量的加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
如：A-B=A+(-B)。
2、矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积。
也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
这里与数学中的向量知识一致。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
如：W=F·S，P=F·v。
物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
如：M=r×F。
高中物理矢量归纳总结
高中物理矢量归纳总结
以下是高中物理中矢量的一些归纳总结：
1. 矢量：既有大小又有方向的物理量。
常见的矢量有速度、加速度、力、位移、动量等。
2. 矢量的合成与分解：矢量可以通过平行四边形法则或三角形法则进行合成与分解。
合矢量等于各分矢量按平行四边形法则（或三角形法则）求和，分矢量则依据合矢量按平行四边形法则（或三角形法则）确定。
3. 矢量的运算：矢量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
加法和减法是通过平行四边形法则或三角形法则进行的。
数乘则是将矢量的大小按比例缩放，方向保持不变。
点乘则是计算两个矢量的点积，结果是一个标量。
4. 矢量在物理中的应用：矢量在物理中有着广泛的应用，如速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，力是改变物体运动状态的原因，位移是描述物体位置变化的物理量，动量是描述物体运动状态的另一个重要物理量等。
以上是关于高中物理中矢量的归纳总结，通过学习和掌握矢量的概念、性质和运算方法，可以帮助我们更好地理解和分析物理问题。
矢量点乘和叉乘运算法则
矢量点乘和叉乘运算法则
矢量点乘和叉乘是向量运算中两种重要的运算法则。
点乘，也称点积，是将两个向量相乘后将结果相加，得到一个标
量的运算。
表示为：A·B = |A||B|cosθ ，其中，A和B为两个向量，θ为它们之间的夹角，|A|和|B|分别为它们的模长。
叉乘，也称叉积，是将两个向量相乘后得到一个向量的运算。
表
示为：A×B=|A||B|sinθn，其中，A和B为两个向量，θ为它们之间
的夹角，|A|和|B|分别为它们的模长，n为符号向量，其方向垂直于A
和B所在的平面，且满足右手法则。
点乘和叉乘运算有着广泛的应用，如计算电磁场中的力和磁场强度，计算角动量等。
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推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为(r,, z), 其中 为角度，
其对应的线元 rdav ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，其中, 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 R sin
dRavR
Rd av
Rsindav
面元：
v dSR
R2
sin d davR
v dS
R sin dRdav
v dS
RdRd av
体元：
dV R2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 标量场的梯度 标量场的场函数为 (x, y, z,t)
a.方向导数： d 空间变化率，称为方向导数。
dl
d
dn 为最大的方向导数。
P1
dnv
P2
v
dl
P 0
0 d
b.梯度
定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，
其方向为该点所在等值面的法线方向。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
vv kA k | A | aˆ
k 0 方向不变，大小为|k|倍
k
0
k
0
方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： vv v v A B | A| | B | cos
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
v v v vv v vv v A(BC) B(AC) C(A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设 rv1 2aˆx aˆy aˆz , rv2 aˆx 3aˆy 2aˆz rv3 2aˆx aˆy 3aˆz , rv4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
线元：
v dl
dravr
rdav
dzavz
面元：
v
dSvr dSv
dSz
rddzavr drdzav rddravz
体元： dV rdrddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
v dl
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2,u3)不一定都是 长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅
系数，若已知其拉梅系数 h1, h2, h3，就可正确写出其线元、
面元和体元。
v •线元： dl h1du1aˆu1 h2du2aˆu2 h3du3aˆu3
求： rv4 arv1 brv2 crv3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
6aˆx
y
图示法：
6aˆx
x
力的图示法：
v
F
v
FN
v
Ff
vv v F FN Ff
v G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
v
v
B
C
v vv C AB
v C
v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
逆矢量：Bv 和
v (B)
的模相等，方向相反，互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
解：已知
vv A B
所得矢量垂直于
v A
、Bv
ห้องสมุดไป่ตู้所在平面。
vv
aˆn
Av Bv A B
v v aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
vv | A B | 152 (10)2 302 35
aˆn
1 7
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
vvv A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
v vvv v
D A B A (B)
单位矢量： v
aˆ
|
Av A
|
Avx | A|
aˆx
Avy | A|
aˆ y
Avz |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A
v
v Ax
o
Ay
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
数学表达式：
grad
d
dn
aˆn
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
d
计算：
d
dn
dl dn dl
d cos
dn
d
dn
b.满足结合律：
(
v A
v B)
v (C
v D)
v (A
v C)
v (B
v D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
(3aˆx
2aˆ y
6aˆz )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4：
已知A点和B点对于原点的位置矢量为
av
和
v b
，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，